Metodología Box Jenkins

El trabajo final tiene como objetivo aplicar la metodología Box–Jenkins al análisis de diferentes series temporales financieras, con el fin de identificar, estimar y evaluar modelos que describan su comportamiento dinámico. Esta metodología, basada en los modelos ARIMA y sus extensiones, permite analizar la estructura temporal de los datos, verificar su estacionariedad y realizar pronósticos confiables.

Para cumplir este propósito, se seleccionaron cuatro tipos de activos representativos del mercado financiero: una acción (RTX), una moneda (USDCAD), un fondo de inversión (VGTSX) y un índice bursátil (BVSP). En cada caso se analizan los precios, los rendimientos y los rendimientos al cuadrado, se estiman los modelos AR, MA y ARMA, y se evalúa la posible presencia de heterocedasticidad mediante modelos GARCH. Finalmente, se compara la volatilidad obtenida con la metodología de RiskMetrics y se calcula el Valor en Riesgo (VaR) de cada activo.

RTX Corporation

Serie de Precios

Se descargan los datos del activo, en este caso la acción RTX. Vemos la información del cierre del precio de las acciones, de la apertura, del volumen del día, del precio bajo, precio maxímo. Estos datos son de un rango de 5 años.

Rendimientos Logaritmicos

Se toman los precios de cierre de la acción y se le aplica el logaritmo natural para determinar el rendimiento de las acción de un día a otro.

Rendimientos Cuadrados

Finalmente, esta grafica detalla los rendimientos obtenidos de la tabla anterior al cuadrado.

Gráficos de precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado

Gráfica de Precios

La gráfica muestra una caída abrupta al inicio de 2020, seguida por una recuperación gradual y una aceleración sostenida desde mediados de 2023. El comportamiento sugiere sensibilidad a eventos macroeconómicos y una fase de expansión reciente, posiblemente impulsada por factores estructurales o expectativas de mercado.

Rendimientos

Los rendimientos oscilan alrededor de cero, con picos aislados que reflejan eventos de alta volatilidad. La ausencia de tendencia y la dispersión controlada sugieren que la serie es estacionaria y apta para modelado ARMA-GARCH.

Rendimientos Cuadrados

La serie muestra picos aislados de alta varianza, lo que indica presencia de agrupamiento de volatilidad. Este patrón es característico de procesos heterocedásticos y justifica el uso de modelos GARCH para capturar la dinámica de riesgo.

Correlograma Serie de Precios

ACF

La correlación de la serie de precios la correlación ACF que esta directamente relacionada a la p de los modelos, en este caso vemos que todos los rezagos se pueden utilizar.

PACF

Por lo contrario en la serie de precios se ve que solo usando PACF se pueden obtener los valores q para correr los modelos. En este caso los valores q que son pertinentes son el 1 y 16.

Correlograma Rendimientos

ACF

En esta ocasion se mide la correlación de los rendimientos logaritmicos de la acción en este caso se pueden identificar los rezagos para la variable p son el 2, 4, 6, 7, 8, 9.

PACF

Al mismo timepo los rezagos q que se pueden utilizar en los modelos son el 2, 4, 5, 6, 7, y 9.

Correlograma Rendimientos Cuadrados

ACF

En esta ocasion se mide la correlación de los rendimientos al cuadrado de la acción en este caso se pueden identificar que para la variable p son todos los rezagos.

PACF

Al mismo timepo los rezagos q que se pueden utilizar en los modelos son el 1,2,3,4,5,6,7,8, y 9.

Verificación de Normalidad - RTX

Histograma Precios: Este histograma muestra una distribución claramente sesgada hacia la izquierda, lo que indica que hay una mayor concentración de precios en el rango bajo, entre 40 y 100, mientras que los valores más altos son menos frecuentes pero alcanzan hasta 180.

