Problema 1

Un ingeniero está analizando la resistencia a la compresión de piezas que son utilizadas en la fabricación de motores para vehículos. La resistencia a la compresión se distribuye normalmente con σ2 = 1000 (psi)^2. Una muestra aleatoria de 12 piezas presenta una media en la resistencia de compresión x̄ = 3250 psi.

Construir un intervalo de confianza del 95% de la media de la resistencia a la compresión.
Construir intervalos de confianza del 90% y del 99% para la media; comparar los anchos de estos intervalos.
Si se desea estimar la resistencia a la compresión con un error de muestreo menor a 15 psi y una confianza del 99%, ¿qué tamaño de muestra se requiere?
s2 = 1000, x̄ = 3250, n = 12

# Datos
sigma2 <- 1000
sigma <- sqrt(sigma2)
xbar <- 3250
n <- 12

# a) IC 95% (sigma conocido -> z)
alpha <- 0.05
z <- qnorm(1 - alpha/2)
se <- sigma / sqrt(n)
ic95 <- xbar + c(-1,1) * z * se

# b) IC 90% y 99%
z90 <- qnorm(1 - 0.10/2)
z99 <- qnorm(1 - 0.01/2)
ic90 <- xbar + c(-1,1) * z90 * se
ic99 <- xbar + c(-1,1) * z99 * se

# c) Tamaño muestral para E=15, confianza 99%
E <- 15
z_99 <- qnorm(1 - 0.01/2)
n_req <- ceiling((z_99 * sigma / E)^2)

list(ic95=ic95, ic90=ic90, ic99=ic99, n_req=n_req)

## $ic95
## [1] 3232.108 3267.892
## 
## $ic90
## [1] 3234.985 3265.015
## 
## $ic99
## [1] 3226.486 3273.514
## 
## $n_req
## [1] 30

Interpretación:
- Los intervalos se calculan en el chunk anterior; revisar los números resultantes (al knit). Observación general: el IC del 90% será el más estrecho y el del 99% el más amplio.
- El tamaño de muestra requerido para E = 15 y 99% de confianza se calcula en el chunk y aparece en n_req (resultado numérico al compilar).

Problema 2

Una marca de margarina dietética fue analizada para determinar el nivel de ácido graso poliinsaturado en porcentaje. En una muestra de seis paquetes se obtuvieron los siguientes datos: 16.8, 17.2, 17.4, 16.9, 16.5, 17.1.

x : 16.8, 17.2, 17.4, 16.9, 16.5, 17.1
media : 16.98333
desviación estándar : 0.3188521

¿Existe evidencia que apoye la hipótesis de que el nivel se distribuye normalmente? (usar Shapiro-Wilk).
Calcular un intervalo de confianza del 99% para μ e interpretar el resultado.

x <- c(16.8, 17.2, 17.4, 16.9, 16.5, 17.1)
n <- length(x)
media <- mean(x)
sd_x <- sd(x)

# Normalidad
sh <- shapiro.test(x)

# IC 99% t
alpha <- 0.01
t_crit <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
se <- sd_x / sqrt(n)
ic99 <- media + c(-1,1) * t_crit * se

list(media=media, sd=sd_x, shapiro=sh, ic99=ic99)

## $media
## [1] 16.98333
## 
## $sd
## [1] 0.3188521
## 
## $shapiro
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  x
## W = 0.98779, p-value = 0.9831
## 
## 
## $ic99
## [1] 16.45847 17.50820

Interpretación:
- Consultar el p-valor del test de Shapiro-Wilk (salida del chunk). Si p > 0.05 no hay evidencia suficiente para rechazar normalidad; si p < 0.05 se cuestionaría la normalidad.
- El IC del 99% para la media está en ic99 (ver valores al compilar) y debe interpretarse como el rango en el que, bajo el supuesto de normalidad, se encuentra la media poblacional con 99% de confianza.

Problema 3

El porcentaje de titanio contenido en una aleación fue medido en 51 partes aleatorias; la desviación estándar muestral es s = 0.37.

Construir un intervalo de confianza del 95% para σ.
Analizar qué ocurre con el intervalo si se aumenta el tamaño de la muestra manteniendo el resto constante.
n = 51, s = 0.37

n <- 51
s <- 0.37
alpha <- 0.05
chi_lo <- qchisq(1 - alpha/2, df = n-1)
chi_hi <- qchisq(alpha/2, df = n-1)
var_lo <- (n-1) * s^2 / chi_lo
var_hi <- (n-1) * s^2 / chi_hi
ic_sigma <- sqrt(c(var_lo, var_hi))
list(ic_sigma=ic_sigma, var_interval=c(var_lo,var_hi))

## $ic_sigma
## [1] 0.3095824 0.4599389
## 
## $var_interval
## [1] 0.09584124 0.21154381

Comentario:
- El chunk devuelve el intervalo para σ; si aumentamos n, el intervalo tiende a estrecharse, indicando mayor precisión (esto se puede verificar cambiando n en el chunk).

