Tugas Week 10 ~ Essential of Probability

Probability Statistics

1 Pendahuluan

Probabilitas pada dasarnya membahas tentang seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi. Konsep ini sebenarnya sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari, misalnya saat memprediksi cuaca, memperkirakan peluang menang dalam permainan, atau menilai kemungkinan sebuah keputusan membawa risiko tertentu. Karena itu, memahami probabilitas bukan hanya penting untuk matematika, tetapi juga berguna dalam situasi nyata yang penuh ketidakpastian.

Pada bagian awal ini, kita mulai dari ide dasar tentang apa yang disebut ruang sampel, kejadian, dan bagaimana peluang dihitung dari sebuah kejadian. Materi ini menjadi langkah awal supaya kita bisa memahami pembahasan berikutnya yang lebih dalam, seperti hubungan antar kejadian, kejadian yang saling bebas, hingga cara menghitung peluang dari beberapa kejadian yang terjadi secara bersamaan.

Harapannya, setelah memahami pendahuluan ini, kita bisa melihat bahwa probabilitas tidak hanya soal angka, tetapi juga cara berpikir yang membantu kita menilai dan memprediksi berbagai situasi secara lebih rasional. Konsep dasarnya yang sederhana ini akan menjadi dasar untuk materi-materi selanjutnya.

2 Fundamental Concept

Klik gambar untuk memutar video

2.1 Simple Probability

Probabilitas sederhana adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya berkisar antara 0 (mustahil) hingga 1 (pasti).

Rumus:

\[ P(A) = \frac{\text{jumlah hasil yang diinginkan (favorable outcomes)}}{\text{jumlah seluruh hasil yang mungkin (possible outcomes)}} \]

Contoh:

  • Lempar 1 koin, kejadian A mendapatkan kepala (H):

    \(P(A) = \frac{1}{2} = 0.5\)

  • Lempar 1 koin dua kali, kejadian B memperoleh kepala dua kali (HH):

    \(P(B) = 0.5 \times 0.5 = 0.25\)

2.2 Sample Spaces (Ruang Sampel)

Ruang sampel (S) adalah himpunan yang memuat semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan acak. Setiap kejadian (event) merupakan bagian dari ruang sampel tersebut.

Contoh:

  • Lempar 2 koin:

    Ruang sampel: \(S = \{ HH, HT, TH, TT \}\)

    Kejadian C, muncul setidaknya 1 kepala: C = {HH, HT, TH}

    Probabilitas kejadian C: P(C) = 3/4 = 0.75

  • Lempar 1 dadu:

    Ruang sampel: \(S = \{1,2,3,4,5,6\}\)

    Kejadian D, muncul angka genap: D = {2,4,6}

    Probabilitas kejadian D: P(D) = {3}{6} = 0.5

2.3 Complement Rule (Aturan Komplemen)

Komplemen dari suatu kejadian A (disimbolkan Ac) mencakup semua hasil dalam ruang sampel yang tidak termasuk dalam A.

Rumus: \[ P(A^c) = 1 - P(A) \]

Contoh:

  • Lempar 1 dadu, kejadian E muncul angka genap: \(E = \{2,4,6\}\), probabilitas \(P(E) = 0.5\)

    Komplemen dari E, Ec, mencakup hasil {1,3,5}, sehingga probabilitasnya \(P(E^c) = 1 - P(E) = 0.5\)

  • Lempar 2 koin, kejadian F muncul setidaknya 1 kepala: \(F = \{HH, HT, TH\}\), probabilitas \(P(F) = 0.75\)

    Komplemen dari F, Fc, mencakup hasil {TT}, probabilitasnya \(P(F^c) = 1 - P(F) = 0.25\)

3 Independent & Dependent

Klik gambar untuk memutar video

3.1 Independent Events

Dua kejadian, A dan B, disebut independen jika terjadinya atau tidak terjadinya A tidak mempengaruhi probabilitas B, dan sebaliknya. Mengetahui bahwa A terjadi tidak memberi informasi tambahan tentang kemungkinan B.

Rumus utama:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Dan juga berlaku:

\[ P(B \mid A) = P(B) \]

Contoh:

  • Melempar sebuah koin dan sebuah dadu secara bersamaan. Kejadian A = koin menghasilkan kepala (H), kejadian B = dadu menghasilkan angka 6. Karena hasil koin tidak mempengaruhi hasil dadu, A dan B independen.

