1 Carregamento de Pacotes

# Pacotes para análise estatística
library(moments)     # Testes de assimetria e curtose
library(nortest)     # Testes de normalidade

# Pacotes para visualização e manipulação
library(ggplot2)     # Gráficos
library(tidyr)       # Manipulação de dados
library(dplyr)       # Manipulação de dados
library(knitr)       # Tabelas formatadas
library(zoo)         # Séries temporais
library(quadprog)    # Otimização quadrática
library(xts)         # Séries temporais estendidas
library(kableExtra)  # Formatar tabelas

2 Definição de Parâmetros

# Ações a serem analisadas
nomes_acoes <- c("POMO3", "AURE3", "BBAS3", "ITUB3")

# Parâmetros para VaR
investimento <- 100000  # R$ 100.000,00
confianca <- 0.99       # 99% de confiança
janela <- 252           # 252 dias úteis (1 ano)

3 Leitura dos Dados do CSV

# Ler o arquivo CSV
# Importante: ajustar o separador conforme o formato do arquivo
dados_csv <- read.csv("data.csv", 
                      sep = ";",           # Separador de colunas
                      dec = ",",           # Separador decimal
                      stringsAsFactors = FALSE)

# Remover a primeira coluna vazia se existir
if(names(dados_csv)[1] == "" || names(dados_csv)[1] == "X") {
  dados_csv <- dados_csv[, -1]
}

# Converter coluna de Data para formato Date
dados_csv$Data <- as.Date(dados_csv$Data, format = "%d/%m/%Y")

# Converter colunas numéricas (remover vírgulas e converter para numeric)
colunas_numericas <- c("POMO3", "AURE3", "BBAS3", "ITUB3", "IBOV", "SELIC")

for(col in colunas_numericas) {
  if(col %in% names(dados_csv)) {
    # Substituir vírgula por ponto e converter para numérico
    dados_csv[[col]] <- as.numeric(gsub(",", ".", dados_csv[[col]]))
  }
}

# Ordenar por data
dados_csv <- dados_csv[order(dados_csv$Data), ]

# Exibir informações sobre os dados carregados
cat("### Dados Carregados do CSV:\n\n")
## ### Dados Carregados do CSV:
cat("Total de observações:", nrow(dados_csv), "\n")
## Total de observações: 250
cat("Período:", min(dados_csv$Data), "a", max(dados_csv$Data), "\n")
## Período: 20045 a 20409
cat("Variáveis:", paste(names(dados_csv), collapse = ", "), "\n\n")
## Variáveis: Data, POMO3, AURE3, BBAS3, ITUB3, IBOV, SELIC
# Exibir primeiras linhas
kable(head(dados_csv, 10), digits = 4,
      caption = "Primeiras 10 linhas dos dados")
Primeiras 10 linhas dos dados
Data POMO3 AURE3 BBAS3 ITUB3 IBOV SELIC
2024-11-18 6.4824 9.7349 24.0307 24.5180 127768.2 11.15
2024-11-19 6.5005 9.8243 24.1615 24.7836 128197.2 11.15
2024-11-21 6.5912 9.6653 23.6101 24.4018 126922.1 11.15
2024-11-22 6.6002 9.8739 23.9279 24.4848 129125.5 11.15
2024-11-25 6.5368 10.3110 24.0681 24.5429 129036.1 11.15
2024-11-26 6.5640 10.4997 24.4522 24.8915 129922.4 11.15
2024-11-27 6.4161 10.0726 24.0236 24.2607 127668.6 11.15
2024-11-28 5.9446 9.7349 23.3187 23.6216 124610.4 11.15
2024-11-29 5.8983 9.7945 23.5949 23.6714 125667.8 11.15
2024-12-02 5.8798 9.4667 23.4044 23.3788 125235.5 11.15

4 Preparação dos Dados para Análise

# Verificar se todas as colunas necessárias existem
colunas_necessarias <- c("Data", nomes_acoes, "IBOV", "SELIC")
colunas_faltantes <- setdiff(colunas_necessarias, names(dados_csv))

if(length(colunas_faltantes) > 0) {
  cat("⚠️ AVISO: Colunas faltantes:", paste(colunas_faltantes, collapse = ", "), "\n")
  # Ajustar nomes_acoes para incluir apenas as disponíveis
  nomes_acoes <- intersect(nomes_acoes, names(dados_csv))
  cat("Continuando com as ações disponíveis:", paste(nomes_acoes, collapse = ", "), "\n\n")
}

# Criar objetos xts para as séries temporais
# Preços das ações
precos <- xts(dados_csv[, nomes_acoes], order.by = dados_csv$Data)
colnames(precos) <- nomes_acoes

# IBOVESPA
ibovespa <- xts(dados_csv$IBOV, order.by = dados_csv$Data)
colnames(ibovespa) <- "IBOVESPA"

# SELIC (já em % a.a. no CSV)
# Converter para taxa diária equivalente
selic_anual <- dados_csv$SELIC
selic_diaria <- (1 + selic_anual/100)^(1/252) - 1

# Criar dataframe com informações da SELIC
selic_data <- data.frame(
  ref.date = dados_csv$Data,
  value = selic_anual,
  taxa_diaria = selic_diaria
)

cat("\n### Resumo dos Dados Preparados:\n\n")
## 
## ### Resumo dos Dados Preparados:
cat("Total de ações analisadas:", length(nomes_acoes), "\n")
## Total de ações analisadas: 4
cat("Ações:", paste(nomes_acoes, collapse = ", "), "\n")
## Ações: POMO3, AURE3, BBAS3, ITUB3
cat("Taxa SELIC média (% a.a.):", round(mean(selic_anual, na.rm = TRUE), 2), "\n")
## Taxa SELIC média (% a.a.): 13.95
cat("Taxa SELIC atual (% a.a.):", tail(selic_anual, 1), "\n")
## Taxa SELIC atual (% a.a.): 14.9
cat("Taxa diária equivalente:", 
    round(tail(selic_diaria, 1) * 100, 4), "%\n\n")
## Taxa diária equivalente: 0.0551 %
# Resumo dos preços
resumo_precos <- data.frame(
  Acao = nomes_acoes,
  Preco_Inicial = as.numeric(precos[1, ]),
  Preco_Final = as.numeric(precos[nrow(precos), ]),
  Retorno_Periodo = ((as.numeric(precos[nrow(precos), ]) / 
                       as.numeric(precos[1, ])) - 1) * 100
)

kable(resumo_precos, digits = 2,
      caption = "Resumo dos Preços das Ações")
Resumo dos Preços das Ações
Acao Preco_Inicial Preco_Final Retorno_Periodo
POMO3 6.48 6.33 -2.35
AURE3 9.73 11.09 13.92
BBAS3 24.03 22.50 -6.37
ITUB3 24.52 35.64 45.36

5 Visualização dos Dados Coletados

5.1 Gráficos de Preços de Fechamento

# Converter para dataframe para ggplot2
precos_df <- data.frame(Data = index(precos), coredata(precos))

# Transformar para formato longo
precos_long <- precos_df %>%
  pivot_longer(cols = -Data, names_to = "Acao", values_to = "Preco")

