Introducción al Análisis de Correlación Simple

¿Qué es la Correlación?

El análisis de correlación es una técnica estadística que se utiliza para medir y describir la relación lineal entre dos variables numéricas continuas. A diferencia de otras pruebas estadísticas donde una variable es categórica (como en la prueba t o ANOVA), en la correlación ambas variables son de medición continua.

Tipos de Correlación

La correlación puede clasificarse según su dirección y su fuerza:

  • Correlación positiva: A medida que una variable aumenta, la otra variable también aumenta. Ejemplo: altura y peso en humanos.
  • Correlación negativa: A medida que una variable aumenta, la otra variable disminuye. Ejemplo: velocidad de un vehículo y tiempo de viaje.
  • Correlación nula: No existe una relación lineal entre las dos variables. Los cambios en una variable no predicen cambios en la otra.

⚠️ Advertencia Importante: Correlación NO implica Causalidad

Es fundamental entender que dos variables pueden estar correlacionadas sin que una cause la otra. Por ejemplo:

  • La correlación entre el número de incendios forestales y el número de helados vendidos en un día puede ser positiva, pero no significa que los helados causen los incendios forestales.
  • La verdadera causa es una tercera variable (variable de confusión): la temperatura. En días calurosos, se venden más helados Y también hay más incendios forestales.

Coeficiente de Correlación de Pearson

Definición y Propiedades

El coeficiente de correlación de Pearson (denotado como \(r\)) es la medida más común de la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables.

Características del coeficiente r:

  • Rango: El valor de \(r\) varía entre -1 y +1.
    • \(r = +1\): Correlación positiva perfecta (todos los puntos caen exactamente sobre una línea con pendiente positiva).
    • \(r = -1\): Correlación negativa perfecta (todos los puntos caen exactamente sobre una línea con pendiente negativa).
    • \(r = 0\): No hay correlación lineal (aunque puede existir una relación no lineal).
  • Interpretación del signo: El signo de \(r\) indica la dirección de la relación.
  • Interpretación del valor absoluto: El valor absoluto de \(r\) indica la fuerza de la relación:
    • \(|r| < 0.3\): Correlación débil
    • \(0.3 \leq |r| < 0.7\): Correlación moderada
    • \(|r| \geq 0.7\): Correlación fuerte

Fórmula del Coeficiente de Pearson

El coeficiente de correlación de Pearson se calcula de la siguiente manera:

\[r = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2 \sum (Y_i - \bar{Y})^2}}\]

Donde:

  • \(r\) es el coeficiente de correlación de Pearson.
  • \(X_i\) y \(Y_i\) son los valores individuales de las dos variables.
  • \(\bar{X}\) y \(\bar{Y}\) son las medias de las dos variables.

Componentes de la Fórmula

  • Numerador: Es la covarianza entre X e Y. Determina el signo (dirección) de la correlación.
  • Denominador: Es el producto de las desviaciones estándar de X e Y. Estandariza el valor para que \(r\) esté entre -1 y +1, determinando así la fuerza de la correlación.

Supuestos del Coeficiente de Pearson

Para que el análisis de correlación de Pearson sea válido, deben cumplirse los siguientes supuestos:

  1. Muestra aleatoria: Los datos deben provenir de una muestra aleatoria de la población.
  2. Variables continuas: Ambas variables deben ser de medición continua (o al menos de intervalo).
  3. Relación lineal: La relación entre las variables, si existe, debe ser lineal. Si la relación es curvilínea, el coeficiente de Pearson no será apropiado.
  4. Normalidad bivariada: Las dos variables juntas deben tener una distribución normal bivariada. En un diagrama de dispersión, los puntos deben formar aproximadamente una elipse.
  5. Ausencia de valores atípicos extremos: Los valores atípicos pueden influir fuertemente en el coeficiente de correlación.

Ejemplo 1: Correlación entre Masa y Longitud de Semillas

Descripción del Conjunto de Datos

Vamos a analizar la relación entre la masa (en gramos) y la longitud (en milímetros) de semillas de Thespesia populnea, un árbol tropical costero.

Pregunta de investigación: Según la teoría alométrica, ¿existirá una relación lineal entre el tamaño (longitud) de las semillas y su masa?

Carga y Exploración de los Datos

Utilizaremos el conjunto de datos semilla_thepol-masa-long.csv, que contiene mediciones de masa y longitud de semillas, realizadas en el laboratorio de Ecología Poblacional en la UPRH.