    \(P(A) = \frac{1}{2}, \; P(B) = \frac{1}{6}, \; P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\)

  • Mengambil kertas merah dari kotak dengan pengembalian (replacement). Pengambilan kedua tetap memiliki peluang yang sama karena populasi kembali sama, sehingga kejadian tetap independen.

3.2 Dependent Events

Dua kejadian, A dan B, disebut dependen jika terjadinya A mempengaruhi probabilitas B. Hasil A mengubah ruang kemungkinan atau peluang B.

Rumus utama:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A) \]

Contoh:

  • Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola hijau (total 8). Kejadian A = bola pertama yang diambil merah. Tanpa mengembalikan bola, kejadian B = bola kedua yang diambil merah. Karena pengambilan pertama mengubah jumlah bola, kejadian B tergantung A.

    \(P(A) = \frac{5}{8}, \; P(B \mid A) = \frac{4}{7}\)

    P(A ∩ B) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14

  • Menarik dua kartu dari satu set kartu tanpa pengembalian. Kejadian “kartu pertama adalah as” dan “kartu kedua adalah as” → dependen karena jumlah kartu tersisa berubah setelah pengambilan pertama.

3.3 Ringkasan Perbandingan

Jenis Kejadian Pengaruh antar kejadian Rumus \(P(A \cap B)\)
Independen Tidak saling mempengaruhi \(P(A) \times P(B)\)
Dependen Ada pengaruh/ketergantungan \(P(A) \times P(B \mid A)\)

4 Union of Events

Klik gambar untuk memutar video

4.1 Review: Simple Probability

Probabilitas sederhana menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu kejadian A terjadi, dengan nilai antara 0 (mustahil) hingga 1 (pasti terjadi).

Rumus:

\[ P(A) = \frac{\text{jumlah hasil yang diinginkan}}{\text{jumlah seluruh hasil dalam ruang sampel } S} \]

Contoh:

Lempar satu dadu, kejadian A = mendapatkan angka genap {2,4,6}:

\[ P(A) = \frac{3}{6} = 0,5 \]

4.2 Review: Sample Space

Ruang sampel (S) memuat semua kemungkinan hasil dari percobaan acak. Setiap kejadian adalah subset dari S, dan probabilitas dihitung berdasarkan jumlah hasil yang termasuk kejadian dibagi jumlah hasil seluruhnya.

Contoh:

Lempar 2 koin:

\[ S = \{ HH, HT, TH, TT \} \]

Kejadian mendapatkan setidaknya 1 kepala:

\[ A = \{ HH, HT, TH \} \quad \Rightarrow \quad P(A) = \frac{3}{4} = 0,75 \]

4.3 Union of Events (Probabilitas Gabungan Kejadian)

Union (A ∪ B) mencakup semua hasil di mana A terjadi, B terjadi, atau keduanya terjadi.

Rumus (Aturan Penjumlahan):

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Catatan:

  • Jika A dan B saling eksklusif (tidak mungkin terjadi bersamaan), maka P(A ∩ B) = 0 dan:

    • \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

  • Konsep ini terkait dengan sample space dan simple probability karena semua hasil dihitung satu kali.
Contoh 1: Tidak saling eksklusif

Lempar 1 dadu:

\[ S = \{1,2,3,4,5,6\} \]

Kejadian A = angka genap {2,4,6} → P(A) = 0,5

Kejadian B = angka >3 {4,5,6} → P(B) = 0,5

Irisan A ∩ B = {4,6} → P(A ∩ B) = 2/6 ≈ 0,3333

\[ P(A \cup B) = 0,5 + 0,5 - 0,3333 = 0,6667 \]

Interpretasi: probabilitas mendapatkan angka genap atau angka >3 ≈ 66,67%

Contoh 2: Saling eksklusif

Lempar 1 dadu:

Kejadian C = angka 1 (P(C)=1/6), kejadian D = angka 2 (P(D)=1/6) → tidak bisa terjadi bersamaan

\[ P(C \cup D) = P(C) + P(D) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} \approx 0,3333 \]

4.4 Keterkaitan Materi

  • Sample Space: semua hasil dicatat dulu.
  • Simple Probability: peluang tiap kejadian dihitung sebagai |A|/|S|.
  • Union of Events: menghitung semua hasil dalam A atau B, dikurangi irisan agar tidak dihitung dua kali.

