Metodologia Box Jenkins
Maria Isabel Guevara Potosi
2025-11-04
Introducción
La metodología Box-Jenkins es un procedimiento estadístico riguroso diseñado para identificar, estimar y diagnosticar modelos autorregresivos de media móvil que describan adecuadamente la dinámica de una serie temporal. Desarrollada por George Box y Gwilym Jenkins en 1970, esta metodología plantea un proceso iterativo y sistemático compuesto por cuatro etapas fundamentales: identificación, estimación, diagnóstico y validación del modelo.
En el ámbito financiero, su aplicación resulta especialmente valiosa para modelar y pronosticar la volatilidad de activos, un componente fundamental en la gestión del riesgo, la valoración de instrumentos financieros y la toma de decisiones de inversión.
En este estudio se aplicará la metodología Box-Jenkins a cuatro clases de activos representativos de distintos mercados: renta variable, renta fija, divisas y fondos de inversión. El análisis incluirá la transformación de precios en rendimientos, la estimación de modelos ARMA y GARCH para capturar efectos de heterocedasticidad, y finalmente el cálculo del Value at Risk (VaR), comparándolo con la metodología RiskMetrics.
Objetivos
Objetivo General:
Aplicar la metodología Box-Jenkins para modelar la volatilidad de cuatro tipos de activos financieros: renta variable, renta fija, moneda y fondo de inversión.
Objetivos Específicos:
Transformar las series de precios en rendimientos financieros y analizar sus propiedades estadísticas mediante correlogramas, tests de normalidad y estacionariedad.
Identificar y estimar modelos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q) para las series estacionarias, diagnosticando problemas de autocorrelación y heterocedasticidad.
Calcular el VaR del modelo con mejor ajuste según el criterio AIC y compararlo con la estimación obtenida bajo la metodología RiskMetrics.
Activos Seleccionados
A continuación se presentan los activos financieros seleccionados para este análisis:
• Renta Variable (Acción): NVIDIA Corporation (NVDA) Empresa líder en el diseño de unidades de procesamiento gráfico (GPUs) y tecnología de inteligencia artificial. NVIDIA representa una acción de crecimiento tecnológico con alta capitalización de mercado y volatilidad significativa, siendo un referente del sector semiconductores y tecnológico a nivel global. Su selección permite analizar el comportamiento de una acción de altO beta en un sector innovador y cíclico.
• Renta Fija (Tasa de interés): Treasury Yield 10 Years (^TNX) Este activo representa el rendimiento de los bonos del Tesoro estadounidense a 10 años, considerado el “activo libre de riesgo” por excelencia y benchmark global para las tasas de interés.Es fundamental para la valoración de activos, expectativas de inflación y análisis del mercado de deuda soberana.
• Moneda: Euro vs Peso Colombiano (EUR/COP) Es fundamental para análisis de riesgo cambiario, comercio internacional entre Europa y Colombia, y flujos de inversión. Su comportamiento refleja dinámicas macroeconómicas diferenciales entre economías desarrolladas y emergentes.
• Fondo de inversión: iShares MSCI ACWI ETF (ACWI) Es un fondo que replica el índice MSCI All Country World Index, proporcionando exposición a empresas de grandes y medianas capitalización en mercados desarrollados y emergentes. Representa aproximadamente el 85% de la capitalización bursátil mundial ajustada, por lo que constituye un instrumento de diversificación internacional y riesgo sistemático..
La selección de estos cuatro activos ofrece una representación amplia y equilibrada de distintos mercados y clases de riesgo, permitiendo evaluar comparativamente la aplicabilidad y desempeño de la metodología Box-Jenkins en cada uno de ellos.
Serie de precios
A continuación se presenta la serie de precios diarios de los cuatro activos financieros seleccionados para el período comprendido entre el 5 de noviembre de 2018 y el 5 de noviembre de 2025. Los datos han sido sometidos a un proceso de limpieza que elimina valores atípicos, garantizando la calidad y confiabilidad de la información para el posterior análisis econométrico.
Series de rendimientos financieros y rendimientos financieros al cuadrado
Para los activos que se expresan como precios (NVDA, ACWI y EUR/COP) usamos rendimientos logarítmicos, porque representan cambios porcentuales de forma continua, ayudan a estabilizar la varianza y facilitan que los modelos ARIMA trabajen con series más cercanas a la estacionariedad.
En cambio, la tasa del Tesoro a 10 años es un nivel de interés, no un precio. Sus movimientos son en puntos básicos,por lo que aplicar logaritmos no tiene sentido económico y distorsionaría la serie. Por eso usamos cambios absolutos en la tasa.
Además, calculamos los rendimientos al cuadrado, que funcionan como una medida simple de volatilidad y resaltan días con movimientos fuertes. Esta variable es útil para analizar heterocedasticidad y para modelos de volatilidad como ARCH o GARCH.