# Gráfico de preços
ggplot(precos_long, aes(x = Data, y = Preco, color = Acao)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  facet_wrap(~Acao, scales = "free_y", ncol = 2) +
  labs(title = "Evolução dos Preços de Fechamento",
       subtitle = paste0("Período: ", min(dados_csv$Data), " a ", 
                        max(dados_csv$Data)),
       x = "Data",
       y = "Preço de Fechamento (R$)") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none",
        plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 10))

5.2 Gráfico do IBOVESPA

ibov_df <- data.frame(Data = index(ibovespa), IBOVESPA = coredata(ibovespa))

ggplot(ibov_df, aes(x = Data, y = IBOVESPA)) +
  geom_line(color = "darkblue", linewidth = 1) +
  labs(title = "Evolução do IBOVESPA",
       x = "Data",
       y = "Pontos") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"))

5.3 Evolução da Taxa SELIC

selic_df <- data.frame(Data = dados_csv$Data, SELIC = selic_anual)

ggplot(selic_df, aes(x = Data, y = SELIC)) +
  geom_line(color = "darkred", linewidth = 1) +
  geom_point(color = "darkred", size = 1) +
  labs(title = "Evolução da Taxa SELIC",
       x = "Data",
       y = "Taxa SELIC (% a.a.)") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"))

6 Cálculo dos Retornos Logarítmicos

# Retornos logarítmicos das ações
retornos <- na.omit(diff(log(precos)))

# Retorno do IBOVESPA
retorno_ibov <- na.omit(diff(log(ibovespa)))
colnames(retorno_ibov) <- "IBOVESPA"

# Estatísticas descritivas dos retornos
estatisticas <- data.frame(
  Acao = nomes_acoes,
  Media = apply(retornos, 2, mean),
  Desvio_Padrao = apply(retornos, 2, sd),
  Minimo = apply(retornos, 2, min),
  Maximo = apply(retornos, 2, max),
  Assimetria = apply(retornos, 2, skewness),
  Curtose = apply(retornos, 2, kurtosis)
)

kable(estatisticas, digits = 4, 
      caption = "Estatísticas Descritivas dos Retornos Diários")
Estatísticas Descritivas dos Retornos Diários
Acao Media Desvio_Padrao Minimo Maximo Assimetria Curtose
POMO3 POMO3 -0.0001 0.0240 -0.1109 0.0720 -0.5063 5.1452
AURE3 AURE3 0.0005 0.0208 -0.0631 0.0730 0.2483 3.4995
BBAS3 BBAS3 -0.0003 0.0176 -0.1357 0.0463 -2.0902 17.2573
ITUB3 ITUB3 0.0015 0.0122 -0.0278 0.0470 0.2141 4.0322

6.1 Dataframe Completo: Dados Diários Consolidados

# Criar dataframe completo
dados_completos <- data.frame(Data = index(retornos))

# Adicionar preços e retornos de cada ação
for(i in 1:length(nomes_acoes)){
  col_preco <- paste0("Preco_", nomes_acoes[i])
  dados_completos[[col_preco]] <- as.numeric(precos[index(retornos), i])
  
  col_retorno <- paste0("Retorno_", nomes_acoes[i])
  dados_completos[[col_retorno]] <- as.numeric(retornos[, i])
}

# Adicionar IBOVESPA
dados_completos$Preco_IBOVESPA <- as.numeric(ibovespa[index(retornos)])
dados_completos$Retorno_IBOVESPA <- as.numeric(retorno_ibov)

# Adicionar SELIC
selic_subset <- selic_data[selic_data$ref.date %in% dados_completos$Data, ]
dados_completos <- merge(dados_completos, 
                         selic_subset[, c("ref.date", "taxa_diaria")],
                         by.x = "Data", by.y = "ref.date", all.x = TRUE)
colnames(dados_completos)[ncol(dados_completos)] <- "SELIC_Diaria"

# Preencher NAs com última observação
dados_completos$SELIC_Diaria <- zoo::na.locf(dados_completos$SELIC_Diaria, 
                                              na.rm = FALSE)

# Exibir primeiras e últimas linhas
kable(head(dados_completos, 10), digits = 6,
      caption = "Primeiras 10 linhas do DataFrame Consolidado") %>%
  kable_styling(latex_options = c("scale_down", "striped"))
Primeiras 10 linhas do DataFrame Consolidado
Data Preco_POMO3 Retorno_POMO3 Preco_AURE3 Retorno_AURE3 Preco_BBAS3 Retorno_BBAS3 Preco_ITUB3 Retorno_ITUB3 Preco_IBOVESPA Retorno_IBOVESPA SELIC_Diaria
2024-11-19 6.500515 0.002793 9.824260 0.009142 24.16152 0.005431 24.78360 0.010775 128197.2 0.003352 0.00042
2024-11-21 6.591178 0.013851 9.665323 -0.016310 23.61006 -0.023088 24.40180 -0.015525 126922.1 -0.009997 0.00042
2024-11-22 6.600244 0.001375 9.873927 0.021353 23.92785 0.013370 24.48480 0.003396 129125.5 0.017211 0.00042
2024-11-25 6.536780 -0.009662 10.311002 0.043314 24.06805 0.005842 24.54290 0.002370 129036.1 -0.000693 0.00042
2024-11-26 6.563979 0.004152 10.499739 0.018139 24.45223 0.015836 24.89149 0.014104 129922.4 0.006845 0.00042
2024-11-27 6.416058 -0.022793 10.072598 -0.041532 24.02357 -0.017686 24.26070 -0.025668 127668.6 -0.017499 0.00042
2024-11-28 5.944561 -0.076327 9.734858 -0.034106 23.31868 -0.029781 23.62160 -0.026696 124610.4 -0.024246 0.00042
2024-11-29 5.898336 -0.007806 9.794459 0.006104 23.59492 0.011777 23.67141 0.002106 125667.8 0.008450 0.00042
2024-12-02 5.879846 -0.003140 9.466653 -0.034041 23.40441 -0.008107 23.37878 -0.012439 125235.5 -0.003446 0.00042
2024-12-03 5.879846 0.000000 9.556054 0.009400 23.69018 0.012136 23.51166 0.005668 126139.2 0.007190 0.00042 
kable(tail(dados_completos, 10), digits = 6,
      caption = "Últimas 10 linhas do DataFrame Consolidado") %>%
  kable_styling(latex_options = c("scale_down", "striped"))
Últimas 10 linhas do DataFrame Consolidado
Data Preco_POMO3 Retorno_POMO3 Preco_AURE3 Retorno_AURE3 Preco_BBAS3 Retorno_BBAS3 Preco_ITUB3 Retorno_ITUB3 Preco_IBOVESPA Retorno_IBOVESPA SELIC_Diaria
240 2025-11-04 6.55 0.012289 11.11 0.025526 22.27 0.008568 35.51 -0.004215 150704.2 0.001660 0.000551
241 2025-11-05 6.58 0.004570 11.60 0.043159 22.61 0.015152 35.75 0.006736 153294.4 0.017042 0.000551
242 2025-11-06 6.38 -0.030867 11.67 0.006016 22.86 0.010996 35.80 0.001398 153338.6 0.000288 0.000551
243 2025-11-07 6.37 -0.001569 11.33 -0.029567 22.89 0.001311 35.75 -0.001398 154063.5 0.004716 0.000551
244 2025-11-10 6.57 0.030914 11.55 0.019231 22.78 -0.004817 36.03 0.007802 155257.3 0.007719 0.000551
245 2025-11-11 6.50 -0.010712 11.53 -0.001733 23.47 0.029840 36.59 0.015423 157748.6 0.015919 0.000551
246 2025-11-12 6.38 -0.018634 11.45 -0.006963 22.80 -0.028962 35.70 -0.024624 157632.9 -0.000734 0.000551
247 2025-11-13 6.39 0.001566 11.28 -0.014958 22.50 -0.013245 35.79 0.002518 157162.4 -0.002989 0.000551
248 2025-11-14 6.46 0.010895 11.17 -0.009800 22.44 -0.002670 35.92 0.003626 157738.7 0.003660 0.000551
249 2025-11-17 6.33 -0.020329 11.09 -0.007188 22.50 0.002670 35.64 -0.007826 156992.9 -0.004739 0.000551

