中級統計学：復習テスト17

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト14〜20を順に重ねて左上でホチキス止めし，第3回中間試験実施日（12月12日の予定）に提出すること．

1. \mathrm{N}\left(\mu_X,\sigma^2\right),\mathrm{N}\left(\mu_Y,\sigma^2\right) から独立に抽出した無作為標本を (X_1,\dots,X_m),(Y_1,\dots,Y_n) とする．

1. 標本平均 \bar{X},\bar{Y} の分布をそれぞれ求めなさい．

2. \bar{X}-\bar{Y} の分布を求めなさい．

3. プールした標本分散 s^2 を式で定義しなさい．

4. (m+n-2)s^2/\sigma^2 はどのような分布をもつか？

5. \left[\bar{X}-\bar{Y}-(\mu_X-\mu_Y)\right]/\sqrt{s^2(1/m+1/n)} はどのような分布をもつか？

解答例

\begin{align*} \bar{X} & \sim \mathrm{N}\left(\mu_X,\frac{\sigma^2}{m}\right) \\ \bar{Y} & \sim \mathrm{N}\left(\mu_Y,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{align*}

2. \bar{X} と \bar{Y} は独立なので

\bar{X}-\bar{Y} \sim \mathrm{N}\left(\mu_X-\mu_Y,\frac{\sigma^2}{m}+\frac{\sigma^2}{n}\right)

s^2:=\frac{1}{m+n-2}\left[ \sum_{i=1}^m\left(X_i-\bar{X}\right)^2+\sum_{j=1}^n\left(Y_j-\bar{Y}\right)^2 \right]

\frac{(m+n-2)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(m+n-2)

\frac{\bar{X}-\bar{Y}-(\mu_X-\mu_Y)}{\sqrt{s^2(1/m+1/n)}} \sim \rt(m+n-2)

2. \mathrm{N}\left(\mu_X,\sigma_X^2\right),\mathrm{N}\left(\mu_Y,\sigma_Y^2\right) から独立に抽出した無作為標本を (X_1,\dots,X_m),(Y_1,\dots,Y_n) とする．

1. 標本分散 s_X^2,s_Y^2 をそれぞれ式で定義しなさい（\mu_X,\mu_Y は未知）．

2. (m-1)s_X^2/\sigma_X^2,(n-1)s_Y^2/\sigma_Y^2 はそれぞれどのような分布をもつか？

3. (s_X^2/s_Y^2)/(\sigma_X^2/\sigma_Y^2) はどのような分布をもつか？

解答例

\begin{align*} s_X^2 & :=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m\left(X_i-\bar{X}\right)^2 \\ s_Y^2 & :=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2 \end{align*}

\begin{align*} \frac{(m-1)s_X^2}{\sigma_X^2} & \sim \chi^2(m-1) \\ \frac{(n-1)s_Y^2}{\sigma_Y^2} & \sim \chi^2(n-1) \end{align*}

\frac{s_X^2/s_Y^2}{\sigma_X^2/\sigma_Y^2} \sim \mathrm{F}(m-1,n-1)

3. \mathrm{N}\left(\mu_X,\sigma^2\right),\mathrm{N}\left(\mu_Y,\sigma^2\right) から独立に抽出した大きさ 10,15 の無作為標本の標本分散をそれぞれ s_X^2,s_Y^2 とする．s_X^2/s_Y^2>3 の確率を F 分布表を利用して求めなさい．

解答例

\begin{align*} \Pr\left[\frac{s_X^2}{s_Y^2}>3\right] & =\Pr\left[ \frac{s_X^2/s_Y^2}{\sigma^2/\sigma^2}>\frac{3}{\sigma^2/\sigma^2} \right] \\ & =\Pr[\mathrm{F}(9,14)>3] \\ & \approx .03 \end{align*}