Renta Variable (Acción): NVIDIA
Gráficos de serie de precios, rendimientos financieros y rendimientos financieros al cuadrado
Como podemos observar, el precio de NVIDIA muestra una tendencia claramente alcista entre 2018 y 2025, con un salto exponencial desde 2023. Hay fases de consolidación seguidas de subidas fuertes, típico de empresas tecnológicas de rápido crecimiento. Aunque existen correcciones, la tendencia general es positiva.
Por otro lado, los rendimientos muestran alta volatilidad, con variaciones que a veces superan el ±10%. Se observa agrupamiento de volatilidad, es decir, periodos turbulentos seguidos de periodos tranquilos. Mientras, que los rendimientos al cuadrado refuerza la presencia de volatilidad concentrada en episodios específicos.
Test de Autocorrelación (Correlograma)
Como se puede observar en el primer gráfico, las autocorrelaciones de los precios son altas y permanecen significativamente por encima de los límites de referencia en todos los rezagos. Esto indica una fuerte dependencia temporal, ya que los precios actuales están altamente influenciados por sus valores pasados. Este patrón es típico de una serie en niveles no estacionaria, donde la dinámica presenta persistencia y tendencia, por lo que no se comporta como un proceso aleatorio.
Por otro lado, en el segundo gráfico de los rendimientos, casi todas las autocorrelaciones se encuentran muy cerca de cero y dentro de los límites de significancia. Solo algunos rezagos muestran valores levemente superiores, pero sin un patrón consistente. Esto sugiere que los rendimientos no presentan autocorrelación sistemática, lo cual es coherente con un comportamiento cercano al de un proceso de camino aleatorios, donde los retornos tienen muy poca memoria y no dependen de forma relevante de los valores pasados.
Por ùltimo, en los rendimientos al cuadrado, las autocorrelaciones son positivas en los primeros rezagos y disminuyen gradualmente a medida que el rezago aumenta. Este patrón refleja persistencia en la volatilidad,es decir que periodos de alta variación tienden a ser seguidos por más alta variación, y lo mismo ocurre con los periodos de baja volatilidad. Esto evidencia el fenómeno conocido como clustering de volatilidad, característico de series financieras y consistente con modelos tipo ARCH/GARCH.
Test de Normalidad
El histograma de los precios de NVDA muestra una distribución claramente asimétrica hacia la derecha. La mayoría de los valores se concentran en niveles de precios relativamente bajos, mientras que existe una cola extendida que refleja episodios en los que el precio aumentó de manera considerable. Esta asimetría positiva (skewness = 1.32), acompañada de un valor de curtosis ligeramente negativo, indica que la distribución se aleja significativamente de la normalidad. El test de Jarque-Bera confirma esta conclusión, ya que rechaza de forma contundente la hipótesis de normalidad. Este comportamiento es típico de los precios en niveles, que suelen ser no estacionarios y estar influenciados por tendencias de crecimiento de largo plazo.
En contraste, el histograma de los rendimientos de NVDA presenta una distribución más simétrica y concentrada alrededor de cero. Sin embargo, la curtosis elevada (4.31) revela que los rendimientos exhiben colas pesadas, lo que implica que la probabilidad de observar movimientos extremos, tanto positivos como negativos, es mayor que en una distribución normal. Aunque la asimetría es leve, el test de normalidad también rechaza un comportamiento normal. Este tipo de distribución leptocúrtica es característico de las series de rendimientos financieros y sugiere que los modelos lineales tradicionales, como ARMA, no son suficientes para capturar adecuadamente la dinámica de riesgo de la serie.
Finalmente, el histograma de la volatilidad, medida como rendimientos al cuadrado, muestra un comportamiento aún más extremo. La distribución está altamente concentrada cerca de cero, con una cola derecha muy pronunciada que corresponde a episodios de volatilidad excepcionalmente alta. Los valores de skewness (8.08) y curtosis (88.89) son extraordinariamente altos, lo que evidencia la presencia de eventos extremos y de una variabilidad altamente irregular. Este patrón es característico del fenómeno conocido como clustering de volatilidad, en el cual periodos de baja variación se alternan con episodios intensos de turbulencia. Debido a esta naturaleza heterocedástica y no normal, los modelos de volatilidad condicional como GARCH son especialmente adecuados para capturar estas dinámicas.
Test de Raíz Unitaria (Estacionariedad)
El test de Dickey-Fuller confirma que los precios de NVIDIA no son estacionarios, es decir, presenta raíz unitaria y una fuerte dependencia respecto a sus valores pasados. Esto implica que los precios siguen una trayectoria con tendencia y no tienen una media estable, lo que vuelve inadecuado su uso directo en modelos estadísticos o de predicción.
En contraste, tanto los rendimientos como la volatilidad resultaron ser estacionarios. Esto significa que su comportamiento es más estable en el tiempo, sin tendencias persistentes ni varianza explosiva, por lo que son apropiados para análisis econométrico y modelamiento financiero. Dado lo anterior, el análisis se realizará utilizando rendimientos continuamente compuestos, que son la transformación adecuada para capturar la dinámica real del activo y garantizar la validez de los modelos empleados.
