Ejercicios Capítulo 6

📅 19 de Noviembre de 2025

⚽

Nikole Gutierrez
💙 Ingeniería Mecánica

🥅

Antonio Garcia
💙 Ingeniería Civil

👟

Luisa Gonzalez
💙 Ingeniería Civil

Ejercicio 6.5

Calcule las siguientes probabilidades:

a) P(Z < -1.39), a la izquierda de z = -1.39

resultado_a <- pnorm(-1.39)
cat("a) Área a la izquierda de z = -1.39:", resultado_a, "\n")

## a) Área a la izquierda de z = -1.39: 0.08226444

b) P(Z > 1.96), a la derecha de z = 1.96

resultado_b <- 1 - pnorm(1.96)
cat("b) Área a la derecha de z = 1.96:", resultado_b, "\n")

## b) Área a la derecha de z = 1.96: 0.0249979

c) P(-2.16 < Z < -0.65), entre z = -2.16 y z = -0.65

resultado_c <- pnorm(-0.65) - pnorm(-2.16)
cat("c) Área entre -2.16 y -0.65:", resultado_c, "\n")

## c) Área entre -2.16 y -0.65: 0.2424598

d) P(Z < -1.43), a la izquierda de z = -1.43

resultado_d <- pnorm(1.43)
cat("d) Área a la izquierda de z = 1.43:", resultado_d, "\n")

## d) Área a la izquierda de z = 1.43: 0.9236415

e) P(Z > -0.89), a la derecha de z = -0.89

resultado_e <- 1 - pnorm(-0.89)
cat("e) Área a la derecha de z = -0.89:", resultado_e, "\n")

## e) Área a la derecha de z = -0.89: 0.8132671

f) P(-0.48 < Z < 1.74), entre z = -0.48 y z = 1.74

resultado_f <- pnorm(1.74) - pnorm(-0.48)
cat("f) Área entre -0.48 y 1.74:", resultado_f, "\n")

## f) Área entre -0.48 y 1.74: 0.6434568

Ejercicio 6.7

Determine el valor de k que satisface:

a) P(Z > k) = 0.2496

k_a <- qnorm(1 - 0.2946)
cat("a) k =", round(k_a, 4), "\n")

## a) k = 0.54

b) P(Z < k) = 0.0427

k_b <- qnorm(0.0427)
cat("b) k =", round(k_b, 4), "\n")

## b) k = -1.7202

c) P(-0.93 < Z < k) = 0.7235

# => pnorm(k) - pnorm(-0.93) = 0.7235  => pnorm(k) = 0.7235 + pnorm(-0.93)
target_c <- 0.7235 + pnorm(-0.93)
k_c <- qnorm(target_c)
cat("c) k =", round(k_c, 4), "\n")

## c) k = 1.2798

Ejercicio 6.9 (μ = 18, σ = 2.5)

Calcule:

a) P(X < 15)

# P(Z > k) = 0.2946  →  P(Z < k) = 1 - 0.2946
pnorm(15, mean = 18, sd = 2.5)

## [1] 0.1150697

b) k tal que P(X < k)=0.2236

k_b2 <- qnorm(0.2236, mean = 18, sd = 2.5)
k_b2

## [1] 16.09977

c) el valor de k tal que P(X > k) = 0.1814;

# P(Z < k) = P(Z < -0.93) + 0.7235
k_c2 <- qnorm(1 - 0.1814, mean = 18, sd = 2.5)
k_c2

## [1] 20.27511

c) P(17 < X < 21)

pnorm(21, mean = 18, sd = 2.5) - pnorm(17, mean = 18, sd = 2.5)

## [1] 0.5403521

Ejercicio 6.11 (μ = 200 ml, σ = 15 ml)

Una máquina sirve bebidas con \[ \mu = 200\text{ ml},\ \sigma = 15\text{ ml} \].

a) Fracción < 224 ml

res_a3 <- 1 - pnorm(224, mean = 200, sd = 15)
cat("Fracción > 224 ml =", res_a3)

## Fracción > 224 ml = 0.05479929

b) Entre 191 y 209 ml

res_b3 <- pnorm(209, 200, 15) - pnorm(191, 200, 15)
cat("Probabilidad entre 191 y 209 ml =", res_b3)

## Probabilidad entre 191 y 209 ml = 0.4514938

c) cuántos vasos se derraman si usan vasos de 230 ml para 1000 bebidas

Derrame = X > 230 ml

res_b3 <- pnorm(209, 200, 15) - pnorm(191, 200, 15)
cat("Probabilidad entre 191 y 209 ml =", res_b3)

## Probabilidad entre 191 y 209 ml = 0.4514938

d) Valor que delimita el 25% inferior

k_d3 <- qnorm(0.25, 200, 15)
cat("Valor del 25% inferior =", k_d3)

## Valor del 25% inferior = 189.8827

Ejercicio 6.13 (μ=40 meses, σ=6.3)

