中級統計学：復習テスト15

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト14〜20を順に重ねて左上でホチキス止めし，第3回中間試験実施日（12月12日の予定）に提出すること．

1. 母集団分布を \mathrm{Bin}(1,p) とする．母集団から無作為抽出した標本を (X_1,\dots,X_n) とする．

1. 標本和を式で定義しなさい．

2. 標本和の pmf を求めなさい．

3. 標本平均を式で定義しなさい．

4. 標本平均の pmf を求めなさい．

解答例

T:=X_1+\dots+X_n

2. T \sim \mathrm{Bin}(n,p) なので

p_T(t)=\begin{cases} {}_nC_tp^t(1-p)^{n-t} & \text{for $t=0,1,2,\dots,n$} \\ 0 & \text{for $t \ne 0,1,2,\dots,n$} \\ \end{cases}

\bar{X}:=\frac{X_1+\dots+X_n}{n}

\begin{align*} p_{\bar{X}}(x) & := \Pr\left[\bar{X}=x\right] \\ & =\Pr[T=nx] \\ & =p_T(nx) \\ & =\begin{cases} {}_nC_{nx}p^{nx}(1-p)^{n-nx} & \text{for $x=0,1/n,2/n,\dots,1$} \\ 0 & \text{for $x \ne 0,1/n,2/n,\dots,1$} \\ \end{cases} \end{align*}

2. 平均 \mu，分散 \sigma^2 の母集団から無作為抽出した標本を (X_1,\dots,X_n) とする．\mu は既知とする．

1. 標本分散 \hat{\sigma}^2 を式で定義しなさい．

2. \operatorname{E}\left(\hat{\sigma}^2\right)=\sigma^2 となることを示しなさい．

解答例

\hat{\sigma}^2:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2

2. 期待値の線形性より

\begin{align*} \operatorname{E}\left(\hat{\sigma}^2\right) & =\operatorname{E}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\right) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\operatorname{E}\left((X_i-\mu)^2\right) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\operatorname{var}(X_i) \\ & =\sigma^2 \end{align*}

3. 前問と同じ状況を考える．ただし \mu は未知とする．

1. 標本分散 s^2 を式で定義しなさい．

2. \operatorname{E}\left(s^2\right)=\sigma^2 となることを示しなさい．

解答例

s^2:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2

2. 次式を示せばよい．

\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right)=(n-1)\sigma^2

ここで

\begin{align*} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2 & =\sum_{i=1}^n\left[(X_i-\mu)-\left(\bar{X}-\mu\right)\right]^2 \\ & =\sum_{i=1}^n\left[ (X_i-\mu)^2-2(X_i-\mu)\left(\bar{X}-\mu\right)+\left(\bar{X}-\mu\right)^2 \right] \\ & =\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-2\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)\left(\bar{X}-\mu\right) +n\left(\bar{X}-\mu\right)^2 \\ & =\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 -2\left(\sum_{i=1}^nX_i-n\mu\right)\left(\bar{X}-\mu\right) +n\left(\bar{X}-\mu\right)^2 \\ & =\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-2\left(n\bar{X}-n\mu\right)\left(\bar{X}-\mu\right) +n\left(\bar{X}-\mu\right)^2 \\ & =\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-2n\left(\bar{X}-\mu\right)^2 +n\left(\bar{X}-\mu\right)^2 \\ & =\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-n\left(\bar{X}-\mu\right)^2 \end{align*}

期待値をとると

\begin{align*} \operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right) & =\sum_{i=1}^n\operatorname{E}\left((X_i-\mu)^2\right) -n\operatorname{E}\left(\left(\bar{X}-\mu\right)^2\right) \\ & =\sum_{i=1}^n\operatorname{var}(X_i)-n\operatorname{var}\left(\bar{X}\right) \\ & =n\sigma^2-n\frac{\sigma^2}{n} \\ & =(n-1)\sigma^2 \end{align*}