Essential of Probability
Tugas Week 10
Introduction
Definisi Probabilitas
Probabilitas merupakan pilar dasar penalaran statistik, yang menawarkan kerangka kerja yang sistematis dan koheren untuk memahami ketidakpastian dan memandu pengambilan keputusan yang terinformasi. Alih-alih mengandalkan intuisi atau dugaan, probabilitas memungkinkan kita untuk mengukur kemungkinan berbagai hasil, menafsirkan pola dalam data, dan menganalisis fenomena yang muncul dari proses alami atau eksperimental. Penguasaan konsep probabilitas yang kuat sangat penting untuk analisis data yang efektif, penelitian ilmiah, dan praktik berbasis bukti.
Dalam ranah pendidikan matematika, probabilitas menjadi komponen penting dalam kurikulum karena aplikasinya yang luas dalam kehidupan sehari-hari. Penelitian tentang pemahaman probabilistik siswa juga menunjukkan bahwa konsep probabilitas tidak hanya matematis, tetapi melibatkan pemikiran intuitif, heuristik, dan bahkan dinamika kognitif.
Bagian ini menyajikan prinsip-prinsip utama yang membentuk dasar teori probabilitas:
- Konsep dasar probabilitas, termasuk ruang sampel, kejadian, dan aturan komplemen-komponen inti yang menentukan bagaimana probabilitas disusun dan ditafsirkan.
- Peristiwa independen dan dependen, yang membedakan skenario di mana terjadinya satu peristiwa memengaruhi atau tidak memengaruhi peristiwa lain, suatu perbedaan penting untuk pemodelan dan prediksi yang akurat.
- gabungan Kejadian, yang membahas kemungkinan bahwa setidaknya satu di antara beberapa kejadian akan terjadi.
- Peristiwa ekslusif dan lengkap, mengklarifikasi bagaimana peristiwa berinteraksi dalam ruang sampel dan bagaimana hubungan tersebut membentuk perhitungan probabilitas.
- Eksperimen binomial dan distribusi binomial, merupakan alat penting untuk menganalisis percobaan berulang dengan dua kemungkinan hasil, banyak digunakan dalam studi ilmiah, pengujian keandalan, dan analisis survei.
1 Fundamental Concept
Definisi Konsep Dasar Probabilitas
Probabilitas sebagai ukuran ketidakpastian Probabilitas (atau peluang) adalah ukuran numerik yang menyatakan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Nilainya berkisar antara 0 dan 1:
Rumus Dasar:
\[
P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}
\]
Dimana:
n(A) = banyaknya hasil yang memenuhi peristiwa A
n(S) = total kemungkinan hasil ruang sampel
Elemen Dasar Probabilitas
Elemen Dasar
1. Eksperimen acak: aktivitas yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara pasti (misalnya melempar dadu)
2. Ruang Sampel (S): himpunan semua kemungkinan hasil dari eksperimen. Contohnya, untuk dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3. Peristiwa: subset dari ruang sampel yang mencakup satu atau lebih hasil yang kita minati (misalnya “muncul angka genap” pada pelemparan dadu)
Interpretasi Probabilitas
Variabel acak dan distribusi probabilitas
2 Independent and Dependent
Peristiwa Independen
Dua peristiwa A dan B dikatakan independen jika terjadinya salah satu tidak memengaruhi probabilitas terjadinya yang lain. Secara matematis, A dan B independen jika: \[P(A ∩ B) = P(A) × P(B)\] dari definisi tersebut, diperoleh aturan perkalian untuk peristiwa independen: \[P(A∩B)=P(A)×P(B)\]
Peristiwa Dependen
Peristiwa A dan B disebut dependen (tergantung) jika probabilitas terjadinya salah satu dipengaruhi oleh terjadinya yang lain. Dalam hal ini kita menggunakan probabilitas bersyarat: \[P(B∣A)\] atau \[P(A∣B)\] jadi, aturan perkalian untuk peristiwa dependen menjadi: \[P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)\] atau secara simetris: \[P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B)\]
Aturan Perkalian
Peristiwa Independen:
\[P(A ∩ B) = P(A) × P(B)\]
Peristiwa Dependen:
\[P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)\]
\[P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B)\]
• P(dadu menunjukkan angka 6) = 1/6
• P(koin menunjukkan Head) = 1/2
• Perhitungan P(keduanya Head) \[(1/6) × (1/2) = 1/12 ≈ 0.0833 ≈ 8.33%\]
Karena percobaannya tidak saling memengaruhi, maka keduanya independen.Contoh 2 - Peristiwa Dependen: Misalkan ada sebuah kantong berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng biru kemudian total keseluruhan kelereng ada 8 buah:
Kita mengambil satu kelereng tanpa mengembalikannya, lalu mengambil yang kedua.
