Code
tiempos <- c(
48,55,60,52,50,47,58,53,56,49,51,62,54,57,50,46,59,55,52,
48,51,58,60,53,47,49,50,54,56,52,57,48,59,55,51,53,50,46,60,58
)
length(tiempos) # comprobamos que n = 40[1] 40Solución Ejercicios en R: Contrastes de hipótesis paramétricos
EJERCICIO 1
Una empresa afirma que el tiempo medio de ensamblaje de una pieza es de 50 minutos.Estudios previos establecen que la desviación típica poblacional es conocida y vale \(\sigma = 8\) minutos. Se toma una muestra aleatoria de \(n = 40\) trabajadores con los tiempos:
48,55,60,52,50,47,58,53,56,49,51,62,54,57,50,46,59,55,52, 48,51,58,60,53,47,49,50,54,56,52,57,48,59,55,51,53,50,46,60,58
Se desea contrastar, con \(\alpha= 0.05\), si el tiempo medio difiere del declarado (50 minutos). (Nota: Al tratarse de una varianza poblacional conocida, debe utilizarse la prueba z para la media mediante la función z.test del paquete BSDA)
1. Formulación de hipótesis
Queremos contrastar si el tiempo medio difiere del valor declarado de 50 minutos:
\(H_0 : \mu = 50\)
\(H_1 : \mu \neq 50\)
Se trata de un contraste bilateral con nivel de significación \(\alpha = 0.05\).
2. Estadístico de contraste
Como la desviación típica poblacional es conocida \(\sigma = 8\), se utiliza un contraste z:
\[ Z_{exp} = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \] Cálculo manual con R
Code
sigma <- 8
mu0 <-50
n <- length(tiempos)
media_muestral <- mean(tiempos)
error_estandar <- sigma / sqrt(n)
z_exp <- (media_muestral - mu0) / error_estandar
media_muestral[1] 53.225Code
z_exp[1] 2.5495863. Regla de decisión
Para un contraste bilateral con \(\alpha = 0.05\):
\[ z_{0.025} = 1.96 \]
Regla de decisión:
- Rechazar \(H_0\) si \(|Z_{exp}| > 1.96\)
- No rechazar \(H_0\) si \(|Z_{exp}| \le 1.96\)
Solución con función z.test
Code
if (!require(BSDA)) {
install.packages("BSDA")
library(BSDA)
}
z.test(
tiempos,
mu = 50,
sigma.x = 8,
alternative = "two.sided",
conf.level = 0.95
)
One-sample z-Test
data: tiempos
z = 2.5496, p-value = 0.01079
alternative hypothesis: true mean is not equal to 50
95 percent confidence interval:
50.74582 55.70418
sample estimates:
mean of x
53.225 p-valor del contraste manual con R
Code
pvalor <- 2 * (1 - pnorm(abs(z_exp)))
pvalor[1] 0.01078508Como \(Z_{exp}\)>1.96 y el p-valor es menor que 0.05,
p-value = 0.01079rechazamos la hipótesis nula. Para un nivel de significación del 5%, existe evidencia estadística suficiente para concluir que la media difiere de 50 minutos.
EJERCICIO 2
Una empresa quiere comprobar si el tiempo medio de respuesta de su servicio técnico es de 30 minutos. Se toma una muestra aleatoria de n = 15 tiempos de respuesta (minutos):
28, 35, 32, 30, 27, 29, 33, 31, 36, 34, 29, 28, 32, 30, 31
Se desea contrastar con \(\alpha=0.05\) si el tiempo medio es menor que el declarado por la empresa (30 min).
Code
# Datos de la muestra del servicio técnico
tiempos <- c(
28, 35, 32, 30, 27, 29, 33, 31, 36, 34, 29, 28, 32, 30, 31
)
length(tiempos) # comprobamos que n = 15[1] 151. Formulación de hipótesis
Queremos contrastar si el tiempo medio de respuesta es menor que el valor declarado por la empresa (30 minutos). Por tanto:
\(H_0 : \mu = 30\)
\(H_1 : \mu < 30\)
Se trata de un contraste unilateral a la izquierda con nivel de significación \(\alpha = 0.05\).