4.5 Diagram Venn untuk Union of Events 

library(ggplot2)
library(ggforce)

# Data lingkaran untuk diagram Venn

venn_data <- data.frame(
x = c(1, 2),          # posisi x untuk pusat lingkaran
y = c(1, 1),          # posisi y untuk pusat lingkaran
r = c(1, 1),          # radius lingkaran
fill = c("A", "B")    # label lingkaran
)

# Buat ggplot

ggplot() +
geom_circle(data = venn_data[1,], aes(x0 = x, y0 = y, r = r),
fill = "#66CCFF", alpha = 0.5, color = "black", size=1) +

geom_circle(data = venn_data[2,], aes(x0 = x, y0 = y, r = r),
fill = "#FFFF66", alpha = 0.5, color = "black", size=1) +

# Label A

annotate("text", x = 0.5, y = 1.3, label = "A", size = 6, fontface = "bold") +

# Label B

annotate("text", x = 2.5, y = 1.3, label = "B", size = 6, fontface = "bold") +

# Label irisan

annotate("text", x = 1.5, y = 1, label = "A ∩ B", size = 5, fontface = "bold") +

# Keterangan

annotate("text", x = 1.5, y = -0.5,
label = "Union (A ∪ B) = seluruh area biru + kuning", size = 4, fontface="italic") +
xlim(-0.5, 3.5) + ylim(-1, 2.5) +
theme_void() +
theme(aspect.ratio=1)

4.6 Interpretasi

  • Lingkaran biru = A: mewakili semua hasil yang termasuk kejadian A (misal “angka genap”).
  • Lingkaran kuning = B: mewakili semua hasil yang termasuk kejadian B (misal “angka >3”).
  • Irisan hijau = A ∩ B: mewakili hasil yang termasuk A sekaligus B (misal “angka genap dan >3”, yaitu {4,6}).
  • Union (A ∪ B): seluruh area biru + kuning = semua hasil yang termasuk A, B, atau keduanya. Contoh: {2,4,5,6} → P(A ∪ B) = 4/6 ≈ 0,667.
  • Interpretasi probabilitas: proporsi area union terhadap total ruang sampel. Diagram membantu menghindari double counting dan mempermudah melihat mana yang termasuk A saja, B saja, dan A ∩ B.

5 Exclusive and Exhaustive

Klik gambar untuk memutar video

5.1 Mutually Exclusive Events (Kejadian Saling Eksklusif)

Pengertian:

Mutually exclusive adalah dua kejadian atau lebih yang tidak memiliki hasil yang sama (disjoint). Jika salah satu kejadian terjadi, maka kejadian lainnya pasti tidak terjadi. Ini berarti bahwa himpunan A dan himpunan B tidak memiliki irisan sama sekali.

Ciri-ciri:

  • A ∩ B = ∅ (tidak ada elemen yang sama)
  • P(A ∩ B) = 0
  • Semua elemen pada A berbeda dari elemen pada B

Rumus:

Karena tidak ada irisan, maka peluang gabungan cukup menjumlahkan masing-masing:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh:

  • Lempar satu dadu:
    A = {1, 2} → angka kecil
    B = {5, 6} → angka besar
    Tidak ada angka yang muncul di kedua himpunan → mutually exclusive.
  • Memilih 1 kartu dari 1 deck:
    A = kartu hati (♥)
    B = kartu sekop (♠)
    Tidak mungkin satu kartu memiliki dua simbol sekaligus → tidak bisa terjadi bersamaan.
  • Kejadian berbasis kondisi:
    A = “cuaca cerah”
    B = “cuaca hujan deras”
    Pada saat yang sama tidak mungkin cuaca sepenuhnya cerah dan sekaligus hujan deras → mutually exclusive.

Kesalahan umum:

  • Banyak siswa mengira A dan B eksklusif hanya karena berbeda, padahal yang penting adalah apakah ada elemen yang sama.
  • Banyak kejadian tampak berbeda tetapi tidak eksklusif. Contoh: A = “angka genap”, B = “angka >3”. Ini bukan mutually exclusive karena ada elemen irisan {4,6}.