# Cargar los datos
thespe <- read.csv("semilla_thepol-masa-long.csv")

# Ver las primeras filas
head(thespe)
# Tamaño de la muestra
n <- nrow(thespe)
cat("Tamaño de la muestra (n):", n, "\n")
## Tamaño de la muestra (n): 487

Estadísticas descriptivas de los datos

A continuación se presentan las estadísticas descriptivas básicas de las variables masa_g y long_mm.

library(gt)
# tabla gt
tabla_desc <- gt(data.frame(
  Estadístico = c("Media", "Desviación Estándar"),
  Masa_g = c(round(mean(thespe$masa_g), 4), round(sd(thespe$masa_g), 4)),
  Long_mm = c(round(mean(thespe$long_mm), 4), round(sd(thespe$long_mm), 4))
)) %>%
  tab_header(
    title = "Estadísticas Descriptivas",
    subtitle = "Masa y Longitud de Semillas de Thespesia populnea"
  ) %>%
  tab_style(
    style = cell_text(weight = "bold"),
    locations = cells_column_labels()
  )
tabla_desc
Estadísticas Descriptivas
Masa y Longitud de Semillas de Thespesia populnea
Estadístico Masa_g Long_mm
Media 0.2244 10.1476
Desviación Estándar 0.0522 1.5966

Visualización: Diagrama de Dispersión con Elipse de Confianza

Antes de calcular cualquier estadístico, es fundamental visualizar los datos con un diagrama de dispersión (scatter plot). Además, incluiremos una elipse de confianza al 95% que nos ayuda a:

  • Visualizar la distribución bivariada de los datos.
  • Verificar el supuesto de normalidad bivariada.
  • Identificar la dirección y fuerza de la correlación visualmente.
library(ggplot2)

# Calcular r para anotación
r_value <- cor(thespe$masa_g, thespe$long_mm)

ggplot(thespe, aes(x = masa_g, y = long_mm)) +
  # Elipse de confianza al 95%
  stat_ellipse(level = 0.95, 
               geom = "polygon", 
               alpha = 0.15, 
               fill = "steelblue",
               color = "steelblue",
               linewidth = 1.2) +
  # Puntos de datos
  geom_point(alpha = 0.6, color = "steelblue", size = 2.5) +
  # Anotación con el valor de r
  annotate("text", 
           x = max(thespe$masa_g) * 0.9, 
           y = min(thespe$long_mm) * 1.1,
           label = paste("r =", round(r_value, 3)),
           size = 5, 
           fontface = "bold",
           color = "darkred") +
  labs(
    x = "Masa (g)",
    y = "Longitud (mm)"
    ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold", size = 14),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 10, color = "gray40"),
    plot.caption = element_text(size = 8, color = "gray50", hjust = 0)
  )

FIGURA 1. Diagrama de dispersión de masa vs. longitud de semillas con elipse de confianza al 95%.

Interpretación visual:

  • El diagrama muestra una tendencia general positiva.
  • La elipse azul contiene aproximadamente el 95% de los datos y está orientada diagonalmente hacia arriba, lo que confirma visualmente la correlación positiva.
  • La forma alargada de la elipse (no circular) indica que existe una correlación moderada.

Cálculo Manual del Coeficiente de Correlación de Pearson

Para entender mejor cómo funciona el coeficiente de Pearson, vamos a calcularlo manualmente paso a paso:

# Paso 1: Calcular las medias de ambas variables
mean_masa <- mean(thespe$masa_g)
mean_long <- mean(thespe$long_mm)

cat("Media de masa:", round(mean_masa, 4), "g\n")
## Media de masa: 0.2244 g
cat("Media de longitud:", round(mean_long, 4), "mm\n\n")
## Media de longitud: 10.1476 mm
# Paso 2: Calcular el numerador (covarianza)
numerador <- sum((thespe$masa_g - mean_masa) * (thespe$long_mm - mean_long))
cat("Numerador (covarianza):", round(numerador, 4), "\n\n")
## Numerador (covarianza): 17.1597
# Paso 3: Calcular el denominador
sum_sq_masa <- sum((thespe$masa_g - mean_masa)^2)
sum_sq_long <- sum((thespe$long_mm - mean_long)^2)
denominador <- sqrt(sum_sq_masa * sum_sq_long)
cat("Denominador:", round(denominador, 4), "\n\n")
## Denominador: 40.4768
# Paso 4: Calcular r
r_manual <- numerador / denominador
cat("Coeficiente de correlación de Pearson (r):", round(r_manual, 4), "\n")
## Coeficiente de correlación de Pearson (r): 0.4239