Estimación de modelos Autoregresivos
A continuación, con la serie previamente seleccionada, se estiman los siguientes modelos:
- AR(p)
- MA(q)
- ARMA(p, q)
Para determinar los números que acompañan al modelo ARMA, es decir p y q, se analiza cómo la serie se relaciona con sus propios valores pasados.
El parámetro p, correspondiente a la parte autorregresiva (AR), se determina a partir de la función de autocorrelación parcial (PACF). Esta función muestra el impacto directo que tienen los valores pasados de la serie sobre su valor actual, aislando los efectos intermedios. Cuando la PACF deja de presentar valores significativos después de cierto rezago, ese punto de corte indica cuántos rezagos deben incorporarse en el modelo; dicho número se toma como el valor de p.
Por su parte, el parámetro q, relativo a la parte de promedio móvil (MA), se obtiene a partir de la función de autocorrelación (ACF). Esta función revela cómo los choques o errores pasados siguen influyendo en la dinámica actual de la serie. De manera similar al caso anterior, cuando la ACF deja de mostrar autocorrelaciones significativas tras determinado rezago, ese valor señala cuántos términos MA deben incluirse, definiendo así el parámetro q.
Diagnóstico de autocorrelación y heterocedasticidad
Para evaluar los modelos se utiliza el test Ljung-Box sobre residuales para identificar si tiene problemas de autocorrelación y el test ARCH-LM para evaluar si tiene problemas de heterocedasticidad.
Los correlogramas y el test de Ljung-Box muestran que los residuales de los modelos AR(1), MA(1) y ARMA(5,3) no presentan autocorrelación significativa. Esto significa que los modelos lograron capturar bien la relación temporal de la serie y que, en términos de dependencia lineal, están explicando correctamente el comportamiento de los rendimientos.
No obstante, las pruebas ARCH-LM indican que los residuales sí presentan heterocedasticidad, es decir, que su varianza cambia a lo largo del tiempo y ocurre en forma de “golpes” o periodos de mayor y menor volatilidad. Este patrón es común en datos financieros y muestra que, aunque la media está bien modelada, la volatilidad no. Por eso, es necesario avanzar hacia modelos GARCH, que están diseñados específicamente para capturar este tipo de variaciones en la volatilidad.
Estimación con Modelos GARCH
Para abordar la heterocedasticidad identificada en los modelos autorregresivos, se emplea el modelo GARCH propuesto por Bollerslev, el cual permite modelar explícitamente la varianza condicionada en el tiempo. En este enfoque, la heterocedasticidad deja de ser un problema y pasa a ser un componente estructural del modelo.
Selección del modelo que mejor se ajusta
Para seleccionar el modelo más adecuado se utilizan los criterios de información AIC y BIC, que buscan identificar la especificación que mejor se ajusta a los datos sin sobreajustar. En este caso, el criterio AIC señala como mejor opción al modelo ARMA(3,3)-GARCH(1,1), ya que presenta el menor valor de AIC entre las alternativas evaluadas. Por otro lado, el criterio BIC —más estricto al penalizar modelos complejos— selecciona el modelo AR(4)-GARCH(1,1).
En general, el modelo ARMA(3,3)-GARCH(1,1) se considera la elección más adecuada cuando se prioriza la capacidad predictiva (AIC), mientras que el AR(4)-GARCH(1,1) sería preferible si se busca un modelo más simples (BIC). Dado que el objetivo del análisis es capturar de manera más completa la dinámica de los rendimientos y su volatilidad, el modelo seleccionado con base en el AIC ofrece una mejor representación estadística del comportamiento de la serie.
Diagnóstico de autocorrelación y heterocedasticidad del modelo seleccionado
El modelo ARMA(3,3)-GARCH(1,1) muestra un buen comportamiento al analizar sus residuales. Tanto los correlogramas de los residuales como de los residuales al cuadrado indican que no hay autocorrelación significativa, ya que todos los valores están dentro de los intervalos de confianza. Esto se confirma con el test de Ljung-Box, cuyos valores-p son altos, lo que indica que los residuales se comportan como ruido blanco y que el modelo logró capturar correctamente la dependencia temporal de la serie.
Además, las pruebas relacionadas con la volatilidad, como el test ARCH-LM y el Ljung-Box aplicado a los residuales al cuadrado, muestran que no queda heterocedasticidad sin modelar. En otras palabras, el componente GARCH absorbe adecuadamente los cambios de volatilidad en el tiempo. Con estos resultados, el modelo seleccionado cumple los supuestos necesarios y se considera adecuado para continuar con la estimación del Value at Risk (VaR) de NVIDIA.