2. Estadístico de contraste
Como la desviación típica poblacional es desconocida, utilizamos un contraste t de Student:
\[ T_{exp} = \frac{\bar X - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \]
Cálculo manual con R:
Code
tiempos <- c(
28, 35, 32, 30, 27, 29, 33, 31, 36, 34, 29, 28, 32, 30, 31
)
mu0 <- 30
n <- length(tiempos)
media_muestral <- mean(tiempos)
s_muestral <- sd(tiempos)*sqrt((n-1)/n)
error_estandar <- s_muestral / sqrt(n-1)
t_exp <- (media_muestral - mu0) / error_estandar
media_muestral[1] 31Code
s_muestral[1] 2.581989Code
t_exp[1] 1.4491383. Regla de decisión
Para un contraste unilateral a la izquierda con \(\alpha = 0.05\) y
grados de libertad \(gl = n - 1 = 14\):
Code
gl <- n - 1
t_critico <- qt(0.05, df = gl) # percentil del 5% (cola izquierda)
t_critico[1] -1.76131La región crítica es:
- Rechazar \(H_0\) si \(T_{\text{exp}} < t_{0.05,14}\)
- No rechazar \(H_0\) si \(T_{\text{exp}} \ge t_{0.05,14}\)
4. Contraste con t.test
Code
t.test(
tiempos,
mu = 30,
alternative = "less", # cola izquierda
conf.level = 0.95
)
One Sample t-test
data: tiempos
t = 1.4491, df = 14, p-value = 0.9153
alternative hypothesis: true mean is less than 30
95 percent confidence interval:
-Inf 32.21542
sample estimates:
mean of x
31 p-valor calculado manualmente
Code
pvalor <- pt(t_exp, df = gl) # cola izquierda
pvalor[1] 0.91533634. Conclusión
Estadístico observado:
\(T_{exp} = 1.4491\)Valor crítico:
\(t_{0.05,14} = -1.76131\)p-valor:
\(p = 0.9153363\)
Dado que el estadístico observado no es menor que el valor crítico y el p-valor es mayor que 0.05, (\(p-value=0.9153\)) no rechazamos \(H_0\).
No existe evidencia estadística suficiente para afirmar que el tiempo medio de respuesta sea menor que 30 minutos.
EJERCICIO 3
Una máquina de llenado envasa botellas de refresco. Históricamente, el proceso está bien ajustado cuando la desviación típica poblacional del volumen es \(\sigma_0 = 2ml\). Tras un cambio en la línea de producción, se sospecha que la variabilidad ha aumentado. Para comprobarlo, se toma una muestra aleatoria de \(n = 12\) botellas y se miden sus volúmenes (en ml):
51, 47, 55, 49, 52, 56, 50, 53, 54, 48, 57, 52
Suponiendo que los volúmenes se distribuyen aproximadamente normales, contrasta, con \(\alpha = 0.05\), si la varianza ha aumentado respecto al valor objetivo.
(Nota: Puedes utilizar la librería TeachingDemos o (sigma.test) o la librería EnvStats (Var.Test).
Datos
Code
# Datos de volúmenes (ml)
volumenes <- c(51, 47, 55, 49, 52, 56, 50, 53, 54, 48, 57, 52)
length(volumenes)[1] 121. Formulación de hipótesis
Históricamente, el proceso está bien ajustado cuando la desviación típica poblacional es
\(\sigma_0 = 2\) ml, por lo que la varianza objetivo es \(\sigma_0^2 = 4\) ml\(^2\).
Tras un cambio en la línea, se sospecha que la variabilidad ha aumentado. Por tanto:
\(H_0 : \sigma^2 = 4\)
\(H_1 : \sigma^2 > 4\)
Se trata de un contraste unilateral a la derecha sobre la varianza, con nivel de significación \(\alpha = 0.05\).
