MÉTODO DEL TRAPECIO

El método del trapecio es un enfoque de integración numérica que estima el área bajo una curva aproximándola mediante una serie de trapecios en lugar de rectángulos. Se utiliza para calcular el valor aproximado de una integral definida, especialmente cuando no es posible resolverla analíticamente. Este método consiste en considerar varios trapecios y aproximarse a la función mediante estos, recordemos que el área de un trapecio es: Calculada como \[A =\frac{(b-a)}{2}\] Así el área del i-esimo trapecio es:

\[A =\frac{f(x_i-1)+f(xi)}{2}*{\Delta}\]

Análogamente, a la deducción del método de la regla del punto medio, consideremos una función \({f(x)}\) continua en el intervalo \({[a,b]}\), dividimos este intervalo en \(n\) subintervalos con longitud \[\Delta x = \frac{b-a}{n}\]

, en donde se aproxima el área de la integral por medio de trapecios como lo vemos en la siguiente imagen:

knitr::include_graphics("geogebra-export-1-1-768x577.png")

Por lo que se puede aproximar la integral de la función \(f(x)\) tomando \(n\) subintervalos como:

\[ \int_a^b f(x)\, dx \approx T_n = \frac{1}{2}\left[ \sum_{i=1}^{n} \left( f(x_{i-1}) + f(x_i) \right)\Delta x \right] \] \[ \frac{\Delta x}{2}\left[ \sum_{i=1}^{n} \left( f(x_{i-1}) + f(x_i) \right) \right] = \frac{\Delta x}{2}\left[ f_0 + f_1 + \cdots + f_{n-1} + f_1 + f_2 + \cdots + f_n \right] = \frac{\Delta x}{2}\left[ f_0 + 2f_1 + \cdots + 2f_{n-1} + f_n \right] \]

\[ \therefore \int_a^b f(x)\,dx \approx T_n = \frac{\Delta x}{2}\left[ f_0 + 2f_1 + \cdots + 2f_{n-1} + f_n \right] \tag{2} \]

Donde: \[\Delta x =\frac{b-a}{n}\] Y \[x_i = a +i\Delta x\]

Cotas de error

Como son métodos de aproximación , entonces hay un error en el cual se define como la cantidad que debe ser sumada a la aproximación para llegar al valor exacto. Cuando el valor \(n\) tiende a ser muy grande, el valor \(\Delta x =\frac{b-a}{n}\) tiende a cero, por lo que \(M_n\) y \(T_n\) tienden al valor exacto de \(\int_a^b f(x)\ dx\) pero es claro que hacerlo en papel es muy difícil de llegar al valor exacto.

EJEMPLO

Método Analítico

Función

\[f(x)= x^2+3x-4\]
Límites \[a=2\] \[b=7\]

# Definir la función primitiva F(x)
F <- function(x){
  (x^3)/3 + (3*x^2)/2 - 4*x
}

# Límites
a <- 2
b <- 7

# Evaluar método analítico
resultado <- F(b) - F(a)
resultado
## [1] 159.1667

EJEMPLO

Método del Trapecio

Función

\[f(x)= x^2+3x-4\] Intervalos \[n=10\]

Límites \[a=2\] \[b=7\]

# Definir la función
f <- function(x) {
  x^2 + 3*x - 4
}

# Intervalo
a <- 2
b <- 7

# Número de subintervalos 
n <- 10

# Tamaño del paso
h <- (b - a) / n

# Implementación de la regla del trapecio
x_vals <- seq(a, b, by = h)
y_vals <- f(x_vals)

trapecio <- h * ( 0.5*y_vals[1] + sum(y_vals[2:n]) + 0.5*y_vals[n+1] )

trapecio
## [1] 159.375

ERROR RELATIVO PORCENTUAL

El error porcentual mide la discrepancia entre un valor observado y uno verdadero o aceptado. Al medir datos, el resultado suele diferir del valor real.En estos casos, es importante calcular el error porcentual. El cálculo del error porcentual implica el error absoluto, que es simplemente la diferencia entre el valor observado y el verdadero. El error absoluto se divide entre el valor verdadero, lo que da como resultado el error relativo multiplicado por 100 para obtener el error porcentual. Consulte las ecuaciones a continuación para obtener más información.

