Tarea 4

Jhon Sebastian Vargas Fernandez

Ing. Quimica

Carlos Daniel Albarracin Cruz

Ing. Sistemas

Juan Sebastian Parra Cardenas

Ing. Electrica

Juan Diego Blanco Segura

Ing. Quimica

Santiago Cubides

Ing. Sistemas

EJERCICIOS

6,05

Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que está:

1. a la izquierda de z = –1.39;

z <- pnorm(-1.39)
z

## [1] 0.08226444

2. a la derecha de z = 1.96;

z <- 1-pnorm(1.96)
z

## [1] 0.0249979

3. entre z = –2.16 y z = – 0.65;

z <- pnorm(-0.65)-pnorm(-2.16)
z

## [1] 0.2424598

4. a la izquierda de z = 1.43;

z <- pnorm(1.43)
z

## [1] 0.9236415

5. a la derecha de z = – 0.89;

z <- 1-pnorm(-0.89)
z

## [1] 0.8132671

6. entre z = – 0.48 y z = 1.74.

z <- pnorm(1.74)-pnorm(-0.48)
z

## [1] 0.6434568

6,07

Dada una distribución normal estándar, calcule el valor de k tal que:

1. P(Z > k) =0.2946; = (1-0,2946)=0,7054

k <- qnorm(0.7054)
k

## [1] 0.5399957

2. P(Z < k) =0.0427;

k <- qnorm(0.0427)
k

## [1] -1.720178

3. P(−0.93 < Z < k) = 0.7235

Primero calculamos:

P(Z < k) = 0.7235 + P( Z < −0.93 )

j <- pnorm(-0.93)
t <- 0.7235 + j
k <- qnorm(t)
k

## [1] 1.279762

6,09

Dada la variable X normalmente distribuida con una media de 18 y una desviación estándar de 2.5, calcule a) P(X < 15);

k <- pnorm(15, mean = 18, sd = 2.5)
k

## [1] 0.1150697

2. el valor de k tal que P(X < k) = 0.2236;

k <- qnorm(0.2236, mean = 18, sd = 2.5)
k

## [1] 16.09977

3. el valor de k tal que P(X > k) = 0.1814;

Primero P(X<k)=1−0.1814=0.8186.

k <- qnorm(0.8186, mean = 18, sd = 2.5)
k

## [1] 20.27511

4. P(17 < X < 21).

k <- pnorm(21, mean = 18, sd = 2.5) - pnorm(17, mean = 18, sd = 2.5)
k

## [1] 0.5403521

6,11

Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 ml.

1. ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 ml?

mu <- 200
sigma <- 15
prob_a <- 1 - pnorm(224, mean = mu, sd = sigma) 
cat("Probabilidad:", round(prob_a,4)) 

## Probabilidad: 0.0548

2. ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?

mu <- 200
sigma <- 15
prob_b <- pnorm(209, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(191, mean = mu, sd = sigma)
cat("Probabilidad:", round(prob_b,4))

## Probabilidad: 0.4515

3. ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas?

mu <- 200
sigma <- 15
capacidad_vaso <- 230
prob_derrame <- 1 - pnorm(capacidad_vaso, mean = mu, sd = sigma)
vasos_derramados <- 1000 * prob_derrame
cat("Vasos derramados:",round(vasos_derramados,2))

## Vasos derramados: 22.75

4. ¿Por debajo de qué valor obtendremos el 25% más bajo en el llenado de las bebidas?

mu <- 200
sigma <- 15
q25 <- qnorm(0.25, mean = mu, sd = sigma)
round(q25,2)

## [1] 189.88

6,13

Un investigador informa que unos ratones a los que primero se les restringen drásticamente sus dietas y después se les enriquecen con vitaminas y proteínas vivirán un promedio de 40 meses. Si suponemos que la vida de tales ratones se distribuye normalmente, con una desviación estándar de 6.3 meses, calcule la probabilidad de que un ratón determinado viva

mu_r <- 40
sigma_r <- 6.3

1. Más de 32 meses;

prob_r_a <- 1 - pnorm(32, mean = mu_r, sd = sigma_r)
cat("Probabilidad:", round(prob_r_a,4))

## Probabilidad: 0.8979

2. Menos de 28 meses;

prob_r_b <- pnorm(28, mean = mu_r, sd = sigma_r)
cat("Probabilidad:", round(prob_r_b,4))

## Probabilidad: 0.0284

3. Entre 37 y 49 meses.

prob_r_c <- pnorm(49, mean = mu_r, sd = sigma_r) - pnorm(37, mean = mu_r, sd = sigma_r)
cat("Probabilidad:", round(prob_r_c,4))