• La curtosis (kurtosis = 0.85) sugiere una distribución más plana que la normal.
• El test de Jarque-Bera (J-B = 254.7, p-val = 0) rechaza la hipótesis nula de normalidad con alta confianza.

En resumen, los precios de cierre no siguen una distribución normal, lo cual es común en series de precios brutos debido a su naturaleza acumulativa y no estacionaria.

Histograma Rendimientos: Aquí la distribución se centra alrededor de cero, como es típico en series de rendimientos, pero presenta una ligera asimetría negativa (skewness = -0.39), lo que indica que los rendimientos negativos son más extremos que los positivos.

• La curtosis es extremadamente alta (12.22), lo que revela colas pesadas y una alta probabilidad de eventos extremos.
• El test de Jarque-Bera (J-B = 9239.93, p-val = 0) rechaza rotundamente la normalidad.

Aunque los rendimientos suelen aproximarse a la normalidad en ciertas condiciones, este resultado sugiere que hay volatilidad significativa y posibles shocks en la serie, lo que justifica el uso de modelos como GARCH para capturar esa dinámica.

Histograma Volatilidad: La distribución de la volatilidad es fuertemente sesgada hacia la izquierda (skewness = 9.41) y con una curtosis extremadamente elevada (111.22), lo que indica una concentración masiva de valores cercanos a cero y una larga cola de eventos de alta volatilidad.

• El test de Jarque-Bera (J-B = 783168.93, p-val = 0) muestra una desviación extrema de la normalidad.

Este comportamiento es típico en medidas de volatilidad, especialmente cuando se derivan de modelos como RiskMetrics o GARCH, donde los valores pequeños son frecuentes pero los picos de volatilidad pueden ser abruptos y significativos. Esta no normalidad es esperada y refuerza la necesidad de modelar la volatilidad con distribuciones más flexibles.

Test de Estacionariedad

Precios: no se puede rechazar la hipótesis nula de que la serie tiene una raíz unitaria, por lo tanto, los precios de cierre no son estacionarios

Rendimientos: Aquí el estadístico ADF es -10.6257 con un valor p de 0.01, lo que permite rechazar la hipótesis nula con alta confianza. Esto indica que la serie de rendimientos es estacionaria, es decir, sus propiedades estadísticas como la media y la varianza se mantienen constantes en el tiempo. Esta es una condición deseable para aplicar modelos de series temporales como ARMA o GARCH, y confirma que los rendimientos son una transformación válida de los precios para análisis dinámico.

Rendimientos Cuadrados: La serie de volatilidad también muestra un estadístico ADF de -6.0459 y un valor p de 0.01, lo que lleva a rechazar la hipótesis nula.

Selección de Serie Estacionaria

Model AR: Este modelo autoregresivo de orden 5 captura la dependencia lineal de los rendimientos actuales con sus cinco rezagos. Observamos que tres de los coeficientes AR son estadísticamente significativos (p < 0.05), lo que indica que hay memoria en la serie. El coeficiente constante no es significativo, lo cual es común en series de rendimientos con media cercana a cero.

El AIC = -7311.06 y BIC = -7273.99 sugieren un buen ajuste, aunque no óptimo comparado con modelos más complejos. Este modelo es útil si se busca una estructura parsimoniosa que capture autocorrelaciones sin incorporar ruido blanco.

Modelo MA: Este modelo de media móvil de orden 5 intenta modelar los choques pasados en la serie. Aquí, dos coeficientes MA son significativos (p < 0.05), lo que indica que los errores pasados tienen influencia en los rendimientos actuales. Sin embargo, hay menos significancia general que en el modelo AR.

El AIC = -7304.93 y BIC = -7267.86 son ligeramente peores que los del modelo AR, lo que sugiere que este modelo, aunque válido, no captura tan bien la estructura de la serie como el AR. Puede ser útil como componente en modelos mixtos, pero por sí solo parece menos eficiente.

