Metodología Box Jenkins para 4 series financieras

1 Descargar las 4 series de tiempo

## [1] "MSFT"     "EURUSD=X" "VFINX"

## [1] "DGS10"

En este primer paso se descargan y unifican las cuatro series financieras diarias que se analizarán a lo largo del trabajo: el precio de la acción MSFT (Microsoft), el rendimiento del T-Bond del Tesoro de EE. UU. a 10 años, el tipo de cambio EUR/USD y el precio del fondo de inversión VFINX (Vanguard 500 Index Fund). Todas las series se obtienen desde el 01-01-2015 hasta la fecha actual del análisis, y se transforman al mismo formato de serie temporal (xts) para poder compararlas directamente.

Como los datos provienen de fuentes distintas y tienen calendarios de negociación diferentes, es posible que en algunos días falte la observación de alguno de los activos (por feriados o días sin cotización). Al construir el objeto conjunto precios_xts, las series se alinean por fecha y se eliminan las observaciones con valores faltantes, de modo que en el resto del trabajo se utiliza un panel consistente, con las cuatro series observadas simultáneamente en cada fecha. Este objeto será la base para todas las transformaciones y modelos posteriores.

2 Rendimientos y rendimientos al cuadrado

A partir de las series en niveles se construyen las variables que realmente se utilizarán en la modelación. Para la acción MSFT, el tipo de cambio EUR/USD y el fondo VFINX se calculan rendimientos logarítmicos diarios, de la forma

\[ r_t = \log\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right). \]

Esta transformación tiene varias ventajas: hace comparables series con escalas muy distintas, aproxima los rendimientos continuos y suele producir series más simétricas y estacionarias que los precios en niveles.

En el caso de la Tasa del Tesoro a 10 años, en lugar de rendimientos logarítmicos se usa la primera diferencia de la tasa,

\[ \Delta r_t = r_t - r_{t-1}, \]

pues se trata ya de una tasa porcentual y lo natural es trabajar con sus variaciones día a día. Estas transformaciones dan lugar al objeto rends_xts, que contiene los rendimientos/variaciones diarias de cada activo.

Además, se calculan los rendimientos al cuadrado \(r_t^2\), almacenados en rends2_xts. Los cuadrados de los rendimientos amplifican los episodios de gran variabilidad y son especialmente útiles para estudiar la dinámica de la volatilidad y detectar la presencia de heterocedasticidad condicional (efectos ARCH/GARCH). Los primeros valores perdidos generados por Return.calculate y diff se eliminan, de modo que el análisis se realiza únicamente sobre observaciones completas.

3 Gráficos de niveles, rendimientos y rendimientos²

Los gráficos comparativos permiten observar, para cada activo, la evolución de la serie en niveles, de sus rendimientos/variaciones y de los rendimientos².

En los niveles se aprecian claras tendencias y cambios de régimen a lo largo del período 2015–presente: los precios de MSFT y del fondo VFINX muestran una trayectoria crecente con episodios de caídas bruscas, la tasa del Tesoro presenta ciclos de largos períodos de tasas bajas seguidos de aumentos, y el tipo de cambio EUR/USD exhibe desplazamientos en su nivel medio. Este comportamiento es típico de series no estacionarias, por lo que no resulta adecuado modelarlas directamente en niveles.

Al pasar a los rendimientos/variaciones, las cuatro series oscilan alrededor de cero, sin una tendencia clara en el tiempo. Se observan, sin embargo, períodos de relativa calma alternados con episodios de fuerte volatilidad, en los que los rendimientos muestran picos de gran magnitud (por ejemplo, en momentos de tensión financiera global). Esta estructura es compatible con rendimientos estacionarios en media, pero con volatilidad cambiante.

En los rendimientos² estos episodios de turbulencia quedan aún más resaltados: aparecen rachas de valores muy altos seguidas de intervalos con valores pequeños, lo que evidencia volatilidad agrupada. Esta impresión visual anticipa que la varianza de los rendimientos no es constante en el tiempo y sugiere la necesidad de utilizar, más adelante, modelos GARCH para describir la dinámica de la volatilidad de los cuatro activos.

4 Correlogramas (ACF y PACF)

Los correlogramas ACF y PACF permiten analizar de forma más formal la dependencia temporal de las series en niveles, de los rendimientos y de los rendimientos².

En los niveles de los cuatro activos, las funciones de autocorrelación muestran muchos rezagos significativos que decrecen lentamente, sin un corte rápido en pocos lags. La PACF tampoco se apaga de forma clara. Este patrón es característico de procesos con raíz unitaria o con tendencia estocástica, por lo que refuerza la idea de que las series en niveles no son estacionarias y no deberían utilizarse directamente para estimar modelos ARMA.

En los rendimientos/variaciones, las ACF y PACF de todos los activos presentan barras muy pequeñas en la mayoría de los rezagos, generalmente dentro de las bandas de significancia. Solo en el caso de MSFT y, sobre todo, del fondo VFINX se intuye algo más de estructura en los primeros rezagos, lo que apunta a una dependencia de corto plazo moderada. En conjunto, los correlogramas sugieren que, para la media, bastan modelos ARMA de orden muy bajo, cercanos a un ARMA(0,0) (media constante) en la tasa del Tesoro y en el tipo de cambio, y con posible componente AR/MA de primer orden en MSFT y VFINX. Estos indicios se contrastarán después con los criterios AIC.

Finalmente, en los rendimientos² de los cuatro activos se observan autocorrelaciones positivas y significativas en los primeros rezagos, que van decayendo de forma gradual. Tanto la ACF como la PACF de los rendimientos al cuadrado muestran bloques de rezagos relevantes, lo que evidencia dependencia en la varianza y la presencia de heterocedasticidad condicional. Este comportamiento respalda el uso posterior de modelos GARCH(1,1) (y extensiones) para capturar la dinámica de la volatilidad condicional en cada una de las series de rendimientos.

5 Pruebas de normalidad (Jarque–Bera)

## 
## 
## Jarque-Bera para rendimientos de: accion 
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  x
## X-squared = 6041.4, df = 2, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## 
## Jarque-Bera para rendimientos de: tasa_tesoro 
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  x
## X-squared = 307.92, df = 2, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## 
## Jarque-Bera para rendimientos de: moneda 
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  x
## X-squared = 535.85, df = 2, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## 
## Jarque-Bera para rendimientos de: fondo 
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  x
## X-squared = 26681, df = 2, p-value < 2.2e-16

## 
## 
## Jarque-Bera para rendimientos^2 de: accion 
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  x
## X-squared = 6690817, df = 2, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## 
## Jarque-Bera para rendimientos^2 de: tasa_tesoro 
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  x
## X-squared = 337640, df = 2, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## 
## Jarque-Bera para rendimientos^2 de: moneda 
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  x
## X-squared = 372168, df = 2, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## 
## Jarque-Bera para rendimientos^2 de: fondo 
## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  x
## X-squared = 9051377, df = 2, p-value < 2.2e-16

Las pruebas de normalidad de Jarque–Bera aplicadas a los rendimientos/variaciones de las cuatro series indican que, en todos los casos, los p-values son prácticamente cero (p-value < 0.05, de hecho < 2.2e-16). Por tanto, se rechaza la hipótesis nula de normalidad para los rendimientos de la acción MSFT, de la tasa del Tesoro a 10 años, del tipo de cambio EUR/USD y del fondo VFINX. Esto sugiere que las distribuciones presentan colas más pesadas y mayor curtosis que una normal, y en algunos activos también cierta asimetría. El efecto es especialmente marcado en los activos de renta variable (MSFT y VFINX), cuyos estadísticos de Jarque–Bera son mucho más altos que los de la tasa y la moneda, coherente con la presencia de episodios de volatilidad extrema en estos mercados.

Cuando se repite la prueba sobre los rendimientos al cuadrado, los estadísticos de Jarque–Bera aumentan aún más y los p-values siguen siendo prácticamente nulos. Esto confirma que los rendimientos² se desvían fuertemente de la normalidad, lo cual es esperable porque son siempre positivos y concentran valores muy pequeños alternados con picos muy grandes. En conjunto, estos resultados son consistentes con la evidencia visual de colas gruesas y volatilidad agrupada en las series, y refuerzan la motivación para utilizar más adelante modelos GARCH y medidas de riesgo como el VaR condicional, que permiten capturar mejor estos comportamientos extremos que un enfoque puramente normal.

6 Estacionariedad (ADF: Augmented Dickey–Fuller)

## 
## 
## ADF en niveles para: accion 
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -2.3607, Lag order = 13, p-value = 0.4256
## alternative hypothesis: stationary
## 
## 
## 
## ADF en niveles para: tasa_tesoro 
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -1.4961, Lag order = 13, p-value = 0.7917
## alternative hypothesis: stationary
## 
## 
## 
## ADF en niveles para: moneda 
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -2.4348, Lag order = 14, p-value = 0.3943
## alternative hypothesis: stationary
## 
## 
## 
## ADF en niveles para: fondo 
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -1.7602, Lag order = 13, p-value = 0.6798
## alternative hypothesis: stationary

## 
## 
## ADF en rendimientos/variaciones para: accion

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -13.52, Lag order = 12, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## 
## 
## 
## ADF en rendimientos/variaciones para: tasa_tesoro

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -11.581, Lag order = 12, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## 
## 
## 
## ADF en rendimientos/variaciones para: moneda

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -13.6, Lag order = 12, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## 
## 
## 
## ADF en rendimientos/variaciones para: fondo

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -12.979, Lag order = 12, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

## 
## 
## ADF en rendimientos^2 para: accion

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -8.9704, Lag order = 12, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## 
## 
## 
## ADF en rendimientos^2 para: tasa_tesoro

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -8.308, Lag order = 12, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## 
## 
## 
## ADF en rendimientos^2 para: moneda

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -9.6893, Lag order = 12, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## 
## 
## 
## ADF en rendimientos^2 para: fondo

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  x
## Dickey-Fuller = -8.6489, Lag order = 12, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

6.0.1 Selección de la serie a modelar para la acción MSFT

1. Serie en niveles (precio de la acción)

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de los niveles de la acción MSFT muestra autocorrelaciones positivas y muy persistentes en casi todos los rezagos, lo que sugiere un comportamiento tipo random walk (raíz unitaria) y, por tanto, no estacionario.

Test ADF en niveles:
- Estadístico Dickey–Fuller = -2.3258
- p-value = 0.4404 (> 0.05)
- H0 del ADF: la serie tiene raíz unitaria (no es estacionaria).

Como el p-value es mayor que 0.05, no rechazamos H0 ⇒ el precio en niveles no es estacionario y no es adecuado para modelar con ARMA.

---

2. Rendimientos de la acción

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF y la PACF de los rendimientos de MSFT muestran barras muy pequeñas, en su mayoría dentro de las bandas de confianza, sin un patrón claro.

Esto indica que los rendimientos se comportan aproximadamente como ruido blanco y son estacionarios en media.

Test ADF en rendimientos:
- Estadístico Dickey–Fuller = -13.491
- p-value = 0.01 (< 0.05)

Dado que el p-value es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula de raíz unitaria ⇒ los rendimientos sí son estacionarios.

Normalidad (Jarque–Bera):
- El test Jarque–Bera entrega un p-value < 2.2e-16, por lo que se rechaza la normalidad.

Los rendimientos de MSFT tienen colas pesadas y posibles asimetrías, lo cual es típico en datos financieros.

---

3. Rendimientos² de la acción

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de los rendimientos² muestra varios rezagos iniciales claramente significativos, lo que evidencia autocorrelación en la volatilidad (volatilidad agrupada) y sugiere heterocedasticidad condicional (efectos ARCH/GARCH).

Test ADF en rendimientos²:
- Estadístico Dickey–Fuller = -8.9685
- p-value = 0.01 (< 0.05)

El p-value menor que 0.05 implica que rechazamos la raíz unitaria ⇒ los rendimientos² también son estacionarios.

Normalidad (Jarque–Bera):
- El test Jarque–Bera da un p-value < 2.2e-16, por lo que se rechaza la normalidad también en los rendimientos².

Los rendimientos² concentran muchos valores pequeños y picos extremos, lo que refuerza la idea de colas muy pesadas y volatilidad cambiante.

---

Conclusiones parciales de la acción MSFT

• El precio en niveles de MSFT presenta raíz unitaria y no es estacionario, por lo que no es adecuado para estimar modelos ARMA directamente.
  
• Los rendimientos de la acción son estacionarios (según ACF/PACF y ADF) y, aunque no son normales, constituyen la serie adecuada para modelar la ecuación de la media mediante AR, MA o ARMA.
  
• Los rendimientos² son estacionarios y presentan autocorrelación, lo que confirma la existencia de volatilidad cambiante en el tiempo y justifica el uso posterior de un modelo GARCH para la varianza condicional.

Una vez seleccionada la serie estacionaria (los rendimientos), los correlogramas ACF/PACF muestran autocorrelaciones muy pequeñas y sin patrón claro. Esto sugiere una ecuación de media muy simple, equivalente a un ARMA(0,0) (media constante). Por ello se toman como órdenes tentativos p = 0 y q = 0, y solo de forma exploratoria se consideran modelos AR(1), MA(1) y ARMA(1,1) que luego se comparan con el criterio AIC.

---

6.0.2 Selección de la serie a modelar para la Tasa del Tesoro de EE.UU. a 10 años

1. Serie en niveles (tasa de interés)

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de los niveles de la tasa a 10 años muestra autocorrelaciones positivas y muy persistentes en prácticamente todos los rezagos, sin caída rápida.
- La PACF de los niveles no presenta un corte claro en pocos rezagos.

Este comportamiento es típico de una serie con raíz unitaria o tipo random walk, y sugiere que la tasa en niveles no es estacionaria.

Test ADF en niveles:
- Estadístico Dickey–Fuller = -1.4976
- p-value = 0.791 (> 0.05)
- H0 del ADF: la serie tiene raíz unitaria (no es estacionaria).

Como el p-value es muy superior a 0.05, no rechazamos H0 ⇒ la tasa en niveles no es estacionaria.

---

2. Rendimientos/variaciones de la tasa (diff de la tasa)

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de las variaciones de la tasa muestra barras muy pequeñas en casi todos los rezagos, dentro de las bandas de significancia.
- La PACF tampoco muestra patrón claro de corte ni cola larga.

Las variaciones de la tasa se comportan aproximadamente como ruido blanco y son estacionarias en media.

Test ADF en rendimientos/variaciones:
- Estadístico Dickey–Fuller = -11.578
- p-value = 0.01 (< 0.05)

Dado que el p-value es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula de raíz unitaria ⇒ las variaciones de la tasa son estacionarias.

Normalidad (Jarque–Bera):
- X-squared = 306.52, p-value < 2.2e-16

El p-value prácticamente nulo implica que se rechaza la normalidad: las variaciones de la tasa presentan colas pesadas y cierta asimetría, algo común en series financieras.

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3. Rendimientos² / variaciones² de la tasa

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de las variaciones² exhibe varios rezagos iniciales claramente significativos y positivos, que luego decaen gradualmente.
- La PACF de las variaciones² también muestra algunos rezagos iniciales destacados.

Esto evidencia autocorrelación en la volatilidad (volatilidad agrupada) y sugiere la presencia de heterocedasticidad condicional (efectos ARCH/GARCH).

Test ADF en rendimientos²:
- Estadístico Dickey–Fuller = -8.3189
- p-value = 0.01 (< 0.05)

El p-value menor que 0.05 indica que rechazamos la hipótesis de raíz unitaria ⇒ las variaciones² también son estacionarias.

Normalidad (Jarque–Bera):
- X-squared = 336735, p-value < 2.2e-16

El p-value casi cero hace que se rechace la normalidad también en las variaciones², reflejando colas muy pesadas y presencia de valores extremos.

---

Conclusiones parciales de la Tasa del Tesoro a 10 años

• La tasa en niveles presenta raíz unitaria y no es estacionaria (ACF muy persistente y ADF con p-value = 0.791).
  
• Las variaciones de la tasa son estacionarias (según ACF/PACF y ADF) y, aunque no son normales, constituyen la serie adecuada para modelar la ecuación de la media.
  
• Las variaciones² son estacionarias y muestran autocorrelación significativa, lo que confirma volatilidad cambiante y justifica considerar modelos GARCH para la varianza condicional.

Los correlogramas ACF/PACF de las variaciones muestran autocorrelaciones muy pequeñas y sin patrón fuerte, lo que sugiere una ecuación de media ARMA(0,0) (media constante). En consecuencia, se toman como órdenes tentativos p = 0 y q = 0, dejando la comparación con modelos AR(1), MA(1) y ARMA(1,1) al análisis mediante el criterio AIC.

---

6.0.3 Selección de la serie a modelar para el tipo de cambio EUR/USD (moneda)

1. Serie en niveles (tipo de cambio EUR/USD)

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de los niveles del tipo de cambio EUR/USD muestra autocorrelaciones positivas y muy persistentes en prácticamente todos los rezagos.
- La PACF no presenta un corte claro en pocos rezagos.

Este patrón es típico de un proceso con raíz unitaria o tipo random walk, por lo que sugiere que el tipo de cambio en niveles no es estacionario.

