中級統計学：復習テスト16

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト14〜20を順に重ねて左上でホチキス止めし，第3回中間試験実施日（12月12日の予定）に提出すること．

1. \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) からの無作為標本を (X_1,\dots,X_n) とする．\mu は既知とする．

1. 標本分散 \hat{\sigma}^2 を式で定義しなさい．

2. n\hat{\sigma}^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n) となることを示しなさい．

3. \sigma^2=1 とする．n=10 のとき \hat{\sigma}^2>2 の確率を \chi^2 分布表を利用して求めなさい．

解答例

\hat{\sigma}^2:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2

2. Z_i:=(X_i-\mu)/\sigma とすると

\begin{align*} \frac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} & =\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \\ & =\left(\frac{X_1-\mu}{\sigma}\right)^2+\dots +\left(\frac{X_n-\mu}{\sigma}\right)^2 \\ & =Z_1^2+\dots+Z_n^2 \end{align*} Z_1,\dots,Z_n \sim \mathrm{N}(0,1) は独立なので，Z_1^2+\dots+Z_n^2 \sim \chi^2(n)．

\begin{align*} \Pr\left[\hat{\sigma}^2>2\right] & =\Pr\left[\frac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}>\frac{2n}{\sigma^2}\right] \\ & =\Pr\left[\chi^2(10)>20\right] \\ & \approx .03 \end{align*}

2. \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) からの無作為標本を (X_1,\dots,X_n) とする．\mu, \sigma^2 は未知とする．

1. 標本平均 \bar{X} を式で定義しなさい．

2. 標本分散 s^2 を式で定義しなさい．

3. (n-1)s^2/\sigma^2 はどのような分布をもつか？

4. \left(\bar{X}-\mu\right)/\sqrt{s^2/n} はどのような分布をもつか？

5. \mu=0 とする．n=9，s^2=1 のとき \bar{X}>1 の確率を t 分布表を利用して求めなさい．

解答例

\bar{X}:=\frac{X_1+\dots+X_n}{n}

s^2:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2

\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)

\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{s^2/n}} \sim \mathrm{t}(n-1)

\begin{align*} \Pr\left[\bar{X}>1\right] & =\Pr\left[ \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{s^2/n}}>\frac{1-\mu}{\sqrt{s^2/n}} \right] \\ & =\Pr[\mathrm{t}(8)>3] \\ & \approx .008 \end{align*}