6.2 Visualização dos Retornos Diários

retornos_df <- data.frame(Data = index(retornos), coredata(retornos))
retornos_long <- retornos_df %>%
  pivot_longer(cols = -Data, names_to = "Acao", values_to = "Retorno")

ggplot(retornos_long, aes(x = Data, y = Retorno, color = Acao)) +
  geom_line(alpha = 0.6) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "black") +
  facet_wrap(~Acao, ncol = 2) +
  labs(title = "Retornos Logarítmicos Diários",
       subtitle = "Retorno = ln(Pt / Pt-1)",
       x = "Data",
       y = "Retorno") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none",
        plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 10))

6.3 Comparação: Retornos vs IBOVESPA

retornos_completo <- merge(retornos, retorno_ibov)
retornos_comp_df <- data.frame(Data = index(retornos_completo), 
                               coredata(retornos_completo))

par(mfrow = c(2, 2))
for(i in 1:length(nomes_acoes)){
  plot(retornos_comp_df$IBOVESPA, retornos_comp_df[, nomes_acoes[i]],
       main = paste(nomes_acoes[i], "vs IBOVESPA"),
       xlab = "Retorno IBOVESPA",
       ylab = paste("Retorno", nomes_acoes[i]),
       pch = 16, col = rgb(0, 0, 1, 0.3))
  
  abline(lm(retornos_comp_df[, nomes_acoes[i]] ~ retornos_comp_df$IBOVESPA),
         col = "red", lwd = 2)
  
  cor_val <- cor(retornos_comp_df[, nomes_acoes[i]], 
                 retornos_comp_df$IBOVESPA)
  legend("topleft", legend = paste("Corr =", round(cor_val, 3)),
         bty = "n", cex = 1.2)
}

7 Testes de Normalidade

testar_normalidade <- function(dados, nome){
  cat("\n### Testes de Normalidade para", nome, "\n\n")
  
  sw <- shapiro.test(as.numeric(dados))
  cat("**Shapiro-Wilk:**\n")
  cat("  Estatística W =", round(sw$statistic, 4), "\n")
  cat("  p-valor =", format.pval(sw$p.value, digits = 4), "\n")
  cat("  Conclusão:", ifelse(sw$p.value > 0.05, 
                             "Não rejeita normalidade", 
                             "Rejeita normalidade"), "\n\n")
  
  ad <- ad.test(as.numeric(dados))
  cat("**Anderson-Darling:**\n")
  cat("  Estatística A =", round(ad$statistic, 4), "\n")
  cat("  p-valor =", format.pval(ad$p.value, digits = 4), "\n")
  cat("  Conclusão:", ifelse(ad$p.value > 0.05, 
                             "Não rejeita normalidade", 
                             "Rejeita normalidade"), "\n\n")
  
  jb <- jarque.test(as.numeric(dados))
  cat("**Jarque-Bera:**\n")
  cat("  Estatística JB =", round(jb$statistic, 4), "\n")
  cat("  p-valor =", format.pval(jb$p.value, digits = 4), "\n")
  cat("  Conclusão:", ifelse(jb$p.value > 0.05, 
                             "Não rejeita normalidade", 
                             "Rejeita normalidade"), "\n\n")
  
  return(c(SW = sw$p.value, AD = ad$p.value, JB = jb$p.value))
}

resultados_testes <- data.frame()
for(i in 1:ncol(retornos)){
  p_valores <- testar_normalidade(retornos[,i], nomes_acoes[i])
  resultados_testes <- rbind(resultados_testes, p_valores)
}
## 
## ### Testes de Normalidade para POMO3 
## 
## **Shapiro-Wilk:**
##   Estatística W = 0.9723 
##   p-valor = 0.0000896 
##   Conclusão: Rejeita normalidade 
## 
## **Anderson-Darling:**
##   Estatística A = 1.6133 
##   p-valor = 0.0003722 
##   Conclusão: Rejeita normalidade 
## 
## **Jarque-Bera:**
##   Estatística JB = 58.3806 
##   p-valor = 0.0000000000002103 
##   Conclusão: Rejeita normalidade 
## 
## 
## ### Testes de Normalidade para AURE3 
## 
## **Shapiro-Wilk:**
##   Estatística W = 0.9931 
##   p-valor = 0.2996 
##   Conclusão: Não rejeita normalidade 
## 
## **Anderson-Darling:**
##   Estatística A = 0.4199 
##   p-valor = 0.3233 
##   Conclusão: Não rejeita normalidade 
## 
## **Jarque-Bera:**
##   Estatística JB = 5.1469 
##   p-valor = 0.07627 
##   Conclusão: Não rejeita normalidade 
## 
## 
## ### Testes de Normalidade para BBAS3 
## 
## **Shapiro-Wilk:**
##   Estatística W = 0.8705 
##   p-valor = 0.0000000000001113 
##   Conclusão: Rejeita normalidade 
## 
## **Anderson-Darling:**
##   Estatística A = 3.2295 
##   p-valor = 0.00000004122 
##   Conclusão: Rejeita normalidade 
## 
## **Jarque-Bera:**
##   Estatística JB = 2290.238 
##   p-valor = < 0.00000000000000022 
##   Conclusão: Rejeita normalidade 
## 
## 
## ### Testes de Normalidade para ITUB3 
## 
## **Shapiro-Wilk:**
##   Estatística W = 0.9823 
##   p-valor = 0.003477 
##   Conclusão: Rejeita normalidade 
## 
## **Anderson-Darling:**
##   Estatística A = 0.6738 
##   p-valor = 0.0776 
##   Conclusão: Não rejeita normalidade 
## 
## **Jarque-Bera:**
##   Estatística JB = 12.9568 
##   p-valor = 0.001536 
##   Conclusão: Rejeita normalidade
rownames(resultados_testes) <- nomes_acoes
kable(resultados_testes, digits = 4, 
      caption = "P-valores dos Testes de Normalidade")
P-valores dos Testes de Normalidade
X0.0000895999492476336 X0.000372231682844326 X0.000000000000210276240864005
POMO3 0.0001 0.0004 0.0000
AURE3 0.2996 0.3233 0.0763
BBAS3 0.0000 0.0000 0.0000
ITUB3 0.0035 0.0776 0.0015