\[Error.absoluto <- |Vanalítico - Vtrapecio|\] \[Porcentaje.error=|\frac{Vanalítico - Vtrapecio}{Vanalítico}|*100\]

# Valores dados
Vreal <- 159.1667      # Método analítico
Vtrap <- 159.375       # Método del trapecio

# Error absoluto
error_absoluto <- abs(Vreal - Vtrap)

# Error relativo porcentual
error_porcentual <- abs((Vreal - Vtrap) / Vreal) *100

# Mostrar resultados
error_absoluto
## [1] 0.2083
error_porcentual
## [1] 0.1308691

\(El.error.porcentual = 0.13%\)

Pseucódigo

— Definición de la Función —

FUNCION y(x)

Calcula el resultado de la ecuación

res <- (x^2) + (3*x) - 4

Devuelve el resultado

RETORNAR res

FIN FUNCION

— Algoritmo Principal —

INICIO

Lectura de datos (Intervalo)

a <- 2

b <- 7

Particiones o subintervalos

n <- 10

Procesamiento

dx <- (b - a) / n

m <- dx / 2

suma <- 0

Bucle. Nota: El bucle va desde 2 hasta n (es decir, 2, 3, 4, 5)

PARA i DESDE 2 HASTA (n) HACER

Cálculo del punto medio 'x'  

x <- a + m + ((i-1) * dx)  

Acumulación para la suma  

suma <- suma + y(x)

FIN PARA

Cálculo final del área

area <- dx * suma

— Mostrar resultados —

label <- “El área bajo la curva es:” + area + ” unidades cuadradas.”

ESCRIBIR label

FIN

Diagrama de Flujo

knitr::include_graphics("Diagrama de Flujo B1.jpg")

Prueba de Escritorio

knitr::include_graphics("Prueba de Escritorio B1.jpg")

Código

# Definir la función
f <- function(x) {
  x^3 + 2^2 + 3*x - 4
}

# Intervalo
a <- 10
b <- 45

# Número de subintervalos 
n <- 25

# Tamaño del paso
h <- (b - a) / n

# Implementación de la regla del trapecio
x_vals <- seq(a, b, by = h)
y_vals <- f(x_vals)

trapecio <- h * ( 0.5*y_vals[1] + sum(y_vals[2:n]) + 0.5*y_vals[n+1] )

trapecio
## [1] 1026487

Conclusiones

En conclusión el método del trapecio es una aproximación de un valor en una área bajo la curva, estos calculos mientras más \((n)\) intervalos menor será el error porcentual y por ende será más exacto. Es optimo para calcular en funciones donde el método analítico no puede realizar o disponga restricciones.

El método se usa extensamente en campos donde la geometría o las funciones involucradas son irregulares o complejas:

Topografía e Ingeniería Civil: Para estimar el área de terrenos o parcelas que tienen límites irregulares. Los topógrafos miden las alturas (o profundidades) en intervalos equidistantes y usan el método para calcular el área de secciones transversales (por ejemplo, para determinar la cantidad de material necesario para rellenar o excavar).

Ingeniería Química: Para el cálculo del volumen de reactores, donde la velocidad de reacción se mide experimentalmente a diferentes niveles de conversión. La integral de esta función te da el volumen requerido.

Hidrología: Para calcular el caudal o el volumen de agua que pasa por una sección de un río (hidrogramas), o para dimensionar cuencas, utilizando mediciones de secciones transversales.

Física (Trabajo y Energía): Para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una distancia, donde la fuerza solo se conoce en puntos específicos.