EJERCICIO 6.5

Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que está:

Solución

a) a la izquierda de z = –1.39;

pnorm(-1.39)
## [1] 0.08226444

b) a la derecha de z = 1.96;

pnorm(1.96, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0249979

c) entre z = –2.16 y z = -0.65;

pnorm(-0.65) - pnorm(-2.16)
## [1] 0.2424598

d) a la izquierda de z = 1.43;

pnorm(1.43)
## [1] 0.9236415

e) a la derecha de z = –0.89;

pnorm(-0.89, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.8132671

f) entre z = –0.48 y z = 1.74.

pnorm(1.74) - pnorm(-0.48)
## [1] 0.6434568

EJERCICIO 6.7

Dada una distribución normal estándar, calcule el valor de z tal que:

Solución

a) P(Z > z) = 0.2946

qnorm(0.2946, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.5399957

b) P(Z < z) = 0.0427

qnorm(0.0427)
## [1] -1.720178

c) P(-0.93 < Z < z) = 0.7235

P(Z > -0.93):

p_left <- pnorm(-0.93)

p_left
## [1] 0.1761855

P(Z < z):

p_total <- 0.7235 + p_left

p_total
## [1] 0.8996855

valor de z de P(Z < z) = 0.8997

qnorm(p_total)
## [1] 1.279762

EJERCICIO 6.9

Dada la variable \(X\) normalmente distribuida con una media de 15 y una desviación estándar de 2.5, calcule:

mu <- 15

sigma <- 2.5

Solución

a) P(X < 15)

pnorm(15, mu, sigma)
## [1] 0.5

b) el valor de t tal que P(X < t) = 0.2236

qnorm(0.2236, mu, sigma)
## [1] 13.09977

c) el valor de t tal que P(X > t) = 0.1814

qnorm(0.1814, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 17.27511

d) P(17 < X < 21)

pnorm(21, mu, sigma) - pnorm(17, mu, sigma)
## [1] 0.2036579

EJERCICIO 6.11

Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros.

Solución

mu <- 200; sigma <- 15

a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros?

pnorm(224, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.05479929

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso tenga entre 191 y 209 ml?

pnorm(209, mu, sigma) - pnorm(191, mu, sigma)
## [1] 0.4514938

c) ¿Cuántos vasos se desbordarían si la capacidad es 230 ml?

pnorm(230, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02275013

d) ¿por debajo de qué valor obtendremos el 25% más bajo en el llenado de los bebidas?

qnorm(0.25, mu, sigma)
## [1] 189.8827

EJERCICIO 6.13

Un investigador informa que unos ratones a los que primero se les restringen drásticamente sus dietas y después se les enriquecen con vitarmias y proteínas vivirán un promedio de 40 meses. Si suponemos que la vida de tales ratones se distribuye normalmente, con una desviación estándar de 6.3 meses, calcule la probabilidad de que un ratón determinado viva

Solución

mu <- 40; sigma <- 6.3

a) más de 32 meses

pnorm(32, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.8979294

b) menos de 28 meses

pnorm(28, mu, sigma)
## [1] 0.02840551

c) entre 37 y 49 meses

pnorm(49, mu, sigma) - pnorm(37, mu, sigma)
## [1] 0.6064669

EJERCICIO 6.15

Un abogado viaja todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje sólo de ida es de 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.

Solución

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora?

mu <- 24; sigma <- 3.8
pnorm(30, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.05717406

b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m., y él sale diario de su casa a las 8:45 a.m., ¿qué porcentaje de las veces llegara tarde al trabajo?

pnorm(15, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.9910679

c) Si sole de su casa a las 8:35 a.m., y el café se sirve en la oficina de 8:50 a.m. a 9:00 a.m., ¿cuál es la probabilidad de que se pierda el café? Máximo posible = 20 min → prob = 0

pnorm(15, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.9910679

d) Calcule la duración mayor en la que se encuentra el 15% de los viajes más lentos.

qnorm(0.85, mu, sigma)
## [1] 27.93845

e) Calcule la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos 1/2 hora.

p <- pnorm(30, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
dbinom(2, 3, p)
## [1] 0.009245937

EJERCICIO 6.17

La vida de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años, con una desviación estándar de 2 años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de la garantía. Si estuviera dispuesto a reemplazar solo el 3% de los mores que fallan ¿cuanto tiempo de garantía debería ofrecer? Suponga que la duración del motor sigue una distribución normal.