• P(kelereng pertama merah) = 5/8
• Jika kelereng pertama merah, sisa merah = 4 dan total kelereng = 7 jadi P(kelereng kedua merah | pertama merah) = 4/7
• Perhitungan P(dua kelereng merah) \[(5/8) × (4/7) = 20/56 ≈ 0.357 ≈ 35.7%\]
Probabilitas tetap konstan karena setiap koin adalah sistem terpisah, hasil satu percobaan tidak mengubah ruang sampel percobaan lainnya.3 Union of Events
Definisi
Gabungan dua kejadian A dan B, dilambangkan \[A∪B\] adalah peristiwa di mana setidaknya satu dari kejadian tersebut terjadi, bisa A, atau B, atau keduanya. Dengan kata lain jika percobaan menghasilkan hasil yang masuk ke himpunan hasil A maupun B, maka A ∪ B dianggap terjadi. Namun, ketika kita ingin menghitung probabilitas P(A ∪ B), kita tidak cukup menjumlahkan P(A)+P(B). Jika kita lakukan demikian tanpa modifikasi, kita akan memperhitungkan area “irisan” (hasil yang bisa masuk ke A dan B sekaligus) dua kali, sekali dalam P(A) dan sekali lagi dalam P(B). Oleh sebab itu, kita perlu mengurangkan P(A ∩ B) agar perhitungan menjadi benar.
Peristiwa tidak saling lepas (Non Mutually Exclusive Events)
- sehingga formula umumnya:
\[P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)\]
Kejadian saling lepas (Mutually Exclusive Events) -
sehingga formula umumnya:
\[P(A
∪ B) = P(A) + P(B)\]
Contoh Soal
bisa didefinisikan:
• A = bola yang terambil berwarna merah
• B = bola yang diambil berwarna biru
• Namun, katakanlah ada 3 bola yang juga berwarna merah muda selain bola merah dan biru (jadi sebenarnya ada tumpang-tindih warna: “merah muda” dihitung sebagai biru/biru-muda dan bisa jadi termasuk merah if kita anggap merah muda sebagai subset “merah/biru-muda”). Agar lebih sederhana, asumsikan 3 bola dari 20 itu berwarna merah muda: termasuk dalam “B” dan sebagian dari A (misalnya diwarnai merah tapi juga dianggap “merah muda”). Dengan begitu, himpunan A dan B tidak saling lepas.
• Perhitungan
\[P(A)=\frac{8}{20}=0,40\] “Merah muda” (3 bola) kita hitung dalam B, dan anggap “merah muda” juga bagian dari A — sehingga irisan A ∩ B punya 3 bola, sehingga: \[𝑃 (𝐴∩𝐵)=3/20=0,15\] Jumlah bola dalam B: biru (12) + merah muda (3) = 15 \[P(B)=15/20=0,75\] Maka \[P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,40+0,75−0,15=1,00\] Artinya peluang terambil bola yang termasuk “merah atau biru/merah-muda” adalah 100%. Ini masuk akal karena “merah” dan “biru/merah-muda” bersama-sama mencakup semua bola dalam kantong (merah, biru, dan merah-muda).
misalnya:
• A = muncul mata dadu 2 atau 4
• B = muncul mata dadu 5 atau 6
• Perhatikan bahwa A dan B tidak bisa terjadi bersamaan (hasil dadu hanya satu angka). Jadi hitung P(A ∪ B).
