第16回 正規母集団（10.1–10.4）
今日のポイント
- \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) からの無作為標本 (X_1,\dots,X_n) の標本平均・標本分散の分布を求める．
- Z_1,\dots,Z_n \sim \mathrm{N}(0,1) が独立のとき，Z_1^2+\dots+Z_n^2 \sim \chi^2(n)．
- 標本分散 s^2 の分布は (n-1)s^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)．
- Z \sim \mathrm{N}(0,1) と X \sim \chi^2(n) が独立のとき，Z/\sqrt{X/n} \sim \mathrm{t}(n)．
- 標本平均 \bar{X} の分布は \left(\bar{X}-\mu\right)/\sqrt{s^2/n} \sim \mathrm{t}(n-1)．
1 正規分布（p. 120, p. 194）
定義 1 正規（ガウス）分布の pdf は f(x) :=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)
注釈. \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) と書く．
定義 2 \mathrm{N}(0,1) を標準正規分布という．
注釈. \mathrm{N}(0,1) の cdf を \Phi(.)，pdf を \phi(.) で表す． すなわち \begin{align*} \phi(x) & :=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-x^2/2} \\ \Phi(x) & :=\int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-z^2/2}\mathrm{d}z \end{align*}
定理 1 X \sim \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) なら aX+b \sim \mathrm{N}\left(a\mu+b,a^2\sigma^2\right)
証明. mgf を用いる．
系 1 X \sim \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) なら \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathrm{N}(0,1)
証明. 前の定理で a:=1/\sigma，b:=-\mu/\sigma とする．
注釈. したがって X の累積確率は標準正規分布表から求まる． すなわち \begin{align*} F_X(x) & :=\Pr[X \le x] \\ & =\Pr\left[\frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{x-\mu}{\sigma}\right] \\ & =\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \end{align*} ただし \Phi(.) でなく Q(.):=1-\Phi(.) の表の場合も多い．
2 標本分散
2.1 \chi^2 分布（p. 199）
定義 3 Z_1,\dots,Z_n \sim \mathrm{N}(0,1) が独立のとき，Z_1^2+\dots+Z_n^2 の分布を自由度 n の \chi^2 分布という．
注釈. \chi^2(n) と書く．
注釈. 累積確率は \chi^2 分布表を参照．
例 1 \chi^2(n) の pdf の例は 図 1 の通り．
定理 2 X \sim \chi^2(n) なら \operatorname{E}(X)=n
証明. X=Z_1^2+\dots+Z_n^2 とすると \begin{align*} \operatorname{E}(X) & =\operatorname{E}\left(Z_1^2+\dots+Z_n^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left(Z_1^2\right)+\dots+\operatorname{E}\left(Z_n^2\right) \\ & =\operatorname{var}(Z_1)+\dots+\operatorname{var}(Z_n) \\ & =n \end{align*}
2.2 母平均が既知の場合
\mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) からの無作為標本を (X_1,\dots,X_n) とする．\mu が既知なら標本分散は \hat{\sigma}^2:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2
定理 3 \frac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)
証明. \begin{align*} \frac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} & =\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \\ & =\left(\frac{X_1-\mu}{\sigma}\right)^2+\dots +\left(\frac{X_n-\mu}{\sigma}\right)^2 \end{align*} 各項は独立な \mathrm{N}(0,1) の 2 乗．
注釈. \hat{\sigma}^2 の累積確率は \chi^2 分布表から次のように求める． \begin{align*} \Pr\left[\hat{\sigma}^2 \le x\right] & =\Pr\left[\frac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \le \frac{nx}{\sigma^2}\right] \\ & =\Pr\left[\chi^2(n) \le \frac{nx}{\sigma^2}\right] \end{align*}
例 2 \sigma^2=1 とする．n=10 なら \hat{\sigma}^2>2 の確率は \begin{align*} \Pr\left[\hat{\sigma}^2>2\right] & =\Pr\left[\frac{n\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}>\frac{2n}{\sigma^2}\right] \\ & =\Pr\left[\chi^2(10)>20\right] \\ & \approx .03 \end{align*}
2.3 母平均が未知の場合（p. 198）
\mu が未知なら標本分散は s^2:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2