Cálculo de Volatilidad y VaR
VaR del modelo VS VaR Riskmetricks
## === VALORES CORRECTOS DEL VaR GARCH ===## 90% Confianza: VaR = -4.2252 % → Pérdida = $ 4225.22## 95% Confianza: VaR = -5.7759 % → Pérdida = $ 5775.92## 99% Confianza: VaR = -9.6786 % → Pérdida = $ 9678.62##
## === COMPARACIÓN FINAL ===## Diferencia GARCH vs RiskMetrics:## 90%: GARCH es 38.3 % más conservador## 95%: GARCH es 47.3 % más conservador## 99%: GARCH es 74.6 % más conservadorEl VaR calculado mediante el modelo GARCH presenta valores consistentemente más elevados que aquellos obtenidos con RiskMetrics en todos los niveles de confianza. Específicamente, el VaR GARCH supera al RiskMetrics en aproximadamente 35% para el nivel del 90%, 43% para el 95% y 69% para el 99% de confianza. Estas diferencias son sustanciales, indicando que el enfoque GARCH proporciona una evaluación del riesgo notablemente más conservadora.
La divergencia en los resultados se explica por las diferencias estructurales entre ambos modelos. Mientras RiskMetrics emplea un promedio exponencial con un factor de suavizamiento fijo (λ=0.94) que asigna pesos decrecientes a observaciones pasadas, el modelo GARCH captura la persistencia de la volatilidad mediante una especificación que permite que los choques recientes tengan efectos más prolongados y significativos sobre la varianza condicional.
El modelo GARCH, al incorporar tanto componentes autorregresivos como de media móvil en la varianza, es capaz de detectar y modelar los clusters de volatilidad característicos de los mercados financieros. Esta capacidad le permite ajustar dinámicamente las medidas de riesgo durante periodos de turbulencia financiera, resultando en estimaciones de VaR más sensibles a cambios en las condiciones de mercado.
La marcada diferencia observada, particularmente en el nivel del 99% de confianza donde el VaR GARCH es 69% superior, tiene implicaciones prácticas importantes para la gestión de riesgo. Instituciones financieras que utilicen metodologías basadas en RiskMetrics podrían estar subestimando significativamente su exposición al riesgo de cola, especialmente en activos volátiles como NVIDIA.
El enfoque GARCH, al producir estimaciones de VaR más elevadas, sugiere la necesidad de constituir mayores reservas de capital para cubrir pérdidas potenciales. Esto representa una aproximación más prudente y realista al riesgo de mercado, particularmente relevante en contextos de alta incertidumbre y volatilidad persistente.
Renta Fija (Tasa de interés): Bonos de tesoro (EEUU) 10 años
Gráficos de serie de precios, rendimientos financieros y rendimientos financieros al cuadrado
La serie de niveles de tasa del Treasury 10 años muestra una dinámica marcadamente diferente a la de los activos de renta variable. Se observa un comportamiento oscilante dentro de un rango definido, aproximadamente entre 1% y 7%, con periodos claramente diferenciados. Destaca la caída pronunciada durante 2020, reflejando la respuesta de política monetaria a la pandemia, seguida de una recuperación gradual y posteriormente un ascenso acelerado a partir de 2022, coincidiendo con los ciclos de ajuste de tasas por presiones inflacionarias globales.
Los cambios absolutos en las tasas presentan una volatilidad moderada pero persistente, con movimientos que generalmente se mantienen en el rango de ±0.3 puntos porcentuales. A diferencia de NVIDIA, no se observan clusters de volatilidad extremos, sino más bien una variabilidad constante a lo largo del período. Los movimientos más pronunciados se concentran alrededor de eventos macroeconómicos, particularmente durante 2020 y el ciclo de alzas de tasas iniciado en 2022.
Por otro lado, la serie de cambios al cuadrado revela una estructura de volatilidad distintiva para los instrumentos de renta fija. Mientras que en NVIDIA se observaban clusters de volatilidad bien definidos, en el caso del Treasury 10 años la volatilidad muestra una persistencia más homogénea con picos asociados a anuncios de política monetaria y datos económicos sensibles.
Test de Autocorrelación (Correlograma)
Como se evidencia en el primer gráfico, las autocorrelaciones de los niveles de tasa del Treasury 10Y muestran una persistencia elevada y significativa a través de múltiples rezagos. Este patrón refleja la naturaleza no estacionaria característica de las series de tasas de interés en niveles, donde el valor actual está fuertemente influenciado por la trayectoria histórica. Esta memoria de largo plazo es consistente con el comportamiento típico de las variables macroeconómicas que responden a ciclos económicos y expectativas de inflación de forma gradual.
En el segundo gráfico, correspondiente a los cambios absolutos en las tasas, se observa que la mayoría de las autocorrelaciones se ubican dentro de los intervalos de confianza, indicando la ausencia de dependencia lineal significativa. Esta característica valida la transformación aplicada, ya que los cambios diarios en las tasas exhiben propiedades cercanas al ruido blanco en su media, sugiriendo que los movimientos direccionales no presentan patrones predecibles en el corto plazo.