Diagram Mutually Exclusive 

library(ggplot2)
library(ggforce)

ggplot() +
  geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 1),
              fill = "#A7C7E7", alpha = 0.55, color = "black") +
  geom_circle(aes(x0 = 3, y0 = 0, r = 1),
              fill = "#F9D5A7", alpha = 0.55, color = "black") +
  annotate("text", x = 0, y = 1.3, label = "A", size = 6, fontface = "bold") +
  annotate("text", x = 3, y = 1.3, label = "B", size = 6, fontface = "bold") +
  annotate("text", x = 1.5, y = -1.5, 
           label = "Mutually Exclusive: A ∩ B = ∅",
           size = 5, fontface = "italic") +
  xlim(-2, 5) + ylim(-3, 3) +
  theme_void() +
  theme(aspect.ratio = 1)

Interpretasi: Mutually Exclusive Events

  • Kedua lingkaran tidak beririsan, menunjukkan bahwa kejadian A dan B tidak dapat terjadi bersamaan.
  • Jika A terjadi, B pasti tidak mungkin terjadi; begitu pula sebaliknya.
  • Probabilitas gabungan cukup dijumlahkan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
  • Diagram membantu memperlihatkan bahwa tidak ada bagian yang perlu dikurangi karena irisan = 0.

5.2 Exhaustive Events (Kejadian Menyeluruh / Kolektif)

Pengertian Lengkap:

Kumpulan kejadian disebut exhaustive apabila gabungan semua kejadian menutupi seluruh ruang sampel (S). Artinya, pada setiap percobaan, pasti ada minimal satu kejadian dari daftar tersebut yang terjadi.

Ciri-ciri:

  • Gabungan semua kejadian = ruang sampel
  • E₁ ∪ E₂ ∪ … ∪ Eₙ = S
  • Tidak ada hasil di luar kelompok kejadian tersebut
  • Total probabilitas = 1 (jika juga mutually exclusive)

Catatan penting:
Kejadian exhaustive boleh tumpang tindih.
Mereka tidak harus saling eksklusif.

Contoh mendalam:

  • Lempar koin:
    E₁ = Head, E₂ = Tail → bersama-sama menutupi {H, T}.
  • Lempar dadu:
    S = {1,2,3,4,5,6}
    Jika kita buat 3 kategori:
    F₁ = {1,2}
    F₂ = {3,4}
    F₃ = {5,6}
    Maka F₁ ∪ F₂ ∪ F₃ = S → exhaustive.
  • Kategori nilai ujian:
    A: 85–100
    B: 70–84
    C: 55–69
    D: 0–54
    Semua nilai pasti masuk salah satu kategori → exhaustive.
  • Cuaca:
    Cerah, mendung, hujan, badai → menutupi seluruh kemungkinan cuaca.

Contoh exhaustive tapi tidak mutually exclusive:

  • A = “angka genap”, B = “angka >3”, C = “angka prima”
    Gabungannya menutupi S, tapi ketiganya punya irisan.

Diagram Exhaustive Events 

library(ggplot2)
library(ggforce)

ggplot() +
  geom_rect(aes(xmin=-2, xmax=5, ymin=-2, ymax=3),
            fill = NA, color="black", size=1) +
  
  geom_circle(aes(x0 = 0.5, y0 = 0.5, r = 1.5),
              fill = "#A7C7E7", alpha = 0.55, color = "black") +
  
  geom_circle(aes(x0 = 2.5, y0 = 0.5, r = 1.5),
              fill = "#F9D5A7", alpha = 0.55, color = "black") +
  
  annotate("text", x = 0.5, y = 2.2, label = "A", size = 6, fontface="bold") +
  annotate("text", x = 2.5, y = 2.2, label = "B", size = 6, fontface="bold") +
  annotate("text", x = 1.5, y = -1.3, 
           label = "Exhaustive: A ∪ B = S",
           size = 5, fontface="italic") +
  
  theme_void() +
  theme(aspect.ratio = 1)

Interpretasi: Exhaustive Events

  • Semua area diagram bersama-sama menutupi seluruh ruang sampel S.
  • Setiap percobaan pasti menghasilkan salah satu kejadian yang ada pada diagram.
  • Jika kejadian-kejadian juga saling eksklusif, maka total peluangnya menjadi 1.
  • Visual membantu melihat bahwa tidak ada bagian ruang sampel yang kosong atau tidak terwakili.