Problema 4

De 1000 casos de cáncer de pulmón seleccionados al azar, 823 resultaron en muerte dentro de los 10 años posteriores a su detección.

Construir un intervalo de confianza del 95% para la tasa de mortalidad.
Interpretar los resultados obtenidos.
n = 1000, x = 823

n <- 1000
x <- 823
phat <- x / n
z <- qnorm(0.975)
se <- sqrt(phat*(1-phat)/n)
ic95 <- phat + c(-1,1) * z * se
# Tamaño muestral para E=0.03
E <- 0.03
p0 <- 0.5
n_req <- ceiling((z^2 * p0 * (1-p0)) / E^2)

list(phat=phat, ic95=ic95, n_req_worst=n_req)

## $phat
## [1] 0.823
## 
## $ic95
## [1] 0.7993444 0.8466556
## 
## $n_req_worst
## [1] 1068

Interpretación:
- El chunk calcula phat e ic95; interpretar el intervalo como el rango plausible para la proporción poblacional con 95% de confianza.

Problema 5

Se tomaron 30 unidades de tabaco habano para medir su contenido de alquitrán. Datos: (lista dada)

media = 1.529367
desviación estándar = 0.05625526
n = 30

¿Existe evidencia que apoye la hipótesis de normalidad? (Shapiro-Wilk).
Calcular un intervalo de confianza del 99% para la media del contenido de alquitrán.

x <- c(1.542,1.622,1.440,1.459,1.598,1.585,1.466,1.608,1.533,1.498,
       1.532,1.546,1.520,1.532,1.600,1.466,1.494,1.523,1.504,1.499,
       1.548,1.542,1.397,1.545,1.611,1.626,1.511,1.487,1.558,1.489)
n <- length(x)
media <- mean(x); sd_x <- sd(x)
shapiro <- shapiro.test(x)

alpha <- 0.01
tcrit <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
se <- sd_x / sqrt(n)
ic99 <- media + c(-1,1) * tcrit * se
list(media=media, sd=sd_x, shapiro=shapiro, ic99=ic99)

## $media
## [1] 1.529367
## 
## $sd
## [1] 0.05625526
## 
## $shapiro
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  x
## W = 0.97383, p-value = 0.6482
## 
## 
## $ic99
## [1] 1.501056 1.557677

Interpretación:
- Revisar el p-valor del test de Shapiro-Wilk (salida del chunk). Si p > 0.05 no hay evidencia fuerte contra normalidad.
- El IC del 99% para la media aparece en ic99 (ver valor al compilar).

Problema 6

Tiempos de secado (en horas) de 15 muestras de pintura: (lista dada)
media = 3.786667, sd = 0.9709102, n = 15

Intervalo de confianza del 95% para la media.
Intervalo de confianza del 98% para la varianza.

x <- c(3.4,2.5,4.8,2.9,3.6,2.8,3.3,5.6,3.7,2.8,4.4,4.0,5.2,3.0,4.8)
n <- length(x)
media <- mean(x); s <- sd(x)

# IC 95% media (t)
alpha1 <- 0.05
tcrit <- qt(1 - alpha1/2, df = n-1)
ic95_media <- media + c(-1,1)*tcrit*(s/sqrt(n))

# IC 98% para varianza (chi2)
alpha2 <- 0.02
chi_lo <- qchisq(1 - alpha2/2, df = n-1)
chi_hi <- qchisq(alpha2/2, df = n-1)
var_lo <- (n-1)*var(x)/chi_lo
var_hi <- (n-1)*var(x)/chi_hi
ic98_var <- c(var_lo, var_hi)

list(ic95_media=ic95_media, ic98_var=ic98_var)

## $ic95_media
## [1] 3.248995 4.324339
## 
## $ic98_var
## [1] 0.4528748 2.8317875

Interpretación:
- Los intervalos se muestran en los objetos ic95_media e ic98_var; la interpretación es estándar (IC para la media y para la varianza respectivamente).

