Essentials of Probability

Probabilitas adalah pilar fundamental penalaran statistik, menyediakan kerangka kerja yang sistematis dan koheren untuk mengkuantifikasi ketidakpastian. Menguasai konsep-konsep ini sangat penting untuk analisis data yang efektif, penelitian ilmiah, dan praktik berbasis bukti.

1 Terminologi Inti dan Landasan Aksioma (Konsep Dasar)

1.1 Definisi Formal dan Aksioma Probabilitas

Probabilitas (\(P(A)\)) adalah fungsi himpunan bernilai nyata yang mengukur seberapa mungkin suatu peristiwa terjadi, dengan rentang nilai \(0 \le P(A) \le 1\). Teori probabilitas modern dibangun di atas Aksioma Kolmogorov yang menjamin konsistensi matematis:

Non-negatif: Probabilitas harus selalu positif atau nol (\(P(A) \ge 0\)).
Normalisasi: Probabilitas seluruh ruang sampel (\(S\)) harus sama dengan satu (\(P(S) = 1\)).
Aditivitas: Untuk peristiwa yang saling lepas (\(A_1, A_2, \dots\)), peluang gabungan mereka adalah jumlah peluang masing-masing.

1.2 Ruang Sampel, Peristiwa, dan Hasil

Ruang Sampel (\(S\)) adalah himpunan dari semua kemungkinan hasil (outcomes) suatu eksperimen acak. Peristiwa (\(A\)) adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh: Dalam pelemparan dadu standar, \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Peristiwa \(A\) (mendapat angka genap) adalah \(A = \{2, 4, 6\}\).

1.3 Peristiwa Saling Lepas dan Kolektif Komprehensif

Konsep-konsep ini mendefinisikan hubungan antar himpunan peristiwa:

Saling Lepas (Mutually Exclusive): Dua peristiwa \(A\) dan \(B\) tidak memiliki hasil yang sama; irisannya adalah himpunan kosong (\(\emptyset\)). Contoh: Melempar dadu dan mendapatkan angka genap (\(A\)) dan angka ganjil (\(B\)). \[A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0\]
Kolektif Komprehensif (Collectively Exhaustive): Kumpulan peristiwa yang gabungannya mencakup seluruh ruang sampel. Contoh: Peristiwa Ganjil dan Genap dalam pelemparan dadu adalah komprehensif.

2 Tiga Metodologi Penentuan Probabilitas (Mandiri dan Bergantung)

2.1 Metode Klasik (A Priori)

Metode ini bersifat deduktif dan hanya berlaku ketika semua hasil dalam ruang sampel memiliki peluang yang sama (equally likely).

\[P(A) = \frac{\text{Jumlah Hasil yang Menguntungkan A}}{\text{Total Jumlah Hasil dalam S}}\]

Contoh: Peluang mendapatkan kartu As dari setumpuk 52 kartu adalah \(4/52\).

2.2 Metode Frekuensi Relatif (Empiris)

Probabilitas diperkirakan secara induktif, berdasarkan observasi dari sejumlah besar percobaan berulang.

\[P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{\text{Frekuensi A}}{\text{Jumlah Percobaan n}}\]

2.3 Metode Subyektif

Digunakan saat data empiris tidak tersedia. Probabilitas ditetapkan berdasarkan derajat keyakinan (degree of belief) yang diinformasikan oleh keahlian.

3 Aturan Aljabar Dasar Probabilitas (Penyatuan Peristiwa)

3.1 Aturan Komplemen

Aturan ini menyatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi (\(A^c\)) adalah 1 dikurangi probabilitas terjadinya peristiwa tersebut (\(A\)).

\[P(A^c) = 1 - P(A)\]

3.2 Aturan Penjumlahan (Union Rule)

Menghitung probabilitas bahwa peristiwa \(A\) atau peristiwa \(B\) terjadi (\(P(A \cup B)\)).

Kasus Umum (Tidak Saling Lepas): \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
Kasus Saling Lepas: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

3.3 Aturan Perkalian (Intersection Rule)

Menghitung probabilitas bahwa peristiwa \(A\) dan peristiwa \(B\) terjadi bersamaan (\(P(A \cap B)\)). Bentuknya bergantung pada independensi (lihat Bagian 4).