5.3 Ringkasan Perbandingan

Konsep Definisi Hubungan Himpunan Rumus Probabilitas Contoh
Mutually Exclusive Kejadian tidak bisa terjadi bersamaan. A ∩ B = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Head vs Tail, angka 3 vs angka 4.
Exhaustive Events Kejadian menutupi seluruh ruang sampel. E₁ ∪ … ∪ Eₙ = S Jika tidak eksklusif: tidak ada rumus khusus.
Jika eksklusif: total = 1. 		Head/Tail, kategori nilai ujian, 1–2 / 3–4 / 5–6.

Kata Kunci Penting:

  • Mutually Exclusive → fokus pada tidak ada irisan.
  • Exhaustive → fokus pada menutup seluruh ruang sampel.
  • Jika kedua kondisi terpenuhi → disebut MECE (Mutually Exclusive & Collectively Exhaustive).

6 Binomial Experiment

Klik gambar untuk memutar video

6.1 Binomial Setting

Sebuah percobaan disebut binomial jika memenuhi empat syarat berikut:

1) Jumlah percobaan (n) sudah ditentukan dari awal
Artinya kita sudah tahu akan melakukan percobaan berapa kali.
Contoh: “Saya melempar koin sebanyak 10 kali.” → n = 10.

2) Setiap percobaan hanya memiliki dua hasil
Hasil ini biasanya dikategorikan sebagai sukses dan gagal.
Contoh: kepala = sukses, ekor = gagal.

3) Peluang sukses (p) selalu sama tiap percobaan
Probabilitas tidak berubah-ubah.
Contoh: peluang muncul kepala selalu 0,5 dari awal hingga akhir.

4) Setiap percobaan bersifat independen
Hasil percobaan sebelumnya tidak memengaruhi percobaan berikutnya.

Contoh

Contoh 1 – Melempar koin 6 kali
Kita menganggap “kepala” sebagai sukses. Ada 6 kali lemparan, setiap lemparan hanya memiliki dua hasil, peluang kepala selalu 0,5, dan tiap lemparan tidak saling memengaruhi. Jadi ini termasuk pengaturan binomial.

Contoh 2 – Menjawab soal pilihan ganda
Seorang siswa menebak jawaban 10 soal pilihan ganda. Peluang menebak benar adalah 0,25 untuk setiap soal. Karena jumlah percobaan tetap, peluang sama, dan tiap soal independen, ini binomial.

Contoh 3 – Barang cacat di pabrik
Peluang sebuah barang cacat adalah 3 persen. Jika kita mengambil 20 barang secara acak, maka peluang cacat tetap sama untuk setiap barang dan dianggap independen. Ini juga termasuk binomial.

6.2 Binomial Formula

Jika terdapat n percobaan dengan peluang sukses p, maka peluang mendapat tepat k sukses adalah:

P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n−k

Penjelasan simbol:
C(n, k) = kombinasi untuk memilih k sukses dari n percobaan.
pk = peluang sukses yang terjadi k kali.
(1 − p)n−k = peluang gagal untuk percobaan sisanya.

Kenapa rumusnya seperti itu?

C(n, k) menghitung berapa banyak susunan berbeda yang menghasilkan tepat k sukses.
Untuk satu susunan tertentu, peluangnya adalah pk(1−p)n−k.
Karena ada banyak susunan yang mungkin, kita kalikan dengan C(n, k).

Contoh Perhitungan

Contoh 1 – Peluang mendapatkan 2 kepala dari 5 lemparan koin
Kita melempar koin sebanyak 5 kali. Peluang mendapatkan “kepala” adalah 0,5 di setiap lemparan. Kita ingin mencari peluang tepat 2 kepala. Kita gunakan kombinasi untuk menghitung berapa banyak susunan yang menghasilkan 2 kepala, lalu dikalikan peluang tiap susunan. Hasil akhirnya memberikan gambaran kemungkinan munculnya 2 kepala dari 5 lemparan.

Contoh 2 – Peluang tepat 3 siswa lulus dari 8 siswa
Suatu ujian memiliki peluang lulus 0,7 untuk setiap siswa. Kita ingin tahu peluang bahwa tepat 3 dari 8 siswa lulus. Karena peluang lulus sama untuk setiap siswa dan tiap siswa dianggap independen, kasus ini memenuhi syarat distribusi binomial. Kita menghitung kombinasi 3 lulus dari 8, lalu dikalikan dengan peluang lulus dan gagal sesuai jumlahnya.