Por ùltimo, el tercer gráfico revela un patrón distintivo en la autocorrelación de los cambios al cuadrado, donde se detecta una significativa dependencia temporal en los rezagos iniciales que decae gradualmente. Esta estructura evidencia la presencia de clusters de volatilidad en los cambios de las tasas de interés, fenómeno que indica que periodos de alta variabilidad tienden a agruparse temporalmente.
Test de Normalidad
El histograma de los cambios absolutos en las tasas del Treasury 10Y muestra una distribución muy simétrica y centrada en cero, con asimetría prácticamente nula. Su curtosis baja (1.80) indica que es más plana que una normal, lo que sugiere menor presencia de movimientos extremos y un comportamiento más estable y predecible típico de los movimientos en tasas de interés soberanas, donde los cambios tienden a distribuirse de manera más uniforme sin las colas pesadas características de los activos de renta variable.
Por el contrario, el histograma de la volatilidad (cambios al cuadrado) es altamente asimétrico hacia la derecha y presenta una curtosis muy elevada. Esto significa que la mayoría de los días la volatilidad es baja, pero existen pocos episodios de choques intensos que generan una cola larga. El valor del Jarque-Bera confirma claramente que esta distribución no es normal.
Test de Raíz Unitaria (Estacionariedad)
El test de Dickey-Fuller confirma que los niveles de tasa no son estacionarios (presentan raíz unitaria), mientras que los cambios absolutos y la volatilidad sí son estacionarios. Esto indica que las tasas en niveles tienen dependencia de su historia pasada y tendencia, lo que invalida su uso directo en modelos estadísticos.
En contraste, los cambios absolutos muestran un comportamiento estable en el tiempo, con media y varianza constantes, lo que los hace adecuados para modelamiento ARMA-GARCH. Por esta razón, trabajaremos con los cambios absolutos en lugar de los niveles de tasa, ya que proporcionan una base confiable para el análisis de series temporales.
Estimación de modelos Autoregresivos
Para determinar los números que acompañan al modelo ARMA, es decir p y q, se analiza cómo la serie se relaciona con sus propios valores pasados.
Diagnóstico de autocorrelación y heterocedasticidad
Para evaluar los modelos se utiliza el test Ljung-Box sobre residuales para identificar si tiene problemas de autocorrelación y el test ARCH-LM para evaluar si tiene problemas de heterocedasticidad.
Las pruebas ARCH-LM indican que en los modelos AR(3), MA(3) y ARMA(2,2),los residuales sí presentan heterocedasticidad, es decir, que su varianza cambia a lo largo del tiempo y ocurre en forma de “golpes” o periodos de mayor y menor volatilidad. Este patrón es común en datos financieros y muestra que, aunque la media está bien modelada, la volatilidad no. Por eso, es necesario avanzar hacia modelos GARCH, que están diseñados específicamente para capturar este tipo de variaciones en la volatilidad.
Estimación con Modelos GARCH
Para abordar la heterocedasticidad identificada en los modelos autorregresivos, se emplea el modelo GARCH
Para seleccionar el modelo más adecuado se utilizan los criterios de información AIC y BIC, que buscan identificar la especificación que mejor se ajusta a los datos.
El modelo AR(3)-GARCH(1,1) presenta el menor valor AIC (-2.837770) y BIC (-2.810163), siendo seleccionado como el de mejor ajuste para los cambios en las tasas del Treasury 10 años.
Esta especificación sugiere que la dinámica de los cambios en tasas depende de sus tres valores pasados (componente AR(3)), mientras que la volatilidad exhibe persistencia capturada por la estructura GARCH(1,1).
El modelo supera ligeramente a las alternativas MA(3)-GARCH(1,1) y ARMA(2,2)-GARCH(1,1), indicando que la dependencia autorregresiva domina sobre los componentes de media móvil en el comportamiento de las tasas de interés.
Diagnóstico de autocorrelación y heterocedasticidad del modelo seleccionado
El modelo AR(3)-GARCH(1,1) para los bonos del Tesoro supera satisfactoriamente las pruebas de diagnóstico. Los correlogramas de residuales no muestran autocorrelación significativa, indicando que el modelo ha capturado correctamente la dependencia temporal. Los tests de Ljung-Box confirman la ausencia de autocorrelación y heterocedasticidad remanente, mientras que el test ARCH-LM valida que no persisten efectos ARCH sin modelar.
Cálculo de Volatilidad y VaR
VaR del modelo VS VaR Riskmetricks
El VaR calculado mediante el modelo GARCH presenta valores consistentemente más altos que RiskMetrics en todos los niveles de confianza, con diferencias del 18% para el nivel del 90%, 21% para el 95% y 31% para el 99%. Esta brecha significativa refleja la capacidad del modelo GARCH para capturar de manera más conservadora el riesgo en los bonos del Tesoro, particularmente en escenarios extremos.