• Perhitungan ruang sampel S={1,2,3,4,5,6}, jadi total 6 kemungkinan.
Himpunan A = {2, 4} \[P(A)= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] Himpunan B = {5, 6} \[P(B)= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] Karena A dan B saling lepas, sehingga \[P(A∩B)=0\] Maka \[P(A∪B)=P(A)+P(B)= \frac{1}{3} + \frac{1}{3}= \frac{2}{3} ≈ 0,6667\] Jadi peluang muncul angka 2 atau 4, atau 5 atau 6 pada pelemparan dadu adalah ≈ 66.67%.Prinsip untuk tiga kejadian atau lebih
Untuk tiga kejadian A, B, dan C, probabilitas bahwa paling tidak salah satu dari ketiganya terjadi.Rumus umum:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) -
P(A ∩ B)- P(A ∩ C)
- P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Sifat-sifat Himpunan yang berlaku untuk penyatuan peristiwa
- Komutatif: urutan kejadian tidak memengaruhi hasil penyatuan. \[A ∪ B = B ∪ A\]
- Asosiatif: pengelompokan tidak memengaruhi hasil penyatuan. \[(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)\]
- Identitas: penyatuan dengan himpunan kosong tidak mengubah himpunan. \[A ∪ ∅ = A\]
- Idempoten: penyatuan himpunan dengan dirinya sendiri tetap himpunan yang sama. \[A ∪ A = A\]
- Absorpsi (jika berlaku): jika A adalah subset dari B (semua elemen A juga ada di B), maka: \[A ∪ B = B\] Sifat-sifat ini berguna dalam manipulasi himpunan dan dalam membangun argumen probabilitas maupun kombinatorial. Prinsip union/intersection dan inclusion-exclusion berakar kuat dari teori himpunan ini.
Visualisasi
library(ggvenn)
# Data himpunan
data_union <- list(
A = c("a","b","c","d","e"),
B = c("c","d","e","f","g")
)
# Plot
ggvenn(
data_union,
fill_color = c("#FFB5C1", "#E0BBE2"),
stroke_size = 1,
set_name_color = "black",
fill_alpha = 0.5
) +
ggtitle("Visualisasi Rumus Union Dua Kejadian") +
theme(
plot.title = element_text(hjust = 0.5, face="bold", size=16)
)
Visualisasi ini menunjukkan dua himpunan, A dan B, beserta bagian yang
tumpang-tindih (irisan A ∩ B). Area gabungan keseluruhan itu termasuk
bagian masing-masing himpunan dan bagian overlap yang merepresentasikan
A ∪ B, yaitu kejadian ketika setidaknya salah satu dari A atau B
terjadi. Model ini konsisten dengan rumus P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩
B), karena bagian itu memperlihatkan bahwa daerah irisan tidak boleh
dihitung dua kali.
4 Exclusive and Exhaustive
Peristiwa Saling Eksklusif (mutually exclusive)
dua peristiwa dikatakan saling eksklusif jika keduanya tidak dapat terjadi pada saat yang sama yang artinya irisannya kosong. Secara matematis:
\[A ∩ B = ∅\]
Katakanlah kita punya sekumpulan kejadian \[A₁, A₂, ..., Aₙ\] Mereka dikatakan saling eksklusif jika setiap dua kejadian yang berbeda tidak memiliki hasil bersama, yaitu: \[Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅\] untuk setiap \[i ≠ j\]
Artinya, bila salah satu kejadian Aᵢ terjadi, kejadian Aⱼ (dengan j ≠ i) tidak mungkin terjadi pada percobaan yang sama. Pernyataan ini adalah cara formal menyatakan bahwa himpunan-himpunan tersebut tidak saling tumpang tindih.Peristiwa Lengkap / kolektif-ekshaustif (collectively exhaustive)
sekumpulan peristiwa disebut lengkap jika penyatuannya menutupi seluruh ruang sampel, sehingga setidaknya satu dari peristiwa tersebut pasti terjadi:
\[U_iA_i = S\]
Jika kejadian-kejadian saling lepas dan menyusun keseluruhan ruang
sampel: \[Σ P(Aᵢ) =
1\]
Pembagian Ruang Sampel
Dalam teori peluang, kita sering membutuhkan sekumpulan kejadian yang
mampu menggambarkan seluruh kemungkinan hasil dari suatu percobaan.