7.1 Visualização da Distribuição

par(mfrow = c(2, 2))

for(i in 1:ncol(retornos)){
  qqnorm(retornos[,i], main = paste("Q-Q Plot -", nomes_acoes[i]))
  qqline(retornos[,i], col = "red", lwd = 2)
  
  hist(retornos[,i], breaks = 30, probability = TRUE,
       main = paste("Histograma -", nomes_acoes[i]),
       xlab = "Retorno", ylab = "Densidade", col = "lightblue")
  
  curve(dnorm(x, mean = mean(retornos[,i]), sd = sd(retornos[,i])),
        add = TRUE, col = "red", lwd = 2)
}

8 Fronteira Eficiente (Markowitz)

cov_matrix <- cov(retornos)
retornos_medios <- colMeans(retornos)

calc_portfolio <- function(retornos_alvo, retornos_medios, cov_matrix){
  n <- length(retornos_medios)
  Dmat <- 2 * cov_matrix
  dvec <- rep(0, n)
  Amat <- cbind(rep(1, n), retornos_medios, diag(n))
  bvec <- c(1, retornos_alvo, rep(0, n))
  
  resultado <- tryCatch({
    solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec, meq = 2)
  }, error = function(e){
    return(NULL)
  })
  
  if(is.null(resultado)) return(NULL)
  
  pesos <- resultado$solution
  retorno <- sum(pesos * retornos_medios)
  risco <- sqrt(t(pesos) %*% cov_matrix %*% pesos)
  
  return(list(pesos = pesos, retorno = retorno, risco = as.numeric(risco)))
}

retorno_min <- min(retornos_medios)
retorno_max <- max(retornos_medios)
retornos_alvo <- seq(retorno_min, retorno_max, length.out = 100)

fronteira <- data.frame()

for(ret_alvo in retornos_alvo){
  portfolio <- calc_portfolio(ret_alvo, retornos_medios, cov_matrix)
  
  if(!is.null(portfolio)){
    fronteira <- rbind(fronteira, data.frame(
      Retorno = portfolio$retorno * 252,
      Risco = portfolio$risco * sqrt(252)
    ))
  }
}

acoes_individuais <- data.frame(
  Acao = nomes_acoes,
  Retorno = retornos_medios * 252,
  Risco = apply(retornos, 2, sd) * sqrt(252)
)

ggplot() +
  geom_line(data = fronteira, aes(x = Risco, y = Retorno),
            color = "darkblue", linewidth = 1.5) +
  geom_point(data = acoes_individuais, aes(x = Risco, y = Retorno, color = Acao),
             size = 4) +
  geom_text(data = acoes_individuais, aes(x = Risco, y = Retorno, label = Acao),
            vjust = -1, size = 4) +
  scale_x_continuous(labels = scales::percent_format(accuracy = 0.01)) +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent_format(accuracy = 0.01)) +
  labs(title = "Fronteira Eficiente de Markowitz",
       subtitle = "Retornos e Riscos Anualizados",
       x = "Risco (Desvio Padrão Anualizado)",
       y = "Retorno Esperado Anualizado") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 10),
        legend.position = "right")

kable(acoes_individuais, digits = 4,
      caption = "Retorno e Risco Anualizados das Ações")
Retorno e Risco Anualizados das Ações
Acao Retorno Risco
POMO3 POMO3 -0.0241 0.3808
AURE3 AURE3 0.1319 0.3294
BBAS3 BBAS3 -0.0666 0.2793
ITUB3 ITUB3 0.3786 0.1943

Interpretação da Fronteira Eficiente:

A curva azul representa a combinação ótima de ativos que maximiza o retorno para cada nível de risco. Pontos acima da fronteira são impossíveis de alcançar com os ativos disponíveis, enquanto pontos abaixo da fronteira são ineficientes, pois existe uma combinação melhor que oferece maior retorno para o mesmo risco ou menor risco para o mesmo retorno. Investidores devem escolher portfólios ao longo da fronteira de acordo com sua tolerância ao risco, sendo que cada ponto da fronteira representa uma alocação ótima específica entre os quatro ativos analisados.

9 Fronteira Eficiente com ETF IBOVESPA

# Agora vamos expandir a análise incluindo o IBOVESPA como um ativo adicional
# Isso simula a possibilidade de investir em um ETF que replica o índice

# Combinar retornos das ações com o IBOVESPA
retornos_com_etf <- merge(retornos, retorno_ibov)
colnames(retornos_com_etf) <- c(nomes_acoes, "IBOVESPA")

# Recalcular matriz de covariância e retornos médios com ETF incluído
cov_matrix_etf <- cov(retornos_com_etf)
retornos_medios_etf <- colMeans(retornos_com_etf)

cat("\n### Matriz de Correlação com ETF IBOVESPA:\n")
## 
## ### Matriz de Correlação com ETF IBOVESPA:
cor_matrix_etf <- cor(retornos_com_etf)
kable(round(cor_matrix_etf, 3), 
      caption = "Matriz de Correlação: Ações + ETF IBOVESPA")
Matriz de Correlação: Ações + ETF IBOVESPA
POMO3 AURE3 BBAS3 ITUB3 IBOVESPA
POMO3 1.000 0.316 0.211 0.386 0.465
AURE3 0.316 1.000 0.281 0.440 0.558
BBAS3 0.211 0.281 1.000 0.447 0.511
ITUB3 0.386 0.440 0.447 1.000 0.781
IBOVESPA 0.465 0.558 0.511 0.781 1.000 
# Função para calcular portfólio com ETF incluído
calc_portfolio_etf <- function(retornos_alvo, retornos_medios, cov_matrix){
  n <- length(retornos_medios)
  
  Dmat <- 2 * cov_matrix
  dvec <- rep(0, n)
  
  # Restrições: soma = 1, retorno = alvo, pesos >= 0
  Amat <- cbind(rep(1, n), retornos_medios, diag(n))
  bvec <- c(1, retornos_alvo, rep(0, n))
  
  resultado <- tryCatch({
    solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec, meq = 2)
  }, error = function(e){
    return(NULL)
  })
  
  if(is.null(resultado)) return(NULL)
  
  pesos <- resultado$solution
  retorno <- sum(pesos * retornos_medios)
  risco <- sqrt(t(pesos) %*% cov_matrix %*% pesos)
  
  return(list(pesos = pesos, retorno = retorno, risco = as.numeric(risco)))
}

# Gerar nova fronteira eficiente com ETF
retorno_min_etf <- min(retornos_medios_etf)
retorno_max_etf <- max(retornos_medios_etf)
retornos_alvo_etf <- seq(retorno_min_etf, retorno_max_etf, length.out = 100)

fronteira_etf <- data.frame()

for(ret_alvo in retornos_alvo_etf){
  portfolio <- calc_portfolio_etf(ret_alvo, retornos_medios_etf, cov_matrix_etf)
  
  if(!is.null(portfolio)){
    fronteira_etf <- rbind(fronteira_etf, data.frame(
      Retorno = portfolio$retorno * 252,
      Risco = portfolio$risco * sqrt(252)
    ))
  }
}

# Adicionar ponto do ETF IBOVESPA
etf_ponto <- data.frame(
  Acao = "IBOVESPA (ETF)",
  Retorno = retornos_medios_etf["IBOVESPA"] * 252,
  Risco = sd(retorno_ibov) * sqrt(252)
)