Tabla de Resultados

tabla1 <- gt(data.frame(
  Estadístico = "Coeficiente de Correlación (r)",
  Valor = round(r_manual, 4)
)) %>%
  tab_header(
    title = "Coeficiente de Correlación de Pearson",
    subtitle = "Masa vs. Longitud de Semillas"
  ) %>%
  tab_style(
    style = cell_text(weight = "bold"),
    locations = cells_column_labels()
  )

tabla1
Coeficiente de Correlación de Pearson
Masa vs. Longitud de Semillas
Estadístico Valor
Coeficiente de Correlación (r) 0.4239

Interpretación: El coeficiente \(r = 0.424\) indica una correlación positiva moderada entre la masa y la longitud de las semillas. Esto significa que, en general, las semillas más largas tienden a ser más pesadas.

Cálculo con la Función cor() de R

R proporciona funciones integradas que simplifican el cálculo:

# Calcular r con la función cor()
r_R <- cor(thespe$masa_g, thespe$long_mm)
cat("Coeficiente de Pearson con cor():", round(r_R, 4), "\n")
## Coeficiente de Pearson con cor(): 0.4239
# Verificar que ambos métodos dan el mismo resultado
cat("¿Los resultados coinciden?", all.equal(r_manual, r_R), "\n")
## ¿Los resultados coinciden? TRUE

Prueba de Hipótesis del Coeficiente de Correlación

Planteamiento de Hipótesis

Calcular el coeficiente de correlación es solo el primer paso. Ahora debemos determinar si este valor es estadísticamente significativo. Es decir, ¿es probable que este valor de \(r\) haya ocurrido por azar si en realidad no existe correlación en la población?

Hipótesis:

  • Hipótesis nula (\(H_0\)): No existe correlación en la población. \(\rho = 0\) (donde \(\rho\) es el coeficiente de correlación poblacional).
  • Hipótesis alternativa (\(H_1\)): Existe una correlación significativa en la población. \(\rho \neq 0\) (prueba de dos colas).

Nivel de Significancia

Usaremos \(\alpha = 0.05\) como nivel de significancia estándar.

Método 1: Cálculo del Valor Crítico de \(r\)

Una forma de evaluar la significancia es comparar nuestro \(r\) calculado con un valor crítico de \(r\). Si \(|r_{calculado}| > r_{crítico}\), rechazamos la hipótesis nula.

Relación entre \(r\) y la distribución t

El valor crítico de \(r\) se deriva de la distribución t de Student. La relación es:

\[ t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\]

Y podemos invertir esta fórmula para obtener el valor crítico de \(r\):

\[ r\_{crítico} = \sqrt{\frac{t_{crítico}^2}{t_{crítico}^2 + (n-2)}} \]

Cálculo en R

# Función para calcular el valor crítico de r
critical_r <- function(n, alpha = 0.05, tails = 2) {
  # Grados de libertad
  df <- n - 2
  
  # Valor crítico de t
  prob <- 1 - (alpha / tails)
  critical_t <- qt(prob, df)
  
  # Convertir t crítico a r crítico
  critical_r_value <- sqrt(critical_t^2 / (critical_t^2 + df))
  
  return(critical_r_value)
}

# Calcular el valor crítico para nuestros datos
r_critico <- critical_r(n = n, alpha = 0.05, tails = 2)

cat("Tamaño de muestra (n):", n, "\n")
## Tamaño de muestra (n): 487
cat("Grados de libertad (n-2):", n - 2, "\n")
## Grados de libertad (n-2): 485
cat("Nivel de significancia (α):", 0.05, "\n")
## Nivel de significancia (α): 0.05
cat("Valor crítico de r:", round(r_critico, 4), "\n\n")
## Valor crítico de r: 0.0889
cat("r calculado:", round(r_manual, 4), "\n")
## r calculado: 0.4239
cat("|r calculado| > r crítico:", abs(r_manual) > r_critico, "\n\n")
## |r calculado| > r crítico: TRUE
if (abs(r_manual) > r_critico) {
  cat("CONCLUSIÓN: Rechazamos H₀. La correlación es estadísticamente significativa.\n")
} else {
  cat("CONCLUSIÓN: No rechazamos H₀. La correlación no es estadísticamente significativa.\n")
}
## CONCLUSIÓN: Rechazamos H₀. La correlación es estadísticamente significativa.