Untuk mencapai hal tersebut, digunakan konsep pembagian ruang sampel
atau partition of the sample space. Sebuah kumpulan kejadian disebut
membentuk pembagian ruang sampel apabila dua syarat penting terpenuhi
secara bersamaan:
1. Kumpulan Kejadian Bersifat Saling
Eksklusif Tidak ada dua kejadian dalam himpunan tersebut yang
memiliki irisan. Artinya, sebuah hasil tidak boleh muncul pada lebih
dari satu kejadian.
Kondisi ini memastikan bahwa setiap hasil hanya
“milih satu tempat” di antara kejadian-kejadian yang didefinisikan.
2. Kumpulan Kejadian Bersifat Lengkap Gabungan seluruh
kejadian dalam himpunan tersebut harus mencakup seluruh ruang
sampel.
Dengan demikian, tidak ada satu pun kemungkinan hasil yang
tertinggal atau tidak terwakili.
- Setiap hasil unik ditempatkan ke dalam satu, dan hanya satu, kejadian. Tidak ada tumpang tindih antar kejadian yang dapat menimbulkan ambiguitas.
- Tidak ada tumpang tindih antar kejadian yang dapat menimbulkan ambiguitas. karena irisan antarkejadian bernilai kosong.
- Seluruh ruang sampel terliput secara lengkap. Tidak ada hasil yang terlewatkan atau tidak diasosiasikan dengan kejadian manapun.
- Hitung peluang masing-masing kelompok jika pemilihan tingkat ketebalan dilakukan secara acak. Jawab :
- Tunjukkan bahwa total peluangnya bernilai 1. Jawab : \[P(tipis) + P(tebal) = 0.5 + 0.5 = 1.0\] Artinya pembagian ini benar-benar menutupi seluruh ruang sampel.
- Buktikan bahwa ketiga kategori tersebut saling eksklusif.
- Jelaskan mengapa ketiganya merupakan peristiwa lengkap (exhaustive).
tidak minum kopi, atau
minum pagi saja, atau
minum lebih dari sekali.
- Hitung jumlah peluang total dan verifikasi hasilnya.
- Kategori A = nilai ≥ 85 \[P(A) = 0.18\]
-
Kategori B = nilai < 50 \[P(A =
0.22\]
• Pertanyaan: a) Benarkah A dan B saling eksklusif? Jawab : A dan B Saling eksklusif Tidak ada nilai yang bisa sekaligus ≥85 dan <50. Maka, A ∩ B = ∅ → saling eksklusif.
Jelaskan mengapa kedua kategori ini tidak lengkap. Jawab : Karena nilai 50–84 tidak termasuk dalam A maupun B. Masih ada kejadian lain yang tidak tercakup. Jadi, A ∪ B tidak menutupi seluruh ruang sampel (tidak lengkap).
Hitung P(A ∪ B). Jawab : Karena A dan B saling eksklusif: \[P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.18 + 0.22 = 0.40 \] Ini menunjukkan hanya 40% nilai siswa yang termasuk dua kategori tersebut.
Implikasi dari Kedua Syarat Ini
Jika dua syarat di atas terpenuhi, maka rangkaian kejadian tersebut membentuk pembagian ruang sampel. Konsekuensinya:Sebuah spidol arsir memiliki 6 tingkat ketebalan yang diberi kode 1–6. Untuk keperluan analisis produk, perusahaan membagi ruang sampel menjadi dua kelompok:
• Kelompok tipis = {1, 2, 3}
• Kelompok tebal = {4, 5, 6}
Pertanyaan: a) Apakah dua kelompok ini membentuk partisi dari ruang sampel?
