Zhluková analýza (Cluster Analysis)

---

Úvod

Klastrová (zhluková) analýza patrí medzi najpoužívanejšie metódy exploratívnej štatistiky. V praxi sa využíva všade tam, kde je potrebné rozdeliť pozorovania do homogénnych celkov – napríklad pri segmentácii zákazníkov v marketingu, identifikácii podobných regiónov z hľadiska socioekonomických ukazovateľov, hodnotení zdravotných rizík, klasifikácii biologických vzoriek či v geoinformatike pri zoskupovaní priestorových objektov. Jej výhodou je, že pracuje s viacerými premennými naraz a dokáže odhaliť vzory, ktoré by pri samostatnom hodnotení jednotlivých ukazovateľov zostali skryté. Správne zvolená metrika vzdialenosti a metóda zhlukovania umožňujú odhaliť skryté vzťahy v dátach, čím poskytujú cenný podklad pre rozhodovanie v rôznych oblastiach aplikovaného výskumu.

V tejto práci predstavíme zhlukovú analýzu pri analýze údajov o počte obyvateľov okresov Slovenskej republiky z hľadiska ich mesačného vývoja v roku 2024. Pracujeme s databázou, ktorá obsahuje okres, obec a počet obyvateľov v jednotlivých mesiacoch roku 2024 (od januára po december). Údaje najskôr agregujeme na úroveň okresov a následne náhodne vyberieme 10 okresov, na ktorých demonštrujeme celý postup hierarchického zhlukovania. V Tab. 1 uvádzame celú nami používanú databázu 10 okresov.

library(knitr)
library(kableExtra)
library(dplyr)

rm(list = ls())

# Načítanie údajov z databázy
# Predpoklad: súbor "Databaza.csv" je v rovnakom priečinku ako tento Rmd súbor.
# Používame separátor ";" keďže ide o CSV v európskom formáte.
udaje_raw <- read.csv("Databaza.csv",
                      sep = ";",
                      stringsAsFactors = FALSE)

# R automaticky dopĺňa X pred názvy stĺpcov začínajúcich číslom,
# preto ho odstránime, aby sme mali späť názvy 2024M01, 2024M02, ...
names(udaje_raw) <- sub("^X", "", names(udaje_raw))

# Premenovanie mesiacov na bežné názvy
mesiace_map <- c(
  "2024M01" = "Január",
  "2024M02" = "Február",
  "2024M03" = "Marec",
  "2024M04" = "Apríl",
  "2024M05" = "Máj",
  "2024M06" = "Jún",
  "2024M07" = "Júl",
  "2024M08" = "August",
  "2024M09" = "September",
  "2024M10" = "Október",
  "2024M11" = "November",
  "2024M12" = "December"
)

# premenujeme len stĺpce s mesiacmi
names(udaje_raw)[match(names(mesiace_map), names(udaje_raw))] <- mesiace_map
month_names <- unname(mesiace_map)  # v poradí január–december

# Agregácia na úroveň okresov (súčet obyvateľov za všetky obce)
udaje_okresy <- udaje_raw %>%
  group_by(Okres) %>%
  summarise(across(all_of(month_names), sum, na.rm = TRUE))

# Náhodný výber 10 okresov
set.seed(123)  # pre reprodukovateľnosť
okresy_vyber <- sample(unique(udaje_okresy$Okres), 10)

udaje_vyber <- subset(udaje_okresy, Okres %in% okresy_vyber)

# Usporiadanie podľa názvu okresu (nie je nutné, len pre prehľadnosť)
udaje_vyber <- udaje_vyber[order(udaje_vyber$Okres), ]

Tab. 1. Vybrané okresy a ich počet obyvateľov v jednotlivých mesiacoch roku 2024

kable(udaje_vyber, caption = "Vybrané okresy a ich počet obyvateľov (Január–December 2024)") %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)

Vybrané okresy a ich počet obyvateľov (Január–December 2024)