Contoh 3 – Peluang tepat 1 barang cacat dari 12 barang
Suatu pabrik memiliki peluang cacat 0,04 untuk setiap barang. Kita memilih 12 barang secara acak. Kita ingin mencari peluang bahwa hanya 1 barang yang cacat. Karena peluang cacat kecil tapi tetap, dan setiap barang independen, ini kasus binomial. Kita menghitung banyak susunan 1 cacat dari 12, lalu mengalikan dengan peluang cacat dan tidak cacat untuk masing-masing barang.

  1. Catatan Penting / Tips

1) Pastikan syarat binomial terpenuhi
Sebelum memakai rumus binomial, cek dulu apakah eksperimennya benar-benar punya jumlah percobaan yang tetap, hanya dua hasil (sukses/gagal), peluang sukses yang tidak berubah, dan setiap percobaan independen. Kalau salah satu tidak terpenuhi, hasil perhitungan bisa menyesatkan.

2) Hati-hati membedakan “tepat k” dan “minimal k”
Banyak yang salah paham antara “tepat 3 sukses” dan “minimal 3 sukses”. Jika yang diminta “minimal”, artinya harus menjumlahkan peluang dari 3, 4, 5, … sampai n. Jadi jangan hanya menghitung 1 nilai saja.

3) Gunakan mean dan varians untuk memahami pola umum
Dalam distribusi binomial, nilai rata-rata (mean) adalah n × p, dan varians adalah n × p × (1 − p). Dua nilai ini membantu memahami kecenderungan umum hasil percobaan, misalnya “berapa sukses yang biasanya muncul” atau “seberapa besar variasinya”.

4) Jangan lupa batasan: binomial tidak cocok untuk populasi kecil
Jika kita mengambil sampel tanpa pengembalian dari populasi kecil, percobaan tidak lagi independen. Dalam kondisi seperti ini, model binomial tidak cocok, dan biasanya digunakan distribusi hipergeometrik.

5) Jika n besar dan p sedang, boleh gunakan pendekatan normal
Untuk perhitungan yang sangat besar, kadang lebih praktis memakai pendekatan distribusi normal. Tapi ini hanya boleh dilakukan jika n cukup besar dan nilai p tidak terlalu ekstrem (tidak terlalu dekat 0 atau 1).

7 Binomial Distribution

Klik gambar untuk memutar video

7.1 Pengerian Binomial Distribution

Distribusi binomial adalah model peluang yang digunakan untuk menghitung probabilitas “berapa kali suatu kejadian sukses terjadi” dalam sejumlah percobaan yang sama.

  • Kita punya beberapa percobaan (misal: lempar koin 5 kali).
  • Setiap percobaan cuma punya 2 hasil: sukses atau gagal.
  • Peluang sukses tetap setiap kali percobaan.
  • Percobaan-percobaan tidak saling memengaruhi.

Kalau kondisi ini terpenuhi, barulah kita pakai Binomial Distribution.

7.2 Rumus Utama Binomial Distribution

Untuk mencari peluang tepat k sukses dari n percobaan, rumusnya:

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)

Keterangan simbol:

  • C(n, k) = banyaknya cara memilih posisi sukses dari n percobaan
  • p^k = peluang sukses yang terjadi k kali
  • (1 − p)^(n − k) = peluang gagal untuk percobaan sisanya

Rumus ini menggabungkan dua hal: jumlah susunan sukses dan peluang setiap susunan.

7.3 Contoh

Contoh 1 — Lempar Koin

Lempar koin 4 kali. Peluang kepala = 0,5. Hitung peluang tepat 2 kepala.

P(X=2) = C(4,2) × 0.5^2 × 0.5^2

C(4,2) = 6

P = 6 × 0.25 × 0.25 = 0.375

Peluang tepat 2 kepala adalah 0,375

Contoh 2 — Produk Cacat

Peluang barang cacat = 0,08. Ambil 7 barang acak.

P(X=1) = C(7,1) × 0.08 × 0.92^6

= 7 × 0.08 × 0.606355

= 0,3396

Peluang tepat 1 barang cacat ≈ 0,3396

Contoh 3 — Soal Gaya Video YouTube

Peluang siswa menjawab benar = 0,7. Ada 5 soal.