Problema 7

El director de una fábrica desea estimar el tiempo promedio que toma perforar tres agujeros. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que el IC del 95% esté dentro de 5 segundos de la media real, sabiendo que σ = 40?

sigma <- 40
E <- 5
z <- qnorm(0.975)
n_req <- ceiling((z * sigma / E)^2)
n_req

## [1] 246

Respuesta:
- El chunk calcula n_req; con σ = 40 y E = 5 el resultado numérico aparece al compilar (valor esperado: alrededor de 246).

Problema 8

Comparación de dos procesos (cada uno con n = 12). Datos de tensiones (listados).

IC del 95% para la diferencia de medias.
Prueba t para comparar medias; interpretar p-valor y decidir si hay diferencia significativa. ¿Cuál proceso es más conveniente según las medias y la significancia?

x1 <- c(428,419,458,439,441,456,463,429,438,445,441,463)
x2 <- c(462,448,435,465,429,472,453,459,427,468,452,447)
n1 <- length(x1); n2 <- length(x2)
m1 <- mean(x1); m2 <- mean(x2)
s1 <- var(x1); s2 <- var(x2)

# Asumir var igual -> pooled
sp2 <- ((n1-1)*s1 + (n2-1)*s2) / (n1 + n2 - 2)
sp <- sqrt(sp2)
se_diff <- sp * sqrt(1/n1 + 1/n2)
df <- n1 + n2 - 2
tcrit <- qt(0.975, df = df)
ic_diff <- (m1 - m2) + c(-1,1) * tcrit * se_diff

# t-test (Welch) para diferencia
tt <- t.test(x1, x2, var.equal = FALSE)

list(means=c(m1,m2), ic_diff=ic_diff, ttest=tt)

## $means
## [1] 443.3333 451.4167
## 
## $ic_diff
## [1] -20.455121   4.288454
## 
## $ttest
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  x1 and x2
## t = -1.355, df = 21.955, p-value = 0.1892
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -20.456585   4.289919
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  443.3333  451.4167

Interpretación:
- Revisar ic_diff y el objeto ttest (p-valor). Si p < 0.05 hay evidencia de diferencia entre medias; la conveniencia depende del objetivo (mayor media = mayor tensión de ruptura si eso se desea).

Problema 9

Muestra de 87 estaciones, 13 con fuga.

IC 95% para la proporción de estaciones con fugas.
Tamaño muestral necesario para E = 0.03 y 95% de confianza; discutir p=0.5 como caso peor y corrección por población finita si aplica.

n <- 87; x <- 13
phat <- x / n
z <- qnorm(0.975)
se <- sqrt(phat*(1-phat)/n)
ic95 <- phat + c(-1,1) * z * se

# Tamaño muestral para E=0.03, 95% y sin info previa -> p=0.5 (peor caso)
E <- 0.03
p0 <- 0.5
n_req <- ceiling((z^2 * p0 * (1-p0)) / E^2)

list(phat=phat, ic95=ic95, n_req_worst=n_req)

## $phat
## [1] 0.1494253
## 
## $ic95
## [1] 0.07451236 0.22433821
## 
## $n_req_worst
## [1] 1068

Comentario:
- Si no hay información previa usar p = 0.5 (maxima varianza). Si la población es finita y conocida, aplicar corrección por población finita.

Problema 10

Datos (7 observaciones) de eficiencia millas/galón. Construir IC 95% para la media por bootstrap con k = 1000 réplicas. Implementar dos métodos: percentil y basic.

x <- c(7.69,4.97,4.56,6.49,4.34,6.24,4.45)
k <- 1000
n <- length(x)
boot_means <- replicate(k, mean(sample(x, size = n, replace = TRUE)))
# Método 1: percentil
ic_p <- quantile(boot_means, c(0.025, 0.975))
# Método 2: basic (2*mean - quantiles)
xbar <- mean(x)
ic_basic <- 2*xbar - rev(ic_p)

list(sample_mean=xbar, ic_percentile=ic_p, ic_basic=ic_basic, boot_sd=sd(boot_means))

## $sample_mean
## [1] 5.534286
## 
## $ic_percentile
##     2.5%    97.5% 
## 4.748393 6.508643 
## 
## $ic_basic
##    97.5%     2.5% 
## 4.559929 6.320179 
## 
## $boot_sd
## [1] 0.4463224

Interpretación:
- Comparar ambos intervalos: ic_percentile e ic_basic. El método percentil usa directamente los percentiles de la distribución bootstrap; el método basic corrige por sesgo.

Taller421

Santiago Guevara Idarraga

2025-11-27