Okres	Január	Február	Marec	Apríl	Máj	Jún	Júl	August	September	Október	November	December
Okres Bratislava I	47375	47391	47408	47411	47484	47503	47488	47525	47564	47565	47632	47634
Okres Bratislava II	125980	125975	126022	126047	126178	126245	126393	126435	126457	126481	126522	126632
Okres Bratislava III	77594	77678	77718	77736	77746	77817	77872	77912	77936	77918	77998	78070
Okres Bratislava IV	105043	105011	104992	105029	105039	105064	105066	105076	105140	105120	105165	105118
Okres Bratislava V	122048	122009	121976	121993	121936	121934	121918	121871	121869	121864	121836	121885
Okres Dunajská Streda	127025	127173	127217	127264	127307	127397	127460	127512	127576	127692	127772	127803
Okres Hlohovec	27236	27182	27133	27125	27084	27056	27027	27004	26961	26921	26904	26876
Okres Malacky	79689	79717	79761	79782	79849	79899	79923	79930	79917	79935	79961	79994
Okres Pezinok	69953	69936	69926	69945	69972	70006	70021	70070	70055	70067	70099	70105
Okres Senec	105075	105281	105448	105640	105848	106062	106188	106382	106488	106649	106781	106872

Hierarchická zhluková analýza pracuje s mierami vzdialenosti medzi pozorovaniami. Aby boli tieto vzdialenosti porovnateľné, je potrebné, aby všetky premenné boli definované na rovnakej škále. V našom prípade sú premennými mesačné počty obyvateľov (Január až December). Použijeme tzv. z-škálovanie, pričom transformované \(z\) hodnoty (skóre) vypočítame nasledovne

\[z = \frac{x-\mu}{\sigma}\]

kde \(\mu\) je stredná hodnota a \(\sigma\) je štandardná odchýlka pozorovaní \(x\). Predpokladáme pritom, že súbor údajov už neobsahuje NA hodnoty, ktoré boli ošetrené v predchádzajúcich krokoch.

Touto operáciou získame škálované pozorovania, pričom ich rozloženie je znázornené nasledovne.

# =======================================================
## 1) Príprava údajov a data.frame so škálovanými údajmi
## ======================================================

# Vyberieme len numerické stĺpce s mesačnými údajmi (Január–December)
udaje10 <- udaje_vyber[, month_names]

# Názvy riadkov nastavíme na názvy okresov
rownames(udaje10) <- udaje_vyber$Okres

# Odstránime prípadné chýbajúce hodnoty
udaje_complete <- na.omit(udaje10)

# Škálovanie (z-škóre) jednotlivých premenných
udaje_scaled <- scale(udaje_complete)

Obr. 1. Boxploty škálovaných numerických premenných (mesiace roku 2024)

num_vars  <- as.data.frame(udaje_scaled)
num_plots <- ncol(num_vars)

# 12 mesiacov = 3x4 mriežka
par(mfrow = c(3, 4),
    mar  = c(4, 4, 2, 1),
    oma  = c(0, 0, 3, 0))

for (col in names(num_vars)) {
  boxplot(num_vars[[col]],
          main       = col,
          col        = "lightblue",
          horizontal = TRUE)
}

mtext("Boxploty numerických premenných (mesiace roku 2024)",
      outer = TRUE, cex = 1.3, font = 2)

Tentokrát odľahlé hodnoty nevylučujeme, nakoľko definujú konkrétny okres. Napríklad okres s výrazne vyšším počtom obyvateľov je z pohľadu analýzy zaujímavý a chceme ho v dátach zachovať.

---

Pri zhlukovej analýze je dôležitá korelačná matica premenných. Vysoká korelácia zvýhodňuje pri zhlukovej analýze korelované premenné. Preto pri korelácii nad 0,8 alebo 0,9 často vylúčime jednu z korelovaných premenných. V Tab. 2 ukážeme korelačnú maticu medzi jednotlivými mesiacmi roku 2024. Ak by sa medzi mesiacmi vyskytovali veľmi vysoké korelácie, bolo by možné uvažovať napríklad o znížení dimenzie pomocou analýzy hlavných komponentov.

V prípade, ak máme väčší počet významne korelovaných premenných, sa odporúča transformácia pomocou Analýzy hlavných komponentov (Principal Component Analysis).