Tabla Comparativa

tabla_critica <- gt(data.frame(
  Parámetro = c("Tamaño de muestra (n)", 
                "Grados de libertad (df)", 
                "Nivel α",
                "Valor crítico de r",
                "r calculado",
                "|r| > r crítico"),
  Valor = c(n, 
            n - 2, 
            0.05,
            round(r_critico, 4),
            round(r_manual, 4),
            ifelse(abs(r_manual) > r_critico, "SÍ ✓", "NO ✗"))
)) %>%
  tab_header(
    title = "Evaluación de Significancia",
    subtitle = "Comparación con Valor Crítico"
  ) %>%
  tab_style(
    style = cell_text(weight = "bold"),
    locations = cells_body(rows = 6)
  )

tabla_critica
Evaluación de Significancia
Comparación con Valor Crítico
Parámetro Valor
Tamaño de muestra (n) 487
Grados de libertad (df) 485
Nivel α 0.05
Valor crítico de r 0.0889
r calculado 0.4239
|r| > r crítico SÍ ✓

Método 2: Prueba de Significancia con cor.test()

R proporciona la función cor.test() que realiza automáticamente la prueba de hipótesis y calcula el valor p:

# Realizar la prueba de correlación
test_resultado <- cor.test(thespe$masa_g, thespe$long_mm)

# Mostrar resultados completos
print(test_resultado)
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  thespe$masa_g and thespe$long_mm
## t = 10.308, df = 485, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.3482011 0.4941783
## sample estimates:
##       cor 
## 0.4239391

Interpretación de los Resultados

# Extraer información clave
r_valor <- test_resultado$estimate
p_valor <- test_resultado$p.value
ic_inferior <- test_resultado$conf.int[1]
ic_superior <- test_resultado$conf.int[2]
estadistico_t <- test_resultado$statistic

cat("\n=== RESUMEN DE RESULTADOS ===\n\n")
## 
## === RESUMEN DE RESULTADOS ===
cat("Coeficiente de correlación (r):", round(r_valor, 4), "\n")
## Coeficiente de correlación (r): 0.4239
cat("Estadístico t:", round(estadistico_t, 4), "\n")
## Estadístico t: 10.3085
cat("Valor p:", format(p_valor, scientific = TRUE, digits = 4), "\n")
## Valor p: 1.156e-22
cat("Intervalo de confianza 95%: [", round(ic_inferior, 4), ",", round(ic_superior, 4), "]\n\n")
## Intervalo de confianza 95%: [ 0.3482 , 0.4942 ]
if (p_valor < 0.05) {
  cat("DECISIÓN: Como p < 0.05, rechazamos H₀.\n")
  cat("CONCLUSIÓN: Existe evidencia estadística significativa de una correlación\n")
  cat("            positiva entre la masa y la longitud de las semillas.\n")
} else {
  cat("DECISIÓN: Como p ≥ 0.05, no rechazamos H₀.\n")
  cat("CONCLUSIÓN: No hay evidencia suficiente de correlación significativa.\n")
}
## DECISIÓN: Como p < 0.05, rechazamos H₀.
## CONCLUSIÓN: Existe evidencia estadística significativa de una correlación
##             positiva entre la masa y la longitud de las semillas.

Tabla de Resultados Final

tabla_final <- gt(data.frame(
  Estadístico = c("Coeficiente de Correlación (r)", 
                  "Estadístico t",
                  "Grados de libertad",
                  "Valor p", 
                  "IC 95% - Límite inferior",
                  "IC 95% - Límite superior"),
  Valor = c(round(r_valor, 4),
            round(estadistico_t, 4),
            n - 2,
            format(p_valor, scientific = TRUE, digits = 4),
            round(ic_inferior, 4),
            round(ic_superior, 4))
)) %>%
  tab_header(
    title = "Resultados de la Prueba de Correlación de Pearson",
    subtitle = "Masa vs. Longitud de Semillas de Thespesia populnea"
  ) %>%
  tab_style(
    style = cell_text(weight = "bold"),
    locations = cells_column_labels()
  ) %>%
  tab_style(
    style = cell_fill(color = "lightblue"),
    locations = cells_body(rows = c(1, 4))
  )

tabla_final
Resultados de la Prueba de Correlación de Pearson
Masa vs. Longitud de Semillas de Thespesia populnea
Estadístico Valor
Coeficiente de Correlación (r) 0.4239
Estadístico t 10.3085
Grados de libertad 485
Valor p 1.156e-22
IC 95% - Límite inferior 0.3482
IC 95% - Límite superior 0.4942

Alternativa No Paramétrica: Correlación de Spearman

¿Cuándo usar Spearman en lugar de Pearson?