La mayor divergencia en el nivel del 99% de confianza, indica que el modelo detecta un riesgo de cola sustancialmente mayor que RiskMetrics. Esto sugiere que durante periodos de estrés financiero, las pérdidas potenciales en los bonos del Tesoro podrían ser considerablemente superiores a lo estimado por metodologías tradicionales.
La aproximación GARCH, al incorporar la persistencia de volatilidad y los clusters de riesgo característicos de los mercados de renta fija, proporciona una medida de protección más robusta para la gestión de riesgo de tasa de interés, especialmente relevante en contextos de volatilidad en la política monetaria.
Moneda: Euro vs Peso Colombiano (EUR/COP)
Gráficos de serie de precios, rendimientos financieros y rendimientos financieros al cuadrado
El tipo de cambio EUR/COP muestra una tendencia alcista pronunciada en el largo plazo, pasando de niveles alrededor de 3,500 COP por euro a máximos cercanos a 5,000 COP. Esta depreciación continua del peso colombiano frente al euro refleja factores estructurales de la economía y posibles diferenciales inflacionarios entre ambas zonas.
Los rendimientos diarios exhiben una volatilidad moderada con movimientos generalmente contenidos entre ±2%, aunque con picos ocasionales que superan este rango. Se observan periodos de relativa calma seguidos de episodios de mayor turbulencia, particularmente durante 2020 y 2022, coincidiendo con eventos de estrés financiero global.
La serie de rendimientos al cuadrado revela clusters de volatilidad bien definidos, con episodios de alta variabilidad concentrados en momentos específicos. Los picos más significativos se presentan durante 2020 y 2022, mostrando la sensibilidad del par cambiario a shocks externos. Esta persistencia en la volatilidad justifica el uso de modelos GARCH para capturar la heterocedasticidad condicional característica de los mercados cambiarios emergentes.
Test de Autocorrelación (Correlograma)
Las autocorrelaciones de los precios muestran una persistencia elevada y significativa en todos los rezagos, indicando una fuerte dependencia temporal y comportamiento no estacionario característico de series financieras. Adicionalmente, los rendimientos presentan autocorrelaciones dentro de los límites de confianza, sin patrones significativos visibles. Esto sugiere que la serie transformada carece de dependencia lineal y se aproxima a un proceso de ruido blanco en su media. Por ùltimo, la autocorrelación de los rendimientos al cuadrado revela una persistencia significativa en los primeros rezagos, evidenciando clusters de volatilidad. Este patrón de dependencia en la varianza justifica el uso de modelos GARCH para capturar la heterocedasticidad condicional del tipo de cambio.
Test de Normalidad
Los rendimientos del EUR/COP muestran una distribución casi simétrica (skewness = 0.20) con una curtosis de 1.84, indicando colas menos pesadas que la distribución normal. Sin embargo, el test de Jarque-Bera rechaza la normalidad, confirmando que los rendimientos no siguen una distribución gaussiana.
En adicciòn, la distribución de la volatilidad es extremadamente asimétrica (skewness = 5.97) con curtosis muy elevada (62.34), mostrando una concentración masiva de valores cerca de cero y una cola derecha extensa. Esto refleja la presencia de episodios puntuales de alta volatilidad en periodos predominantes de calma, patrón típico de clustering de volatilidad en mercados cambiarios.
Test de Raíz Unitaria (Estacionariedad)
El test de Dickey-Fuller confirma que los precios del EUR/COP no son estacionarios (presentan raíz unitaria), mientras que los rendimientos logarítmicos y la volatilidad sí son estacionarios. Esto indica que la serie de precios tiene dependencia de su historia pasada y tendencia, lo que invalida su uso directo en modelos estadísticos.
En contraste, los rendimientos muestran un comportamiento estable en el tiempo, con media y varianza constantes, lo que los hace adecuados para modelamiento ARMA-GARCH. Por esta razón, trabajaremos con los rendimientos logarítmicos, ya que proporcionan una base confiable para el análisis de series temporales del tipo de cambio.
Estimación de modelos Autoregresivos
Para determinar los números que acompañan al modelo ARMA, es decir p y q, se analiza cómo la serie se relaciona con sus propios valores pasados.
Diagnóstico de autocorrelación y heterocedasticidad
Los modelos AR(1), MA(1) y ARMA(3,4) presentan un comportamiento similar en sus residuales. El test de Ljung-Box en todos los casos muestra valores-p superiores a 0.23, indicando que no hay autocorrelación significativa en los residuales y que se comportan como ruido blanco.
Sin embargo, el test ARCH-LM revela problemas de heterocedasticidad en los tres modelos, con valores-p < 0.0001. Esto confirma la presencia de efectos ARCH no capturados, lo que sugiere la necesidad de incorporar componentes GARCH para modelar adecuadamente la volatilidad condicional del tipo de cambio.
Los correlogramas respaldan estos resultados, mostrando que las autocorrelaciones de los residuales se mantienen dentro de los límites de confianza, validando la ausencia de dependencia lineal remanente.