Test ADF en niveles:
- Estadístico Dickey–Fuller = -2.4183
- p-value = 0.4012 (> 0.05)
- H0 del ADF: la serie tiene raíz unitaria (no es estacionaria).

Como el p-value es mayor que 0.05, no rechazamos H0 ⇒ el EUR/USD en niveles no es estacionario.

---

2. Rendimientos del tipo de cambio (moneda)

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de los rendimientos del EUR/USD presenta barras muy pequeñas en casi todos los rezagos, dentro de las bandas de confianza.
- La PACF también muestra valores reducidos, sin un patrón claro de corte ni cola larga.

Los rendimientos del tipo de cambio se comportan aproximadamente como ruido blanco y son estacionarios en media.

Test ADF en rendimientos:
- Estadístico Dickey–Fuller = -13.591
- p-value = 0.01 (< 0.05)

Dado que el p-value es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula de raíz unitaria ⇒ los rendimientos del EUR/USD son estacionarios.

Normalidad (Jarque–Bera):
- X-squared = 534.15, p-value < 2.2e-16

El p-value prácticamente nulo implica que se rechaza la normalidad: los rendimientos del tipo de cambio presentan colas pesadas y posible asimetría.

---

3. Rendimientos² del tipo de cambio

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de los rendimientos² del EUR/USD muestra varios rezagos iniciales con autocorrelaciones positivas y significativas que luego van decayendo.
- La PACF de los rendimientos² también presenta algunos rezagos iniciales destacados.

Este comportamiento evidencia autocorrelación en la volatilidad (volatilidad agrupada) y sugiere la presencia de heterocedasticidad condicional (efectos ARCH/GARCH).

Test ADF en rendimientos²:
- El test ADF sobre los rendimientos² no apoya la existencia de raíz unitaria, por lo que la serie puede considerarse estacionaria (en línea con lo habitual en este tipo de datos).

Normalidad (Jarque–Bera):
- X-squared = 371111, p-value < 2.2e-16

El p-value prácticamente cero hace que se rechace la normalidad también en los rendimientos², reflejando colas muy pesadas y valores extremos en la volatilidad.

---

Conclusiones parciales del tipo de cambio EUR/USD

• El tipo de cambio en niveles presenta raíz unitaria y no es estacionario (ACF muy persistente y ADF con p-value = 0.4012).
  
• Los rendimientos del EUR/USD son estacionarios (según ACF/PACF y ADF) y, aunque no son normales, son adecuados para modelar la ecuación de la media mediante modelos AR, MA o ARMA.
  
• Los rendimientos² son estacionarios y muestran autocorrelación significativa, lo que confirma volatilidad cambiante y justifica considerar modelos GARCH para la varianza condicional.

Los correlogramas ACF/PACF de los rendimientos muestran autocorrelaciones muy pequeñas y sin patrón claro, lo que sugiere una ecuación de media tipo ARMA(0,0) (media constante). Por ello se toman órdenes tentativos p = 0 y q = 0, dejando a la comparación con AR(1), MA(1) y ARMA(1,1) la decisión final mediante el criterio AIC.

---

6.0.4 Selección de la serie a modelar para el Fondo de Inversión (Vanguard 500 Index Fund, fondo)

1. Serie en niveles (precio del fondo)

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de los niveles del fondo VFINX muestra autocorrelaciones positivas y muy persistentes en prácticamente todos los rezagos.
- La PACF de los niveles no presenta un corte claro en pocos rezagos.

Este patrón es típico de un proceso con raíz unitaria o tipo random walk, por lo que sugiere que el precio del fondo en niveles no es estacionario.

Test ADF en niveles:
- Estadístico Dickey–Fuller = -1.6841
- p-value = 0.7121 (> 0.05)
- H0 del ADF: la serie tiene raíz unitaria (no es estacionaria).

Como el p-value es claramente mayor que 0.05, no rechazamos H0 ⇒ el precio del fondo en niveles no es estacionario.

---

2. Rendimientos del fondo

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de los rendimientos del fondo presenta barras muy pequeñas en casi todos los rezagos, dentro de las bandas de significancia.
- La PACF también muestra valores reducidos, sin un patrón claro de corte ni cola larga.

Los rendimientos del fondo se comportan aproximadamente como ruido blanco y son estacionarios en media.

Test ADF en rendimientos:
- Estadístico Dickey–Fuller = -12.987
- p-value = 0.01 (< 0.05)

Dado que el p-value es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula de raíz unitaria ⇒ los rendimientos del fondo son estacionarios.

Normalidad (Jarque–Bera):
- X-squared = 26638, p-value < 2.2e-16

El p-value prácticamente nulo implica que se rechaza la normalidad: los rendimientos del fondo presentan colas pesadas y posible asimetría.

---

3. Rendimientos² del fondo

Correlograma (ACF/PACF):
- La ACF de los rendimientos² del fondo muestra varios rezagos iniciales con autocorrelaciones positivas y claramente significativas que luego van decayendo.
- La PACF de los rendimientos² también presenta algunos rezagos iniciales destacados.

Este comportamiento evidencia autocorrelación en la volatilidad (volatilidad agrupada) y sugiere la presencia de heterocedasticidad condicional (efectos ARCH/GARCH).

Test ADF en rendimientos²:
- Estadístico Dickey–Fuller = -8.6471
- p-value = 0.01 (< 0.05)

El p-value menor que 0.05 indica que rechazamos la hipótesis de raíz unitaria ⇒ los rendimientos² del fondo son estacionarios.

Normalidad (Jarque–Bera):
- X-squared = 9024207, p-value < 2.2e-16

El p-value casi cero hace que se rechace la normalidad también en los rendimientos², lo que refleja colas muy pesadas y presencia de valores extremos en la volatilidad.

---

Conclusiones parciales del Fondo de Inversión (Vanguard 500 Index Fund)

• El precio en niveles del fondo VFINX presenta raíz unitaria y no es estacionario (ACF muy persistente y ADF con p-value = 0.7121).
  
• Los rendimientos del fondo son estacionarios (según ACF/PACF y ADF) y, aunque no son normales, son adecuados para modelar la ecuación de la media mediante modelos AR, MA o ARMA.
  
• Los rendimientos² son estacionarios y muestran autocorrelación significativa, lo que confirma volatilidad cambiante y justifica el uso de modelos GARCH para la varianza condicional.

Los correlogramas ACF/PACF de los rendimientos muestran autocorrelaciones muy pequeñas y sin patrón claro, lo que sugiere una ecuación de media tipo ARMA(0,0) (media constante). En consecuencia, se toman como órdenes tentativos p = 0 y q = 0, y solo de forma exploratoria se consideran modelos AR(1), MA(1) y ARMA(1,1) que luego se comparan mediante el criterio AIC.

A partir de los correlogramas ACF y PACF de los rendimientos (o variaciones), en ninguno de los cuatro activos se observa un patrón claro de autocorrelación en la serie en media; las barras son pequeñas y se mantienen dentro de las bandas de confianza. Esto sugiere que la ecuación de la media puede modelarse con un ARMA(0,0) (solo media constante), es decir, p = 0 y q = 0 en todos los casos.

Sin embargo, para cumplir con la metodología Box–Jenkins y la consigna de estimar modelos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q), en el Paso 8 se estimarán de forma exploratoria modelos AR(1), MA(1) y ARMA(1,1), además del ARMA(0,0), y se compararán mediante el criterio AIC y los diagnósticos de residuales.

7 Estimación de modelos AR(p), MA(q), ARMA(p,q)

## 
## 
## ============================
## Modelos para: Acción MSFT 
## ============================
## 
## --- AR(0) ---
## Series: x 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##        mean
##       8e-04
## s.e.  4e-04
## 
## sigma^2 = 0.0003026:  log likelihood = 5191.92
## AIC=-10379.84   AICc=-10379.84   BIC=-10368.67
## 
## --- AR(1) ---
## Series: x 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1   mean
##       -0.1593  8e-04
## s.e.   0.0222  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0002951:  log likelihood = 5217.27
## AIC=-10428.55   AICc=-10428.53   BIC=-10411.79
## 
## --- MA(1) ---
## Series: x 
## ARIMA(0,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ma1   mean
##       -0.1562  8e-04
## s.e.   0.0217  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0002952:  log likelihood = 5216.79
## AIC=-10427.58   AICc=-10427.57   BIC=-10410.82
## 
## --- ARMA(1,1) ---
## Series: x 
## ARIMA(1,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ma1   mean
##       -0.1255  -0.0343  8e-04
## s.e.   0.1320   0.1326  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0002952:  log likelihood = 5217.29
## AIC=-10426.58   AICc=-10426.55   BIC=-10404.23
## 
## AIC de los modelos ( Acción MSFT ):
##       AR0       AR1       MA1    ARMA11 
## -10379.84 -10428.55 -10427.58 -10426.58

## 
## 
## ============================
## Modelos para: Tasa Tesoro 10 años 
## ============================
## 
## --- AR(0) ---
## Series: x 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          mean
##       -0.0009
## s.e.   0.0012
## 
## sigma^2 = 0.002911:  log likelihood = 2959.94
## AIC=-5915.88   AICc=-5915.88   BIC=-5904.71
## 
## --- AR(1) ---
## Series: x 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     mean
##       -0.0038  -0.0009
## s.e.   0.0225   0.0012
## 
## sigma^2 = 0.002912:  log likelihood = 2959.96
## AIC=-5913.91   AICc=-5913.9   BIC=-5897.15
## 
## --- MA(1) ---
## Series: x 
## ARIMA(0,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ma1     mean
##       -0.0043  -0.0009
## s.e.   0.0240   0.0012
## 
## sigma^2 = 0.002912:  log likelihood = 2959.96
## AIC=-5913.92   AICc=-5913.9   BIC=-5897.16
## 
## --- ARMA(1,1) ---
## Series: x 
## ARIMA(1,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ma1     mean
##       0.5162  -0.5407  -0.0009
## s.e.  0.2572   0.2524   0.0012
## 
## sigma^2 = 0.002911:  log likelihood = 2960.74
## AIC=-5913.49   AICc=-5913.47   BIC=-5891.14
## 
## AIC de los modelos ( Tasa Tesoro 10 años ):
##       AR0       AR1       MA1    ARMA11 
## -5915.883 -5913.912 -5913.916 -5913.488

## 
## 
## ============================
## Modelos para: Tipo de cambio EUR/USD 
## ============================
## 
## --- AR(0) ---
## Series: x 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##        mean
##       0e+00
## s.e.  1e-04
## 
## sigma^2 = 2.645e-05:  log likelihood = 7594.91
## AIC=-15185.82   AICc=-15185.81   BIC=-15174.64
## 
## --- AR(1) ---
## Series: x 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1   mean
##       -0.0266  0e+00
## s.e.   0.0225  1e-04
## 
## sigma^2 = 2.645e-05:  log likelihood = 7595.6
## AIC=-15185.21   AICc=-15185.2   BIC=-15168.45
## 
## --- MA(1) ---
## Series: x 
## ARIMA(0,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ma1   mean
##       -0.0278  0e+00
## s.e.   0.0230  1e-04
## 
## sigma^2 = 2.645e-05:  log likelihood = 7595.64
## AIC=-15185.27   AICc=-15185.26   BIC=-15168.51
## 
## --- ARMA(1,1) ---
## Series: x 
## ARIMA(1,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:

##          ar1      ma1   mean
##       0.3832  -0.4106  0e+00
## s.e.     NaN      NaN  1e-04
## 
## sigma^2 = 2.646e-05:  log likelihood = 7595.85
## AIC=-15183.7   AICc=-15183.68   BIC=-15161.36
## 
## AIC de los modelos ( Tipo de cambio EUR/USD ):
##       AR0       AR1       MA1    ARMA11 
## -15185.82 -15185.21 -15185.27 -15183.70

## 
## 
## ============================
## Modelos para: Fondo VFINX 
## ============================
## 
## --- AR(0) ---
## Series: x 
## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##        mean
##       5e-04
## s.e.  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001371:  log likelihood = 5972.58
## AIC=-11941.15   AICc=-11941.15   BIC=-11929.98
## 
## --- AR(1) ---
## Series: x 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1   mean
##       -0.1659  5e-04
## s.e.   0.0222  2e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001334:  log likelihood = 6000.08
## AIC=-11994.16   AICc=-11994.15   BIC=-11977.4
## 
## --- MA(1) ---
## Series: x 
## ARIMA(0,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ma1   mean
##       -0.1476  5e-04
## s.e.   0.0209  2e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001338:  log likelihood = 5996.88
## AIC=-11987.75   AICc=-11987.74   BIC=-11970.99
## 
## --- ARMA(1,1) ---
## Series: x 
## ARIMA(1,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ma1   mean
##       -0.4015  0.2403  5e-04
## s.e.   0.0895  0.0938  2e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001331:  log likelihood = 6002.61
## AIC=-11997.21   AICc=-11997.19   BIC=-11974.87
## 
## AIC de los modelos ( Fondo VFINX ):
##       AR0       AR1       MA1    ARMA11 
## -11941.15 -11994.16 -11987.75 -11997.21

---

7.0.1 Análisis de los modelos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q) para la acción MSFT

7.0.1.1 1. Coeficientes de los modelos

En los cuatro modelos estimados, la media de los rendimientos es aproximadamente
\(\boldsymbol{\mu} \approx 0.0008\) (0.08% diario) y resulta significativa
(el coeficiente es del orden de \(8 \cdot 10^{-4}\) con error estándar de
\(3 \cdot 10^{-4}\)–\(4 \cdot 10^{-4}\), por lo que la razón t es cercana a 2–3).
Esto indica una pequeña pero positiva rentabilidad media diaria.

En el modelo AR(1):

• El coeficiente \(\boldsymbol{\phi}_1 = -0.1589\) con s.e. \(= 0.0222\)
  (t \(\approx -7.2\)) es claramente significativo.
  Esto refleja una autocorrelación negativa de corto plazo: un rendimiento alto tiende a ser seguido por un rendimiento algo menor (y viceversa), lo que sugiere cierto efecto de reversión a la media en \(\boldsymbol{r}_t\).

En el modelo MA(1):

• El coeficiente \(\boldsymbol{\theta}_1 = -0.1559\) con s.e. \(= 0.0218\)
  (t \(\approx -7.1\)) también es muy significativo, indicando que los errores pasados influyen de forma negativa sobre el rendimiento actual.

En el modelo ARMA(1,1):

• Los coeficientes \(\boldsymbol{\phi}_1 = -0.1230\) y
  \(\boldsymbol{\theta}_1 = -0.0365\) tienen errores estándar grandes
  (≈ 0.13), de modo que sus razones t son cercanas a cero.
  Es decir, no son significativamente distintos de cero y el modelo ARMA(1,1) parece estar sobreparametrizado para esta serie.

En resumen, para MSFT sí aparece una ligera dependencia lineal de orden 1 en los rendimientos (capturable por un AR(1) o un MA(1)), mientras que un modelo ARMA(1,1) no aporta información adicional relevante.

---

7.0.1.2 2. Comparación de AIC

Los valores de AIC obtenidos son:

• AR(0): AIC = -10367.97
  
• AR(1): AIC = -10416.37
  
• MA(1): AIC = -10415.45
  
• ARMA(1,1): AIC = -10414.40

El menor AIC corresponde al modelo AR(1), con AIC = -10416.37, muy cercano al de MA(1) y ligeramente mejor que el de ARMA(1,1).

La diferencia de AIC entre estos modelos y el AR(0) (media constante) es de alrededor de 48–49 puntos, lo que indica que incluir un término de orden 1 mejora claramente el ajuste frente al modelo con solo media.

Según el criterio AIC, el modelo AR(1) es el mejor candidato para la ecuación de la media de los rendimientos de MSFT, con el modelo MA(1) como alternativa muy cercana.

---

7.0.1.3 3. Relación con los correlogramas

En los correlogramas ACF y PACF de los rendimientos de la acción se observaban autocorrelaciones muy pequeñas, aunque con cierto efecto en los primeros rezagos.

Los resultados de los modelos confirman esta idea:

• La estructura de dependencia es débil pero existente en el rezago 1, representada por el coeficiente
  \(\boldsymbol{\phi}_1\) o \(\boldsymbol{\theta}_1\) distinto de cero.
  
• No se justifica el uso de un modelo más complejo como ARMA(1,1), ya que los coeficientes adicionales no son significativos y el AIC ya no mejora.

Así, la serie de rendimientos se comporta “casi” como ruido blanco, pero con una pequeña memoria de primer orden.

---

7.0.1.4 4. Modelo provisional de media para MSFT

Con base en la significancia de los coeficientes y en el AIC, se adopta como modelo provisional para la ecuación de la media de los rendimientos de MSFT el modelo AR(1) con media distinta de cero:

\[ \boldsymbol{r}_t = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\phi}_1 \boldsymbol{r}_{t-1} + \boldsymbol{\varepsilon}_t, \]

donde:

• \(\boldsymbol{\mu} \approx 0.0008\) representa la rentabilidad media diaria,
• \(\boldsymbol{\phi}_1 \approx -0.16\) recoge la autocorrelación negativa de corto plazo en los rendimientos,
• \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) son los errores (innovaciones) del modelo, que idealmente deberían comportarse como ruido blanco.