4 Probabilitas Bersyarat dan Inferensi (Eksklusif dan Lengkap)

4.1 Rumus Probabilitas Bersyarat

Probabilitas Bersyarat (\(P(A|B)\)) adalah peluang peristiwa \(A\) terjadi dengan syarat peristiwa \(B\) sudah terjadi.

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \text{ dimana } P(B) > 0\]

4.2 Peristiwa Independen vs. Dependen

Independen (Bebas): \(P(A|B) = P(A)\).
- Aturan Perkalian untuk Independen: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Dependen (Bersyarat): \(P(A|B) \neq P(A)\).
- Aturan Perkalian Umum: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\)

4.3 Teorema Bayes

Teorema Bayes adalah algoritma fundamental untuk memperbarui probabilitas hipotesis (\(A\)) ketika bukti baru (\(B\)) diamati.

[Image of Bayes theorem components]

\[\text{Peluang Posterior} = \frac{\text{Likelihood} \times \text{Peluang Prior}}{\text{Peluang Marginal}}\]

\[P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}\]

Catatan Referensi: Digunakan secara luas sebagai fondasi untuk klasifikasi Naive Bayes dalam machine learning.

5 Variabel Acak dan Fungsi Probabilitas (Percobaan Binomial)

5.1 Konsep Variabel Acak

Variabel Acak (\(X\)) adalah fungsi bernilai nyata yang memetakan hasil dari ruang sampel ke nilai numerik.

Diskrit: Mengambil nilai yang dapat dihitung (e.g., jumlah kepala dalam 3 lemparan koin).
Kontinu: Mengambil nilai tak terbatas dalam rentang tertentu (e.g., tinggi badan).

5.2 Fungsi Massa dan Kepadatan Probabilitas

Fungsi Massa Probabilitas (PMF): Untuk variabel diskrit, PMF (\(P(X=x)\)) memberikan peluang tepat setiap nilai yang mungkin.
Fungsi Kepadatan Probabilitas (PDF): Untuk variabel kontinu. Peluang dihitung sebagai area di bawah kurva (integral) dalam suatu rentang.

6 Distribusi Probabilitas Kunci (Distribusi Binomial)

6.1 Distribusi Binomial

Distribusi diskrit ini memodelkan jumlah keberhasilan (\(X\)) dalam jumlah percobaan tetap (\(n\)) dengan hasil biner (sukses/gagal).

Rumus PMF: \[P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\]
Parameter: Nilai Harapan (Mean) \(\mu = np\) dan Variansi \(\sigma^2 = np(1-p)\).

6.2 Distribusi Normal (Gauss)

Distribusi kontinu paling penting, dikenal sebagai Kurva Lonceng. Ditentukan oleh Mean (\(\mu\)) dan Deviasi Standar (\(\sigma\)).

Aturan Empiris (68-95-99.7): \(\approx 95\%\) data terletak dalam \(\pm 2\sigma\) dari \(\mu\).
Skoring-Z (Standardisasi): \[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]
Rumus PDF (Tambahan): \[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\]

7 Aplikasi Probabilitas dalam Sains Data

7.1 Fondasi Inferensi Statistik

Probabilitas adalah dasar bagi Inferensi Statistik. Ini tercermin dalam perhitungan Interval Kepercayaan dan penetapan p-value dalam Pengujian Hipotesis.

7.2 Algoritma Pembelajaran Mesin Berbasis Probabilitas

Banyak model machine learning menggunakan probabilitas secara eksplisit:

Naive Bayes: Menggunakan Teorema Bayes untuk tugas klasifikasi.
- Video Aplikasi Teorema Bayes (StatQuest):
- Visual Konsep (MIT OCW): https://ocw.mit.edu/courses/6-041sc-probabilistic-systems-analysis-and-applied-probability-fall-2013/pages/unit-i/lecture-2/
Regresi Logistik: Memodelkan probabilitas hasil biner (e.g., \(P(\text{Klasifikasi} = 1)\)).

7.3. Pemodelan Distribusi Data

Pengetahuan distribusi membantu dalam deteksi anomali dan dalam validasi asumsi model (e.g., asumsi normalitas residual).

ESSENTIAL OF PROBABILITY

Tugas Week 10

Fityanandra Athar Adyaksa (52250059)

November 27, 2025