# Combinar com ações individuais
todos_ativos <- rbind(acoes_individuais, etf_ponto)

# Gráfico comparando as duas fronteiras
ggplot() +
  # Fronteira original (só ações)
  geom_line(data = fronteira, aes(x = Risco, y = Retorno),
            color = "gray60", linewidth = 1, linetype = "dashed",
            alpha = 0.7) +
  # Nova fronteira (ações + ETF)
  geom_line(data = fronteira_etf, aes(x = Risco, y = Retorno),
            color = "darkgreen", linewidth = 1.5) +
  # Todos os ativos individuais
  geom_point(data = todos_ativos, aes(x = Risco, y = Retorno, color = Acao),
             size = 4) +
  geom_text(data = todos_ativos, aes(x = Risco, y = Retorno, label = Acao),
            vjust = -1, size = 3.5, check_overlap = TRUE) +
  scale_x_continuous(labels = scales::percent_format(accuracy = 0.01)) +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent_format(accuracy = 0.01)) +
  labs(title = "Fronteira Eficiente: Ações vs Ações + ETF IBOVESPA",
       subtitle = "Linha verde: com ETF | Linha tracejada: apenas ações",
       x = "Risco (Desvio Padrão Anualizado)",
       y = "Retorno Esperado Anualizado") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 10),
        legend.position = "right")

Interpretação da Diversificação com ETF:

A inclusão do ETF IBOVESPA na análise expande o conjunto de oportunidades de investimento, representado pela fronteira eficiente verde. Observe que esta nova fronteira domina a fronteira original (linha tracejada cinza) em praticamente todos os pontos, demonstrando que a adição do ETF oferece combinações superiores de risco e retorno. Isto ocorre porque o ETF IBOVESPA, sendo uma cesta diversificada de ações, apresenta características de risco e retorno que complementam as ações individuais, permitindo que o investidor alcance níveis de diversificação que seriam impossíveis usando apenas as quatro ações isoladamente.

9.1 Composição Ótima: Ações + ETF

# Encontrar o portfólio de variância mínima com ETF
portfolio_min_var_etf <- fronteira_etf[which.min(fronteira_etf$Risco), ]

ret_alvo_min_etf <- portfolio_min_var_etf$Retorno / 252
portfolio_otimo_etf <- calc_portfolio_etf(ret_alvo_min_etf, retornos_medios_etf, 
                                          cov_matrix_etf)

if(!is.null(portfolio_otimo_etf)){
  composicao_etf <- data.frame(
    Ativo = c(nomes_acoes, "IBOVESPA (ETF)"),
    Peso_Percentual = portfolio_otimo_etf$pesos * 100,
    Valor_Investido = portfolio_otimo_etf$pesos * investimento
  )
  
  # Filtrar apenas ativos com peso significativo (> 0.1%)
  composicao_etf_filtrada <- composicao_etf[composicao_etf$Peso_Percentual > 0.1, ]
  
  cat("\n### PORTFÓLIO ÓTIMO: AÇÕES + ETF IBOVESPA\n\n")
  kable(composicao_etf_filtrada, digits = 2, row.names = FALSE,
        caption = "Composição Ótima com ETF (Variância Mínima)")
  
  cat("\n**Características do Portfólio Ótimo com ETF:**\n")
  cat("- Retorno esperado anualizado:", 
      round(portfolio_otimo_etf$retorno * 252 * 100, 2), "%\n")
  cat("- Risco (desvio padrão anualizado):", 
      round(portfolio_otimo_etf$risco * sqrt(252) * 100, 2), "%\n")
  cat("- Sharpe Ratio (assumindo SELIC como taxa livre de risco):",
      round((portfolio_otimo_etf$retorno * 252 - mean(selic_data$value)/100) / 
            (portfolio_otimo_etf$risco * sqrt(252)), 3), "\n\n")
}
## 
## ### PORTFÓLIO ÓTIMO: AÇÕES + ETF IBOVESPA
## 
## 
## **Características do Portfólio Ótimo com ETF:**
## - Retorno esperado anualizado: 20.32 %
## - Risco (desvio padrão anualizado): 15.35 %
## - Sharpe Ratio (assumindo SELIC como taxa livre de risco): 0.415

A composição ótima que minimiza a variância mostra como o investidor deve distribuir seus recursos entre as ações individuais e o ETF IBOVESPA. Note que a otimização matemática considera não apenas o retorno esperado e o risco de cada ativo, mas também as correlações entre eles, buscando combinações que maximizem o benefício da diversificação. Ativos com peso próximo de zero ou zero indicam que, do ponto de vista da eficiência de média-variância, eles não contribuem significativamente para melhorar a relação risco-retorno do portfólio neste ponto específico da fronteira.

10 Linha de Alocação de Capital (CAL) - Portfólio com Ativo Livre de Risco

# A Linha de Alocação de Capital conecta o ativo livre de risco (SELIC)
# ao portfólio tangente na fronteira eficiente
# Este é o portfólio de maior Índice de Sharpe

# Taxa livre de risco (SELIC média anualizada)
taxa_livre_risco <- mean(selic_data$value) / 100

cat("\n### CONSTRUÇÃO DA LINHA DE ALOCAÇÃO DE CAPITAL\n\n")
## 
## ### CONSTRUÇÃO DA LINHA DE ALOCAÇÃO DE CAPITAL
cat("Taxa Livre de Risco (SELIC média):", round(taxa_livre_risco * 100, 2), "% a.a.\n\n")
## Taxa Livre de Risco (SELIC média): 13.95 % a.a.
# Função para calcular o Índice de Sharpe
calcular_sharpe <- function(retorno, risco, rf){
  return((retorno - rf) / risco)
}

# Encontrar o portfólio tangente (maior Sharpe Ratio)
fronteira_etf$Sharpe <- sapply(1:nrow(fronteira_etf), function(i){
  calcular_sharpe(fronteira_etf$Retorno[i], fronteira_etf$Risco[i], 
                  taxa_livre_risco)
})

# Portfólio tangente
idx_tangente <- which.max(fronteira_etf$Sharpe)
portfolio_tangente <- fronteira_etf[idx_tangente, ]

cat("**Portfólio Tangente (Ótimo de Sharpe):**\n")
## **Portfólio Tangente (Ótimo de Sharpe):**
cat("- Retorno esperado:", round(portfolio_tangente$Retorno * 100, 2), "% a.a.\n")
## - Retorno esperado: 37.86 % a.a.
cat("- Risco:", round(portfolio_tangente$Risco * 100, 2), "% a.a.\n")
## - Risco: 19.43 % a.a.
cat("- Índice de Sharpe:", round(portfolio_tangente$Sharpe, 3), "\n\n")
## - Índice de Sharpe: 1.231
# Calcular composição do portfólio tangente
ret_alvo_tangente <- portfolio_tangente$Retorno / 252
portfolio_tangente_composicao <- calc_portfolio_etf(ret_alvo_tangente, 
                                                    retornos_medios_etf, 
                                                    cov_matrix_etf)

if(!is.null(portfolio_tangente_composicao)){
  composicao_tangente <- data.frame(
    Ativo = c(nomes_acoes, "IBOVESPA (ETF)"),
    Peso_Percentual = portfolio_tangente_composicao$pesos * 100,
    Valor_Investido_100k = portfolio_tangente_composicao$pesos * investimento
  )
  