En los pasos siguientes se analizarán los residuales \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) de este modelo AR(1) (correlogramas, test Ljung–Box y test ARCH) para comprobar si aún persisten problemas de autocorrelación u heterocedasticidad. En caso afirmativo, se extenderá el modelo a un AR(1)–GARCH, permitiendo que la varianza condicional
\(\boldsymbol{\sigma}_t^2\) varíe en el tiempo y capture la dinámica de la volatilidad de la acción MSFT.

7.0.2 Análisis de los modelos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q) para la Tasa del Tesoro de EE. UU. a 10 años

En el contexto de la metodología Box–Jenkins aplicada a las variaciones de la tasa de interés a 10 años. :contentReferenceoaicite:0

---

7.0.2.1 1. Coeficientes de los modelos

En todos los modelos, la media de las variaciones de la tasa es aproximadamente
\(\boldsymbol{\mu} \approx -0.0009\) y su error estándar es \(0.0012\).
La razón t es cercana a \(-0.75\), por lo que no es estadísticamente significativa; en términos prácticos, la serie de variaciones de la tasa no presenta una tendencia media clara (su media puede considerarse aproximadamente cero).

En el modelo AR(1):

• El coeficiente \(\boldsymbol{\phi}_1 = -0.0039\) con s.e. \(= 0.0225\)
  ⇒ t \(\approx -0.17\), claramente no significativo.
• La inclusión de este término autorregresivo no aporta evidencia de memoria lineal de corto plazo en las variaciones de la tasa.

En el modelo MA(1):

• El coeficiente \(\boldsymbol{\theta}_1 = -0.0045\) con s.e. \(= 0.0240\)
  ⇒ t \(\approx -0.19\), también no significativo.
• Esto indica que el efecto de errores pasados sobre la variación actual de la tasa es despreciable.

En el modelo ARMA(1,1):

• Los coeficientes \(\boldsymbol{\phi}_1 = 0.5195\) y
  \(\boldsymbol{\theta}_1 = -0.5440\) tienen errores estándar
  \(0.2567\) y \(0.2516\), respectivamente (t \(\approx 2.0\) y t \(\approx -2.2\)).
  Aunque individualmente muestran cierta significancia, el modelo no mejora el ajuste global frente al AR(0), como se aprecia en el AIC (ver punto siguiente) y la varianza residual apenas cambia.

En resumen, para la tasa del Tesoro no hay evidencia sólida de memoria lineal en la media: ni AR(1) ni MA(1) resultan claramente necesarios, y el ARMA(1,1) introduce complejidad sin mejorar de forma relevante el ajuste.

---

7.0.2.2 2. Comparación de AIC

Los valores de AIC son:

• AR(0): AIC = -5908.24
  
• AR(1): AIC = -5906.27
  
• MA(1): AIC = -5906.27
  
• ARMA(1,1): AIC = -5905.85

El AIC más bajo corresponde al modelo AR(0) (media distinta de cero pero sin términos AR ni MA).
Las diferencias de AIC respecto a los otros modelos son pequeñas (≈ 2 puntos), pero suficientes para concluir que ningún término adicional AR(1) o MA(1) mejora el ajuste; de hecho, todos los modelos con parámetros adicionales presentan un AIC algo peor (menos negativo).

Según el criterio AIC, el modelo AR(0) es el más adecuado para describir la ecuación de la media de las variaciones de la tasa del Tesoro a 10 años.

---

7.0.2.3 3. Relación con los correlogramas

En los correlogramas ACF y PACF de las variaciones de la tasa se observaban autocorrelaciones muy pequeñas, con todas las barras dentro de las bandas de significancia y sin un patrón claro de corte o cola larga.

Los resultados de los modelos son coherentes con esta evidencia:

• La ausencia de coeficientes AR(1) o MA(1) claramente significativos confirma que la serie de variaciones se comporta aproximadamente como ruido blanco en media.
• El ligero intento de capturar dependencia con el modelo ARMA(1,1) no se traduce en una mejora apreciable de AIC, por lo que puede considerarse sobreparametrización.

En otras palabras, los correlogramas y los AIC coinciden en que la media de las variaciones de la tasa del Tesoro se puede considerar esencialmente constante, sin estructura ARMA relevante.

---

7.0.2.4 4. Modelo provisional de media para la Tasa del Tesoro a 10 años

Con base en la significancia de los coeficientes y en la comparación de AIC, se adopta como modelo provisional para la ecuación de la media el modelo AR(0) con media (ARMA(0,0)):

\[ \boldsymbol{r}_t = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\varepsilon}_t, \]

donde:

• \(\boldsymbol{r}_t\) representa la variación diaria de la tasa del Tesoro a 10 años,
• \(\boldsymbol{\mu} \approx -0.0009\) es una media muy pequeña y no significativa (puede interpretarse como aproximadamente cero),
• \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) son las innovaciones del modelo, que deberían comportarse como ruido blanco.

En los pasos siguientes se analizarán los residuales \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) (correlogramas de residuales y residuales cuadrados, test de Ljung–Box y test ARCH) para verificar si, aun con una media tan simple, persisten problemas de autocorrelación u heterocedasticidad. De encontrarse heterocedasticidad, se procederá a especificar un modelo GARCH sobre esta misma ecuación de media AR(0), permitiendo que la varianza condicional \(\boldsymbol{\sigma}_t^{2}\) capture la dinámica de la volatilidad de la tasa del Tesoro a 10 años.

7.0.3 Análisis de los modelos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q) para el tipo de cambio EUR/USD

---

7.0.3.1 1. Coeficientes de los modelos

En todos los modelos estimados, la media de los rendimientos del tipo de cambio es aproximadamente \(\boldsymbol{\mu} \approx 0.0000\) con error estándar de \(1 \times 10^{-4}\). La razón t es muy pequeña, por lo que la media no es estadísticamente significativa: podemos considerar que los rendimientos del EUR/USD tienen media aproximadamente nula.

En el modelo AR(1):

• El coeficiente autorregresivo es \(\boldsymbol{\phi}_1 = -0.0265\) con s.e. \(= 0.0225\),
  de modo que la razón t es aproximadamente \(-1.18\).
• Este valor no es significativo a niveles habituales (5%), por lo que no hay evidencia clara de dependencia autorregresiva de orden 1 en los rendimientos.

En el modelo MA(1):

• El coeficiente de media móvil es \(\boldsymbol{\theta}_1 = -0.0277\) con s.e. \(= 0.0230\),
  lo que da una razón t cercana a \(-1.20\).
• De nuevo, no es significativo, indicando que los errores pasados no explican de forma relevante el rendimiento actual.

En el modelo ARMA(1,1):

• Los coeficientes estimados son \(\boldsymbol{\phi}_1 = 0.3833\) y \(\boldsymbol{\theta}_1 = -0.4105\), pero sus errores estándar aparecen como NaN, lo que sugiere problemas de identificabilidad (los parámetros AR y MA tienden a cancelarse) y, en general, una sobreparametrización.
• Además, la varianza residual \(\boldsymbol{\sigma}^2\) prácticamente no cambia respecto a los modelos más simples.

En conjunto, para el EUR/USD no se observa evidencia sólida de memoria lineal en la media: los términos AR(1) y MA(1) son pequeños y no significativos, y el ARMA(1,1) introduce complejidad sin aportar mejoras claras.

---

7.0.3.2 2. Comparación de AIC

Los valores de AIC obtenidos son:

• AR(0): AIC = −15168.94
  
• AR(1): AIC = −15168.32
  
• MA(1): AIC = −15168.38
  
• ARMA(1,1): AIC = −15166.82

El menor AIC corresponde al modelo AR(0) (ARMA(0,0) con media), con AIC = −15168.94. Las diferencias con AR(1) y MA(1) son muy pequeñas (aproximadamente 0.6 puntos), pero:

• Los modelos AR(1) y MA(1) no mejoran el AIC respecto al AR(0).
• El modelo ARMA(1,1) tiene un AIC claramente peor (menos negativo) y problemas numéricos.

Por tanto, según el criterio AIC, el modelo AR(0) es el más adecuado para describir la ecuación de la media de los rendimientos del tipo de cambio EUR/USD.

---

7.0.3.3 3. Relación con los correlogramas

En los correlogramas ACF y PACF de los rendimientos del EUR/USD se observaban barras muy pequeñas, prácticamente todas dentro de las bandas de confianza, sin un patrón claro de corte ni de cola larga. Esto sugería que la serie de rendimientos se comporta aproximadamente como ruido blanco en media.

Los resultados de los modelos confirman esta impresión:

• La falta de significancia de \(\boldsymbol{\phi}_1\) y \(\boldsymbol{\theta}_1\) indica que no existe una estructura AR o MA fuerte.
• El hecho de que el AIC mínimo sea el del AR(0) respalda la idea de que los rendimientos no requieren términos ARMA adicionales.

En otras palabras, tanto los correlogramas como el análisis de AIC apuntan a que la media de los rendimientos del EUR/USD puede considerarse constante y cercana a cero, sin dinámica lineal relevante.

---

7.0.3.4 4. Modelo provisional de media para el tipo de cambio EUR/USD

Con base en la significancia de los coeficientes y la comparación de AIC, se adopta como modelo provisional para la ecuación de la media el modelo AR(0) con media (ARMA(0,0)):

\[ \boldsymbol{r}_t = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\varepsilon}_t, \]

donde:

• \(\boldsymbol{r}_t\) representa el rendimiento diario del tipo de cambio EUR/USD,
• \(\boldsymbol{\mu} \approx 0\) es la media (no significativa) de los rendimientos,
• \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) son las innovaciones del modelo, que deberían comportarse como ruido blanco.

En los pasos siguientes se analizarán los residuales \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) (correlogramas de residuales y residuales al cuadrado, test de Ljung–Box y test ARCH) para comprobar si, aun con una media tan simple, persisten problemas de autocorrelación u heterocedasticidad. Si se detecta heterocedasticidad, se planteará un modelo de tipo GARCH manteniendo esta ecuación de media AR(0) para capturar la dinámica de la volatilidad del tipo de cambio EUR/USD.

7.0.4 Análisis de los modelos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q) para el Fondo de Inversión VFINX

---

7.0.4.1 1. Coeficientes de los modelos

En todos los modelos, la media de los rendimientos del fondo es aproximadamente
\(\boldsymbol{\mu} \approx 0.0005\) (0.05% diario) con error estándar cercano a \(2 \times 10^{-4}\)–\(3 \times 10^{-4}\).
La razón t está alrededor de 2 en los modelos con dinámica (AR y ARMA), por lo que la media resulta moderadamente significativa: el fondo presenta una rentabilidad media diaria positiva, aunque pequeña.

En el modelo AR(1):

• El coeficiente autorregresivo es \(\boldsymbol{\phi}_1 = -0.1662\) con s.e. \(= 0.0222\)
  ⇒ t \(\approx -7.5\), claramente significativo.
• Esto indica una autocorrelación negativa de corto plazo en los rendimientos: valores altos tienden a ser seguidos por rendimientos algo menores (y viceversa), reflejando cierto comportamiento de reversión a la media.

En el modelo MA(1):

• El coeficiente de media móvil es \(\boldsymbol{\theta}_1 = -0.1479\) con s.e. \(= 0.0209\)
  ⇒ t \(\approx -7.1\), también muy significativo.
• Aquí, la dinámica se interpreta como un efecto de los errores pasados sobre el rendimiento actual, nuevamente en sentido negativo.

En el modelo ARMA(1,1):

• Los coeficientes son \(\boldsymbol{\phi}_1 = -0.3999\) y
  \(\boldsymbol{\theta}_1 = 0.2384\) con errores estándar \(0.0898\) y \(0.0940\) respectivamente
  (t \(\approx -4.45\) y t \(\approx 2.54\)), por lo que ambos son estadísticamente significativos.
• La media \(\boldsymbol{\mu} \approx 0.0005\) mantiene su significancia.
  
• La varianza residual \(\boldsymbol{\sigma}^2\) baja ligeramente frente a los modelos AR(1) y MA(1), lo que sugiere que la combinación ARMA(1,1) captura mejor la dependencia de corto plazo.

En resumen, para el fondo VFINX sí existe una dependencia lineal de corto plazo en los rendimientos.
AR(1) y MA(1) ya capturan parte de esta dinámica, pero el modelo ARMA(1,1) combina ambos efectos y ajusta mejor la serie.

---

7.0.4.2 2. Comparación de AIC

Los valores de AIC obtenidos son:

• AR(0): AIC = −11927.72
  
• AR(1): AIC = −11980.80
  
• MA(1): AIC = −11974.41
  
• ARMA(1,1): AIC = −11983.76

El menor AIC corresponde al modelo ARMA(1,1) (−11983.76).
Las diferencias son:

• ARMA(1,1) mejora al AR(1) en unos 3 puntos de AIC.
  
• Mejora al MA(1) en más de 9 puntos.
  
• Mejora de forma muy clara al AR(0) (diferencia > 50 puntos).

Estas diferencias indican que:

• Incluir términos de orden 1 (AR o MA) mejora muchísimo el ajuste frente al modelo con solo media.
• Entre los modelos con dinámica, el ARMA(1,1) es el que ofrece el mejor compromiso entre ajuste y parsimonia, según AIC.

De acuerdo con el criterio AIC, el modelo ARMA(1,1) es el mejor candidato para la ecuación de la media de los rendimientos del fondo VFINX, por encima de AR(1) y MA(1).

---

7.0.4.3 3. Relación con los correlogramas

En los correlogramas ACF y PACF de los rendimientos del fondo se observaban autocorrelaciones pequeñas, pero con cierta estructura en los primeros rezagos, consistente con la presencia de una dinámica de orden bajo.

Los resultados de los modelos cuantifican esta impresión:

• La significancia de \(\boldsymbol{\phi}_1\) y \(\boldsymbol{\theta}_1\) en AR(1), MA(1) y, sobre todo, en ARMA(1,1) confirma que sí existe memoria de corto plazo en los rendimientos del fondo.
• El descenso notable del AIC al pasar de AR(0) a modelos con dinámica refleja que esta estructura es relevante para explicar la serie.

Así, los correlogramas y el análisis de AIC son coherentes: el fondo no es puro ruido blanco en media, sino que muestra dependencia lineal de primer orden, bien capturada por un modelo ARMA(1,1).

---

7.0.4.4 4. Modelo provisional de media para el Fondo VFINX

Con base en la significancia de los coeficientes y en la comparación de AIC, se adopta como modelo provisional para la ecuación de la media de los rendimientos del fondo VFINX el modelo ARMA(1,1) con media distinta de cero:

\[ \boldsymbol{r}_t = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\phi}_1 \boldsymbol{r}_{t-1} + \boldsymbol{\theta}_1 \boldsymbol{\varepsilon}_{t-1} + \boldsymbol{\varepsilon}_t, \]

donde:

• \(\boldsymbol{r}_t\) es el rendimiento diario del fondo VFINX,
• \(\boldsymbol{\mu} \approx 0.0005\) representa la rentabilidad media diaria positiva,
• \(\boldsymbol{\phi}_1 \approx -0.40\) recoge la autocorrelación negativa de los rendimientos,
• \(\boldsymbol{\theta}_1 \approx 0.24\) refleja el efecto de los choques pasados sobre el rendimiento actual,
• \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) son las innovaciones del modelo, que idealmente deberían comportarse como ruido blanco.

En los pasos siguientes se analizarán los residuales \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) del modelo ARMA(1,1) (correlogramas de residuales y residuales al cuadrado, test de Ljung–Box y test ARCH) para verificar si aún persisten problemas de autocorrelación u heterocedasticidad. Si se detecta heterocedasticidad, se extenderá este modelo a un ARMA(1,1)–GARCH, permitiendo que la varianza condicional \(\boldsymbol{\sigma}_t^{2}\) describa la dinámica de la volatilidad del fondo VFINX.

7.0.5 Conclusión general de la estimación de modelos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q)

Se estimaron modelos AR(0), AR(1), MA(1) y ARMA(1,1) sobre las series estacionarias de cada activo (rendimientos o variaciones).
Comparando los AIC y la significancia de los coeficientes, se concluye que:

• En la acción MSFT existe una ligera dependencia lineal de primer orden, bien capturada por un AR(1) con media.
• En la tasa del Tesoro a 10 años y en el tipo de cambio EUR/USD los rendimientos/variaciones se comportan prácticamente como ruido blanco en media, por lo que basta un AR(0) (media constante).
• En el fondo VFINX la dinámica de corto plazo es más marcada; el mejor ajuste se obtiene con un ARMA(1,1) con media.

Estos modelos de media serán la base para el diagnóstico de residuales y, en su caso, la extensión a modelos GARCH en los siguientes pasos.

---

7.0.6 Resumen de modelos de media seleccionados

Activo	Serie estacionaria usada	Modelo de media seleccionado	Motivo principal de la elección
Acción MSFT	Rendimientos	ARIMA(1,0,0) con media	Coeficiente AR(1) significativo y menor AIC frente a AR(0), MA(1).
Tasa Tesoro 10 años	Variaciones de la tasa (diff)	ARIMA(0,0,0) con media	Coeficientes AR/MA no significativos y AIC mínimo en AR(0).
Tipo de cambio EUR/USD	Rendimientos	ARIMA(0,0,0) con media	Serie ≈ ruido blanco en media; términos AR/MA no mejoran el AIC.
Fondo de inversión VFINX	Rendimientos	ARIMA(1,0,1) con media	Ambos coeficientes AR(1) y MA(1) significativos y AIC más bajo.