## Probabilidad: 0.6065

6.15

Un abogado viaja todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje sólo de ida es de 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora?

mu <- 24
sigma <- 3.8

prob_a <- 1 - pnorm(30, mean = mu, sd = sigma)
cat("a) P(T >= 30) =", round(prob_a, 2))

## a) P(T >= 30) = 0.06

2. Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale diario de su casa a las 8:45 a.m., ¿qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo?

mu <- 24
sigma <- 3.8
prob_b <- 1 - pnorm(15, mean = mu, sd = sigma)
cat("b) P(T > 15) =", round(prob_b, 2))

## b) P(T > 15) = 0.99

3. Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el café se sirve en la oficina de 8:50 a.m. a 9:00 a.m., ¿cuál es la probabilidad de que se pierda el café?

mu <- 24
sigma <- 3.8
prob_c <- 1 - pnorm(25, mean = mu, sd = sigma)
cat("c) P(perder el café) =", round(prob_c, 2))

## c) P(perder el café) = 0.4

4. Calcule la duración mayor en la que se encuentra el 15% de los viajes más lentos.

mu <- 24
sigma <- 3.8
percentil_85 <- qnorm(0.85, mean = mu, sd = sigma)
cat("d) Duración (minutos) del 15% más lento =", round(percentil_85, 2), "min\n")

## d) Duración (minutos) del 15% más lento = 27.94 min

5. Calcule la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos 1/2 hora.

mu <- 24
sigma <- 3.8
p <- 1 - pnorm(30, mean = mu, sd = sigma)
prob_e <- dbinom(2, size = 3, prob = p)
cat("e) P(2 de 3 >= 30 min) =", round(prob_e, 5), "\n")

## e) P(2 de 3 >= 30 min) = 0.00925

6,17

La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años, con una desviación estándar de 2 años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del periodo de garantía. Si estuviera dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿cuánto tiempo de garantía debería ofrecer?

Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.

Sabemos que P(X<k)=0.03 y que el promedio es 10 con una desviacion estadar de 2.

k <- qnorm(0.03, mean = 10, sd = 2) 
cat("El fabricante deberia de dar aproximadamente:",round(k,2),"años de garantia Si estuviera dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan")

## El fabricante deberia de dar aproximadamente: 6.24 años de garantia Si estuviera dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan

6,19

Una empresa paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora, con una desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se redondean al centavo más cercano,

1. ¿qué porcentaje de los trabajadores recibe salarios de entre $13.75 y $16.22 por hora?

mu <- 15.90
sigma <- 1.50

prob_a <- pnorm(16.22, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(13.75, mean = mu, sd = sigma)
cat("a) Porcentaje entre 13.75 y 16.22 =", round(prob_a, 2))

## a) Porcentaje entre 13.75 y 16.22 = 0.51

2. ¿el 5% de los salarios más altos por hora de los empleados es mayor a qué cantidad?

mu <- 15.90
sigma <- 1.50
percentil_95 <- qnorm(0.95, mean = mu, sd = sigma)
cat("b) El 5% de los salarios más alto son mayores a $", round(percentil_95, 2))

## b) El 5% de los salarios más alto son mayores a $ 18.37

6,21

La resistencia a la tensión de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se redondean a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado más cercanos.

1. ¿Qué proporción de estos componentes excede a 10,150 kilogramos por centímetro cuadrado de resistencia a la tensión?

#P(X>10150)
mu <- 10000
sigma <- 100
sol.a <- pnorm(q=10150,mean = mu,sd=sigma, lower.tail = FALSE)
cat("P(X>10150)=",sol.a)

## P(X>10150)= 0.0668072

2. Si las especifi caciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la tensión de entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado, ¿qué proporción de piezas esperaría que se descartara?

# P(9800 < X < 10200)
mu <- 10000
sigma <- 100
sol.b <- pnorm(q=10200, mean= mu,sd=sigma)-pnorm(q=9800, mean= mu,sd=sigma)
cat("P(9800 < X < 10200)=",sol.b)

## P(9800 < X < 10200)= 0.9544997

6,23

El coeficiente intelectual (CI) de 600 aspirantes a cierta universidad se distribuye aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados con base en éste sin importar sus otras calificaciones? Tome en cuenta que el CI de los aspirantes se redondea al entero más cercano.

#P( X < 95) probabilidad de rechazo
mu <- 115
sigma <- 12
n <- 600
r <- 95 # requisito minimo de CI
solu.a <- pnorm(r,mean = mu, sd=sigma)
cat("P( X < 95)=",solu.a)

## P( X < 95)= 0.04779035

er <- solu.a*n

cat(". El numero de estudiantes rechazados es =",round(er,0))

## . El numero de estudiantes rechazados es = 29