Tab. 2. Korelačná matica medzi mesiacmi roku 2024

cor_mat <- cor(udaje_scaled, use = "pairwise.complete.obs")
cor_mat <- round(cor_mat, 2)
print(cor_mat)

          Január Február Marec Apríl Máj Jún Júl August September Október November December
Január         1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
Február        1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
Marec          1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
Apríl          1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
Máj            1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
Jún            1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
Júl            1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
August         1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
September      1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
Október        1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
November       1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1
December       1       1     1     1   1   1   1      1         1       1        1        1

Každému okresu zodpovedá jeden riadok pozorovaní. Vzdialenosť medzi okresmi \(i\) a \(j\) je:

\[ d^{ij} = \sqrt{\sum_k (x^i_k - x^j_k)^2} \]

kde \(x^i_k\) je \(k\)-tá premenná vstupujúca do výpočtu (v našom prípade ide o mesačné počty obyvateľov: Január, Február, …, December) okresu \(i\). Tento typ vzdialenosti nazývame Euklidovská vzdialenosť. Vzdialenosti medzi jednotlivými okresmi sa súhrnne vyjadrujú aj v matici vzdialenosti, čo je v našom prípade uvedené v Tab. 3. Analýzou tejto tabuľky môžeme identifikovať dvojice okresov, ktoré sú si podľa priebehu počtu obyvateľov v roku 2024 veľmi podobné (malá vzdialenosť), resp. veľmi odlišné (veľká vzdialenosť).

Tab. 3. Euklidovská matica vzdialeností medzi okresmi

## ============================
## 3) Distance matrix
## ============================
# ponecháme pôvodné názvy okresov ako rownames
dist_mat <- round(dist(udaje_scaled, method = "euclidean"), 2)
dist_mat

       1     2     3     4     5     6     7     8     9
2   7.94                                                
3   3.06  4.88                                          
4   5.80  2.14  2.75                                    
5   7.50  0.44  4.44  1.70                              
6   8.06  0.12  5.00  2.25  0.56                        
7   2.06 10.00  5.12  7.86  9.56 10.12                  
8   3.26  4.68  0.20  2.54  4.24  4.79  5.32            
9   2.27  5.67  0.79  3.53  5.23  5.79  4.33  0.99      
10  5.90  2.04  2.85  0.11  1.60  2.15  7.96  2.64  3.63

Princíp hierarchického zhlukovania (Wardova metóda)

Zhlukovanie v prípade Wardovej metódy prebieha zdola smerom nahor, t. j. začíname s jednočlennými klastrami, ktoré postupne zlučujeme. Táto metóda patrí medzi aglomeratívne hierarchické metódy. Minimalizuje nárast vnútornej variability pri spojení dvoch klastrov, pričom využíva nasledovné výpočty:

Wardova metóda minimalizuje sumu štvorcov chýb (Error Sum of Squares – ESS)

\[ESS(C) = \sum_{i \in C} \lVert x_i - \bar{x}_C \rVert^2,\]

kde \(C\) je zvažovaný klaster (zhluk). V každom kroku zlučovania dvoch klastrov Wardova metóda hľadá minimálny prírastok sumy štvorcov chýb (\(\Delta ESS\)), pričom

\[\Delta ESS = ESS(A \cup B) - ESS(A) - ESS(B).\]

Dvojica zhlukov, ktorá tejto podmienke o minimalizácii vyhovuje, je následne zlúčená a prechádza sa k ďalšiemu kroku. To spravidla vedie k vytváraniu relatívne homogénnych zhlukov, pričom nedochádza k odtrhávaniu odľahlých hodnôt tak, ako pri niektorých iných zhlukovacích metódach.

Obr. 2. Hierarchické zhlukovanie – dendrogram. Červená čiara určuje rez definujúci tri klastre.

## ============================
## 4) Hierarchical clustering
## ============================

hc <- hclust(dist_mat, method = "ward.D2")

plot(hc, labels = rownames(udaje_scaled),
     main = "Hierarchical clustering of districts (Ward.D2)",
     xlab = "", sub = "")

# počet klastrov
k <- 3
h_cut <- hc$height[length(hc$height) - (k - 1)]
abline(h = h_cut, col = "red", lwd = 2, lty = 2)

klaster_membership <- cutree(hc, k = k)

udaje_klasters <- data.frame(
  Okres = rownames(udaje_complete),
  udaje_complete,
  klaster = factor(klaster_membership)
)

Tab. 4. Príslušnosť okresov do klastrov

data_prac <- data.frame(
  Okres = udaje_klasters$Okres,
  klaster = udaje_klasters$klaster
)
data_prac

Vykonaná klastrová analýza klasifikuje okresy do troch klastrov. Zloženie klastrov odráža jednak úroveň počtu obyvateľov, ale aj podobnosť priebehu počas jednotlivých mesiacov roku 2024. V jednom klastri môžeme nájsť skôr väčšie okresy s podobným počtom obyvateľov, v inom skôr menšie okresy, prípadne okresy s odlišnou dynamikou (mierny nárast alebo pokles). Interpretácia konkrétnych klastrov závisí od výsledných hodnôt a je možné ju doplniť napríklad mapovým zobrazením alebo porovnaním s ďalšími charakteristikami okresov.