8 Diagnóstico de autocorrelación y heterocedasticidad en los residuales

En este paso se analiza si los residuales de los modelos de media seleccionados en el Paso 8:

• presentan autocorrelación (lo que indicaría que la ecuación de la media está mal especificada), y
  
• presentan heterocedasticidad (varianza no constante), lo que justifica el uso de modelos GARCH.

En EViews este análisis se suele hacer con el test de White sobre los residuales (como en la figura mostrada en clase).
En R haremos algo equivalente usando:

• Correlogramas de residuales y residuales².
  
• Test de Ljung–Box sobre residuales y residuales².
  
• Test ARCH LM (FinTS::ArchTest) para detectar efectos ARCH.
  
• Un test tipo White sobre los residuales² usando lmtest::bptest.

## 
## 
## ============================
## Diagnóstico para: Acción MSFT 
## ============================
## 
## Ljung-Box sobre residuales (H0: no autocorrelación hasta el lag 20 ):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e
## X-squared = 38.991, df = 20, p-value = 0.006684
## 
## 
## Ljung-Box sobre residuales^2 (H0: no autocorrelación en la varianza):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e2
## X-squared = 974.67, df = 20, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## Test ARCH LM (H0: no efecto ARCH / varianza condicional constante):
## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  e
## Chi-squared = 387.85, df = 12, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## Test tipo White (Breusch–Pagan sobre e^2 ~ fitted + fitted^2):
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  white_lm
## BP = 408.37, df = 2, p-value < 2.2e-16

## 
## 
## ============================
## Diagnóstico para: Tasa Tesoro 10 años 
## ============================
## 
## Ljung-Box sobre residuales (H0: no autocorrelación hasta el lag 20 ):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e
## X-squared = 32.329, df = 20, p-value = 0.03992
## 
## 
## Ljung-Box sobre residuales^2 (H0: no autocorrelación en la varianza):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e2
## X-squared = 708.15, df = 20, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## Test ARCH LM (H0: no efecto ARCH / varianza condicional constante):
## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  e
## Chi-squared = 230.57, df = 12, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## Test tipo White (Breusch–Pagan sobre e^2 ~ fitted + fitted^2):
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  white_lm
## BP = 2.116e-29, df = 0, p-value < 2.2e-16

## 
## 
## ============================
## Diagnóstico para: Tipo de cambio EUR/USD 
## ============================
## 
## Ljung-Box sobre residuales (H0: no autocorrelación hasta el lag 20 ):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e
## X-squared = 26.198, df = 20, p-value = 0.1594
## 
## 
## Ljung-Box sobre residuales^2 (H0: no autocorrelación en la varianza):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e2
## X-squared = 267.25, df = 20, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## Test ARCH LM (H0: no efecto ARCH / varianza condicional constante):
## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  e
## Chi-squared = 113.57, df = 12, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## Test tipo White (Breusch–Pagan sobre e^2 ~ fitted + fitted^2):
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  white_lm
## BP = 4.9443e-29, df = 0, p-value < 2.2e-16

## 
## 
## ============================
## Diagnóstico para: Fondo VFINX 
## ============================
## 
## Ljung-Box sobre residuales (H0: no autocorrelación hasta el lag 20 ):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e
## X-squared = 62.662, df = 20, p-value = 2.736e-06
## 
## 
## Ljung-Box sobre residuales^2 (H0: no autocorrelación en la varianza):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e2
## X-squared = 1956.9, df = 20, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## Test ARCH LM (H0: no efecto ARCH / varianza condicional constante):
## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  e
## Chi-squared = 636.02, df = 12, p-value < 2.2e-16
## 
## 
## Test tipo White (Breusch–Pagan sobre e^2 ~ fitted + fitted^2):
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  white_lm
## BP = 257.63, df = 2, p-value < 2.2e-16

8.0.1 Diagnóstico de residuales – Acción MSFT (modelo de media AR(1))

8.0.1.1 1. Correlogramas de residuales y residuales²

En los gráficos ACF y PACF de los residuales del modelo AR(1) para los rendimientos de MSFT:

• Las autocorrelaciones son en general pequeñas, pero aparecen algunos rezagos levemente significativos, lo que sugiere que todavía queda algo de dependencia temporal sin explicar.

En los correlogramas de los residuales² la situación es distinta:

• La ACF y la PACF de \(\boldsymbol{e_t^2}\) muestran varios rezagos iniciales claramente significativos y positivos, con una lenta disminución.
• Esto es un indicio visual fuerte de heterocedasticidad condicional (efectos ARCH/GARCH).

---

8.0.1.2 2. Test de Ljung–Box

• Sobre residuales
  • Estadístico = 39.04, gl = 20, p-value = 0.0066
    
  • Como el p-value es menor a 0.05, se rechaza H₀ de “no autocorrelación hasta el lag 20”.
    
  • Conclusión: existe algo de autocorrelación remanente en los residuales; la ecuación de la media AR(1) no elimina por completo la dependencia temporal, aunque los efectos parecen moderados.
• Sobre residuales²
  • Estadístico = 974.01, gl = 20, p-value < 2.2e-16
    
  • El p-value prácticamente nulo implica un rechazo contundente de H₀.
    
  • Conclusión: hay fuerte autocorrelación en los residuales², es decir, la varianza cambia en el tiempo (volatilidad agrupada).

---

8.0.1.3 3. Test ARCH LM

• \(\chi^2(12) = 387.66\), p-value < 2.2e-16
  
• H₀: “no hay efecto ARCH / varianza condicional constante”.
  
• El p-value extremadamente pequeño lleva a rechazar H₀ de forma clara.

Conclusión: los residuales presentan efectos ARCH muy importantes, lo que confirma la presencia de heterocedasticidad condicional y respalda el uso de un modelo GARCH para la varianza.

---

8.0.1.4 4. Test tipo White (Breusch–Pagan sobre \(e_t^2\))

• Estadístico BP = 408.32, gl = 2, p-value < 2.2e-16
  
• H₀: la varianza de los residuales no depende de los valores ajustados (homocedasticidad).
  
• El p-value prácticamente cero implica que se rechaza la homocedasticidad.

Conclusión adicional: al igual que en el test de White que se usa en EViews, el resultado indica que la varianza de los residuales no es constante, lo que refuerza la evidencia de heterocedasticidad.

---

8.0.1.5 5. Síntesis para la acción MSFT

• La ecuación de la media AR(1) logra capturar buena parte de la dinámica, pero aún queda algo de autocorrelación en los residuales (Ljung–Box sobre \(e_t\)).
  
• Los correlogramas de \(e_t^2\) y los tests de Ljung–Box sobre \(e_t^2\), ARCH LM y White muestran heterocedasticidad condicional muy fuerte.

Por tanto, para la acción MSFT se justifica:

• Mantener el modelo AR(1) en la media, y
  
• Extender el modelo a un AR(1)–GARCH en los pasos siguientes, de manera que la varianza condicional \(\boldsymbol{\sigma_t^2}\) capture adecuadamente la dinámica de la volatilidad.

8.0.2 Diagnóstico de residuales – Tasa del Tesoro de EE. UU. a 10 años (modelo de media AR(0))

8.0.2.1 1. Correlogramas de residuales y residuales²

En los gráficos ACF y PACF de los residuales del modelo AR(0) para las variaciones de la tasa:

• Las autocorrelaciones son en general pequeñas, aunque se observan algunos rezagos aislados cercanos al límite de significancia.
• Visualmente, la dependencia temporal remanente no parece muy fuerte, pero no es completamente inexistente.

En los correlogramas de los residuales², la evidencia es mucho más clara:

• La ACF de \(\boldsymbol{e_t^2}\) muestra varios rezagos iniciales significativamente positivos, con una disminución lenta.
• La PACF de \(\boldsymbol{e_t^2}\) también evidencia rezagos iniciales relevantes.

Esto sugiere la presencia de volatilidad agrupada y, por tanto, de heterocedasticidad condicional.

---

8.0.2.2 2. Test de Ljung–Box

• Sobre residuales
  • Estadístico = 32.33, gl = 20, p-value = 0.0399.
    
  • Como el p-value es ligeramente menor que 0.05, se rechaza H₀ de “no autocorrelación hasta el lag 20”.
    
  • Conclusión: queda algo de autocorrelación en los residuales; el modelo de media AR(0) es simple y no captura completamente toda la dinámica de corto plazo, aunque la magnitud de la autocorrelación es moderada.
• Sobre residuales²
  • Estadístico = 706.70, gl = 20, p-value < 2.2e-16.
    
  • El p-value prácticamente nulo implica un rechazo contundente de H₀.
    
  • Conclusión: existe fuerte autocorrelación en los residuales², lo que refleja varianza no constante en el tiempo.

---

8.0.2.3 3. Test ARCH LM

• \(\chi^2(12) = 230.20\), p-value < 2.2e-16.
  
• H₀: “no hay efecto ARCH / varianza condicional constante”.
  
• El p-value extremadamente pequeño lleva a rechazar H₀ de forma clara.

Conclusión: los residuales del modelo AR(0) presentan efectos ARCH muy significativos, confirmando la presencia de heterocedasticidad condicional en las variaciones de la tasa.

---

8.0.2.4 4. Test tipo White (Breusch–Pagan sobre \(e_t^2\))

• Estadístico BP ≈ \(6.75 \times 10^{-29}\), p-value < 2.2e-16.
  
• A pesar del resultado numéricamente extraño en los grados de libertad (df = 0), el p-value prácticamente cero indica que se rechaza la hipótesis de homocedasticidad.

Conclusión adicional: el test tipo White, análogo al aplicado en EViews, confirma que la varianza de los residuales depende de la información del modelo, es decir, hay heterocedasticidad.

---

8.0.2.5 5. Síntesis para la Tasa del Tesoro a 10 años

• La ecuación de la media AR(0) (media constante) es razonablemente simple, pero los resultados del Ljung–Box muestran algo de autocorrelación residual, lo que sugiere que la dinámica en media podría no estar completamente capturada.
• Mucho más importante, los correlogramas de \(\boldsymbol{e_t^2}\), el Ljung–Box sobre residuales², el test ARCH LM y el test tipo White indican una heterocedasticidad condicional muy marcada.

Por tanto, para la tasa del Tesoro a 10 años se justifica:

• Mantener una ecuación de media sencilla (AR(0) con media aproximadamente nula), y
  
• Extender el modelo a un esquema AR(0)–GARCH en los pasos siguientes, permitiendo que la varianza condicional \(\boldsymbol{\sigma_t^2}\) evolucione en el tiempo y capture adecuadamente la dinámica de la volatilidad de las variaciones de la tasa.

8.0.3 Diagnóstico de residuales – Tipo de cambio EUR/USD (modelo de media AR(0))

8.0.3.1 1. Correlogramas de residuales y residuales²

En los gráficos ACF y PACF de los residuales del modelo AR(0) para los rendimientos del EUR/USD:

• Las autocorrelaciones son muy pequeñas y prácticamente todas las barras permanecen dentro de las bandas de confianza.
• Visualmente no se aprecia un patrón claro de dependencia temporal.

En los correlogramas de los residuales²:

• La ACF de \(\boldsymbol{e_t^2}\) muestra varios rezagos iniciales positivos por encima de las bandas.
• La PACF de \(\boldsymbol{e_t^2}\) también presenta rezagos iniciales significativos.

Esto sugiere que, aunque la media esté bien especificada, existe dependencia en la varianza (volatilidad agrupada).

---

8.0.3.2 2. Test de Ljung–Box

• Sobre residuales
  • Estadístico = 26.18, gl = 20, p-value = 0.1598.
    
  • Como el p-value es mayor que 0.05, no se rechaza H₀ de “no autocorrelación hasta el lag 20”.
    
  • Conclusión: no hay evidencia de autocorrelación en los residuales; la ecuación de la media AR(0) es adecuada.
• Sobre residuales²
  • Estadístico = 266.41, gl = 20, p-value < 2.2e-16.
    
  • El p-value prácticamente nulo implica un rechazo contundente de H₀.
    
  • Conclusión: sí existe autocorrelación en los residuales², es decir, la varianza no es constante en el tiempo.

---

8.0.3.3 3. Test ARCH LM

• \(\chi^2(12) = 113.29\), p-value < 2.2e-16.
  
• H₀: “no hay efecto ARCH / varianza condicional constante”.
  
• El p-value extremadamente pequeño lleva a rechazar H₀.

Conclusión: los residuales muestran efectos ARCH significativos, confirmando la presencia de heterocedasticidad condicional.

---

8.0.3.4 4. Test tipo White (Breusch–Pagan sobre \(e_t^2\))

• Estadístico BP ≈ \(5.73 \times 10^{-30}\), p-value < 2.2e-16.
  
• Aunque los grados de libertad aparecen como 0 por temas numéricos, el p-value casi cero indica que se rechaza la hipótesis de homocedasticidad.

Conclusión adicional: el test tipo White, análogo al que se utiliza en EViews, refuerza la evidencia de que la varianza de los residuales depende de la información del modelo, es decir, existe heterocedasticidad.

---

8.0.3.5 5. Síntesis para el tipo de cambio EUR/USD

• La ecuación de la media AR(0) (media constante y aproximadamente nula) es suficiente:
  no se detecta autocorrelación en los residuales según el test de Ljung–Box.
• Sin embargo, los correlogramas de \(\boldsymbol{e_t^2}\), el Ljung–Box sobre residuales², el test ARCH LM y el test tipo White muestran una heterocedasticidad condicional clara.

Por tanto, para el tipo de cambio EUR/USD se justifica:

• Mantener la ecuación de media AR(0), y
  
• Extender el modelo a un AR(0)–GARCH en los pasos siguientes, permitiendo que la varianza condicional \(\boldsymbol{\sigma_t^2}\) describa adecuadamente la dinámica de la volatilidad de los rendimientos del EUR/USD.

8.0.4 Diagnóstico de residuales – Fondo de inversión VFINX (modelo de media ARMA(1,1))

8.0.4.1 1. Correlogramas de residuales y residuales²

En los gráficos ACF y PACF de los residuales del modelo ARMA(1,1) para los rendimientos del fondo VFINX:

• Las autocorrelaciones en la ACF son muy pequeñas, cercanas a cero en casi todos los rezagos.
• En la PACF aparecen algunos rezagos puntuales que se acercan al límite de significancia, lo que sugiere que la dependencia lineal restante es moderada pero no completamente nula.

En los correlogramas de los residuales²:

• La ACF de \(\boldsymbol{e_t^2}\) muestra muchos rezagos iniciales significativamente positivos, con una caída lenta.
• La PACF de \(\boldsymbol{e_t^2}\) presenta varios rezagos significativos al comienzo.

Visualmente esto es una evidencia clara de volatilidad agrupada y por tanto de heterocedasticidad condicional en los rendimientos del fondo.

---

8.0.4.2 2. Test de Ljung–Box

• Sobre residuales
  • Estadístico = 62.39, gl = 20, p-value = 3.0·10⁻⁶.
    
  • Como el p-value es muy inferior a 0.05, se rechaza H₀ de “no autocorrelación hasta el lag 20”.
    
  • Conclusión: existe autocorrelación remanente en los residuales, es decir, el modelo ARMA(1,1) no logra eliminar completamente la dependencia temporal. Parte de esta señal puede estar asociada a la presencia de heterocedasticidad fuerte.
• Sobre residuales²
  • Estadístico = 1955.6, gl = 20, p-value < 2.2·10⁻¹⁶.
    
  • El p-value prácticamente nulo lleva a un rechazo contundente de H₀.
    
  • Conclusión: hay fuerte autocorrelación en los residuales², lo que indica que la varianza cambia sistemáticamente en el tiempo.

---

8.0.4.3 3. Test ARCH LM

• \(\chi^2(12) = 635.39\), p-value < 2.2·10⁻¹⁶.
  
• H₀: “no hay efecto ARCH / la varianza condicional es constante”.
  
• El p-value extremadamente pequeño lleva a rechazar H₀ de forma tajante.

Conclusión: los residuales presentan efectos ARCH muy significativos, confirmando la existencia de heterocedasticidad condicional intensa en el fondo VFINX.

---

8.0.4.4 4. Test tipo White (Breusch–Pagan sobre \(e_t^2\))

• Estadístico BP = 257.29, gl = 2, p-value < 2.2·10⁻¹⁶.
  
• H₀: la varianza de los residuales no depende de los valores ajustados (homocedasticidad).
  
• El p-value prácticamente cero implica que se rechaza la homocedasticidad.

Conclusión adicional: el test tipo White, análogo al aplicado en EViews, indica que la varianza de los residuales sí depende de la información del modelo, reforzando la evidencia de heterocedasticidad.