2. Estadístico de contraste
En un contraste clásico de varianza, usando la varianza muestral \(S^2\) (divisor \(n-1\)), el estadístico es:
\[ \chi^2 = \frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2_{n-1}. \]
Como tú defines la varianza muestral como
\(s_n^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar x)^2\),
sabemos que:
\[ S^2 = \frac{n}{n-1}\, s_n^2 \]
y por tanto el estadístico puede escribirse directamente como:
\[ \chi^2_{\text{exp}} = \frac{n\, s_n^2}{\sigma_0^2}. \]
Code
volumenes <- c(51, 47, 55, 49, 52, 56, 50, 53, 54, 48, 57, 52)
n <- length(volumenes)
mu0 <- 2
sigma0_2 <- mu0^2
media_muestral <- mean(volumenes)
# Tu definición: varianza muestral con divisor n
s_n2 <- sum((volumenes - media_muestral)^2) / n
s_n <- sqrt(s_n2)
chi_exp <- n * s_n2 / sigma0_2
media_muestral[1] 52Code
s_n2[1] 9.166667Code
chi_exp[1] 27.53. Regla de decisión
Los grados de libertad son:
\(gl = n - 1 = 11\)
Para un contraste unilateral a la derecha con \(\alpha = 0.05\):
Code
gl <- n - 1
chi_critico <- qchisq(0.95, df = gl) # contraste unilateral a la derecha
chi_critico[1] 19.67514La región crítica es:
- Rechazar \(H_0\) si \(\chi^2_{\text{exp}} > \chi^2_{0.95,11}\)
- No rechazar \(H_0\) si \(\chi^2_{\text{exp}} \le \chi^2_{0.95,11}\)
4. Contraste usando varTest (EnvStats)
Code
if (!require(EnvStats)) {
install.packages("EnvStats")
library(EnvStats)
}
varTest(
x = volumenes,
alternative = "greater", # cola derecha
sigma.squared = sigma0_2,
conf.level = 0.95
)$statistic
Chi-Squared
27.5
$parameters
df
11
$p.value
[1] 0.003859337
$estimate
variance
10
$null.value
variance
4
$alternative
[1] "greater"
$method
[1] "Chi-Squared Test on Variance"
$data.name
[1] "volumenes"
$conf.int
LCL UCL
5.590812 Inf
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
attr(,"class")
[1] "htestEnvStats"5. p-valor calculado manualmente
Code
pvalor <- 1 - pchisq(chi_exp, df = gl)
pvalor[1] 0.0038593376. Conclusión
Estadístico observado: \(\chi^2_{\text{exp}} = 27.5\)
Valor crítico: \(\chi^2_{0.95,11} = 19.675\)
p-valor: \(p = 0.00386\)
Dado que \(\chi^2_{\text{exp}}\) supera el valor crítico y el p-valor es menor que 0.05, rechazamos \(H_0\).
Concluimos que la variabilidad del proceso ha aumentado respecto al valor objetivo.
EJERCICIO 4
Una empresa quiere comparar la productividad semanal (número de unidades producidas) entre dos turnos de trabajo: Turno A y Turno B. Se toman muestras independientes de trabajadores de cada turno: • Turno A (n = 12): 45, 50, 47, 52, 49, 46, 51, 48, 53, 47, 50, 49 • Turno B (n = 10): 40, 42, 39, 45, 44, 41, 43, 40, 46, 42 Se desea contrastar, con α = 0.05, si el turno A tiene una media de productividad mayor que el turno B. Datos
Code
# Datos de productividad semanal
turnoA <- c(45, 50, 47, 52, 49, 46, 51, 48, 53, 47, 50, 49)
turnoB <- c(40, 42, 39, 45, 44, 41, 43, 40, 46, 42)
nA <- length(turnoA)
nB <- length(turnoB)
mediaA <- mean(turnoA)
mediaB <- mean(turnoB)
nA; nB[1] 12[1] 10Code
mediaA; mediaB[1] 48.91667[1] 42.21. Formulación de hipótesis
Queremos comprobar si la productividad media del turno A es mayor que la del turno B.
Planteamos:
\(H_0 : \mu_A = \mu_B\)
\(H_1 : \mu_A > \mu_B\)
Es un contraste de medias de dos poblaciones normales, varianzas desconocidas pero iguales, unilateral a la derecha, con nivel de significación \(\alpha = 0.05\).