Estimación con Modelos GARCH
El modelo AR(1)-GARCH(1,1) presenta el menor valor AIC y BIC, siendo seleccionado como el de mejor ajuste para el tipo de cambio EUR/COP. Esta especificación indica que la dinámica de los rendimientos cambiarios depende principalmente de su valor inmediatamente anterior (componente AR(1)), mientras que la volatilidad exhibe persistencia capturada por la estructura GARCH(1,1).
Diagnóstico de autocorrelación y heterocedasticidad del modelo seleccionado
El modelo AR(1)-GARCH(1,1) muestra un excelente comportamiento en sus residuales. Los correlogramas de los residuales indican que no hay autocorrelación significativa, ya que todos los valores se mantienen dentro de los intervalos de confianza.
Esto se confirma con los tests, por un lado, el test de Ljung-Box en residuales no rechazan la hipótesis nula, indicando que los residuales se comportan como ruido blanco y no queda heterocedasticidad remanente. El test ARCH-LM valida que no persisten efectos ARCH sin modelar.
En resumen, el componente GARCH ha absorbido adecuadamente la volatilidad condicional del tipo de cambio. Con estos resultados, el modelo cumple todos los supuestos y es adecuado para calcular el Value at Risk del EUR/COP.
Cálculo de Volatilidad y VaR
VaR del modelo VS VaR Riskmetricks
El VaR calculado mediante GARCH presenta valores consistentemente más altos que RiskMetrics en todos los niveles de confianza, con diferencias del 27% para el 90%, 32% para el 95% y 46% para el 99%. Esta brecha significativa refleja la capacidad del modelo GARCH para capturar de manera más conservadora el riesgo cambiario.
La mayor divergencia en el nivel del 99% de confianza indica que el modelo detecta un riesgo de cola sustancialmente mayor en el tipo de cambio. Esto sugiere que durante periodos de estrés financiero, las pérdidas potenciales en el EUR/COP podrían ser considerablemente superiores a lo estimado por metodologías tradicionales.
El enfoque GARCH, al incorporar la persistencia de volatilidad característica de los mercados cambiarios emergentes, proporciona una medida de protección más robusta para la gestión de riesgo cambiario.
Fondo de inversión: MSCI ACWI
Gráficos de serie de precios, rendimientos financieros y rendimientos financieros al cuadrado
El fondo MSCI ACWI muestra una tendencia alcista general entre 2018 y 2025, con una notable corrección durante 2020, seguida de una fuerte recuperación. Posteriormente, el índice experimenta cierta volatilidad entre 2022-2023, para luego retomar su tendencia positiva. Este comportamiento es típico de un fondo diversificado global que captura la evolución de los mercados accionarios mundiales.
Por otro lado, los rendimientos diarios presentan una volatilidad moderada con movimientos generalmente contenidos dentro del rango de ±5%, aunque con algunos picos extremos que alcanzan ±10% durante periodos de estrés de mercado.
La serie de rendimientos al cuadrado revela una estructura de clusters de volatilidad bien definidos, con episodios de alta variabilidad concentrados en momentos específicos.Este patrón justifica el uso de modelos GARCH para capturar la heterocedasticidad condicional del fondo diversificado internacional.
Test de Autocorrelación (Correlograma)
Las autocorrelaciones de los precios muestran una persistencia elevada y significativa en todos los rezagos, indicando una fuerte dependencia temporal y comportamiento no estacionario, característico de estas series.
En contraste, los rendimientos presentan autocorrelaciones dentro de los límites de confianza, sin patrones significativos visibles. Esto sugiere que la serie transformada carece de dependencia lineal y se aproxima a un proceso de ruido blanco en su media.
Por ùltimo, la autocorrelación de los rendimientos al cuadrado revela una persistencia significativa en los primeros rezagos, evidenciando clusters de volatilidad. Este patrón de dependencia en la varianza justifica el uso de modelos GARCH para capturar la heterocedasticidad condicional del fondo.
Test de Normalidad
Los precios del MSCI ACWI muestran una distribución moderadamente asimétrica positiva (skewness = 0.42) con curtosis negativa (-0.47), indicando una distribución más plana que la normal. El test de Jarque-Bera rechaza la normalidad, confirmando las desviaciones de la distribución.
Por otro lado, los rendimientos presentan una marcada asimetría negativa y una curtosis extremadamente alta (13.63), revelando colas pesadas y una mayor probabilidad de rendimientos negativos extremos. Este patrón es típico de los mercados accionarios globales y refleja el riesgo de cola característico de los fondos diversificados.
Por ùltimo, la distribución de la volatilidad es extremadamente asimétrica (skewness = 13.01) con curtosis excepcionalmente elevada (222.84), mostrando una concentración masiva de valores cerca de cero y una cola derecha muy extensa. Esto evidencia clusters de volatilidad pronunciados, donde periodos de calma se interrumpen por episodios de alta turbulencia en los mercados globales.
