1.1 Definisi Probabilitas

Probabilitas berarti kemungkinan. Arti probabilitas adalah seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Nilainya dinyatakan dari 0 hingga 1, dimana 0 berarti peristiwa tersebut mustahil dan 1 menunjukkan peristiwa yang pasti.

Ruang Sampel adalah kumpulan semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan acak. Contohnya, saat melempar dadu enam sisi, ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Rumus dasar: \[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \]

• \(n(A)\) = jumlah hasil yang mendukung kejadian A
  
• \(n(S)\) = jumlah seluruh kemungkinan di ruang sampel

Contoh Soal: Ada 6 bantal di tempat tidur, 3 merah, 2 kuning, dan 1 biru. Berapa peluang terambilnya bantal merah?

Jawab:

• \(n(A)\) = 3
• \(n(S)\) = 6

Jadi, \[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \]

\[ P(A) = \frac{3}{6} \]

\[ P(A) = \frac{1}{2} \]

Peluang terambilnya bantal merah adalah = 1/2.

1.2 Diagram Probabilitas

Dapat dilihat pada diagram probabilitas untuk koin diatas, terdapat dua elemen utama, yaitu cabang (Branches) dan ujung (Outcome). Probabilitas dari setiap pilihan dicantumkan pada cabang, sedangkan ujung cabang menunjukkan hasil akhir dari rangkaian kejadian.

Diagram pohon sangat membantu dalam menentukan kapan probabilitas harus dikalikan (untuk kejadian berturut-turut) dan kapan harus dijumlahkan (untuk kejadian yang saling lepas).

1.5 Aturan Komplemen

Aturan Komplemen adalah peluang suatu peristiwa tidak terjadi. Untuk mengetahui peluang suatu kejadian tidak terjadi, kita cukup menghitung 1 dikurangi peluang terjadinya kejadian tersebut.

Probabilitas komplemen dihitung dengan rumus:

\[ P(A^c) = 1 - P(A) \]

di mana \(A^c\) adalah kejadian yang tidak termasuk dalam A.

Contoh: Probabilitas untuk tidak mendapatkan dua gambar?

Jawab:

Diketahui P(TT) = 0.25

\[ P(A^c) = 1 - 0.25 \] \[ P(A^c) = 0.75 \]

Cara lain Menjumlahkan probabilitas semua hasil yang mungkin terjadi selain TT:

\[ P(HH) + P(HT) + P(TH) = 0.25 + 0.25 + 0.25 = 0.75 \] jadi, peluang untuk tidak mendapatkan dua gambar pada dua koin yang dilempar adalah 0,75.

2.1 Peristiwa Independen

Dua event (kejadian) disebut independen bila kejadian pada satu event tidak mempengaruhi probabilitas pada kejadian yang lain.

Contoh soal:

Berapa probabilitas mendapatkan angka 5 pada dadu dan gambar pada koin yang dilempar secara bersamaan?

• Kejaidian 1 (angka 5 pada dadu) = 1/6
• Kejadian 2 (gambar pada koin) = 1/2

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] \[ P(A \cap B) = (1/6) \times (1/2) \] \[ P(A \cap B) = 1/12 = 0.0833 \]

2.2 Peristiwa Dependen

Peristiwa dependen adalah peristiwa di mana terjadinya satu kejadian dapat mengubah atau memengaruhi peluang terjadinya kejadian yang lain.

Contoh soal:

Didalam sebuah kotak berisi 10 bola ( 7 hijau, 3 biru ). Berapa peluang terambilnya satu bola hijau dan selanjutnya satu bola hijau tanpa pengembalian?

• Hitung probabilitas bola hijau pertama \[P(hijau1) = 7/10\]
• Probabilitas bola biru kedua setelah hijau diambil \[P(biru2) = 3/9 = 1/3\] Jadi, Probabilitasnya adalah \[P(hijau1 dan biru2) = 7/10 \times 3/9 = 7/30 = 0.233\]

Kesimpulannya adalah:

3.1 Ruang Sampel dan Probabilitas Sederhana

Ruang Sampel adalah kumpulan semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan acak.

Contoh:

• Ruang sampel jika kita memlempar satu buah dadu adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Jika kita melempar dua buah dadu secara bersamaan, ruang sampelnya adalah 6 x 6 = 36

Probabilitas Sederhana adalah peluang suatu kejadian akan terjadi.

Rumusnya: \[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \]

• \(n(A)\) = jumlah hasil yang mendukung kejadian A
  
• \(n(S)\) = jumlah seluruh kemungkinan di ruang sampel

Contoh dari probabilitas dua buah dadu.

• probabilitas dua angka genap?