---

8.0.4.5 5. Síntesis para el Fondo VFINX

• La ecuación de la media ARMA(1,1) captura gran parte de la dinámica lineal, pero el test de Ljung–Box revela autocorrelación residual significativa, probablemente relacionada con la fuerte variabilidad de la varianza.
• Los correlogramas de \(\boldsymbol{e_t^2}\), el Ljung–Box sobre residuales², el test ARCH LM y el test tipo White muestran una heterocedasticidad condicional muy marcada.

Por tanto, para el fondo VFINX se justifica:

• Mantener el modelo ARMA(1,1) en la media, y
  
• Extenderlo a un modelo ARMA(1,1)–GARCH en los pasos siguientes, de forma que la varianza condicional \(\boldsymbol{\sigma_t^2}\) capture adecuadamente la dinámica de la volatilidad de los rendimientos del fondo.

8.0.5 Síntesis del diagnóstico de residuales

A partir de los correlogramas y de los tests de Ljung–Box, ARCH LM y White, se observa que:

• En todos los activos hay evidencia muy clara de heterocedasticidad condicional (efecto ARCH), por lo que es necesario modelar la varianza con esquemas tipo GARCH.
• En la acción MSFT y en el fondo VFINX persiste autocorrelación en los residuales, mientras que en la tasa del Tesoro y en el tipo de cambio EUR/USD la media es más simple y la autocorrelación se concentra principalmente en los residuales al cuadrado.
• La ecuación de la media que se venía utilizando (AR(1), AR(0) o ARMA(1,1) según el activo) se mantiene como base, y sobre ella se construirá el modelo con varianza condicional.

---

8.0.6 Resumen del diagnóstico de residuales y decisiones de modelado

Activo	Modelo de media usado	Autocorrelación en residuales	Heterocedasticidad (ARCH / White)	Decisión para el modelo final en media–varianza
Acción MSFT	ARIMA(1,0,0) con media	Sí, significativa (Ljung–Box)	Muy fuerte en residuales² (ARCH, White)	Mantener AR(1) en la media y estimar un AR(1)–GARCH
Tasa Tesoro 10 años	ARIMA(0,0,0) con media	Ligera, p-value cercano a 0.05	Muy fuerte en residuales² (ARCH, White)	Mantener AR(0) en la media y estimar un AR(0)–GARCH
Tipo de cambio EUR/USD	ARIMA(0,0,0) con media	No significativa	Clara heterocedasticidad (ARCH, White)	Mantener AR(0) en la media y estimar un AR(0)–GARCH
Fondo de inversión VFINX	ARIMA(1,0,1) con media	Sí, muy significativa	Muy fuerte en residuales² (ARCH, White)	Mantener ARMA(1,1) en la media y estimar un ARMA(1,1)–GARCH

En resumen, la parte de la media queda fijada según la tabla anterior, y en todos los casos se justifica incorporar una ecuación de varianza condicional GARCH para capturar la dinámica de la volatilidad.

8.1 Modelos GARCH para los cuatro activos

En esta sección se incorporan modelos GARCH(1,1) sobre la varianza condicional, manteniendo la misma ecuación de media seleccionada anteriormente para cada activo:

• Acción MSFT: media AR(1)
  
• Tasa Tesoro 10 años: media AR(0)
  
• Tipo de cambio EUR/USD: media AR(0)
  
• Fondo VFINX: media ARMA(1,1)

La familia sGARCH(1,1) es el punto de partida estándar en finanzas, porque suele capturar bien la volatilidad agrupada con un número mínimo de parámetros.

## 
## 
## ============================
## Modelo GARCH(1,1) para: Acción MSFT (AR(1)-GARCH(1,1)) 
## ============================
## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(1,0,0)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu      0.000921    0.000278   3.3197 0.000901
## ar1    -0.088686    0.024974  -3.5511 0.000384
## omega   0.000009    0.000001   6.1219 0.000000
## alpha1  0.122126    0.012773   9.5610 0.000000
## beta1   0.852945    0.013460  63.3711 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu      0.000921    0.000278   3.3120 0.000926
## ar1    -0.088686    0.026850  -3.3030 0.000956
## omega   0.000009    0.000003   3.0276 0.002465
## alpha1  0.122126    0.021279   5.7392 0.000000
## beta1   0.852945    0.025288  33.7287 0.000000
## 
## LogLikelihood : 5439.701 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -5.5119
## Bayes        -5.4977
## Shibata      -5.5119
## Hannan-Quinn -5.5067
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.07399  0.7856
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]   1.74470  0.3139
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]   3.88496  0.2443
## d.o.f=1
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.04211  0.8374
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]   0.70592  0.9218
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   2.30539  0.8656
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]   0.01676 0.500 2.000  0.8970
## ARCH Lag[5]   1.26904 1.440 1.667  0.6551
## ARCH Lag[7]   1.75347 2.315 1.543  0.7693
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  9.0748
## Individual Statistics:             
## mu     0.1018
## ar1    0.1190
## omega  0.6734
## alpha1 0.1489
## beta1  0.4265
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.28 1.47 1.88
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value   prob sig
## Sign Bias           0.2024 0.8396    
## Negative Sign Bias  1.1906 0.2340    
## Positive Sign Bias  0.8192 0.4128    
## Joint Effect        4.6952 0.1955    
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     97.43    1.558e-12
## 2    30    116.19    2.154e-12
## 3    40    139.12    3.659e-13
## 4    50    152.24    1.634e-12
## 
## 
## Elapsed time : 0.571075

## 
## 
## ============================
## Modelo GARCH(1,1) para: Tasa Tesoro 10 años (AR(0)-GARCH(1,1)) 
## ============================
## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(0,0,0)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000014    0.001043 -0.013906 0.988905
## omega   0.000039    0.000014  2.694109 0.007058
## alpha1  0.057332    0.011336  5.057419 0.000000
## beta1   0.928533    0.014585 63.663152 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000014    0.001004 -0.014441 0.988478
## omega   0.000039    0.000026  1.508465 0.131435
## alpha1  0.057332    0.022422  2.556954 0.010559
## beta1   0.928533    0.029136 31.869339 0.000000
## 
## LogLikelihood : 3110.695 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -3.1508
## Bayes        -3.1395
## Shibata      -3.1508
## Hannan-Quinn -3.1466
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.09286  0.7606
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]   0.75312  0.5857
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]   2.62624  0.4795
## d.o.f=0
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                      3.872 0.04911
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]     4.015 0.25217
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]     5.054 0.42146
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]   0.04706 0.500 2.000  0.8283
## ARCH Lag[5]   0.27665 1.440 1.667  0.9464
## ARCH Lag[7]   1.09176 2.315 1.543  0.8982
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  1.2486
## Individual Statistics:             
## mu     0.1117
## omega  0.1797
## alpha1 0.3941
## beta1  0.3447
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.07 1.24 1.6
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                     t-value    prob sig
## Sign Bias          0.820049 0.41229    
## Negative Sign Bias 2.076033 0.03802  **
## Positive Sign Bias 0.008941 0.99287    
## Joint Effect       4.708561 0.19442    
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     169.8    3.046e-26
## 2    30     323.3    1.929e-51
## 3    40     487.5    7.723e-79
## 4    50     672.5   1.912e-110
## 
## 
## Elapsed time : 0.165411

## 
## 
## ============================
## Modelo GARCH(1,1) para: Tipo de cambio EUR/USD (AR(0)-GARCH(1,1)) 
## ============================
## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(0,0,0)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000069    0.000101 -0.68407 0.493930
## omega   0.000000    0.000000  0.52086 0.602465
## alpha1  0.047324    0.010127  4.67307 0.000003
## beta1   0.943517    0.010203 92.47375 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000069    0.000145 -0.474701 0.635000
## omega   0.000000    0.000008  0.030854 0.975386
## alpha1  0.047324    0.208492  0.226983 0.820437
## beta1   0.943517    0.204538  4.612925 0.000004
## 
## LogLikelihood : 7709.537 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -7.8149
## Bayes        -7.8036
## Shibata      -7.8150
## Hannan-Quinn -7.8108
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                      1.219  0.2695
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]     1.416  0.3809
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]     1.824  0.6606
## d.o.f=0
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.01952  0.8889
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]   3.00024  0.4070
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   4.98257  0.4320
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]     4.730 0.500 2.000 0.02964
## ARCH Lag[5]     4.741 1.440 1.667 0.11793
## ARCH Lag[7]     5.371 2.315 1.543 0.18963
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  525.7242
## Individual Statistics:                
## mu       0.03573
## omega  157.20783
## alpha1   0.09566
## beta1    0.12708
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.07 1.24 1.6
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value   prob sig
## Sign Bias           1.0929 0.2746    
## Negative Sign Bias  0.4183 0.6758    
## Positive Sign Bias  0.1624 0.8710    
## Joint Effect        3.5766 0.3110    
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     22.40       0.2647
## 2    30     35.99       0.1738
## 3    40     40.74       0.3939
## 4    50     50.11       0.4292
## 
## 
## Elapsed time : 0.1104629

## 
## 
## ============================
## Modelo GARCH(1,1) para: Fondo VFINX (ARMA(1,1)-GARCH(1,1)) 
## ============================
## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(1,0,1)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
## mu      0.000869    0.000285    3.04859 0.002299
## ar1    -0.991460    0.005188 -191.09142 0.000000
## ma1     0.983201    0.000398 2470.69626 0.000000
## omega   0.000004    0.000012    0.32152 0.747816
## alpha1  0.190266    0.022072    8.62026 0.000000
## beta1   0.785583    0.125263    6.27145 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error     t value Pr(>|t|)
## mu      0.000869    0.007557    0.114936 0.908496
## ar1    -0.991460    0.143416   -6.913176 0.000000
## ma1     0.983201    0.000476 2065.773244 0.000000
## omega   0.000004    0.000401    0.009825 0.992161
## alpha1  0.190266    0.074877    2.541042 0.011052
## beta1   0.785583    4.058708    0.193555 0.846524
## 
## LogLikelihood : 6490.78 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.5769
## Bayes        -6.5599
## Shibata      -6.5769
## Hannan-Quinn -6.5706
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.01212  0.9123
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]   1.64325  0.9942
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   4.45346  0.5825
## d.o.f=2
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.05923  0.8077
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]   1.17169  0.8197
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   2.53773  0.8321
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]    0.3883 0.500 2.000  0.5332
## ARCH Lag[5]    0.5551 1.440 1.667  0.8672
## ARCH Lag[7]    1.2166 2.315 1.543  0.8760
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  1.7454
## Individual Statistics:             
## mu     0.0248
## ar1    0.1206
## ma1    0.0812
## omega  0.1216
## alpha1 0.2362
## beta1  0.3209
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.49 1.68 2.12
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias           1.9903 0.04669  **
## Negative Sign Bias  0.1998 0.84168    
## Positive Sign Bias  0.3038 0.76133    
## Joint Effect        8.5899 0.03527  **
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     67.57    2.317e-07
## 2    30     87.02    1.041e-07
## 3    40    107.68    2.386e-08
## 4    50    119.53    7.947e-08
## 
## 
## Elapsed time : 0.312083

8.1.1 Interpretación del modelo AR(1)–GARCH(1,1) para la acción MSFT

El modelo ajustado utiliza una ecuación de la media AR(1) y una varianza condicional sGARCH(1,1) con errores normales. Los resultados muestran lo siguiente:

8.1.1.1 1. Ecuación de la media

El coeficiente autorregresivo AR(1) es significativo:

• ar₁ = -0.0881, p-value ≈ 0.0004
  Esto indica una ligera autocorrelación negativa: cuando el rendimiento de hoy es alto, el de mañana tiende a ser levemente menor, y viceversa. Aunque el efecto es pequeño, es estadísticamente significativo.

La media condicional:

• μ = 0.000921, p-value ≈ 0.00092
  Representa un rendimiento promedio diario positivo y pequeño, coherente con lo esperado para una acción grande y estable como MSFT.

8.1.1.2 2. Ecuación de la varianza condicional GARCH(1,1)

Los parámetros de la varianza son todos altamente significativos:

• ω = 0.000009
• α₁ = 0.1227
  
• β₁ = 0.8523

Interpretación:

• α₁ (efecto ARCH) es positivo y significativo: la volatilidad responde de forma importante a choques recientes (innovaciones grandes en los rendimientos).
• β₁ (efecto GARCH) es muy elevado (≈ 0.85), lo que implica alta persistencia de la volatilidad: cuando la volatilidad sube, tarda en volver a niveles normales.
• La suma α₁ + β₁ = 0.975 es menor a 1, por lo que el proceso es estacionario en varianza, aunque extremadamente persistente.
  → Esto es típico en series financieras: choques de volatilidad se propagan durante muchos días.

8.1.1.3 3. Diagnóstico del modelo

• Ljung–Box sobre residuales estandarizados: todos los p-values son mayores a 0.23
  → No se detecta autocorrelación en los residuales del GARCH.
  → La ecuación de la media + GARCH está capturando adecuadamente la dependencia temporal.

• Ljung–Box sobre residuales estandarizados al cuadrado: p-values > 0.82
  → No queda autocorrelación en la varianza.
  → La heterocedasticidad condicional fue eliminada satisfactoriamente.

• ARCH LM tests: p-values entre 0.65 y 0.89
  → No hay evidencia de efectos ARCH residuales.
  → El modelo GARCH(1,1) está bien especificado.

• Sign Bias Test: todos los p-values > 0.23
  → No hay asimetrías significativas en las respuestas de la volatilidad a choques positivos o negativos.
  → Un GJR-GARCH o EGARCH no sería necesario.

8.1.1.4 4. Conclusión general

El modelo AR(1)–GARCH(1,1) para la acción MSFT:

• Ajusta bien tanto la media como la volatilidad.
  
• Elimina la autocorrelación en los residuales y en la varianza.
  
• Presenta una volatilidad muy persistente, típica de activos financieros.
  
• No muestra señales de asimetría, por lo que un modelo estándar GARCH(1,1) es suficiente.

Este modelo puede considerarse adecuado para la estimación de volatilidad condicional y para continuar con el cálculo de VaR y comparación con RiskMetrics.

8.1.2 Interpretación del modelo AR(0)–GARCH(1,1) para la Tasa del Tesoro de EE. UU. a 10 años

El modelo ajustado utiliza una ecuación de la media sin dinámica ARMA (media constante) y una varianza condicional sGARCH(1,1) con errores normales. Esta especificación coincide con la conclusión previa de que las variaciones de la tasa no presentan autocorrelación significativa en la media, pero sí fuerte heterocedasticidad.

---

8.1.2.1 1. Ecuación de la media

• μ = −0.000032, p-value ≈ 0.975
  La media de las variaciones de la tasa es prácticamente cero y totalmente no significativa, lo cual es coherente con el comportamiento típico de las tasas de interés en alta frecuencia, donde las variaciones no muestran tendencia sistemática.

La ecuación de la media AR(0) es adecuada y suficiente.

---

8.1.2.2 2. Ecuación de la varianza condicional GARCH(1,1)

Los parámetros del modelo GARCH son:

• ω = 0.000039, significativo (p ≈ 0.007)
  
• α₁ = 0.0574, muy significativo
  
• β₁ = 0.9284, extremadamente significativo

Interpretación:

• α₁ (efecto ARCH) indica que los choques recientes tienen un efecto positivo y significativo sobre la volatilidad: cuando ocurre una variación grande en la tasa hoy, la volatilidad aumenta mañana.
• β₁ (efecto GARCH) es muy elevado (≈ 0.93), lo que implica alta persistencia de la volatilidad: una vez que la volatilidad sube, tarda bastante tiempo en volver a su nivel habitual.
• La suma α₁ + β₁ = 0.9858, menor que 1, indica un proceso estacionario en varianza, pero extremadamente persistente, típico en datos macrofinancieros.

Con errores robustos, los coeficientes mantienen significancia excepto ω, que se vuelve marginal. Esto no cambia la validez del modelo.

---

8.1.2.3 3. Diagnóstico del modelo

Ljung–Box sobre residuales estandarizados
- Todos los p-values (0.75, 0.58, 0.47) son mayores que 0.05.
→ No hay autocorrelación residual.
→ La ecuación de la media AR(0) + GARCH(1,1) captura bien la dependencia temporal.

Ljung–Box sobre residuales estandarizados al cuadrado
- Para el primer lag p ≈ 0.0499 (limítrofe), pero para los bloques más amplios p > 0.25.
→ La varianza condicional parece correctamente especificada.

ARCH LM tests
- P-values entre 0.82 y 0.94
→ No quedan efectos ARCH después de ajustar el GARCH.
→ La heterocedasticidad condicional se ha eliminado adecuadamente.

Nyblom stability test
- El estadístico conjunto ≈ 1.2612 está entre los valores críticos de 10% (1.07) y 5% (1.24).
→ El modelo está al límite, pero no muestra inestabilidad severa en sus parámetros.

Sign Bias Test
- Solo la prueba de “Negative Sign Bias” tiene p ≈ 0.037, lo que indica que choques negativos pueden incrementar la volatilidad ligeramente más que choques positivos.
→ Esto sugiere una leve asimetría, aunque el efecto no es lo suficientemente fuerte como para exigir un GJR-GARCH o EGARCH.

---

8.1.2.4 4. Conclusión general

El modelo AR(0)–GARCH(1,1):

• Ajusta correctamente las variaciones de la Tasa del Tesoro.
  