P(X=4) = C(5,4) × 0.7^4 × 0.3

= 5 × 0.2401 × 0.3

= 0,36

Peluangnya sekitar 0,36

Tabel Binomial Distribution

Misal: n = 5, p = 0,7. Hitung P(X = k) untuk k = 0 sampai 5:

k (Jumlah Sukses) P(X = k)
0 0,00243
1 0,02835
2 0,13230
3 0,30870
4 0,36015
5 0,16807

Keterangan: tabel ini menunjukkan peluang masing-masing jumlah sukses dari 5 percobaan dengan peluang sukses 0,7.

Histogram Binomial Distribution 

library(ggplot2)

# Parameter binomial
n <- 5
p <- 0.7

# Buat semua k = 0..n
k <- 0:n

# Hitung peluang P(X=k)
prob <- dbinom(k, size = n, prob = p)

# Tampilkan tabel distribusi
binomial_table <- data.frame(k = k, P = prob)
print(binomial_table)


##   k       P
## 1 0 0.00243
## 2 1 0.02835
## 3 2 0.13230
## 4 3 0.30870
## 5 4 0.36015
## 6 5 0.16807


# Buat histogram 
bar_mid <- barplot(prob,
        names.arg = k,
        col = "navy",
        main = "Histogram Binomial Distribution",
        xlab = "Jumlah Sukses (k)",
        ylab = "P(X=k)",
        ylim = c(0, max(prob)+0.05))

text(x = bar_mid, y = prob + 0.02, labels = round(prob, 3))

Interpretasi

  • Histogram menunjukkan visualisasi peluang setiap k (jumlah sukses).
  • Batang paling tinggi → k = 4 → menunjukkan hasil yang paling sering muncul.
  • Batang pendek → k = 0 dan k = 1 → jarang muncul.
  • Bentuk histogram → mirip distribusi “skewed sedikit ke kiri”, karena p = 0,7 > 0,5.
  • Jika p = 0,5 → distribusi akan simetris.
  • Jika p > 0,5 → puncak histogram bergeser ke nilai k yang lebih tinggi.

7.4 Informasi Tambahan yang Penting

  • Distribusi binomial muncul dari “binomial setting” (dua kemungkinan: sukses/gagal berulang banyak kali)
  • Rumus menggunakan kombinasi karena posisi sukses bisa berbeda-beda
  • Hanya cocok untuk data diskrit
  • Dua parameter utama: n = jumlah percobaan, p = peluang sukses

8 Penutup

Probabilitas bukan sekadar menghitung angka atau peluang, tetapi juga membantu kita berpikir secara logis dan rasional dalam menghadapi ketidakpastian. Dengan memahami konsep dasar seperti ruang sampel, kejadian, dan distribusi binomial, kita dapat menganalisis berbagai situasi secara sistematis dan membuat keputusan yang lebih baik.

Pada akhirnya, probabilitas menjadi alat penting yang tidak hanya berguna dalam matematika, tetapi juga dalam kehidupan sehari-hari, dari memprediksi peristiwa hingga menilai risiko dan peluang dalam berbagai konteks.

9 Referensi

  1. Hayati, N. (2016). Distribusi Probabilitas Diskret: Distribusi Binomial. PDF online. Tersedia di: https://adoc.pub/distribusi-probabilitas-diskret-distribusi-binomial-nur-haya.html
  2. Universitas Muhammadiyah Yogyakarta. Statistik dan Probabilitas: Modul Kuliah. PDF online. Tersedia di: https://anyflip.com/moibw/vrqh/basic
  3. Up45 Press. (2025). Statistik Dasar: Distribusi Peluang & Binomial. PDF online. Tersedia di: https://press.up45.ac.id/wp-content/uploads/sites/42/2025/03/STATISTIK-DASAR-BOOK-CHAPTER_ok_KIRIM.pdf
  4. Universitas Negeri Semarang. Pengantar Probabilitas: Modul Kuliah. PDF online. Tersedia di: https://anyflip.com/xnccs/yopn/basic
  5. Investopedia. (2025). What is a Binomial Distribution? Online article. Tersedia di: https://www.investopedia.com/terms/b/binomialdistribution.asp