  • \(n(A)\) = 9

  (jika dilihat dari ruang sampel diatas {2 dan 2, 2 dan 4, 2 dan 6, 4 dan 2, 4 dan 4, 4 dan 6, 6 dan 2, 6 dan 4, 6 dan 6})

  • \(n(s)\) = 36

jadi,

\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \]

\[ P(A) = \frac{9}{36} \]

Probabilitas untuk munculnya dua angka genap adalah 9/36.

• Probabilitas Setidaknya Satu Angka 2?

  • \(n(A)\) = 11

  {1 dan 2, 2 dan 1, 2 dan 2, 2 dan 3, 2 dan 4, 2 dan 5, 2 dan 6, 3 dan 2, 4 dan 2, 5 dan 2, 6 dan 2}

  • \(n(s)\) = 36

jadi,

\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \]

\[ P(A) = \frac{11}{36} \]

Probabilitas untuk munculnya Setidaknya Satu Angka 2 adalah 11/36.

• Probabilitas mendapatkan dua angka genap DAN setidaknya satu angka 2 (bukan kejadian independen)?

• \(n(A)\) = 5
• \(n(s)\) = 36

jadi,

\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \]

\[ P(A) = \frac{5}{36} \]

Probabilitas untuk mendapatkan dua angka genap DAN setidaknya satu angka 2 adalah 5/36.

3.2 Gabungan Kejadian (Union)

Kejadian majemuk adalah gabungan dari dua atau lebih kejadian dalam suatu ruang sampel yang saling berkaitan atau terjadi secara bersamaan.

Rumus Umum: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

• P (A ∪ B) = Peluang gabungan (kejadian A atau B terjadi)

• P (A) + P (B) = Peluang masing-masing kejadian

• P (A ∩ B) = Peluang keduanya terjadi bersamaan (irisan kejadian)

Jika kejadian tersebut saling lepas (tidak mungkin terjadi bersamaan), maka rumusnya menjadi:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

Contoh soal:

Probabilitas mendapatkan dua angka genap ATAU setidaknya satu angka 2?

• P(A) = 9/36 (sebelumnya sudah kita hitung diatas)
• P(B) = 11/ 36 (sebelumnya sudah kita hitung diatas)
• P (A ∩ B) = 5/36 (sebelumnya sudah kita hitung diatas)

Jadi,

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

\[ P(A \cup B) = 9/36 + 11/36 - 5/36 \]

\[ P(A \cup B) = 15/36 \]

\[ P(A \cup B) = 0.4167 \]

Probabilitas untuk mendapatkan dua angka genap ATAU setidaknya satu angka 2 adalah 15/36 atau 0.4167.

3.3 Visualisasi Gabungan Kejadian

Visualisasi ini digunakan untuk menjelaskan kenapa rumus:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Dalam gambar terdapat:

• Lingkaran A
• Lingkaran B
• Daerah yang tumpang tindih adalah A ∩ B (kejadian A dan B terjadi bersamaan)
• Seluruh area yang termasuk A atau B (atau keduanya) adalah A ∪ B

Kenapa tidak cukup menjumlahkan A + B saja?

Ketika area di A dijumlahkan dengan area B, ada bagian tengah (irisan) yang terhitung dua kali. Jadi agar hitungannya benar, kita harus mengurangi 1× area irisan.

Itulah sebabnya rumusnya menjadi:

(A ditambah B) − (bagian yang terhitung dua kali)

atau

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

4.1 Kejadian Eksklusif

Terjadinya dua peristiwa dikatakan saling eksklusif ketika dua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Nama lain untuk peristiwa yang saling eksklusif adalah peristiwa yang terpisah. Dalam himpunan peristiwa yang saling eksklusif, kemunculan satu peristiwa tidak bergantung pada kemunculan peristiwa lainnya.

Contoh: Ketika percobaan pelemparan koin terjadi, sisi kepala dan sisi ekor tidak mungkin muncul secara bersamaan. Dalam percobaan pelemparan koin, sisi kepala atau sisi ekor akan muncul sebagai keluaran.

4.2 Kejadian Lengkap

Konsep sistem kejadian lengkap terbagi menjadi dua kategori, yaitu kejadian lengkap dan kejadian saling lengkap.

1. Kejadian lengkap (exhaustive events)

Kejadian lengkap adalah kumpulan kejadian yang secara keseluruhan mencakup seluruh kemungkinan yang dapat muncul dalam suatu ruang sampel. Dengan kata lain, saat sebuah eksperimen dilakukan, setidaknya satu dari kejadian-kejadian tersebut pasti terjadi.