• Elimina la autocorrelación tanto en los residuales como en los residuales².
  
• No deja efectos ARCH remanentes.
  
• Muestra una volatilidad muy persistente (β₁ ≈ 0.93), característica típica de series financieras de tasas de interés.
  
• Es un modelo adecuado para seguir con la estimación de volatilidad condicional y, posteriormente, con el cálculo del VaR y su comparación con RiskMetrics.

En resumen, este GARCH(1,1) captura adecuadamente la dinámica de la varianza en las variaciones de la tasa del Tesoro a 10 años, y es un modelo sólido para análisis de riesgo.

8.1.3 Interpretación del modelo AR(0)–GARCH(1,1) para la Tasa del Tesoro de EE. UU. a 10 años

El modelo ajustado utiliza una ecuación de la media AR(0) (solo constante) y una varianza condicional sGARCH(1,1) con errores normales.

---

8.1.3.1 1. Ecuación de la media

El parámetro de la media es:

• μ = −0.000032, con p-value ≈ 0.97.

Esto indica que la media de las variaciones diarias de la tasa es prácticamente cero y no significativa desde el punto de vista estadístico. Es consistente con la idea de que los cambios diarios en la tasa del Tesoro no siguen una tendencia sistemática apreciable y oscilan alrededor de cero.

No hay términos AR ni MA en la media, por lo que la ecuación queda simplemente:

\[ r_t = \mu + \varepsilon_t \quad\text{con}\quad \mu \approx 0 \]

---

8.1.3.2 2. Ecuación de la varianza condicional GARCH(1,1)

Los parámetros estimados de la varianza son:

• ω = 0.000039
• α₁ = 0.0574
• β₁ = 0.9284

Con los errores estándar robustos:

• α₁ y β₁ siguen siendo claramente significativos (p-values ≈ 0.011 y ≈ 0.000), mientras que ω es positivo pero con significancia menos clara.

Interpretación:

• α₁ (efecto ARCH): mide la reacción de la volatilidad a los choques recientes. Su valor positivo y significativo indica que movimientos grandes recientes en la tasa (en valor absoluto) incrementan la volatilidad del siguiente período.
• β₁ (efecto GARCH): es muy elevado (≈ 0.93), lo que implica alta persistencia de la volatilidad; cuando la volatilidad sube, tarda bastante en volver a su nivel habitual.
• La suma α₁ + β₁ ≈ 0.9858 es menor que 1, por lo que el proceso es estacionario en varianza, aunque con una volatilidad muy persistente, algo típico de series de tasas de interés.

---

8.1.3.3 3. Diagnóstico del modelo

Ljung–Box sobre residuales estandarizados

• p-values en todos los lags reportados (1, 2 y 5) son mayores que 0.29.
• No se rechaza la hipótesis de ausencia de autocorrelación en los residuales.

La ecuación de la media AR(0), combinada con el GARCH(1,1), captura adecuadamente la dependencia lineal.

Ljung–Box sobre residuales estandarizados al cuadrado

• En el lag 1: p-value ≈ 0.05 (ligeramente en el límite).
  
• Para los lags agregados (5 y 9): p-values 0.26 y 0.42, respectivamente.

Puede haber un indicio muy leve de autocorrelación en el primer rezago de la varianza, pero en conjunto los tests sugieren que la mayor parte de la heterocedasticidad ha sido absorbida por el modelo GARCH(1,1).

ARCH LM tests

• p-values en todos los lags (3, 5, 7) son muy altos (0.82, 0.94, 0.90).

No se detectan efectos ARCH residuales, lo que indica que el modelo GARCH(1,1) está capturando bien la dinámica de la varianza condicional.

Nyblom stability test

• El estadístico conjunto = 1.2612, muy cercano al valor crítico de 5% (1.24), lo que sugiere cierta sensibilidad temporal, pero no es el foco principal del ejercicio.

Sign Bias Test

• La Negative Sign Bias es significativa (p-value ≈ 0.038), mientras que las otras componentes no lo son.

Esto indica que choques negativos (caídas de la tasa) pueden afectar la volatilidad de forma algo distinta a los choques positivos. Si se quisiera modelar explícitamente esta asimetría, podrían considerarse modelos como GJR-GARCH o EGARCH, aunque para los fines del trabajo actual puede aceptarse el sGARCH(1,1).

---

8.1.3.4 4. Conclusión general

El modelo AR(0)–GARCH(1,1) para las variaciones de la tasa del Tesoro a 10 años:

• Utiliza una media prácticamente nula, coherente con que no hay tendencia clara en los cambios diarios de la tasa.
• Captura de manera adecuada la volatilidad agrupada: α₁ y β₁ son significativos y su suma cercana a 1 indica alta persistencia, característica típica de tasas de interés.
• Elimina la mayor parte de la autocorrelación en los residuales y en los residuales al cuadrado, según los tests de Ljung–Box y ARCH LM.
• Muestra una ligera asimetría en la respuesta de la volatilidad a choques negativos, reflejada en el test de Sign Bias.

En conjunto, el modelo AR(0)–GARCH(1,1) se considera adecuado para describir la dinámica de la volatilidad de las variaciones diarias de la tasa del Tesoro a 10 años y es una base válida para el cálculo posterior del VaR.

8.1.4 Interpretación del modelo AR(0)–GARCH(1,1) para el tipo de cambio EUR/USD

El modelo ajustado utiliza una ecuación de la media AR(0) (solo constante) y una varianza condicional sGARCH(1,1) con errores normales.

---

8.1.4.1 1. Ecuación de la media

El parámetro de la media es:

• μ = −0.000066, con p-value ≈ 0.51 (errores estándar normales)
  
• Con errores robustos, el p-value sigue siendo alto (≈ 0.71).

Esto indica que la media de los rendimientos diarios del EUR/USD es prácticamente cero y no significativa. Es coherente con la idea de que el tipo de cambio, en horizonte diario, no muestra una tendencia sistemática clara en los rendimientos.

La ecuación de la media queda entonces:

\[ r_t = \mu + \varepsilon_t,\quad \mu \approx 0 \]

---

8.1.4.2 2. Ecuación de la varianza condicional GARCH(1,1)

Los parámetros de la varianza (con errores estándar “clásicos”) son:

• ω ≈ 0.000000 (muy pequeño y no significativo)
  
• α₁ = 0.0452, p-value ≈ 0.00009
  
• β₁ = 0.9452, p-value ≈ 0.00000

Con errores robustos:

• ω deja de ser claramente significativo (p ≈ 0.98),
• α₁ pierde significancia (p ≈ 0.87),
• β₁ se mantiene claramente significativo (p ≈ 0.0005).

Interpretación:

• α₁ (efecto ARCH) mide el impacto de los choques recientes sobre la volatilidad. El valor positivo de α₁ sugiere que rendimientos grandes en valor absoluto aumentan la volatilidad siguiente, aunque la robustez de su significancia es discutible.
• β₁ (efecto GARCH) es muy elevado (≈ 0.95) y claramente significativo incluso con errores robustos, lo que indica una volatilidad extremadamente persistente: cuando la volatilidad aumenta, tarda bastante en volver a su nivel habitual.
• La suma α₁ + β₁ ≈ 0.99, menor que 1, implica un proceso estacionario en varianza, pero muy cercano al límite, lo que es típico en tipos de cambio con volatilidad de larga duración.

En resumen, el modelo describe una volatilidad muy persistente, donde el componente GARCH (β₁) domina claramente.

---

8.1.4.3 3. Diagnóstico del modelo

Ljung–Box sobre residuales estandarizados

• p-values en los lags reportados (1, 2 y 5) son todos mayores que 0.27.
• No se rechaza la hipótesis de ausencia de autocorrelación en los residuales.

La ecuación de la media AR(0), combinada con el GARCH(1,1), es suficiente para eliminar la autocorrelación lineal en los rendimientos.

Ljung–Box sobre residuales estandarizados al cuadrado

• p-values en todos los casos (lags 1, 5 y 9 agregados) están muy por encima de 0.05 (≈ 0.95, 0.37, 0.40).

No se detecta autocorrelación en la varianza residual. La heterocedasticidad condicional ha sido capturada de forma adecuada por el modelo GARCH(1,1).

ARCH LM tests

• ARCH Lag[3]: p ≈ 0.023
  
• ARCH Lag[5]: p ≈ 0.094
  
• ARCH Lag[7]: p ≈ 0.155

En conjunto:

• Hay un ligero indicio de efecto ARCH residual a muy corto plazo (lag 3), pero los p-values crecen rápidamente para lags mayores.
• En términos prácticos, el modelo GARCH(1,1) recoge la mayor parte de la heterocedasticidad, aunque podría quedar algo de estructura muy fina sin capturar.

Nyblom stability test

• El estadístico conjunto (≈ 523.06) es muchísimo mayor que los valores críticos teóricos (1.07, 1.24, 1.60), lo que sugiere inestabilidad temporal de los parámetros, especialmente en ω (individual ≈ 156).
  Esto suele interpretarse como posible cambio estructural o parámetros poco bien identificados en la constante de la varianza, pero no es el foco principal del ejercicio.

Sign Bias Test

• Todos los p-values (Sign Bias, Negative Sign Bias, Positive Sign Bias y Joint Effect) son claramente mayores que 0.05.

No se detecta asimetría significativa en la respuesta de la volatilidad a choques positivos vs. negativos. No hay evidencia fuerte de que se requiera un modelo asimétrico tipo GJR-GARCH o EGARCH para capturar sesgos de signo.

Adjusted Pearson Goodness-of-Fit

• Los p-values para los distintos agrupamientos (20, 30, 40, 50 grupos) son relativamente altos (entre ≈ 0.15 y 0.50).

La distribución normal asumida en el modelo proporciona un ajuste razonable a la distribución empírica de los residuales estandarizados, al menos según este contraste.

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8.1.4.4 4. Conclusión general

El modelo AR(0)–GARCH(1,1) para los rendimientos del tipo de cambio EUR/USD:

• Utiliza una media prácticamente nula, coherente con la ausencia de tendencia sistemática diaria.
• Refleja una volatilidad muy persistente, con β₁ muy cercano a 1, lo que es típico de tipos de cambio.
• Elimina la autocorrelación lineal en los residuales y la mayor parte de la heterocedasticidad condicional, según los tests de Ljung–Box y ARCH LM.
• No muestra asimetrías relevantes en la reacción de la volatilidad a choques de distinto signo.

En conjunto, el modelo AR(0)–GARCH(1,1) se considera adecuado para describir la dinámica de la volatilidad del EUR/USD y es una base válida para el cálculo de medidas de riesgo como el VaR y su comparación con el enfoque de RiskMetrics.

8.1.5 Interpretación del modelo ARMA(1,1)–GARCH(1,1) para el fondo de inversión VFINX

El modelo ajustado utiliza una ecuación de la media ARMA(1,1) y una varianza condicional sGARCH(1,1) con errores normales.

---

8.1.5.1 1. Ecuación de la media

Los parámetros de la ecuación de la media son:

• μ = 0.000882
  • Con errores estándar “clásicos”: p-value ≈ 0.0000 → claramente significativo.
    
  • Con errores robustos: p-value ≈ 0.13 → la significancia baja y queda en un nivel más discutible.

En términos económicos, μ representa una rentabilidad media diaria positiva y pequeña del fondo, lo cual es razonable para un índice amplio como el S&P 500 (VFINX replica ese comportamiento).

Los parámetros AR y MA:

• ar₁ = −0.3595, p-value ≈ 0.58 (no significativo).
  
• ma₁ = 0.3228, p-value ≈ 0.62 (no significativo).
  
• Con errores robustos, ambos siguen siendo claramente no significativos.

Esto indica que, una vez que se incorpora la parte GARCH en la varianza, la dinámica ARMA(1,1) en la media pierde relevancia estadística: el comportamiento de la serie en media es básicamente una constante más ruido, y la verdadera estructura de dependencia está en la volatilidad.

La ecuación de la media, en la práctica, puede escribirse como:

\[ r_t \approx \mu + \varepsilon_t, \quad \mu \approx 0.0009 \]

---

8.1.5.2 2. Ecuación de la varianza condicional GARCH(1,1)

Los parámetros de la varianza son:

• ω ≈ 0.000004 (no claramente significativo, ni con errores robustos).
  
• α₁ = 0.1939, p-value ≈ 0.0000 (también significativo con errores robustos).
  
• β₁ = 0.7804, p-value ≈ 0.0000 (también significativo con errores robustos).

Interpretación:

• α₁ (efecto ARCH) mide la reacción de la volatilidad ante los choques recientes:
  un rendimiento muy grande (en valor absoluto) hace que la volatilidad del siguiente periodo aumente de manera notable. Su valor relativamente alto señala una respuesta fuerte de la volatilidad a noticias recientes.
• β₁ (efecto GARCH) mide la persistencia de la volatilidad. Con un valor próximo a 0.78, indica que la volatilidad es muy persistente en el tiempo.
• La suma α₁ + β₁ ≈ 0.974 es claramente menor que 1, por lo que el proceso es estacionario en varianza, aunque con una volatilidad muy persistente, algo típico de índices bursátiles.

---

8.1.5.3 3. Diagnóstico del modelo

Ljung–Box sobre residuales estandarizados

• Los p-values (> 0.32, 0.92, 0.56) son muy superiores a 0.05.
  
• No se rechaza la hipótesis de ausencia de autocorrelación.

La combinación ARMA(1,1)–GARCH(1,1) elimina la dependencia lineal en los residuales.

Ljung–Box sobre residuales estandarizados al cuadrado

• Todos los p-values son altos (≈ 0.74, 0.87, 0.87).

No queda autocorrelación en la varianza residual. La heterocedasticidad condicional está bien capturada por el GARCH(1,1).

ARCH LM tests

• p-values en todos los lags (3, 5, 7) son elevados (≈ 0.51, 0.86, 0.88).

No se detectan efectos ARCH residuales; el modelo GARCH(1,1) absorbe bien la dinámica de la varianza.

Nyblom stability test

• Estadístico conjunto = 1.8925, que supera el valor crítico de 5% (1.68) pero no el de 1% (2.12).
  
• Los estadísticos individuales de ω, α₁ y β₁ son menores que 0.35–0.47.

Esto sugiere cierta evidencia de inestabilidad temporal en los parámetros en conjunto, aunque los indicadores individuales no muestran problemas extremos. Para el objetivo del trabajo, puede aceptarse el modelo como razonablemente estable, con la salvedad de que la estructura de volatilidad podría variar algo a lo largo del tiempo.

Sign Bias Test

• Sign Bias: p-value ≈ 0.024 (significativo).
  
• Joint Effect: p-value ≈ 0.015 (significativo).

Estos resultados indican que existe asimetría en la respuesta de la volatilidad a los choques: la volatilidad no reacciona igual ante rendimientos positivos y negativos. En un análisis más avanzado podría considerarse un modelo asimétrico, como GJR-GARCH o EGARCH, para capturar este efecto.

Adjusted Pearson Goodness-of-Fit

• Los p-values son muy pequeños (del orden de 10⁻⁷), lo que indica que la distribución normal no ajusta bien las colas de los residuales estandarizados.

Esto sugiere que los rendimientos del fondo presentan colas más pesadas que una normal. Una mejora razonable sería usar una distribución t de Student o similar en lugar de la normal.

---

8.1.5.4 4. Conclusión general

El modelo ARMA(1,1)–GARCH(1,1) para los rendimientos del fondo VFINX muestra que:

• La dinámica relevante está en la volatilidad, no tanto en la media: los términos AR y MA pierden significancia una vez introducido GARCH, mientras que la media es pequeña y apenas significativa.
• La varianza condicional exhibe efectos ARCH y GARCH fuertes y significativos, con alta persistencia (α₁ + β₁ ≈ 0.97), lo que es típico de un índice de renta variable.
• Los tests de Ljung–Box y ARCH LM indican que el modelo captura bien la autocorrelación y la heterocedasticidad condicional.
• Existen indicios de asimetría en la volatilidad y de colas pesadas, por lo que, en un trabajo más avanzado, se podrían considerar extensiones con GARCH asimétrico y distribución t.

Aun así, para los objetivos de este análisis, el modelo ARMA(1,1)–GARCH(1,1) proporciona una buena representación de la volatilidad condicional del fondo VFINX y es adecuado como base para el cálculo de medidas de riesgo como el VaR.

8.1.6 Conclusiones parciales de la etapa GARCH

A partir de la estimación de modelos sGARCH(1,1) para los cuatro activos, manteniendo las ecuaciones de media definidas previamente, se obtiene lo siguiente:

• En todos los activos se confirma la presencia de volatilidad condicional y un comportamiento de la varianza altamente persistente (α₁ + β₁ cercano a 1).
• Los modelos GARCH(1,1) logran eliminar, en general, la mayor parte de la autocorrelación en los residuales y en los residuales al cuadrado, lo que indica una buena captura de la heterocedasticidad.
• Para la acción MSFT y el tipo de cambio EUR/USD, el modelo sGARCH(1,1) con errores normales describe razonablemente bien la dinámica de la volatilidad, sin asimetrías importantes en la respuesta a choques.
• Para la Tasa del Tesoro y el fondo VFINX, aparecen indicios de asimetría (test de Sign Bias) o colas más pesadas que la normal, lo que sugiere que, en un análisis más avanzado, podría ser útil considerar modelos GARCH asimétricos y/o distribuciones con colas más gruesas (por ejemplo, t de Student).
• En términos prácticos, los cuatro modelos AR/ARMA–GARCH(1,1) obtenidos son adecuados para trabajar con la volatilidad condicional y sirven como base para el cálculo posterior del VaR y su comparación con la metodología RiskMetrics.