El coeficiente de correlación de Spearman (\(\rho_s\) o \(r_s\)) es una alternativa no paramétrica que se utiliza cuando:

  1. Los datos no cumplen con el supuesto de normalidad bivariada.
  2. La relación entre las variables es monotónica pero no necesariamente lineal.
  3. Hay valores atípicos que podrían influir excesivamente en Pearson.
  4. Las variables son ordinales (rangos).

¿Cómo funciona?

Spearman funciona convirtiendo los valores de cada variable en rangos y luego calculando la correlación de Pearson sobre esos rangos.

Ejemplo con los Datos de Semillas

# Correlación de Spearman
cor_spearman <- cor(thespe$masa_g, thespe$long_mm, method = "spearman")
cat("Correlación de Spearman:", round(cor_spearman, 4), "\n")
## Correlación de Spearman: 0.4285
cat("Correlación de Pearson:", round(r_manual, 4), "\n\n")
## Correlación de Pearson: 0.4239
# Prueba de significancia
test_spearman <- cor.test(thespe$masa_g, thespe$long_mm, method = "spearman")
print(test_spearman)
## 
##  Spearman's rank correlation rho
## 
## data:  thespe$masa_g and thespe$long_mm
## S = 11000535, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
## sample estimates:
##       rho 
## 0.4285477

Comparación Pearson vs. Spearman

comparacion <- data.frame(
  Método = c("Pearson", "Spearman"),
  Coeficiente = c(round(r_manual, 4), round(cor_spearman, 4)),
  Valor_p = c(format(test_resultado$p.value, scientific = TRUE, digits = 3),
              format(test_spearman$p.value, scientific = TRUE, digits = 3)),
  Tipo = c("Paramétrico", "No paramétrico"),
  Supuestos = c("Normalidad, linealidad", "Relación monotónica")
)

gt(comparacion) %>%
  tab_header(
    title = "Comparación de Métodos de Correlación",
    subtitle = "Datos de Semillas de Thespesia populnea"
  ) %>%
  tab_style(
    style = cell_text(weight = "bold"),
    locations = cells_column_labels()
  )
Comparación de Métodos de Correlación
Datos de Semillas de Thespesia populnea
Método Coeficiente Valor_p Tipo Supuestos
Pearson 0.4239 1.16e-22 Paramétrico Normalidad, linealidad
Spearman 0.4285 3.57e-23 No paramétrico Relación monotónica

Análisis de Correlación Múltiple (más de dos variables)

El análisis de correlación múltiple es una técnica estadística que se utiliza para medir y describir la relación entre más de dos variables. En el análisis de correlación múltiple, se calculan los coeficientes de correlación entre cada par de variables y se analiza la fuerza y dirección de las relaciones.

Ejercicio 2. Ejemplo de Análisis de Correlación Múltiple

Utilizaremos los datos de mortalidad y variables relacionadas a la salud en ciudades pequeñas de Estados Unidos. Los datos contienen información sobre:

  • death1k: Tasa de mortalidad por 1000 habitantes.
  • doctor100k: Número de médicos por 100000 habitantes.
  • hospital100k: Número de camas de hospitales por 100000 habitantes.
  • income1k: Ingreso per cápita en miles de dólares.
  • density: Densidad de población por milla cuadrada.
# Load the death_small_cities.xlsx dataset from data tab
library(readxl)
mortalidad <- read_excel("death_small_cities.xlsx", sheet = "data")

Cálculo de la Matriz de Correlación

# Calculate correlation matrix
corr_matrix <- cor(mortalidad)

Tabla 4. Matriz de Correlación entre las variables de mortalidad y salud en ciudades pequeñas de Estados Unidos.