Contoh: Pada pelemparan dua dadu secara bersamaan

A. Probabilitas terjadinya minimal satu dadu bernilai 6

B. Jumlah kedua dadu < 11

Jawab:

A. P(A) = 11/36

{1 dan 6, 2 dan 6, 3 dan 6, 4 dan 6, 5 dan 6, 6 dan 1, 6 dan 2, 6 dan 3, 6 dan 4, 6 dan 5, 6 dan 6}

B. P(B) = 33/36

(semua kejadian selain: 5 dan 6, 6 dan 5, 6 dan 6)

• Irisan A ∩ B = 8 -> 8/36

  Gabungan kejadian A dan B (1 dan 6, 2 dan 6, 3 dan 6, 4 dan 6, 6 dan 1, 6 dan 2, 6 dan 3, 6 dan 4)

Jadi,

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

\[ P(A \cup B) = 11/36 + 33/36 - 8/36 \]

\[ P(A \cup B) = 1 \]

Untuk kejadian lengkap pasti hasil akhir = 1.

2. Kejadian saling lengkap / saling lepas (mutually exclusive events)

Kejadian saling lengkap adalah dua atau lebih kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan dalam satu percobaan. Apabila salah satu kejadian terjadi, maka kejadian lainnya tidak mungkin muncul pada waktu yang sama.

Contoh: Pada pelemparan dua buah dadu secara bersamaan.

A. Berjumlah Ganjil -> P(A) = 18/36

B. Berjumlah Genap -> P(B) = 18/36

• Irisan A ∩ B = 0

Jadi,

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

\[ P(A \cup B) = 18/36 + 18/36 - 0 \]

\[ P(A \cup B) = 1 \]

Untuk Kejadian lengkap pasti berhasil akhir = 1.

5.1 Pengaturan Binomial

Untuk disebut sebagai percobaan binomial, suatu eksperimen harus memenuhi empat kondisi:

1. Jumlah percobaan tetap - nilai n harus tetap

2. Hanya dua kemungkinan hasil - sukses atau gagal

3. Probabilitas sukses konstan - P(sukses) sama untuk setiap percobaan

4. Percobaan independen - hasil satu percobaan tidak memengaruhi percobaan lainnya

5.2 Rumus Binomial

\[ P(k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1 - p)^{n-k} \]

• n = jumlah percobaan

• k = jumlah sukses

• \(p^{k}\) = Peluang munculnya keberhasilan

• \((1-p)^{n-k}\) = Peluang munculnya kegagalan

Contoh:

• Suatu box berisi 10 bola (3 merah, 2 hijau, 5 biru). Jika kita ingin mengambil 5 bola dengan pengembalian, berapa probabilitas mendapatkan tepat 2 bola hijau?

Jawab:

Diketahui:

n = 5

k = 2

p = 2/10 = 0.2

1 - p = 1 - 0.2 = 0.8

n - k = 5 - 2 = 3

Maka,

\[ P(k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1 - p)^{n-k} \]

\[ P(2) = \binom{5}{2} \times (0.2)^{2} \times (0.8)^{3} \]

\[ P(2) = 10 \times 0.004 \times 0.512 = 0.2048 \]

6.1 Distribusi Binomial

• Pada grafik A dengan n = 2 sama hasilnya dengan perhitungan sebelumnya.

• Pada grafik B dengan n = 10 menunjukkan distibusi normal dan mean nya berada di tengah yaitu 5.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai n mengontrol pendekatan ke distribusi normal.

6.2 Parameter Distribusi Binomial

Jika variabel X mengikuti distribusi binomial.

library(DT)

datatable(
  data.frame(
    Parameter = c("Mean (μ)", "Variansi (σ²)", "Simpangan baku (σ)"),
    Rumus = c("μ = n × p",
              "σ² = n × p × (1 − p)",
              "σ = √(n × p × (1 − p))")
  ),
  options = list(dom = 't', paging = FALSE),
  rownames = FALSE
)

• Pada grafik A dengan p = 0.1 dan mean = 1 menunjukkan grafik condong ke kanan.

• Pada grafik B dengan p = 0.5 dan mean = 5 menunjukkan grafik simetris atau distribusi normal.

• Pada grafik C dengan p = 0.8 dan mean = 8 menunjukkan grafik condong ke kiri.

Jadi, untuk grafik A dan C jika ingin menjadi grafik simetris, nilai n nya harus diperbesar.

Syarat Aproksimasi Normal

Distribusi binomial dapat dianggap mengikuti distribusi normal jika:

1. n x p ≥ 10
2. n x (1-p) ≥ 10

Pedoman ini bisa berbeda tergantung buku teks atau pengajar (beberapa menggunakan 5 sebagai pengganti 10)

Kesimpulan

• Nilai p mengontrol bentuk distribusi.
  • p = 0.5 (simetris)
  • p > 0.5 (rata kiri)
  • p < 0.5 (rata kanan)
• Semakin tinggi nilai n, distribusi binomial semakin mendekati distribusi normal.