Deskriptívne štatistiky výsledkov

Na základe Tab. 5 môžeme posúdiť, ako dobre jednotlivé mesiace (premenné) prispievajú k rozlišovaniu medzi klastrami. Vnútroklastrová variabilita (WSS) vyjadruje, nakoľko sú okresy v rámci jedného klastra podobné, zatiaľ čo medzi-klastrová variabilita (BSS) vyjadruje rozdiely medzi klastrami. Podiel medzi-klastrovej variability na celkovej variabilite (stĺpec Prop_Between) nám ukazuje, do akej miery daný mesiac prispieva k separácii klastrov.

Tab. 5. Vysvetlenie vnútroklastrovej variability z hľadiska jednotlivých premenných (mesiacov)

## ============================
## 5) Variability measures
## ============================

ssq <- function(x, m) sum((x - m)^2)

var_names <- colnames(udaje_scaled)

TSS <- sapply(var_names, function(v) ssq(udaje_scaled[, v], mean(udaje_scaled[, v])))

WSS <- sapply(var_names, function(v) {
  x <- udaje_scaled[, v]
  tapply(x, klaster_membership, function(z) ssq(z, mean(z))) |> sum()
})

BSS <- TSS - WSS

ss_table <- data.frame(
  Variable = var_names,
  TSS = TSS,
  WSS = WSS,
  BSS = BSS,
  Prop_Between = BSS / TSS
)

ss_table

Vyššie hodnoty podielu Prop_Between znamenajú, že daný mesiac výraznejšie odlišuje jednotlivé klastre. Mesiace s nižšou hodnotou tohto podielu predstavujú obdobia, v ktorých sú okresy medzi sebou relatívne podobné a daná premenná nie je takým silným „separátorom“.

---

Na záver sa pozrieme na centroidy, t. j. priemerné hodnoty sledovaných premenných v jednotlivých klastroch. Tie nám poskytujú prehľadný opis typického okresu v každom klastri.

# Vytvoríme dátový rámec s pôvodnými (neškálovanými) hodnotami a priradeným klastrom
udaje_complete_klaster <- data.frame(
  Okres = rownames(udaje_complete),
  udaje_complete,
  klaster = factor(klaster_membership)
)

Tab. 6. Centroidy – priemerné počty obyvateľov v jednotlivých mesiacoch podľa klastrov

descriptives <- udaje_complete_klaster %>%
  group_by(klaster) %>%
  summarise(
    across(
      .cols = where(is.numeric),
      .fns  = list(mean = ~ mean(.x, na.rm = TRUE)),
      .names = "{.col}_{.fn}"
    )
  )

descriptives

Pri pohľade na centroidy vidíme rozdiely v priemernom počte obyvateľov v jednotlivých klastroch. Jeden klaster môže zahŕňať skôr väčšie okresy s vyššími priemernými hodnotami počas celého roka, iný skôr menšie okresy s nižšími hodnotami. Zaujímavé sú aj prípadné rozdiely medzi mesiacmi – napríklad mierne nárasty alebo poklesy v niektorých obdobiach roka, ktoré môžu súvisieť s migráciou, sezónnymi vplyvmi alebo administratívnymi zmenami (napr. „prihlásenie“ obyvateľov).

Záver

Predložená analýza sa zaoberá počtom obyvateľov vybraných okresov Slovenskej republiky v závislosti od ich mesačného vývoja v roku 2024. Na základe hierarchickej zhlukovej analýzy sme okresy rozdelili do troch klastrov. Klastre sa líšia najmä úrovňou priemerného počtu obyvateľov a podobnosťou priebehu v čase.

Takáto analýza môže slúžiť ako podklad pre:

• plánovanie verejných služieb (školy, zdravotníctво, doprava),
  
• priestorové plánovanie a rozvoj územia,
  
• porovnávanie typicky „malých“, „stredných“ a „väčších“ okresov podľa zvolených ukazovateľov.

Zhluková analýza teda umožňuje identifikovať skupiny podobných okresov a následne cieleným spôsobom analyzovať a plánovať verejné politiky či rozvojové projekty podľa ich príslušnosti ku klastrom.