Calcule:

32 meses
< 28 meses
Entre 37 y 49 meses

a) >32 meses

cat(1 - pnorm(32, mean = 40, sd = 6.3))

## 0.8979294

b) <28 meses

cat(pnorm(28, mean = 40, sd = 6.3))

## 0.02840551

c) entre 37 y 49

cat(pnorm(49, mean = 40, sd = 6.3) - pnorm(37, mean = 40, sd = 6.3))

## 0.6064669

Ejercicio 6.15 (μ=24 min, σ=3.8)

Calcule:

a) Viajes > 30 mi

resultado_a <- 1 - pnorm(30, mean = 24, sd = 3.8)
cat("a) La probabilidad de que un viaje tome al menos 30 minutos es:", resultado_a, "\n")

## a) La probabilidad de que un viaje tome al menos 30 minutos es: 0.05717406

b) Prob. de llegar antes de las 9:00 saliendo 8:45

resultado_b <- 1 - pnorm(15, mean = 24, sd = 3.8)
cat("b) El porcentaje de veces que llegará tarde es:", resultado_b, "\n")

## b) El porcentaje de veces que llegará tarde es: 0.9910679

c) Prob. de no perder el café (8:35 a 8:50–9:00)

# → El rango del café es 15 minutos: 8:50–9:00.
#→ Llega tarde al café si X > 15 minutos desde 8:35 + 15 = 8:50.
#Es decir pierde el café si el viaje dura más de 15 minutos.

resultado_c <- 1 - pnorm(15, mean = 24, sd = 3.8)
cat("c) La probabilidad de que se pierda el café es:", resultado_c, "\n")

## c) La probabilidad de que se pierda el café es: 0.9910679

d) Tiempo correspondiente al 15% más lento

resultado_d <- qnorm(0.85, mean = 24, sd = 3.8)
cat("d) La duración mínima de los viajes más lentos (percentil 85) es:", resultado_d, "minutos\n")

## d) La duración mínima de los viajes más lentos (percentil 85) es: 27.93845 minutos

e) Prob. de que 2 de 3 viajes duren >30 min

p <- 1 - pnorm(30, mean = 24, sd = 3.8)
# Probabilidad de exactamente 2 viajes >= 30 en 3 intentos
resultado_e <- dbinom(2, size = 3, prob = p)
cat("e) La probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes duren al menos 30 minutos es:", resultado_e, "\n")

## e) La probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes duren al menos 30 minutos es: 0.009245937

Ejercicio 6.17 (μ=10, σ=2)

Calcule la garantía que cubra el 90% de los motores.

media <- 10
sd <- 2
p <- 0.03

garantia <- qnorm(p, mean = media, sd = sd)

cat("Tiempo de garantía para que solo falle el 3%:", garantia, "años\n")

## Tiempo de garantía para que solo falle el 3%: 6.238413 años

Ejercicio 6.19 (μ=15.90, σ=1.50)

Calcule:

a) Entre 13.75 y 16.22

resultado_a <- pnorm(16.22, mean = 15.90, sd = 1.50) - pnorm(13.75, mean = 15.90, sd = 1.50)
cat("a) Porcentaje =", resultado_a, "\n")

## a) Porcentaje = 0.5085852

b) Valor del 5% más alto

resultado_b <- qnorm(0.95, mean = 15.90, sd = 1.50)
cat("b) Salario límite del 5% más alto =", resultado_b, "\n")

## b) Salario límite del 5% más alto = 18.36728

Ejercicio 6.21 (μ=10000, σ=100)

Calcule:

P(X > 10150)
P(9800 < X < 10200)

a) P(X > 10150)

resultado_a <- 1 - pnorm(10150, mean = 10000, sd = 100)
cat("Proporción que excede 10150 =", resultado_a)

## Proporción que excede 10150 = 0.0668072

b) P(9800 < X < 10200)

resultado_b <- pnorm(9800, mean = 10000, sd = 100) +
               (1 - pnorm(10200, mean = 10000, sd = 100))

cat("Proporción descartada =", resultado_b)

## Proporción descartada = 0.04550026

Ejercicio 6.23 (μ=115, σ=12)

Calcule:

# P(CI < 95) teniendo en cuenta que el CI se redondea al entero más cercano:
# valores que se redondean a 94 o menos corresponden a X < 94.5
p_rechazo <- pnorm(94.5, mean = 115, sd = 12)

# número esperado de rechazados entre 600 aspirantes (redondeado al entero más cercano)
num_rechazo <- round(600 * p_rechazo)

cat("Probabilidad de rechazo (CI < 95):", round(p_rechazo, 6), "\n")

## Probabilidad de rechazo (CI < 95): 0.043787

cat("Número esperado de rechazados (de 600):", num_rechazo, "\n")

## Número esperado de rechazados (de 600): 26