##               death1K  doctor100K   hosp100K    income1K     density
## death1K     1.0000000  0.11576504 0.11059019 -0.17199239 -0.27760696
## doctor100K  0.1157650  1.00000000 0.29562836  0.43328796 -0.01993791
## hosp100K    0.1105902  0.29562836 1.00000000  0.02750354  0.18661628
## income1K   -0.1719924  0.43328796 0.02750354  1.00000000  0.12874370
## density    -0.2776070 -0.01993791 0.18661628  0.12874370  1.00000000

Significancia (valor p) de la correlación entre las variables:

library(Hmisc)

# Calculate correlation matrix and p-values
corr_results <- rcorr(as.matrix(mortalidad))
p_values <- corr_results$P
p_values[is.na(p_values)] <- 0
corr_matrix <- corr_results$r

Tabla 5. Valores p de la correlación entre las variables de mortalidad y salud en ciudades pequeñas de Estados Unidos.

##              death1K  doctor100K   hosp100K    income1K   density
## death1K    0.0000000 0.409106839 0.43050181 0.218148006 0.0441603
## doctor100K 0.4091068 0.000000000 0.03162022 0.001191857 0.8873146
## hosp100K   0.4305018 0.031620223 0.00000000 0.845008435 0.1809032
## income1K   0.2181480 0.001191857 0.84500843 0.000000000 0.3582262
## density    0.0441603 0.887314572 0.18090320 0.358226239 0.0000000

Visualización de la Matriz de Correlación

# using corrplot package
library(corrplot)
# Plot the correlation matrix with significance levels
corrplot(corr_matrix, method = "color", type = "upper", tl.col = "black", 
           tl.srt = 45, p.mat = p_values, sig.level = 0.05, cl.pos = "r", na.label = "NS")

FIGURA 2. Matriz de Correlación entre las variables de mortalidad y salud en ciudades pequeñas de Estados Unidos. Los colores indican el valor y signo del coeficiente de correlación de Pearson. La X indica que la correlación no es significativa, para un nivel de significancia de 0.05.

Interpretación

Resumen y Conclusiones

Puntos Clave

  1. La correlación mide asociación, no causalidad: Dos variables pueden estar correlacionadas sin que una cause la otra.

  2. Visualizar siempre primero: Un diagrama de dispersión es esencial para identificar patrones, valores atípicos y verificar la linealidad.

  3. Verificar supuestos: El coeficiente de Pearson requiere normalidad bivariada y relación lineal. Si no se cumplen, usar Spearman.

  4. Significancia estadística: Un valor de \(r\) puede ser grande pero no significativo si la muestra es pequeña, o pequeño pero significativo si la muestra es grande.

  5. Interpretación contextual: Siempre interpretar los resultados en el contexto del problema y considerar variables de confusión.

Guía de Decisión

Guía para Elegir el Método de Correlación Apropiado
Situación Método_Recomendado
Ambas variables continuas, relación lineal, datos normales Pearson
Relación monotónica pero no lineal Spearman
Presencia de valores atípicos extremos Spearman
Variables ordinales (rangos) Spearman
Datos no cumplen normalidad Spearman

Ejercicios Propuestos

  1. Ejercicio 1: Utilizando el conjunto de datos death_small_cities.xlsx, analiza la correlación entre:

    • Ingreso per cápita (income1K) y disponibilidad de hospitales (hosp100K)
    • ¿Es significativa? ¿Qué dirección tiene?
    • ¿Qué implicaciones podría tener esta relación en términos de salud pública?
    • Entre doctor100k y death1k realiza el mismo ejercicio anterior.

  2. Ejercicio 2: Carga un conjunto de datos de tu elección que contenga al menos dos variables numéricas continuas. Realiza un análisis completo de correlación entre estas variables, incluyendo:

    • Visualización con diagrama de dispersión y elipse de confianza.
    • Cálculo del coeficiente de correlación de Pearson.
    • Prueba de hipótesis para determinar la significancia.
    • Interpretación de los resultados en el contexto del conjunto de datos seleccionado.

  3. Ejercicio 3: Calcula el valor crítico de \(r\) para una muestra de \(n = 15\) con \(\alpha = 0.01\) (dos colas). ¿Qué valor de \(r\) calculado sería necesario para rechazar \(H_0\)?

  4. Ejercicio 4: Compara las correlaciones de Pearson y Spearman para las variables income1K y density del conjunto de datos de ciudades. ¿Hay diferencias notables?