  # Filtrar ativos com peso > 0.1%
  composicao_tangente_filtrada <- composicao_tangente[
    composicao_tangente$Peso_Percentual > 0.1, 
  ]
  
  kable(composicao_tangente_filtrada, digits = 2, row.names = FALSE,
        caption = "Composição do Portfólio Tangente (Máximo Sharpe)")
}
Composição do Portfólio Tangente (Máximo Sharpe)
Ativo Peso_Percentual Valor_Investido_100k
ITUB3 100 100000 
# Criar pontos da Linha de Alocação de Capital
# CAL: E(Rp) = Rf + (E(Rt) - Rf) / σt * σp
# onde Rt é o retorno do portfólio tangente

risco_cal <- seq(0, max(fronteira_etf$Risco) * 1.2, length.out = 100)
retorno_cal <- taxa_livre_risco + 
  (portfolio_tangente$Retorno - taxa_livre_risco) / portfolio_tangente$Risco * 
  risco_cal

linha_cal <- data.frame(Risco = risco_cal, Retorno = retorno_cal)

# Ponto do ativo livre de risco
ponto_rf <- data.frame(
  Risco = 0,
  Retorno = taxa_livre_risco,
  Label = "SELIC (Livre de Risco)"
)

# Gráfico com CAL
ggplot() +
  # Fronteira eficiente
  geom_line(data = fronteira_etf, aes(x = Risco, y = Retorno),
            color = "darkgreen", linewidth = 1.3, alpha = 0.7) +
  # Linha de Alocação de Capital
  geom_line(data = linha_cal, aes(x = Risco, y = Retorno),
            color = "red", linewidth = 1.5) +
  # Portfólio tangente
  geom_point(data = portfolio_tangente, aes(x = Risco, y = Retorno),
             color = "red", size = 5, shape = 18) +
  geom_text(data = portfolio_tangente, aes(x = Risco, y = Retorno),
            label = "Portfólio\nTangente", vjust = -1.5, hjust = 0.5,
            color = "red", fontface = "bold", size = 3.5) +
  # Ativo livre de risco
  geom_point(data = ponto_rf, aes(x = Risco, y = Retorno),
             color = "blue", size = 5, shape = 17) +
  geom_text(data = ponto_rf, aes(x = Risco, y = Retorno, label = Label),
            vjust = 1.5, color = "blue", fontface = "bold", size = 3.5) +
  # Ativos individuais
  geom_point(data = todos_ativos, aes(x = Risco, y = Retorno),
             color = "gray50", size = 3, alpha = 0.6) +
  scale_x_continuous(labels = scales::percent_format(accuracy = 0.01),
                     limits = c(0, NA)) +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent_format(accuracy = 0.01)) +
  labs(title = "Linha de Alocação de Capital (CAL)",
       subtitle = "Combinações ótimas: Portfólio Tangente + SELIC",
       x = "Risco (Desvio Padrão Anualizado)",
       y = "Retorno Esperado Anualizado") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 10))

Interpretação da Linha de Alocação de Capital:

A linha vermelha representa a Linha de Alocação de Capital, que mostra todas as combinações possíveis entre o ativo livre de risco (SELIC) e o portfólio tangente. Esta linha é fundamental porque domina toda a fronteira eficiente, exceto no ponto de tangência. Isso significa que, para qualquer nível de risco desejado, um investidor sempre obtém um retorno esperado maior investindo parte do capital na SELIC e parte no portfólio tangente, em vez de escolher qualquer outro ponto da fronteira eficiente.

O ponto de tangência (losango vermelho) representa o portfólio de ativos com risco que possui o maior Índice de Sharpe, ou seja, oferece a melhor recompensa por unidade de risco assumido acima da taxa livre de risco. Investidores mais conservadores devem alocar maior proporção na SELIC e menor no portfólio tangente, posicionando-se mais à esquerda da linha. Investidores mais arrojados fazem o oposto, podendo inclusive usar alavancagem para se posicionar além do portfólio tangente, mais à direita na linha.

10.1 Alocações Estratégicas ao Longo da CAL

# Vamos calcular algumas alocações específicas ao longo da CAL
# para diferentes perfis de investidores

cat("\n### ESTRATÉGIAS DE ALOCAÇÃO COM R$ 100.000,00\n\n")
## 
## ### ESTRATÉGIAS DE ALOCAÇÃO COM R$ 100.000,00
# Função para calcular alocação na CAL dado um nível de risco alvo
calcular_alocacao_cal <- function(risco_alvo, ret_tangente, risco_tangente, 
                                  taxa_rf, investimento_total){
  # Peso no portfólio tangente
  w_tangente <- risco_alvo / risco_tangente
  
  # Peso no ativo livre de risco
  w_rf <- 1 - w_tangente
  
  # Retorno esperado
  retorno_esperado <- w_rf * taxa_rf + w_tangente * ret_tangente
  
  return(list(
    peso_rf = w_rf,
    peso_tangente = w_tangente,
    valor_rf = w_rf * investimento_total,
    valor_tangente = w_tangente * investimento_total,
    retorno_esperado = retorno_esperado,
    risco = risco_alvo
  ))
}

# Diferentes perfis de risco (em termos de desvio padrão anualizado)
perfis <- data.frame(
  Perfil = c("Conservador", "Moderado", "Arrojado", "Muito Arrojado"),
  Risco_Alvo = c(0.05, 0.10, 0.15, 0.20)  # 5%, 10%, 15%, 20% de volatilidade
)

resultados_perfis <- data.frame()

for(i in 1:nrow(perfis)){
  alocacao <- calcular_alocacao_cal(
    perfis$Risco_Alvo[i],
    portfolio_tangente$Retorno,
    portfolio_tangente$Risco,
    taxa_livre_risco,
    investimento
  )
  
  resultados_perfis <- rbind(resultados_perfis, data.frame(
    Perfil = perfis$Perfil[i],
    Risco_Alvo = perfis$Risco_Alvo[i] * 100,
    Peso_SELIC = alocacao$peso_rf * 100,
    Peso_Portfolio_Tangente = alocacao$peso_tangente * 100,
    Valor_SELIC = alocacao$valor_rf,
    Valor_Portfolio_Tangente = alocacao$valor_tangente,
    Retorno_Esperado = alocacao$retorno_esperado * 100
  ))
}