Jawab :
tidak tumpang tindih = {1,2,3} ∩ {4,5,6} = ∅ (sudah terpenuhi)
Maka, ini adalah benar partisi ruang sampel.
jumlah total = 6 kemungkinan \[P(tipis) = \frac{3}{6} = 0.5\] \[P(tebal) = \frac{3}{6} = 0.5\]
Sebuah survei konsumsi kopi pada mahasiswa melaporkan tiga jenis perilaku minum kopi:
1.Tidak minum kopi
2.Minum kopi hanya di pagi hari
3.Minum kopi lebih dari sekali sehari
Peluangnya adalah: \[P1 = 0.20, P2 = 0.55, P3 = 0.25\]
• Pertanyaan:
Jawab :
Saling eksklusif berarti tidak ada individu yang berada dalam dua kategori sekaligus. Seseorang tidak mungkin tidak minum kopi dan minum kopi dua kali sehari. Jadi, kategori tidak tumpang tindih (saling eksklusif).
Jawab :
Tidak ada kemungkinan lain di luar tiga kategori ini. Setiap mahasiswa pasti masuk salah satu dari:
Artinya seluruh ruang sampel tercakup (exhaustive).
Pada sebuah ujian, nilai siswa diklasifikasikan menjadi:
Visualisasi Exclusive and Exhaustive
library(ggplot2)
# Ruang sampel S
S <- data.frame(
x = c(0, 10, 10, 0),
y = c(0, 0, 6, 6)
)
# Tiga kejadian yang saling eksklusif dan exhaustif
A1 <- data.frame(
x = c(0.5, 3.2, 3.2, 0.5),
y = c(0.5, 0.5, 5.5, 5.5),
set = "A1"
)
A2 <- data.frame(
x = c(3.2, 6.3, 6.3, 3.2),
y = c(0.5, 0.5, 5.5, 5.5),
set = "A2"
)
A3 <- data.frame(
x = c(6.3, 9.5, 9.5, 6.3),
y = c(0.5, 0.5, 5.5, 5.5),
set = "A3"
)
df_all <- rbind(A1, A2, A3)
ggplot() +
geom_polygon(data = S, aes(x, y),
fill = "white", color = "black", linewidth = 1.2) +
geom_polygon(data = df_all, aes(x, y, fill = set),
color = "black", alpha = 0.7) +
scale_fill_manual(values = c(
"A1" = "#AEC6FF",
"A2" = "#DCC7FF",
"A3" = "#FFC9DE"
)) +
annotate("text", x = 5, y = 6.5, label = "Ruang Sampel (S)",
size = 6, fontface = "bold") +
annotate("text", x = 2, y = 3, label = "A1", size = 6, fontface = "bold") +
annotate("text", x = 4.75, y = 3, label = "A2", size = 6, fontface = "bold") +
annotate("text", x = 7.9, y = 3, label = "A3", size = 6, fontface = "bold") +
labs(
title = "Mutually Exclusive & Collectively Exhaustive Events",
subtitle = "A1, A2, A3 tidak saling tumpang tindih (exclusive)\n dan bersama menutupi seluruh ruang sampel S (exhaustive)"
) +
theme_minimal(base_size = 14) +
theme(
plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"),
plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5),
legend.position = "none"
)
Visualisasi ini menunjukkan tiga kejadian A1, A2, dan A3 yang tidak
saling bertumpukan (overlap), sehingga mencerminkan konsep mutually
exclusive (Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅). Ketiga area tersebut juga mengisi seluruh ruang
sampel S tanpa ada bagian yang tertinggal, sehingga bersifat
collectively exhaustive (A1 ∪ A2 ∪ A3 = S). Karena kedua syarat
terpenuhi, A1, A2, dan A3 membentuk partition dari ruang sampel S.