Test de Raíz Unitaria (Estacionariedad)
El test de Dickey-Fuller confirma que los precios del MSCI ACWI no son estacionarios (tienen raíz unitaria), mientras que los rendimientos y la volatilidad sí son estacionarios. Esto indica que los precios presentan tendencia y dependencia de su pasado, lo que invalida su uso directo en modelos estadísticos.
En contraste, los rendimientos muestran un comportamiento estable en el tiempo, con media y varianza constantes, lo que los hace adecuados para modelamiento ARMA-GARCH. Por tanto, trabajaremos con los rendimientos logarítmicos para el análisis del fondo.
Estimación de modelos Autoregresivos
Diagnóstico de autocorrelación y heterocedasticidad
Los modelos AR(4) y MA(2) presentan problemas tanto de autocorrelación como de heterocedasticidad en sus residuales.
El modelo ARMA(5,4) logra resolver el problema de autocorrelación, pero mantiene problemas de heterocedasticidad. Los correlogramas confirman que los residuales de ARMA(5,4) no muestran autocorrelación significativa.
Esto indica que si bien el componente ARMA(5,4) captura adecuadamente la dependencia en la media, se requiere incorporar un componente GARCH para modelar la volatilidad condicional del fondo.
Estimación con Modelos GARCH
El modelo ARMA(5,4)-GARCH(1,1) presenta el menor valor AIC, siendo seleccionado como el de mejor ajuste según este criterio. Sin embargo, el modelo MA(2)-GARCH(1,1) obtiene el mejor valor BIC, indicando mayor eficiencia en parámetros.
Esta divergencia entre criterios sugiere que, mientras ARMA(5,4)-GARCH(1,1) ofrece mejor ajuste global, MA(2)-GARCH(1,1) proporciona una especificación más simple.
Diagnóstico de autocorrelación y heterocedasticidad del modelo seleccionado
El modelo ARMA(5,4)-GARCH(1,1) para el MSCI ACWI supera satisfactoriamente todas las pruebas de diagnóstico. Los correlogramas de residuales y residuales al cuadrado no muestran autocorrelación significativa, confirmando que el modelo ha capturado adecuadamente la dependencia temporal. Los tests de Ljung-Box validan la ausencia de autocorrelación y heterocedasticidad, mientras que el test ARCH-LM confirma que no persisten efectos ARCH sin modelar. Con estos resultados, el modelo se considera adecuado para proceder con el cálculo del Value at Risk.
Cálculo de Volatilidad y VaR
VaR del modelo VS VaR Riskmetricks
El VaR calculado mediante GARCH presenta valores consistentemente más altos que RiskMetrics en todos los niveles de confianza, con diferencias del 36% para el 90%, 44% para el 95% y 66% para el 99%. Esta brecha significativa refleja la capacidad del modelo GARCH para capturar de manera más conservadora el riesgo del fondo global diversificado.
La mayor divergencia en el nivel del 99% de confianza indica que el modelo detecta un riesgo de cola sustancialmente mayor en el MSCI ACWI. Esto sugiere que durante periodos de estrés financiero global, las pérdidas potenciales en el fondo podrían ser considerablemente superiores a lo estimado por metodologías tradicionales.
El enfoque GARCH, al incorporar la persistencia de volatilidad característica de los mercados accionarios globales, proporciona una medida de protección más robusta para la gestión de riesgo de carteras internacionales diversificadas.
Conclusión General
Los modelos ARMA-GARCH capturaron exitosamente la volatilidad condicional en todos los activos, resolviendo los problemas de heterocedasticidad identificados en los modelos ARMA simples. Las pruebas de diagnóstico confirmaron que los residuales finales se comportaron como ruido blanco, validando la adecuación de las especificaciones seleccionadas.
Por otro lado, el VaR GARCH superó consistentemente al RiskMetrics en todos los niveles de confianza y activos, con diferencias particularmente pronunciadas en el nivel del 99%: NVIDIA (69%), Bonos del Tesoro (31%), EUR/COP (46%) y MSCI ACWI (66%). Esta brecha refleja la capacidad superior del GARCH para capturar el riesgo de cola durante periodos de estrés financiero.
Cabe resaltar, que cada activo requirió una estructura diferente - ARMA(3,3)-GARCH(1,1) para NVIDIA, AR(3)-GARCH(1,1) para bonos, AR(1)-GARCH(1,1) para EUR/COP y ARMA(5,4)-GARCH(1,1) para MSCI ACWI - demostrando la flexibilidad del enfoque Box-Jenkins para adaptarse a distintas dinámicas de mercado.
Por ùltimo, los resultados sugieren un supuesto y es que las instituciones financieras que utilizan metodologías tradicionales como RiskMetrics podrían estar subestimando sustancialmente su exposición al riesgo, particularmente en escenarios extremos. La implementación de modelos GARCH permitiría una gestión de capital más prudente y una mejor preparación para eventos de mercado adversos.