Solución

media <- 10 
desviacion_estandar <- 2 
prob_falla <- 0.03 


tiempo_garantia <- qnorm(p = prob_falla,mean = media,sd = desviacion_estandar,
                         lower.tail = TRUE)


cat("El tiempo de garantía que debe ofrecer es:", round(tiempo_garantia, 2), "años.\n")
## El tiempo de garantía que debe ofrecer es: 6.24 años.
cat("El valor Z crítico es:", round((tiempo_garantia - media) / desviacion_estandar, 2), "\n")
## El valor Z crítico es: -1.88

EJERCICIO 6.19

Una empresa paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora, con una desviación estándar de $1.50. si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se redondean al centavo mas cercano:

mu <- 15.90
sigma <- 1.50

Solución

a)qué porcentaje de los trabajadores recibe salarios de entre $13.75 y $16.22 por hora?

x1 <- 13.75
x2 <- 16.22

prob_a <- pnorm(x2, mean = mu, sd = sigma) -
pnorm(x1, mean = mu, sd = sigma)

porcentaje_a <- round(prob_a * 100, 2)

cat("El porcentaje de trabajadores con salarios entre $13.75 y $16.22 es:",
porcentaje_a, "%\n")
## El porcentaje de trabajadores con salarios entre $13.75 y $16.22 es: 50.86 %

b) ¿el 5% de los salarios más altos por hora de los empleados es mayor a qué cantidad?

probabilidad_acumulada <- 0.95

salario_b <- qnorm(probabilidad_acumulada, mean = mu, sd = sigma)
salario_b_redondeado <- round(salario_b, 2)

cat("El salario mínimo para pertenecer al 5% más alto es: $",
salario_b_redondeado, "\n")
## El salario mínimo para pertenecer al 5% más alto es: $ 18.37

Ejercicio 6.21

La resistencia a la tensión de cierto componente de metal se distribuye normalmente con media
\(\mu = 10\,000\) kilogramos por centímetro cuadrado y desviación estándar
\(\sigma = 100\) kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se redondean al múltiplo de 50 más cercano.

Sea \(X \sim N(10\,000, 100^2)\) la resistencia real (antes de redondear).

Solución

a) ¿Qué fracción de los componentes tendrá una lectura que exceda los 10 150 kilogramos por centímetro cuadrado?

Las lecturas se redondean a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado más cercanos.
Una lectura de 10,150 corresponde al intervalo real:

\[ 10\,125 \le X < 10\,175. \]

Que un componente exceda los 10,150 kg/cm² (en la lectura redondeada) significa que la lectura es mayor que 10,150, es decir, que la lectura es al menos 10,200. Esto ocurre cuando

\[ X \ge 10\,175. \]

Por lo tanto, la proporción buscada es

\[ P(X > 10\,175) = 1 - \Phi\left( \dfrac{10\,175 - 10\,000}{100} \right) = 1 - \Phi(1.75). \]

mu <- 10000
sigma <- 100

p_6_21_a <- 1 - pnorm(10175, mean = mu, sd = sigma)
p_6_21_a
## [1] 0.04005916

b) Las especificaciones requieren lecturas entre 9 800 y 10 200 kilogramos por centímetro cuadrado. ¿Qué proporción de las piezas deberá descartarse?

Las especificaciones requieren lecturas entre 9,800 y 10,200 kg/cm².
Debido al redondeo, esto corresponde al intervalo real:

  • 9,800 representa \(9\,775 \le X < 9\,825\)
  • 10,200 representa \(10\,175 \le X < 10\,225\)

Por lo tanto, las piezas aceptadas tienen resistencia real en

\[ 9\,775 \le X < 10\,225. \]

La probabilidad de aceptación es

\[ P(9\,775 \le X \le 10\,225) = \Phi\left( \dfrac{10\,225 - 10\,000}{100} \right) - \Phi\left( \dfrac{9\,775 - 10\,000}{100} \right) = \Phi(2.25) - \Phi(-2.25). \]

La proporción que se descarta es

\[ 1 - P(9\,775 \le X \le 10\,225). \]

lim_inf_real <- 9775
lim_sup_real <- 10225

p_aceptadas_6_21 <- pnorm(lim_sup_real, mean = mu, sd = sigma) -
  pnorm(lim_inf_real, mean = mu, sd = sigma)

p_descartadas_6_21 <- 1 - p_aceptadas_6_21
p_aceptadas_6_21
## [1] 0.9755511
p_descartadas_6_21
## [1] 0.02444895

Ejercicio 6.23

El coeficiente intelectual (CI) de 600 aspirantes se distribuye aproximadamente de forma normal con

  • media \(\mu = 115\)
  • desviación estándar \(\sigma = 12\).

Solución

Sea \(Y \sim N(115, 12^2)\) el CI real (antes de redondear).
El CI reportado se redondea al entero más cercano y la universidad exige un CI de al menos 95.

Como el CI se redondea al entero más cercano, para que el CI reportado sea al menos 95 se requiere que el valor real cumpla

\[ Y \ge 94.5. \]

Los aspirantes que serán rechazados con base en el CI son aquellos con

\[ Y < 94.5. \]

La probabilidad de rechazo es

\[ P(Y < 94.5) = \Phi\left( \dfrac{94.5 - 115}{12} \right). \]

Si hay 600 aspirantes, el número esperado de rechazados es

\[ 600 \times P(Y < 94.5). \]

mu_ci <- 115
sigma_ci <- 12
n_aspirantes <- 600

p_rechazo_6_23 <- pnorm(94.5, mean = mu_ci, sd = sigma_ci)
n_rechazo_6_23 <- n_aspirantes * p_rechazo_6_23

p_rechazo_6_23
## [1] 0.04378725
n_rechazo_6_23
## [1] 26.27235