5 Binomial Experiment
Definisi Eksperimen Binomial
Eksperimen binomial merupakan salah satu fondasi penting dalam teori probabilitas. Eksperimen ini menggambarkan suatu proses yang terdiri dari serangkaian percobaan yang identik, di mana setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil yaitu, sukses atau gagal. Probabilitas untuk setiap hasil bersifat konstan, dan semua percobaan berlangsung secara independen.
Susunan Binomial (Kombinasi)
Untuk menghitung berapa banyak cara mendapatkan x keberhasilan dari n percobaan, digunakan rumus kombinasi: \[\binom{n}{x} = \frac{n!}{x! (n-1)!} \] kombinasi memastikan urutan tidak diperhitungkan.
Karakteristik Eksperimen Binomial
Sebuah proses dikatakan sebagai eksperimen binomial apabila memenuhi
empat syarat:
1. Jumlah percobaan tetap, terdapat n percobaan yang sudah
ditentukan terlebih dahulu.
2. Setiap percobaan memiliki dua hasil, biasanya dirumuskan
sebagai success (S) dan failure (F).
3. Probabilitas sukses bernilai konstan, probabilitas p tidak
berubah pada setiap percobaan.
4. Percobaan bersifat independen, hasil dari satu percobaan
tidak memengaruhi percobaan lainnya.
Jika keempat kondisi ini terpenuhi, hasil banyaknya sukses dalam n
percobaan mengikuti Distribusi Binomial.
Fungsi Probabilitas Binomial:
Jika X =
jumlah sukses dalam n percobaan, maka:
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}
\] dimana:
• P = peluang terjadinya suatu kejadian
• X =
jumlah kejadian sukses di dalam n percobaan
• (n,k) = banyaknya
susunan yang mungkin
• n = jumlah percobaan
• k = jumlah
sukses
• p = peluang sukses
• 1-p = peluang gagal
Rumus ini hanya valid saat seluruh syarat
binomial dipenuhi. Jika p berubah di tiap percobaan atau percobaan
saling mempengaruhi, rumus tidak bisa dipakai.
Contoh soal
identifikasi
• n = 5
• k = 3
• p = 0.5 (koin seimbang)
Penyelesaian
\[ P(X=3)=\binom{5}{3}(0.5)^3(0.5)^2 = 10 \times 2^{-5} = \frac{10}{32} = 0.3125\] Asumsi independen valid (lemparan koin tidak saling memengaruhi). Probabilitas juga tetap.Jawaban:
• Jumlah cara memilih 3 orang dari 8 tanpa memperhatikan urutan:
\[C\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} \]Penyelesaian
\[C\binom{8}{3} = \frac{8×7×6}{3×2×1} = 56 \] Jadi ada 56 cara membentuk tim.6 Binomial Distribution
Definisi Distribusi Binomial
<strongDistribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit
yang memodelkan jumlah sukses dalam n percobaan Bernoulli identik dan
independen, di mana tiap percobaan hanya memiliki dua hasil (sukses atau
gagal) dan peluang sukses p tetap sama di setiap percobaan. Dengan kata
lain, jika kita melakukan n percobaan yang memenuhi syarat-syarat di
atas, maka peluang bahwa tepat k percobaan berhasil dihitung dengan
rumus: \[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}
\] Parameter distribusi:
• P = peluang terjadinya suatu
kejadian
• X = jumlah kejadian sukses di dalam n percobaan
•
(n,k) = banyaknya susunan yang mungkin
• n = jumlah percobaan
•
k = jumlah sukses
• p = peluang sukses
• 1-p = peluang gagal
Rata-rata (ekspektasi) = n·p, dan varians = n·p·(1–p).
Membuat distribusi binomial dari data
Distribusi binomial hanya bisa dibuat jika kejadian memenuhi syarat percobaan bernoulli.