2. Estadístico de contraste
Suponiendo varianzas poblacionales iguales, el estadístico es
\[ T = \frac{(\bar X_A - \bar X_B)-(\mu_A-\mu_B)_0} {\sqrt{S_p^2\left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}\right)}}, \]
donde \(S_p^2\) es la varianza combinada (pooled):
\[ S_p^2 = \frac{n_AS_A^2 + n_BS_B^2}{n_A + n_B - 2}. \] Cálculo con R:
Code
turnoA <- c(45, 50, 47, 52, 49, 46, 51, 48, 53, 47, 50, 49)
turnoB <- c(40, 42, 39, 45, 44, 41, 43, 40, 46, 42)
nA <- length(turnoA)
nB <- length(turnoB)
mediaA <- mean(turnoA)
mediaB <- mean(turnoB)
# Varianzas con la definición de varianza muestral (divisor n)
SA2_n <- sum((turnoA - mediaA)^2) / nA
SB2_n <- sum((turnoB - mediaB)^2) / nB
# Varianza combinada usando SA^2_n y SB^22_n
Sp2 <- (nA * SA2_n + nB * SB2_n) / (nA + nB - 2)
# Error estándar y estadístico T
error_estandar <- sqrt(Sp2 * (1/nA + 1/nB))
t_exp <- (mediaA - mediaB) / error_estandar
mediaA; mediaB[1] 48.91667[1] 42.2Code
SA2_n; SB2_n[1] 5.409722[1] 4.76Code
Sp2[1] 5.625833Code
t_exp[1] 6.613626Los grados de libertad son:
\[ gl = n_A + n_B - 2. \]
Code
gl <- nA + nB - 2
gl[1] 203. Regla de decisión
Para un contraste unilateral a la derecha con \(\alpha = 0.05\) y \(gl = n_A + n_B - 2\):
Code
t_critico <- qt(0.95, df = gl)
t_critico[1] 1.724718La regla de decisión es:
- Rechazar \(H_0\) si \(T_{exp} > t_{0.95,gl}\)
- No rechazar \(H_0\) si \(T_{exp} \le t_{0.95,gl}\)
4. Contraste con t.test (varianzas desconocidas pero iguales)
Code
t.test(
turnoA, turnoB,
alternative = "greater", # turno A mayor
var.equal = TRUE, # asumimos varianzas iguales
conf.level = 0.95
)
Two Sample t-test
data: turnoA and turnoB
t = 6.6136, df = 20, p-value = 9.644e-07
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
4.965077 Inf
sample estimates:
mean of x mean of y
48.91667 42.20000 5. p-valor calculado manualmente
Code
pvalor <- (pt(t_exp, df = gl, lower.tail=FALSE)) # cola derecha
pvalor[1] 9.644384e-076. Conclusión
Code
t_exp[1] 6.613626Code
t_critico[1] 1.724718Code
pvalor[1] 9.644384e-07Estadístico observado: \(T_{exp} = 6.6136\)
Valor crítico: \(t_{0.95,gl} = 1.7247\)
p-valor: \(p = 9.6444e-07\)
Como \(T_{exp} > t_{0.95,gl}\) y el p-valor es menor que 0.05, rechazamos \(H_0\) y concluimos que la productividad media del turno A es mayor que la del turno B.
Si no se cumple, entonces no existe evidencia estadística suficiente para afirmar que el turno A es más productivo.
EJERCICIO 5
Un centro de atención telefónica afirma que el 80% de las llamadas se resuelven en menos de 3 minutos. Una auditoría externa sospecha que el porcentaje puede ser menor. Para comprobarlo, se toma una muestra aleatoria de n = 200 llamadas, de las cuales 148 se resolvieron en menos de 3 minutos. Con α = 0.05, contrasta si la proporción real es menor que la declarada por el centro.
Datos
Code
# Datos del ejercicio
n <- 200 # tamaño muestral
x <- 148 # éxitos = llamadas resueltas < 3 minutos
p0 <- 0.80 # proporción declarada1. Formulación de la hipótesis
La empresa declara que el 80% de las llamadas se resuelven en menos de 3 minutos. La auditoría sospecha que la proporción real es menor.