kable(resultados_perfis, digits = 2, booktabs = TRUE, row.names = FALSE,
      caption = "Alocações Estratégicas para Diferentes Perfis de Risco")%>%
  kableExtra::kable_styling(latex_options = c("striped", "scale_down", "HOLD_position"), full_width = FALSE)
Alocações Estratégicas para Diferentes Perfis de Risco
Perfil Risco_Alvo Peso_SELIC Peso_Portfolio_Tangente Valor_SELIC Valor_Portfolio_Tangente Retorno_Esperado
Conservador 5 74.27 25.73 74265.44 25734.56 20.10
Moderado 10 48.53 51.47 48530.88 51469.12 26.25
Arrojado 15 22.80 77.20 22796.31 77203.69 32.41
Muito Arrojado 20 -2.94 102.94 -2938.25 102938.25 38.56 
cat("\n**Interpretação das Alocações:**\n\n")
## 
## **Interpretação das Alocações:**
for(i in 1:nrow(resultados_perfis)){
  cat("**", resultados_perfis$Perfil[i], ":**\n")
  cat("  - Investir R$", format(round(resultados_perfis$Valor_SELIC[i], 2),
                                 big.mark = ".", decimal.mark = ","),
      "em SELIC (", round(resultados_perfis$Peso_SELIC[i], 1), "%)\n")
  cat("  - Investir R$", format(round(resultados_perfis$Valor_Portfolio_Tangente[i], 2),
                                 big.mark = ".", decimal.mark = ","),
      "no Portfólio Tangente (", round(resultados_perfis$Peso_Portfolio_Tangente[i], 1), "%)\n")
  cat("  - Retorno esperado:", round(resultados_perfis$Retorno_Esperado[i], 2), 
      "% a.a.\n")
  cat("  - Risco (volatilidade):", round(resultados_perfis$Risco_Alvo[i], 2), 
      "% a.a.\n\n")
}
## ** Conservador :**
##   - Investir R$ 74.265,44 em SELIC ( 74.3 %)
##   - Investir R$ 25.734,56 no Portfólio Tangente ( 25.7 %)
##   - Retorno esperado: 20.1 % a.a.
##   - Risco (volatilidade): 5 % a.a.
## 
## ** Moderado :**
##   - Investir R$ 48.530,88 em SELIC ( 48.5 %)
##   - Investir R$ 51.469,12 no Portfólio Tangente ( 51.5 %)
##   - Retorno esperado: 26.25 % a.a.
##   - Risco (volatilidade): 10 % a.a.
## 
## ** Arrojado :**
##   - Investir R$ 22.796,31 em SELIC ( 22.8 %)
##   - Investir R$ 77.203,69 no Portfólio Tangente ( 77.2 %)
##   - Retorno esperado: 32.41 % a.a.
##   - Risco (volatilidade): 15 % a.a.
## 
## ** Muito Arrojado :**
##   - Investir R$ -2.938,25 em SELIC ( -2.9 %)
##   - Investir R$ 102.938,2 no Portfólio Tangente ( 102.9 %)
##   - Retorno esperado: 38.56 % a.a.
##   - Risco (volatilidade): 20 % a.a.
# Detalhamento para perfil Moderado
cat("\n**Detalhamento do Perfil Moderado (R$ 100.000):**\n\n")
## 
## **Detalhamento do Perfil Moderado (R$ 100.000):**
alocacao_moderado <- calcular_alocacao_cal(0.10, portfolio_tangente$Retorno,
                                           portfolio_tangente$Risco,
                                           taxa_livre_risco, investimento)

valor_na_selic <- alocacao_moderado$valor_rf
valor_no_tangente <- alocacao_moderado$valor_tangente

cat("1. SELIC: R$", format(round(valor_na_selic, 2), 
                           big.mark = ".", decimal.mark = ","), "\n\n")
## 1. SELIC: R$ 48.530,88
cat("2. Portfólio Tangente: R$", format(round(valor_no_tangente, 2),
                                        big.mark = ".", decimal.mark = ","), 
    "distribuídos em:\n")
## 2. Portfólio Tangente: R$ 51.469,12 distribuídos em:
if(!is.null(portfolio_tangente_composicao)){
  for(j in 1:length(composicao_tangente_filtrada$Ativo)){
    valor_ativo <- composicao_tangente_filtrada$Peso_Percentual[j] / 100 * 
                   valor_no_tangente
    cat("   - ", composicao_tangente_filtrada$Ativo[j], ": R$",
        format(round(valor_ativo, 2), big.mark = ".", decimal.mark = ","),
        " (", round(composicao_tangente_filtrada$Peso_Percentual[j], 2), 
        "% do portfólio tangente)\n")
  }
}
##    -  ITUB3 : R$ 51.469,12  ( 100 % do portfólio tangente)

Esta análise final demonstra como um investidor pode implementar a estratégia ótima na prática. O portfólio tangente representa a melhor combinação de ativos com risco (ações e ETF), e a proporção entre este portfólio e a SELIC determina o perfil de risco-retorno final. O investidor conservador prioriza a proteção do capital, alocando maior parte na SELIC, enquanto o arrojado busca maximizar retornos, concentrando-se no portfólio tangente. Note que todos os perfis utilizam exatamente a mesma composição de ativos com risco (o portfólio tangente), variando apenas a proporção total investida neste portfólio versus na SELIC, demonstrando a elegância e simplicidade do modelo de Markowitz com ativo livre de risco.

11 Cálculo do VaR Histórico

# VaR Histórico: percentil (1-confiança) dos retornos históricos
# Para 99% de confiança, pegamos o 1º percentil (piores 1% dos retornos)

calcular_var <- function(retornos_acao, investimento, confianca){
  # Percentil correspondente
  percentil <- 1 - confianca
  
  # VaR como percentil dos retornos
  var_percentual <- quantile(retornos_acao, percentil)
  
  # Perda máxima esperada em reais
  perda_maxima <- -var_percentual * investimento
  
  return(list(
    VaR_percentual = var_percentual,
    Perda_Maxima_Reais = perda_maxima,
    Percentil = percentil * 100
  ))
}

# Calcular VaR para cada ação
resultados_var <- data.frame()

for(i in 1:ncol(retornos)){
  var_resultado <- calcular_var(retornos[,i], investimento, confianca)
  
  resultados_var <- rbind(resultados_var, data.frame(
    Acao = nomes_acoes[i],
    VaR_Percentual = var_resultado$VaR_percentual,
    Perda_Maxima_R = var_resultado$Perda_Maxima_Reais,
    Investimento_R = investimento,
    Perda_Percentual = (var_resultado$Perda_Maxima_Reais / investimento) * 100
  ))
}

kable(resultados_var, digits = 2,
      caption = paste0("VaR Histórico (", confianca*100, "% de confiança) - Janela de ", 
                      janela, " dias úteis"))
VaR Histórico (99% de confiança) - Janela de 252 dias úteis
Acao VaR_Percentual Perda_Maxima_R Investimento_R Perda_Percentual
1% POMO3 -0.07 6798.65 100000 6.80
1%1 AURE3 -0.04 4476.00 100000 4.48
1%2 BBAS3 -0.05 4782.39 100000 4.78
1%3 ITUB3 -0.03 2620.28 100000 2.62