Parameter Distribusi Binomial
Distribusi binomial punya dua parameter utama:
n = jumlah
percobaan
p = probabilitas sukses
Parameter lainnya yang
bisa dihitung:
• nilai harapan (mean)
\[n × p\]
• varians
\[n × p × (1 − p)\]
• standar deviasi =
akar dari varians
\[\sqrt{n × p × (1 −
p)}\]
Memanipulasi nilai p
Ketika p (probabilitas sukses) berubah:
• bentuk distribusi ikut
berubah
• kalau p kecil = distribusi condong ke kiri
• kalau p
besar = distribusi condong ke kanan
• kalau p = 0.5 = distribusi
cenderung simetris
Semakin besar p, semakin besar peluang
mendapatkan jumlah sukses yang tinggi.
Memanipulasi nilai n
Jika n (jumlah percobaan) dinaikkan:
• distribusi makin
“halus”
• penyebaran nilai X makin lebar
• probabilitas semakin
tersebar di banyak nilai k
makin banyak percobaan, makin banyak
variasi jumlah sukses yang mungkin terjadi.
Aproksimasi Normal
Cara menggunakan Aproksimasi Normal
Distribusi binomial bisa didekati dengan distribusi normal jika
memenuhi syarat:
• n cukup besar
• n × p ≥ 10
• n × (1 − p)
≥ 10
Jika dua syarat itu terpenuhi:
bentuk kurva binomial
akan mendekati kurva normal perhitungan peluang bisa dilakukan dengan
rumus distribusi normal standar
Contoh soal distribusi binomial
Pembahasan
• n = 6
• p = 0.5
• k = 4
\[P(X=4) = \binom{6}{4} · (0.5)^4 · (0.5)^2 = 15 × \frac{1}{16} × \frac{1}{4}= \frac {15}{64} ≈ 0,2344 \]Pembahasan
• n = 50
• p = 0.02
• P(X=0) = C(50,0) . (0.02) . 0(0.98)50 ≈ (0.98)^50
• P(X=1) = C(50,1)(0.02)1(0.98)49 ≈ 50 × 0.02 × (0.98)^49
• jumlah = peluang gabungan
Visualisasi
Visualisasi distribusi binomial
library(ggplot2)
# Parameter binomial
n <- 20
p <- 0.3
# Generate data
k_vals <- 0:n
prob_vals <- dbinom(k_vals, size = n, prob = p)
df <- data.frame(
k = k_vals,
prob = prob_vals
)
# Plot
ggplot(df, aes(x = factor(k), y = prob)) +
geom_col(fill = "#E0BBE4", color = "black") +
labs(
title = paste("Distribusi Binomial"),
x = "Jumlah sukses (k)",
y = "P(X = k)"
) +
theme_minimal(base_size = 12) +
theme(
plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold")
)
Visualisasi ini menunjukkan pembagian peluang pada Distribusi Binomial
untuk jumlah sukses dari 0–20 ketika p = 0.3. Peluang terbesar muncul di
sekitar k = 6, sesuai nilai rataan n × p, lalu menurun saat k menjauh
dari titik tersebut. Bentuk distribusinya condong ke kanan (skew-right),
kasus ini merupakan ciri khas binomial ketika p < 0.5.
Reference
[1] Siregar, B. (n.d.). Introduction to statistics: Chapter 6: 6 Essentials of Probability. dsciencelabs. https://bookdown.org/dsciencelabs/intro_statistics/06-Essentials_of_Probability.html
[2] Raya, R. (2017). PROFIL BERPIKIR PROBABILISTIK SISWA SMA DALAM
MENYELESAIKAN MASALAH PROBABILITAS.
https://ejournal.uncen.ac.id/index.php/SAINS/article/download/15/12/29
[3] Otaya, L. G. (2016). Probabilitas Bersyarat, Independensi dan
Teorema Bayes Dalam Menentukan Peluang Terjadinya Suatu Peristiwa.
Tadbir: Jurnal Manajemen Pendidikan Islam.
https://journal.iaingorontalo.ac.id/index.php/tjmpi/article/view/1135
[4] MIT OpenCourseWare. Brief Notes: Events and Their Probability
(penjelasan mutual exclusiveness & partition).
https://ocw.mit.edu/courses/1-151-probability-and-statistics-in-engineering-spring-2005/4d15539bf8b078b782b12148f5122dd8_briefnts1_events.pdf