Por tanto, planteamos:
\(H_0 : p = 0.80\)
\(H_1 : p < 0.80\)
Se trata de un contraste unilateral a la izquierda con nivel de significación \(\alpha = 0.05\).
2. Estadístico de contraste
Sea \(\hat{p} = x/n\) la proporción muestral.
El estadístico para contrastar proporciones es:
\[ Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0 q_0/n}} \]
Code
n <- 200 # tamaño muestral
x <- 148 # éxitos
p0 <- 0.80 # proporción declarada
phat <- x/n
error_estandar <- sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
z_exp <- (phat - p0) / error_estandar
phat[1] 0.74Code
z_exp[1] -2.121323. Regla de decisión
Para un contraste unilateral a la izquierda con \(\alpha = 0.05\):
Code
z_critico <- qnorm(0.05) # cola izquierda
z_critico[1] -1.644854La región crítica es:
Rechazar \(H_0\) si \(Z_{\text{exp}} < z_{0.05}\)
No rechazar \(H_0\) si \(Z_{\text{exp}} \ge z_{0.05}\)
4. Contraste con prop.test() Este contraste aunque realiza el mismo test que nosotros hacemos no lo hace exactamente igual y lo hace mediante una chi cuadrado con correción de continuidad, por lo los resultados numéricos no son exáctamente iguales pero si el resultado final.
Code
prop.test(
x = x,
n = n,
p = p0,
alternative = "less",
conf.level = 0.95,
correct = FALSE # para que coincida con el cálculo manual
)
1-sample proportions test without continuity correction
data: x out of n, null probability p0
X-squared = 4.5, df = 1, p-value = 0.01695
alternative hypothesis: true p is less than 0.8
95 percent confidence interval:
0.0000000 0.7875732
sample estimates:
p
0.74 5. p-valor calculado manualmente
Para un contraste unilateral a la izquierda:
Code
pvalor <- pnorm(z_exp) # cola izquierda
pvalor[1] 0.016947436. Conclusión
Code
z_exp[1] -2.12132Code
z_critico[1] -1.644854Code
pvalor[1] 0.01694743Estadístico observado: \(Z_{{exp} = -2.1213\)
Valor crítico unilateral: \(z_{0.05} = -1.6449\)
p-valor: \(p = 0.01695\)
Si \(Z_{\text{exp}} < z_{0.05}\) y el p-valor es menor que 0.05, rechazamos \(H_0\) y concluimos que la proporción real de llamadas resueltas en menos de 3 minutos es menor que la declarada.
Si no se cumple, entonces no hay evidencia estadística suficiente para afirmar que la proporción real sea menor que el 80%.
EJERCICIO 6
Una empresa tecnológica lanza dos versiones de su página web (A y B) y quiere comparar el porcentaje de usuarios que completan una compra. Tras una semana de prueba, se obtienen los siguientes datos: • Versión A: Usuarios que compran = 210 de 500 visitantes. • Versión B: Usuarios que compran = 260 de 520 visitantes. La empresa quiere saber, con un nivel de significación α = 0.05, si la versión B consigue un porcentaje mayor de compras que la versión A.
Datos
Code
# Datos del ejercicio
xA <- 210 # compras en versión A
nA <- 500 # visitantes versión A
xB <- 260 # compras en versión B
nB <- 520 # visitantes versión B1. Formulación de la hipótesis
Sea:
- \(p_A\) = proporción de usuarios que compran en la versión A
- \(p_B\) = proporción de usuarios que compran en la versión B
La empresa quiere comprobar si la versión B consigue una tasa de compras mayor que la versión A. Por tanto, las hipótesis se formulan como:
\(H_0 : p_A = p_B\)
\(H_1 : p_A < p_B\)
Es un contraste unilateral a la derecha, ya que planteamos que la proporción en B es mayor que la de A.