11.1 Interpretação dos Resultados

cat("\n## INTERPRETAÇÃO DO VALUE AT RISK (VaR)\n\n")
## 
## ## INTERPRETAÇÃO DO VALUE AT RISK (VaR)
cat("Com um investimento de R$", format(investimento, big.mark = ".", decimal.mark = ","), 
    "em cada ação:\n\n")
## Com um investimento de R$ 100.000 em cada ação:
for(i in 1:nrow(resultados_var)){
  cat("### ", resultados_var$Acao[i], "\n")
  cat("- VaR (99%): ", round(resultados_var$VaR_Percentual[i] * 100, 2), "%\n")
  cat("- Perda máxima esperada: R$", 
      format(round(resultados_var$Perda_Maxima_R[i], 2), 
             big.mark = ".", decimal.mark = ","), "\n")
  cat("- Interpretação: Com 99% de confiança, a perda não deve exceder R$",
      format(round(resultados_var$Perda_Maxima_R[i], 2), 
             big.mark = ".", decimal.mark = ","),
      "em um dia de negociação.\n")
  cat("- Percentual do investimento:", 
      round(resultados_var$Perda_Percentual[i], 2), "%\n\n")
}
## ###  POMO3 
## - VaR (99%):  -6.8 %
## - Perda máxima esperada: R$ 6.798,65 
## - Interpretação: Com 99% de confiança, a perda não deve exceder R$ 6.798,65 em um dia de negociação.
## - Percentual do investimento: 6.8 %
## 
## ###  AURE3 
## - VaR (99%):  -4.48 %
## - Perda máxima esperada: R$ 4.476 
## - Interpretação: Com 99% de confiança, a perda não deve exceder R$ 4.476 em um dia de negociação.
## - Percentual do investimento: 4.48 %
## 
## ###  BBAS3 
## - VaR (99%):  -4.78 %
## - Perda máxima esperada: R$ 4.782,39 
## - Interpretação: Com 99% de confiança, a perda não deve exceder R$ 4.782,39 em um dia de negociação.
## - Percentual do investimento: 4.78 %
## 
## ###  ITUB3 
## - VaR (99%):  -2.62 %
## - Perda máxima esperada: R$ 2.620,28 
## - Interpretação: Com 99% de confiança, a perda não deve exceder R$ 2.620,28 em um dia de negociação.
## - Percentual do investimento: 2.62 %

11.2 VaR do Portfólio Ótimo (Variância Mínima)

# Calcular portfólio de variância mínima global
# Este é o ponto mais à esquerda da fronteira eficiente

# Encontrar o portfólio com menor risco
portfolio_min_var <- fronteira[which.min(fronteira$Risco), ]

# Para calcular VaR do portfólio, precisamos dos pesos ótimos
# Vamos recalcular para o retorno correspondente
ret_alvo_min <- portfolio_min_var$Retorno / 252  # Desanualizar

portfolio_otimo <- calc_portfolio(ret_alvo_min, retornos_medios, cov_matrix)

if(!is.null(portfolio_otimo)){
  # Calcular retornos do portfólio
  pesos_matrix <- matrix(portfolio_otimo$pesos, ncol = 1)
  retornos_portfolio <- as.matrix(retornos) %*% pesos_matrix
  
  # Calcular VaR do portfólio
  var_portfolio <- calcular_var(retornos_portfolio, investimento, confianca)
  
  # Exibir composição do portfólio
  composicao <- data.frame(
    Acao = nomes_acoes,
    Peso = portfolio_otimo$pesos * 100,
    Valor_Investido = portfolio_otimo$pesos * investimento
  )
  
  cat("\n### PORTFÓLIO DE VARIÂNCIA MÍNIMA\n\n")
  kable(composicao, digits = 2,
        caption = "Composição do Portfólio Ótimo (Variância Mínima)")
  
  cat("\n**VaR do Portfólio Ótimo:**\n")
  cat("- Retorno esperado diário:", round(portfolio_otimo$retorno * 100, 4), "%\n")
  cat("- Risco (desvio padrão):", round(portfolio_otimo$risco * 100, 4), "%\n")
  cat("- VaR (99%):", round(var_portfolio$VaR_percentual * 100, 2), "%\n")
  cat("- Perda máxima esperada: R$", 
      format(round(var_portfolio$Perda_Maxima_Reais, 2), 
             big.mark = ".", decimal.mark = ","), "\n\n")
  
  # Comparação com investimento em ações individuais
  cat("**Comparação:** O portfólio diversificado reduz o risco comparado\n")
  cat("ao investimento em ações individuais, demonstrando o benefício da diversificação.\n")
}
## 
## ### PORTFÓLIO DE VARIÂNCIA MÍNIMA
## 
## 
## **VaR do Portfólio Ótimo:**
## - Retorno esperado diário: 0.102 %
## - Risco (desvio padrão): 1.1636 %
## - VaR (99%): -2.73 %
## - Perda máxima esperada: R$ 2.734,72 
## 
## **Comparação:** O portfólio diversificado reduz o risco comparado
## ao investimento em ações individuais, demonstrando o benefício da diversificação.

12 Visualização Comparativa do VaR

# Gráfico de barras comparativo
ggplot(resultados_var, aes(x = Acao, y = Perda_Maxima_R, fill = Acao)) +
  geom_bar(stat = "identity", alpha = 0.7) +
  geom_text(aes(label = paste0("R$ ", format(round(Perda_Maxima_R, 0), 
                                              big.mark = "."))),
            vjust = -0.5, size = 4) +
  labs(title = "Comparação do VaR (99%) entre as Ações",
       subtitle = paste0("Perda máxima esperada com investimento de R$ ", 
                        format(investimento, big.mark = ".")),
       x = "Ação",
       y = "Perda Máxima Esperada (R$)") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none",
        plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 14, face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 10))

13 Conclusões

cat("\n## CONCLUSÕES PRINCIPAIS\n\n")
## 
## ## CONCLUSÕES PRINCIPAIS
# Ação com maior risco
acao_maior_risco <- resultados_var$Acao[which.max(resultados_var$Perda_Maxima_R)]
maior_perda <- max(resultados_var$Perda_Maxima_R)

# Ação com menor risco
acao_menor_risco <- resultados_var$Acao[which.min(resultados_var$Perda_Maxima_R)]
menor_perda <- min(resultados_var$Perda_Maxima_R)

cat("1. **Maior Risco:** ", acao_maior_risco, 
    " - Perda máxima de R$", format(round(maior_perda, 2), 
                                    big.mark = ".", decimal.mark = ","), "\n\n")
## 1. **Maior Risco:**  POMO3  - Perda máxima de R$ 6.798,65
cat("2. **Menor Risco:** ", acao_menor_risco, 
    " - Perda máxima de R$", format(round(menor_perda, 2), 
                                    big.mark = ".", decimal.mark = ","), "\n\n")
## 2. **Menor Risco:**  ITUB3  - Perda máxima de R$ 2.620,28
cat("3. **Sobre a Normalidade:** Retornos financeiros geralmente apresentam:\n")
## 3. **Sobre a Normalidade:** Retornos financeiros geralmente apresentam:
cat("   - Caudas mais pesadas que a distribuição normal\n")
##    - Caudas mais pesadas que a distribuição normal
cat("   - Assimetria (mais retornos negativos extremos)\n")
##    - Assimetria (mais retornos negativos extremos)
cat("   - Mesmo com rejeição da normalidade, o VaR histórico é robusto\n\n")
##    - Mesmo com rejeição da normalidade, o VaR histórico é robusto
cat("4. **Limitações do VaR Histórico:**\n")
## 4. **Limitações do VaR Histórico:**
cat("   - Assume que o passado se repete\n")
##    - Assume que o passado se repete
cat("   - Não captura eventos extremos não observados no período\n")
##    - Não captura eventos extremos não observados no período
cat("   - Não mede perdas além do percentil (tail risk)\n")
##    - Não mede perdas além do percentil (tail risk)

Nota Metodológica: Este relatório utiliza o VaR Histórico não-paramétrico, que não assume normalidade dos retornos. Os testes de normalidade servem para verificar se métodos paramétricos (VaR Delta-Normal) seriam apropriados. Para gestão de risco conservadora, o VaR Histórico é preferível quando a normalidade é rejeitada.