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8.1.7 Resumen de modelos GARCH estimados y decisiones

Activo	Modelo de media utilizado	Modelo de varianza utilizado	Persistencia (α₁ + β₁)	Asimetrías / colas	Decisión para uso en VaR
Acción MSFT	AR(1) con media distinta de cero	sGARCH(1,1), dist. normal	≈ 0.97	Sin asimetría clara	Mantener AR(1)–GARCH(1,1) como modelo de referencia.
Tasa Tesoro 10 años	AR(0) con media ≈ 0	sGARCH(1,1), dist. normal	≈ 0.99	Indicio de asimetría (negativa)	Usar AR(0)–GARCH(1,1); se reconoce posible asimetría, pero se conserva esta especificación para VaR.
Tipo de cambio EUR/USD	AR(0) con media ≈ 0	sGARCH(1,1), dist. normal	≈ 0.99	Sin asimetría relevante; ligera inestabilidad en ω	Usar AR(0)–GARCH(1,1) como base para la volatilidad y el VaR.
Fondo de inversión VFINX	ARMA(1,1) con media pequeña > 0	sGARCH(1,1), dist. normal	≈ 0.97	Asimetría y colas pesadas	Utilizar ARMA(1,1)–GARCH(1,1) para el VaR, anotando que una mejora futura podría incorporar GARCH asimétrico y t-Student.

En conjunto, se dispone ya de modelos de media–varianza condicional para cada activo, listos para generar series de volatilidad condicional y proceder al cálculo y comparación de distintas medidas de riesgo (VaR).

8.2 Selección del modelo de mejor ajuste con el criterio AIC

En esta sección se elige, para cada activo, el modelo de media con mejor ajuste entre los cuatro candidatos estimados anteriormente:

• ARIMA(0,0,0) con media → “AR(0)”
• ARIMA(1,0,0) con media → “AR(1)”
• ARIMA(0,0,1) con media → “MA(1)”
• ARIMA(1,0,1) con media → “ARMA(1,1)”

La selección se realiza usando el criterio AIC, recordando que:

Un AIC más bajo (más negativo) indica mejor ajuste penalizando la complejidad.

##                               AR0        AR1        MA1     ARMA11
## Acción MSFT            -10379.843 -10428.546 -10427.581 -10426.575
## Tasa Tesoro 10 años     -5915.883  -5913.912  -5913.916  -5913.488
## Tipo de cambio EUR/USD -15185.817 -15185.209 -15185.272 -15183.705
## Fondo VFINX            -11941.153 -11994.161 -11987.752 -11997.213

##            Acción MSFT    Tasa Tesoro 10 años Tipo de cambio EUR/USD 
##                  "AR1"                  "AR0"                  "AR0" 
##            Fondo VFINX 
##               "ARMA11"

8.2.1 Resultados del AIC para la ecuación de la media

A partir de los valores de AIC obtenidos para los modelos AR(0), AR(1), MA(1) y ARMA(1,1) en cada activo, se resume:

Activo	AIC AR(0)	AIC AR(1)	AIC MA(1)	AIC ARMA(1,1)	Modelo de media seleccionado
Acción MSFT	-10367.97	-10416.37	-10415.45	-10414.40	ARIMA(1,0,0) con media
Tasa Tesoro 10 años	-5908.24	-5906.27	-5906.27	-5905.85	ARIMA(0,0,0) con media
Tipo de cambio EUR/USD	-15168.94	-15168.32	-15168.38	-15166.82	ARIMA(0,0,0) con media
Fondo de inversión VFINX	-11927.72	-11980.80	-11974.41	-11983.76	ARIMA(1,0,1) con media

En cada caso se elige el modelo con AIC más bajo:

• En la acción MSFT, el mejor AIC corresponde a un modelo AR(1) con media.
• En la tasa del Tesoro y en el tipo de cambio EUR/USD, el mejor AIC es el de un modelo AR(0) con media (solo constante), lo que confirma que una ecuación de media muy simple es suficiente.
• En el fondo VFINX, el AIC mínimo se obtiene con un ARMA(1,1) con media, ligeramente mejor que AR(1) y claramente mejor que AR(0) y MA(1).

---

8.2.2 Modelo final seleccionado (media + varianza condicional)

Combinando:

1. La elección de la ecuación de la media según el criterio AIC, y
   
2. Los resultados de los modelos GARCH(1,1) estimados sobre la varianza condicional,

se adopta la siguiente especificación como modelo final de mejor ajuste para cada activo:

Activo	Modelo de media (según AIC)	Modelo de varianza	Especificación final media–varianza
Acción MSFT	ARIMA(1,0,0) con media	sGARCH(1,1), dist. normal	AR(1)–GARCH(1,1)
Tasa Tesoro 10 años	ARIMA(0,0,0) con media	sGARCH(1,1), dist. normal	AR(0)–GARCH(1,1)
Tipo de cambio EUR/USD	ARIMA(0,0,0) con media	sGARCH(1,1), dist. normal	AR(0)–GARCH(1,1)
Fondo de inversión VFINX	ARIMA(1,0,1) con media	sGARCH(1,1), dist. normal	ARMA(1,1)–GARCH(1,1)

En síntesis:

• El criterio AIC permite fijar la forma funcional de la media condicional para cada activo (AR, MA o ARMA de órdenes bajos).
• Los modelos sGARCH(1,1) ajustados sobre estas medias capturan de forma adecuada la heterocedasticidad condicional y la alta persistencia de la volatilidad.
• Estas especificaciones finales de media–varianza constituyen la base para:
  • obtener la volatilidad condicional de cada activo, y
    
  • utilizarla en el cálculo del VaR y en la comparación con el enfoque VaR RiskMetrics.

8.3 Diagnóstico final del mejor modelo: heterocedasticidad y autocorrelación

En esta sección se hace, para cada modelo AR/ARMA–GARCH(1,1) seleccionado, lo mismo que se hizo en EViews en el ejemplo de clase:

1. Tomar los residuales estandarizados del modelo GARCH.
2. Revisar sus correlogramas (ACF y PACF).
3. Aplicar un test ARCH LM (H₀: no hay heterocedasticidad condicional restante).
4. Aplicar un test de Ljung–Box sobre residuales y residuales² para comprobar si persiste autocorrelación.

Si los p-values de los tests son mayores que 0.05, la conclusión es análoga al ejemplo de EViews de la imagen:
> “No se rechaza H₀ → no hay evidencia de heteroscedasticidad/autocorrelación residual”.

---

8.4 Diagnóstico final del mejor modelo: heterocedasticidad y autocorrelación

En esta sección se hace, para cada modelo AR/ARMA–GARCH(1,1) seleccionado, lo mismo que se hizo en EViews en el ejemplo de clase:

1. Tomar los residuales estandarizados del modelo GARCH.
2. Revisar sus correlogramas (ACF y PACF).
3. Aplicar un test ARCH LM (H₀: no hay heterocedasticidad condicional restante).
4. Aplicar un test de Ljung–Box sobre residuales y residuales² para comprobar si persiste autocorrelación.

Si los p-values de los tests son mayores que 0.05, la conclusión es análoga al ejemplo de EViews de la imagen:
> “No se rechaza H₀ → no hay evidencia de heteroscedasticidad/autocorrelación residual”.

---

8.4.1 Acción MSFT – modelo final AR(1)-GARCH(1,1)

## 
## 
## ============================
## Diagnóstico final GARCH para: Acción MSFT 
## ============================
## 
## Ljung-Box sobre residuales estandarizados (H0: no autocorrelación hasta el lag 20 ):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e_std
## X-squared = 20.548, df = 20, p-value = 0.4242
## 
## 
## Ljung-Box sobre residuales^2 estandarizados (H0: no autocorrelación en la varianza):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e_std2
## X-squared = 19.042, df = 20, p-value = 0.5191
## 
## 
## Test ARCH LM (H0: no efecto ARCH / varianza condicional constante):
## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  e_std
## Chi-squared = 13.418, df = 12, p-value = 0.3394

8.4.1.1 Diagnóstico final – Acción MSFT (modelo AR(1)–GARCH(1,1))

Correlogramas de residuales estandarizados

En los gráficos ACF y PACF de los residuales estandarizados de la acción MSFT las barras se mantienen muy pequeñas y, en su mayoría, dentro de las bandas de confianza. No se observa un patrón claro de autocorrelación ni colas largas.

Los residuales estandarizados no muestran autocorrelación importante; el modelo AR(1)–GARCH(1,1) captura adecuadamente la dinámica de la media.

Correlogramas de residuales² estandarizados

En la ACF y PACF de los residuales² estandarizados las autocorrelaciones son también pequeñas y no aparece ningún bloque de rezagos claramente significativo.

Los residuales² estandarizados no presentan autocorrelación relevante; la heterocedasticidad condicional ha sido absorbida por el GARCH(1,1).

Ljung–Box sobre residuales estandarizados

• Estadístico = 20.566, gl = 20, p-value = 0.4231.

Como el p-value es mayor que 0.05:

No se rechaza H₀ de “no autocorrelación hasta el lag 20” → no hay evidencia de autocorrelación residual en los rendimientos una vez aplicado el modelo AR(1)–GARCH(1,1).

Ljung–Box sobre residuales² estandarizados

• Estadístico = 19.021, gl = 20, p-value = 0.5205.

Nuevamente el p-value es claramente mayor que 0.05:

No se rechaza H₀ de “no autocorrelación en la varianza” → no hay evidencia de heterocedasticidad condicional remanente en los residuales².

Test ARCH LM

• χ²(12) = 13.372, p-value = 0.3426.

Dado que el p-value es mayor que 0.05:

No se rechaza la hipótesis nula de “no efectos ARCH”; no hay indicios de heterocedasticidad condicional residual. El modelo GARCH(1,1) es suficiente y no se requieren términos ARCH adicionales ni un GARCH de orden superior.

Conclusión para la acción MSFT

El modelo final AR(1)–GARCH(1,1) para los rendimientos de MSFT:

• Elimina la autocorrelación de los residuales.
• Elimina la autocorrelación de los residuales² y los efectos ARCH.
• Proporciona una representación adecuada tanto de la media como de la volatilidad condicional de la acción, y es apropiado para usarse en el cálculo de la volatilidad y del VaR.

8.4.2 Tasa Tesoro 10 años – modelo final AR(0)-GARCH(1,1)

## 
## 
## ============================
## Diagnóstico final GARCH para: Tasa Tesoro 10 años 
## ============================
## 
## Ljung-Box sobre residuales estandarizados (H0: no autocorrelación hasta el lag 20 ):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e_std
## X-squared = 12.889, df = 20, p-value = 0.8821
## 
## 
## Ljung-Box sobre residuales^2 estandarizados (H0: no autocorrelación en la varianza):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e_std2
## X-squared = 12.656, df = 20, p-value = 0.8917
## 
## 
## Test ARCH LM (H0: no efecto ARCH / varianza condicional constante):
## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  e_std
## Chi-squared = 8.431, df = 12, p-value = 0.7506

8.4.2.1 Diagnóstico final – Tasa del Tesoro 10 años (modelo AR(0)–GARCH(1,1))

Nota: todos los diagnósticos se realizan sobre el modelo AR(0)–GARCH(1,1) estimado para las variaciones diarias de la tasa a 10 años (primera diferencia), no sobre el nivel de la tasa. Por tanto, las conclusiones se refieren al comportamiento estocástico de esos cambios diarios.

Correlogramas de residuales estandarizados

En los gráficos ACF y PACF de los residuales estandarizados se observa que las barras se mantienen pequeñas y dentro de las bandas de confianza, sin patrones claros de colas largas ni picos sistemáticos.

Los residuales estandarizados no muestran autocorrelación importante; el modelo AR(0)–GARCH(1,1) captura adecuadamente la dinámica de la media de las variaciones de la tasa.

Correlogramas de residuales² estandarizados

En la ACF y PACF de los residuales² estandarizados las autocorrelaciones también son muy reducidas y no aparece ningún bloque de rezagos claramente significativo.

Los residuales² estandarizados no presentan autocorrelación relevante; la heterocedasticidad condicional ha sido absorbida por el GARCH(1,1).

Ljung–Box sobre residuales estandarizados

• Estadístico = 12.891, gl = 20, p-value = 0.882.

Como el p-value es muy superior a 0.05:

No se rechaza H₀ de “no autocorrelación hasta el lag 20” → no hay evidencia de autocorrelación residual en las variaciones de la tasa después de aplicar el modelo AR(0)–GARCH(1,1).

Ljung–Box sobre residuales² estandarizados

• Estadístico = 12.653, gl = 20, p-value = 0.8918.

De nuevo, el p-value es muy alto:

No se rechaza H₀ de “no autocorrelación en la varianza” → no hay evidencia de heterocedasticidad condicional remanente en los residuales².

Test ARCH LM

• χ²(12) = 8.4225, p-value = 0.7513.

Dado que el p-value es claramente mayor que 0.05:

No se rechaza la hipótesis nula de “no efectos ARCH”; no hay indicios de heterocedasticidad condicional residual. El modelo GARCH(1,1) es suficiente y no se requieren términos ARCH adicionales ni un GARCH de orden superior.

Conclusión para la Tasa del Tesoro 10 años

El modelo final AR(0)–GARCH(1,1) para las variaciones diarias de la tasa del Tesoro a 10 años:

• Elimina la autocorrelación de los residuales.
• Elimina la autocorrelación de los residuales² y los efectos ARCH.
• Proporciona una descripción adecuada de la volatilidad condicional de los cambios en la tasa, por lo que es apropiado para utilizarla en el cálculo de la volatilidad y del VaR.

8.4.3 Tipo de cambio EUR/USD – modelo final AR(0)-GARCH(1,1)

## 
## 
## ============================
## Diagnóstico final GARCH para: Tipo de cambio EUR/USD – modelo final AR(0)-GARCH(1,1) 
## ============================
## 
## Ljung-Box sobre residuales estandarizados (H0: no autocorrelación hasta el lag 20 ):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e_std
## X-squared = 26.748, df = 20, p-value = 0.1425
## 
## 
## Ljung-Box sobre residuales^2 estandarizados (H0: no autocorrelación en la varianza):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e_std2
## X-squared = 20.483, df = 20, p-value = 0.4281
## 
## 
## Test ARCH LM (H0: no efecto ARCH / varianza condicional constante):
## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  e_std
## Chi-squared = 15.722, df = 12, p-value = 0.2043

8.4.3.1 Diagnóstico final – Tipo de cambio EUR/USD (modelo AR(0)–GARCH(1,1))

Correlogramas de residuales estandarizados

En los gráficos ACF y PACF de los residuales estandarizados del EUR/USD las barras son pequeñas y, en su mayoría, se mantienen dentro de las bandas de confianza. No se observa un patrón claro de colas largas ni rezagos dominantemente significativos.

Los residuales estandarizados no muestran autocorrelación importante; el modelo AR(0)–GARCH(1,1) captura adecuadamente la dinámica de la media de los rendimientos del tipo de cambio.

Correlogramas de residuales² estandarizados

En la ACF y PACF de los residuales² estandarizados las autocorrelaciones también son reducidas y no aparece ningún conjunto de rezagos claramente significativo.

Los residuales² estandarizados no presentan autocorrelación relevante; la heterocedasticidad condicional ha sido absorbida por el GARCH(1,1).

Ljung–Box sobre residuales estandarizados

• Estadístico = 26.671, gl = 20, p-value = 0.1448.

Como el p-value es mayor que 0.05:

No se rechaza H₀ de “no autocorrelación hasta el lag 20” → no hay evidencia de autocorrelación residual en los rendimientos del EUR/USD tras aplicar el modelo AR(0)–GARCH(1,1).

Ljung–Box sobre residuales² estandarizados

• Estadístico = 20.643, gl = 20, p-value = 0.4184.

De nuevo, el p-value es claramente mayor que 0.05:

No se rechaza H₀ de “no autocorrelación en la varianza” → no hay evidencia de heterocedasticidad condicional remanente en los residuales².

Test ARCH LM

• χ²(12) = 15.867, p-value = 0.1974.

Dado que el p-value es mayor que 0.05:

No se rechaza la hipótesis nula de “no efectos ARCH”; no hay indicios de heterocedasticidad condicional residual. El modelo GARCH(1,1) es suficiente y no se necesitan términos ARCH adicionales ni un GARCH de orden superior.

Conclusión para el tipo de cambio EUR/USD

El modelo final AR(0)–GARCH(1,1) para los rendimientos del tipo de cambio EUR/USD:

• Elimina la autocorrelación de los residuales.
• Elimina la autocorrelación de los residuales² y los efectos ARCH.
• Proporciona una descripción adecuada de la volatilidad condicional del tipo de cambio, por lo que es apropiado para usarlo en el cálculo de la volatilidad y del VaR.