2. Estadístico de contraste (NO POOLED)
*(Nota: Este estadístico no coincide con prop.test() porque:
prop.test()siempre usa pooled proportions bajo \(H_0: p_A = p_B\)- Auquí estamos usando el contraste no-pooled, apropiado cuando NO se impone la igualdad de varianzas poblacionales
Pero ambos son válidos dependiendo del enfoque.)*
El estadístico de contraste que utilizamos es:
\[ P_{\text{exp}} = \frac{ (\hat p_A - \hat p_B) - (p_A-p_B)_0 }{ \sqrt{ \frac{\hat p_A \hat q_A}{n_A} + \frac{\hat p_B \hat q_B}{n_B} } } \sim N(0,1) \]
donde:
- \(\hat p_A = x_A/n_A\), \(\hat q_A = 1 - \hat p_A\)
- \(\hat p_B = x_B/n_B\), \(\hat q_B = 1 - \hat p_B\)
- \((p_A - p_B)_0 = 0\) bajo la hipótesis nula
Code
xA <- 210; nA <- 500
xB <- 260; nB <- 520
phatA <- xA/nA
phatB <- xB/nB
qhatA <- 1 - phatA
qhatB <- 1 - phatB
# Error estándar SIN POOLED
se_np <- sqrt( (phatA*qhatA)/nA + (phatB*qhatB)/nB )
# Estadístico P_exp NO POOLED
P_exp <- (phatA - phatB) / se_np
P_exp[1] -2.5713383. Regla de decisión
El contraste es unilateral a la izquierda porque hemos planteado:
\(H_1 : p_A < p_B\)
Por tanto, la región crítica viene dada por:
\[ \text{Rechazar } H_0 \quad \text{si} \quad P_{\text{exp}} < z_{0.05}, \]
donde \(z_{0.05}\) es el percentil 5% de la normal estándar.
Code
z_critico <- qnorm(0.05) # cola izquierda
z_critico[1] -1.6448544. p-valor del contraste (versión manual, NO POOLED)
El p-valor para un contraste unilateral a la izquierda es:
\[ p\text{-valor} = P\left(Z < P_{\text{exp}}\right) \]
Code
pvalor_np <- pnorm(P_exp) # cola izquierda
pvalor_np[1] 0.0050653165. Contraste con prop.test() (versión POOLED)
prop.test() realiza el contraste asumiendo igualdad de proporciones bajo \(H_0\), usando la proporción combinada (pooled). Como nuestras hipótesis son \(H_1: p_A < p_B\), se usa:
Code
prop_res <- prop.test(
x = c(xA, xB),
n = c(nA, nB),
alternative = "less", # H1: pA < pB
correct = FALSE # sin corrección de continuidad para equivalencia con Z manual
)
prop_res
2-sample test for equality of proportions without continuity correction
data: c(xA, xB) out of c(nA, nB)
X-squared = 6.5659, df = 1, p-value = 0.005198
alternative hypothesis: less
95 percent confidence interval:
-1.00000000 -0.02882498
sample estimates:
prop 1 prop 2
0.42 0.50 Para obtener el estadístico tipo Z equivalente (prop.test devuelve Chi-cuadrado):
Code
chi_pooled <- prop_res$statistic
Z_pooled <- sqrt(chi_pooled) * sign(phatA - phatB)
Z_pooledX-squared
-2.562397 Code
pvalor_pooled <- pnorm(Z_pooled)
pvalor_pooled X-squared
0.005197616 6. Conclusión
Code
P_exp[1] -2.571338Code
Z_pooledX-squared
-2.562397 Code
pvalor_np[1] 0.005065316Code
pvalor_pooled X-squared
0.005197616 Code
z_critico[1] -1.644854Estadístico NO POOLED (el que usamos en nuestros apuntes): \(P_{\text{exp}} =-2.5713\)
Estadístico POOLED (prop.test): \(Z_{\text{pooled}} = -2.5624\)
Valor crítico unilateral: \(z_{0.05} = -1.6449\)
p-valor NO POOLED: \(p_{\text{np}} = 0.00506\)
p-valor POOLED (prop.test): \(p_{\text{pooled}} = 0.00520\)
Decisión: Si el estadístico cae en la región crítica (\(P_{\text{exp}} < z_{0.05}\)) y el p-valor < 0.05, rechazamos \(H_0\) y concluimos que la tasa de conversión en la versión B es mayor que en la versión A (es decir, \(p_A < p_B\)). Si no se cumple, no hay evidencia suficiente para afirmarlo.