定理 4 \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
証明. 省略（難しい）．
注釈. 母平均が既知の場合と同様に書き換えると \begin{align*} \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} & =\sum_{i=1}^n\frac{\left(X_i-\bar{X}\right)^2}{\sigma^2} \\ & =\left(\frac{X_1-\bar{X}}{\sigma}\right)^2+\dots +\left(\frac{X_n-\bar{X}}{\sigma}\right)^2 \end{align*} 各項は独立でなく \mathrm{N}(0,1) の 2 乗でもない．
注釈. s^2 の累積確率は \chi^2 分布表から次のように求める． \begin{align*} \Pr\left[s^2 \le x\right] & =\Pr\left[\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \le \frac{(n-1)x}{\sigma^2}\right] \\ & =\Pr\left[\chi^2(n-1) \le \frac{(n-1)x}{\sigma^2}\right] \end{align*}
例 3 \sigma^2=1 とする．n=10 なら s^2>2 の確率は \begin{align*} \Pr\left[s^2>2\right] & =\Pr\left[\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}>\frac{2(n-1)}{\sigma^2}\right] \\ & =\Pr\left[\chi^2(9)>18\right] \\ & \approx .04 \end{align*}
3 標本平均
3.1 t 分布（p. 202）
定義 4 Z \sim \mathrm{N}(0,1) と X \sim \chi^2(n) が独立のとき，Z/\sqrt{X/n} の分布を自由度 n の t 分布という．
注釈. \mathrm{t}(n) と書く．
注釈. 累積確率は t 分布表を参照．
注釈. \mathrm{t}(1) はコーシー分布，\mathrm{t}(\infty) は \mathrm{N}(0,1)．
例 4 \mathrm{t}(n) の pdf の例は 図 2 の通り．
3.2 母分散が既知の場合（p. 197）
\mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) からの無作為標本を (X_1,\dots,X_n) とする．
定理 5 \bar{X} \sim \mathrm{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)
証明. 正規分布の線形変換は正規分布．平均と分散の計算は省略．
系 2 \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \sim \mathrm{N}(0,1)
証明. 正規分布の線形変換は正規分布．標準化で平均 0，分散 1 となる．
注釈. \bar{X} の累積確率は標準正規分布表から次のように求める． \begin{align*} \Pr\left[\bar{X} \le x\right] & =\Pr\left[ \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \le \frac{x-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \right] \\ & =\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\right) \end{align*}
例 5 \mu=0，\sigma^2=1 とする．n=9 なら \bar{X}>1 の確率は \begin{align*} \Pr\left[\bar{X}>1\right] & =\Pr\left[ \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}>\frac{1-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \right] \\ & =Q(3) \\ & =.0013499 \end{align*}
3.3 母分散が未知の場合（p. 201）
母分散が未知なら \sigma^2 を s^2 で置き換える．
定理 6 \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{s^2/n}} \sim \mathrm{t}(n-1)
証明. 変形すると \begin{align*} \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{s^2/n}} & =\frac{\left(\bar{X}-\mu\right)/\sqrt{\sigma^2/n}} {\sqrt{s^2/n}/\sqrt{\sigma^2/n}} \\ & =\frac{\left(\bar{X}-\mu\right)/\sqrt{\sigma^2/n}} {\sqrt{[(n-1)s^2/\sigma^2]/(n-1)}} \end{align*} ここで \begin{align*} \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} & \sim \mathrm{N}(0,1) \\ \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} & \sim \chi^2(n-1) \end{align*} 分子と分母の独立性も証明できる（省略）．
注釈. \bar{X} の累積確率は t 分布表から次のように求める． \begin{align*} \Pr\left[\bar{X} \le x\right] & =\Pr\left[ \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{s^2/n}} \le \frac{x-\mu}{\sqrt{s^2/n}} \right] \\ & =\Pr\left[\mathrm{t}(n-1) \le \frac{x-\mu}{\sqrt{s^2/n}}\right] \end{align*}
例 6 \mu=0 とする．n=9，s^2=1 なら \bar{X}>1 の確率は \begin{align*} \Pr\left[\bar{X}>1\right] & =\Pr\left[ \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{s^2/n}}>\frac{1-\mu}{\sqrt{s^2/n}} \right] \\ & =\Pr[\mathrm{t}(8)>3] \\ & \approx .008 \end{align*}
まとめ
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