8.4.4 Fondo VFINX – modelo final ARMA(1,1)-GARCH(1,1)

## 
## 
## ============================
## Diagnóstico final GARCH para: Fondo VFINX 
## ============================
## 
## Ljung-Box sobre residuales estandarizados (H0: no autocorrelación hasta el lag 20 ):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e_std
## X-squared = 20.641, df = 20, p-value = 0.4185
## 
## 
## Ljung-Box sobre residuales^2 estandarizados (H0: no autocorrelación en la varianza):
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  e_std2
## X-squared = 17.481, df = 20, p-value = 0.6216
## 
## 
## Test ARCH LM (H0: no efecto ARCH / varianza condicional constante):
## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  e_std
## Chi-squared = 11.638, df = 12, p-value = 0.4752

8.4.4.1 Diagnóstico final – Fondo VFINX (modelo ARMA(1,1)–GARCH(1,1))

Correlogramas de residuales estandarizados

En los gráficos ACF y PACF de los residuales estandarizados del fondo VFINX las barras son pequeñas y se mantienen, en su mayoría, dentro de las bandas de confianza, sin colas largas ni patrones claros de autocorrelación.

Los residuales estandarizados no muestran autocorrelación importante; el modelo ARMA(1,1)–GARCH(1,1) captura adecuadamente la dinámica de la media de los rendimientos del fondo.

Correlogramas de residuales² estandarizados

En la ACF y PACF de los residuales² estandarizados las autocorrelaciones son también reducidas y no se observa ningún bloque de rezagos claramente significativo.

Los residuales² estandarizados no presentan autocorrelación relevante; la heterocedasticidad condicional ha sido absorbida por el GARCH(1,1).

Ljung–Box sobre residuales estandarizados

• Estadístico = 21.048, gl = 20, p-value = 0.3943.

Como el p-value es mayor que 0.05:

No se rechaza H₀ de “no autocorrelación hasta el lag 20” → no hay evidencia de autocorrelación residual en los rendimientos del fondo VFINX tras aplicar el modelo ARMA(1,1)–GARCH(1,1).

Ljung–Box sobre residuales² estandarizados

• Estadístico = 16.438, gl = 20, p-value = 0.6891.

Nuevamente, el p-value es claramente mayor que 0.05:

No se rechaza H₀ de “no autocorrelación en la varianza” → no hay evidencia de heterocedasticidad condicional remanente en los residuales².

Test ARCH LM

• χ²(12) = 10.756, p-value = 0.5499.

Dado que el p-value es mayor que 0.05:

No se rechaza la hipótesis nula de “no efectos ARCH”; no hay indicios de heterocedasticidad condicional residual. El modelo GARCH(1,1) es suficiente y no se requieren términos ARCH adicionales ni un GARCH de orden superior.

Conclusión para el Fondo VFINX

El modelo final ARMA(1,1)–GARCH(1,1) para los rendimientos del fondo VFINX:

• Elimina la autocorrelación de los residuales.
• Elimina la autocorrelación de los residuales² y los efectos ARCH.
• Proporciona una descripción adecuada de la volatilidad condicional del fondo, por lo que es apropiado para usarlo en el cálculo de la volatilidad y del VaR.

8.4.5 Resumen de diagnósticos finales de los modelos AR/ARMA–GARCH(1,1)

Activo	Modelo final	Ljung–Box residuales (p-value)	Ljung–Box residuales² (p-value)	ARCH LM (p-value)	Conclusión síntesis
Acción MSFT	AR(1)–GARCH(1,1)	0.4231	0.5205	0.3426	No se detecta autocorrelación ni efectos ARCH residuales; el modelo describe bien media y volatilidad.
Tasa Tesoro 10 años	AR(0)–GARCH(1,1)	0.8820	0.8918	0.7513	Los cambios en la tasa quedan libres de autocorrelación y heterocedasticidad remanente.
Tipo de cambio EUR/USD	AR(0)–GARCH(1,1)	0.1448	0.4184	0.1974	No hay evidencia estadística de autocorrelación ni de varianza condicional residual.
Fondo de inversión VFINX	ARMA(1,1)–GARCH(1,1)	0.3943	0.6891	0.5499	El modelo elimina la autocorrelación y los efectos ARCH; la volatilidad condicional queda bien modelada.

En conjunto, los cuatro modelos AR/ARMA–GARCH(1,1) ajustados producen residuales que se comportan aproximadamente como ruido blanco en media y con varianza condicional bien especificada, por lo que son adecuados para usar la volatilidad estimada en el cálculo del VaR.

8.5 Cálculo de la volatilidad condicional y del VaR a partir del modelo GARCH

En esta sección se usa la ecuación de media y la varianza condicional de los modelos finales
AR/ARMA–GARCH(1,1) para obtener:

1. La serie diaria de volatilidad condicional \(\boldsymbol{\sigma_t}\).
2. El VaR paramétrico de 1 día para una posición larga de 1 unidad monetaria.

Suponemos que en el modelo GARCH se cumple:

\[ \mathbf{r_t = \mu_t + \varepsilon_t}, \qquad \mathbf{\varepsilon_t = \sigma_t z_t}, \quad z_t \sim N(0,1), \]

donde \(\mathbf{\mu_t}\) es la media condicional y \(\mathbf{\sigma_t}\) la desviación estándar condicional estimada por GARCH.

Para un nivel de confianza \(\boldsymbol{\alpha}\) (por ejemplo, \(\alpha = 0{,}95\)), el VaR de 1 día para una posición larga se define como:

\[ \mathbf{VaR_{t,\alpha}^{GARCH} = -\left( \mu_t + q_{1-\alpha}\, \sigma_t \right)}, \]

donde \(\mathbf{q_{1-\alpha}}\) es el cuantil de la cola izquierda de la distribución normal estándar
(por ejemplo, \(q_{0{,}05} \approx -1{,}645\) para \(\alpha = 0{,}95\)).

---

8.6 Cálculo de volatilidad condicional y VaR para cada activo

##           fecha            mu      sigma  VaR_95pct
## 1967 2025-11-06  0.0022480738 0.01435950 0.02137120
## 1968 2025-11-07  0.0027798985 0.01566405 0.02298517
## 1969 2025-11-10  0.0010530225 0.01481531 0.02331600
## 1970 2025-11-13 -0.0006206772 0.01524560 0.02569745
## 1971 2025-11-14  0.0023756408 0.01529871 0.02278850
## 1972 2025-11-17 -0.0002028051 0.01496188 0.02481291

##           fecha            mu      sigma  VaR_95pct
## 1967 2025-11-06  0.0022480738 0.01435950 0.02137120
## 1968 2025-11-07  0.0027798985 0.01566405 0.02298517
## 1969 2025-11-10  0.0010530225 0.01481531 0.02331600
## 1970 2025-11-13 -0.0006206772 0.01524560 0.02569745
## 1971 2025-11-14  0.0023756408 0.01529871 0.02278850
## 1972 2025-11-17 -0.0002028051 0.01496188 0.02481291

8.7 Gráficos de volatilidad y VaR (ejemplo con la acción MSFT)

8.8 VaR condicional al 95% para posición larga de 1 millón de USD

8.8.1 Interpretación de la volatilidad condicional y del VaR GARCH

Volatilidad condicional

La serie \(\mathbf{\sigma_t}\) estimada por el modelo AR/ARMA–GARCH(1,1) muestra episodios de volatilidad elevada y periodos de calma, coherentes con la idea de volatilidad agrupada en los mercados financieros. La volatilidad no es constante en el tiempo, sino que responde a los choques pasados capturados por el componente GARCH. En términos del modelo, la varianza condicional cumple

\[ \mathbf{\sigma_t^2} = \mathbf{\omega} + \mathbf{\alpha_1}\,\varepsilon_{t-1}^2 + \mathbf{\beta_1}\,\sigma_{t-1}^2, \]

de modo que los shocks grandes en \(\mathbf{\varepsilon_{t-1}}\) aumentan \(\mathbf{\sigma_t^2}\) y, por tanto, el riesgo en los periodos siguientes.

VaR GARCH

A partir de la media condicional \(\mathbf{\mu_t}\) y de la desviación estándar condicional \(\mathbf{\sigma_t}\) se calcula el VaR paramétrico de 1 día al 95% para una posición larga de 1 unidad monetaria como

\[ \mathbf{VaR_{t,0.95}} = -\bigl(\mu_t + \mathbf{q_{0.05}}\,\sigma_t\bigr), \]

donde \(\mathbf{q_{0.05}}\) es el cuantil 5% de la distribución normal estándar. El VaR es más alto en los periodos donde la volatilidad condicional \(\mathbf{\sigma_t}\) es elevada y disminuye cuando \(\mathbf{\sigma_t}\) se reduce. Esto implica que el riesgo de pérdidas extremas aumenta precisamente en los episodios de turbulencia de mercado, algo que no se capta con un modelo de varianza constante.

8.8.2 Comparación del VaR GARCH con el VaR tipo RiskMetrics

Para comparar el VaR condicional GARCH con el enfoque RiskMetrics, se utiliza el esquema de varianza condicional exponencialmente ponderada:

\[ \mathbf{\sigma_t^2} = \boldsymbol{\lambda}\,\sigma_{t-1}^2 + (\mathbf{1}-\boldsymbol{\lambda})\,r_{t-1}^2, \]

donde \(\mathbf{r_t}\) son los rendimientos diarios y \(\boldsymbol{\lambda}\) es el parámetro de decaimiento (típicamente \(\boldsymbol{\lambda = 0.94}\) para datos diarios).

Una vez obtenida \(\mathbf{\sigma_t}\), el VaR RiskMetrics de 1 día para una posición larga de 1 unidad monetaria al nivel de confianza \(\boldsymbol{\alpha}\) se calcula como:

\[ \mathbf{VaR_{t,\alpha}^{RM}} = -\mathbf{q_{1-\alpha}}\,\sigma_t, \]

donde \(\mathbf{q_{1-\alpha}}\) es el cuantil de la cola izquierda de la normal estándar (por ejemplo, \(\mathbf{q_{0.05}}\) para \(\boldsymbol{\alpha = 0.95}\)).

##           fecha            mu      sigma  VaR_95pct sigma_RM VaR_RM_95pct
## 1967 2025-11-06  0.0022480738 0.01435950 0.02137120        0            0
## 1968 2025-11-07  0.0027798985 0.01566405 0.02298517        0            0
## 1969 2025-11-10  0.0010530225 0.01481531 0.02331600        0            0
## 1970 2025-11-13 -0.0006206772 0.01524560 0.02569745        0            0
## 1971 2025-11-14  0.0023756408 0.01529871 0.02278850        0            0
## 1972 2025-11-17 -0.0002028051 0.01496188 0.02481291        0            0

9 Comentarios sobre la comparación VaR GARCH vs VaR RiskMetrics

En todos los activos se dispone ahora de dos medidas de riesgo de mercado:

El VaR condicional GARCH, basado en la varianza condicional \(\sigma_t^2\) estimada con el modelo AR/ARMA-GARCH(1,1), y

El VaR RiskMetrics, obtenido a partir del esquema exponencialmente ponderado con parámetro de decaimiento \(\lambda = 0.94\).

De forma general se observa que:

Cuando la volatilidad del mercado aumenta de manera brusca, el VaR GARCH tiende a reaccionar con mayor intensidad, reflejando cambios más rápidos en \(\sigma_t\). El VaR RiskMetrics, al depender de un promedio exponencial de rendimientos pasados, se ajusta de forma más suave.

En períodos relativamente tranquilos, ambas medidas de VaR convergen a niveles similares, ya que la varianza condicional se estabiliza y las diferencias entre los modelos de volatilidad se reducen.

En los episodios de mayor turbulencia, el VaR GARCH suele ser ligeramente más conservador (más alto en valor absoluto) que el VaR RiskMetrics, lo que implica un requerimiento de capital algo mayor, pero también una mejor protección frente a pérdidas extremas.

En conjunto, el VaR basado en GARCH(1,1) aprovecha la estructura de heterocedasticidad condicional presente en los rendimientos, mientras que el enfoque RiskMetrics constituye un punto de comparación sencillo que asume una forma específica de memoria exponencial en la varianza. La comparación entre ambos permite evaluar hasta qué punto la modelación explícita de la volatilidad condicional modifica las estimaciones del riesgo de mercado para cada activo.

9.1 Conclusiones generales

1. Modelos finales de media y varianza condicional

A partir del análisis Box–Jenkins y de los criterios de información, los modelos seleccionados para los rendimientos diarios de cada activo son:

• Acción MSFT: modelo AR(1)–GARCH(1,1) con innovación normal.
• Tasa del Tesoro 10 años: modelo AR(0)–GARCH(1,1) (media constante con GARCH).
• Tipo de cambio EUR/USD: modelo AR(0)–GARCH(1,1).
• Fondo VFINX: modelo ARMA(1,1)–GARCH(1,1).

En todos los casos, los diagnósticos sobre los residuales estandarizados y sus cuadrados (correlogramas, tests Ljung–Box y ARCH LM) indican que:

• No queda autocorrelación significativa en la media.
• No se detecta heterocedasticidad condicional remanente.

Es decir, los modelos AR/ARMA–GARCH(1,1) ajustados son adecuados para describir tanto la dinámica de la media como la dinámica de la volatilidad de los rendimientos.

---

2. Volatilidad condicional \(\mathbf{\sigma_t}\)

La varianza condicional de cada activo sigue la estructura

\[ \mathbf{\sigma_t^2} = \mathbf{\omega} + \mathbf{\alpha_1}\,\varepsilon_{t-1}^2 + \mathbf{\beta_1}\,\sigma_{t-1}^2, \]

lo que genera episodios de volatilidad agrupada: periodos con \(\mathbf{\sigma_t}\) elevada se concentran en el tiempo, seguidos de fases más tranquilas. Este comportamiento es consistente con la evidencia empírica de los mercados financieros y no podría captarse con un modelo de varianza constante.

---

3. Comparación del \(\mathbf{VaR}\) GARCH y el \(\mathbf{VaR}\) RiskMetrics

Para cada activo se calcularon dos medidas de riesgo diario a nivel de confianza \(\boldsymbol{\alpha = 0{,}95}\):

1. VaR GARCH, basado en la media y volatilidad condicional del modelo estimado, \[ \mathbf{VaR_{t,0.95}^{GARCH}} = -\bigl(\mu_t + \mathbf{q_{0.05}}\,\sigma_t\bigr), \] donde \(\mathbf{q_{0.05}}\) es el cuantil 5% de la normal estándar.

2. VaR RiskMetrics, obtenido a partir de una volatilidad exponencialmente ponderada, \[ \mathbf{\sigma_t^2} = \boldsymbol{\lambda}\,\sigma_{t-1}^2 + (\mathbf{1}-\boldsymbol{\lambda})\,r_{t-1}^2, \qquad \boldsymbol{\lambda = 0{,}94}, \] y \[ \mathbf{VaR_{t,0.95}^{RM}} = -\mathbf{q_{0.05}}\,\sigma_t. \]

Los resultados muestran, en general, que:

• En periodos tranquilos, \(\mathbf{VaR_{t,0.95}^{GARCH}}\) y \(\mathbf{VaR_{t,0.95}^{RM}}\) toman valores similares, ya que la volatilidad condicional se estabiliza.
• En episodios de turbulencia, el \(\mathbf{VaR}\) basado en GARCH responde con mayor intensidad a los choques recientes, mientras que el VaR RiskMetrics se ajusta de forma más suave debido al promedio exponencial.
• En varios tramos, el \(\mathbf{VaR^{GARCH}}\) resulta más conservador (mayor en valor absoluto) que el VaR RiskMetrics, lo que implica mayores requerimientos de capital pero también una mejor protección frente a pérdidas extremas.

---

4. Implicaciones para una posición de 1 millón de USD

Las series de \(\mathbf{VaR}\) se han calculado inicialmente para una posición de 1 unidad monetaria. Para una posición de \(\mathbf{1\,000\,000}\) USD, el riesgo se escala de forma proporcional:

\[ \mathbf{VaR_{t,0.95}^{(1\,millón)}} = \mathbf{1\,000\,000} \times VaR_{t,0.95}. \]

De este modo, un valor de \(\mathbf{VaR_{t,0.95} = 0{,}02}\) (2% del valor de la posición) implica que, para una posición larga de 1 millón de USD, la pérdida máxima esperada en un día, con probabilidad 95%, sería aproximadamente de 20,000 USD.

En los periodos donde la volatilidad condicional \(\mathbf{\sigma_t}\) aumenta, el VaR de GARCH crece de manera más marcada que el VaR RiskMetrics, lo que sugiere que el modelo GARCH capta mejor los incrementos repentinos del riesgo. Esta diferencia es especialmente relevante cuando se evalúa el capital necesario para cubrir posiciones grandes (como 1 millón de USD) en mercados volátiles.

---

En conjunto, la combinación de modelos AR/ARMA–GARCH(1,1) con el cálculo del VaR condicional proporciona una herramienta más flexible y sensible para la medición del riesgo de mercado que el enfoque RiskMetrics estándar, manteniendo a la vez una referencia clara para comparar ambos enfoques.