Modelo ARMA: Este modelo combina la estructura autoregresiva y de media móvil, y es el más completo de los tres. Aquí se observa una mayor cantidad de coeficientes significativos tanto en los términos AR como MA, lo que indica que la serie tiene tanto memoria como dependencia de los errores pasados.

El AIC = -7357.42 y BIC = -7299.18 son los más bajos entre los tres modelos, lo que sugiere el mejor ajuste. Este modelo es el más robusto para capturar la dinámica de los rendimientos RTX y sería el candidato ideal para avanzar hacia modelos GARCH si se detecta heterocedasticidad.

Diagnóstico de Modelos

Modelo AR:

• Ljung-Box: El estadístico Chi-sq = 86.43 con p < 0.0001 indica que los residuos no son ruido blanco, lo que sugiere que el modelo no captura completamente la estructura de autocorrelación de la serie. Esto puede deberse a una omisión de componentes MA o a una dinámica más compleja.

• ARCH-LM: El estadístico Chi-sq = 419.21 con p < 0.0001 revela heterocedasticidad significativa, lo que implica que la varianza de los residuos no es constante. Esto es típico en series financieras y sugiere que un modelo GARCH sería más adecuado para capturar la volatilidad condicional.

Modelo MA:

• Ljung-Box: El estadístico Chi-sq = 98.66 con p < 0.0001 indica presencia de autocorrelación en los residuos, lo que sugiere que el modelo no logra eliminar la dependencia temporal.

• ARCH-LM: El estadístico Chi-sq = 419.83 con p < 0.0001 confirma heterocedasticidad, igual que en el modelo AR.

Modelo ARMA:

• Ljung-Box: El estadístico Chi-sq = 26.45 con p = 0.1514 indica que no se rechaza la hipótesis de ruido blanco, lo que significa que el modelo sí logra eliminar la autocorrelación en los residuos. Esto es un gran avance respecto a los modelos AR y MA por separado.

• ARCH-LM: El estadístico Chi-sq = 348.17 con p < 0.0001 muestra que persiste la heterocedasticidad, lo que es común en series financieras y abre la puerta al uso de modelos GARCH.

El ARMA(5,4) es el único modelo que genera residuos no autocorrelacionados, lo que lo convierte en la mejor base para modelar la media. Sin embargo, la presencia de heterocedasticidad indica que debe complementarse con un modelo de volatilidad condicional como GARCH o RiskMetrics.

Estimación GARCH

Modelo AR - GARCH: Aunque el componente de media muestra coeficientes AR no significativos, todos con p > 0.3, el término constante mu sí lo es (p ≈ 0.035), lo que indica una leve tendencia positiva en los rendimientos.

En la ecuación de varianza, los coeficientes omega, alpha1 y beta1 son altamente significativos (p < 0.0001), y el parámetro shape indica una distribución t con colas pesadas (shape ≈ 3.3). Esto confirma que el modelo captura adecuadamente la heterocedasticidad. Sin embargo, la falta de significancia en los AR sugiere que la estructura de media podría estar sobreparametrizada.

Modelo MA - GARCH:La ecuación de varianza muestra nuevamente omega, alpha1, beta1 y shape altamente significativos, lo que valida la estructura GARCH. El AIC y BIC son prácticamente idénticos al modelo AR(5)-GARCH(1,1), lo que sugiere que ambos modelos tienen un ajuste similar, aunque la estructura de media sigue sin aportar valor.

Modelo ARMA - GARCH: Este modelo es el más completo, integrando cinco rezagos AR y cuatro MA. Aquí se observa una mejora sustancial: varios coeficientes AR y MA son altamente significativos, con t-statistics extremos (algunos > 100), lo que indica una estructura de media muy bien ajustada.

El término mu es marginalmente significativo (p ≈ 0.0507). La ecuación de varianza mantiene la robustez: omega, alpha1, beta1 y shape son todos significativos. Además, este modelo presenta el AIC más bajo (-5.519613), lo que lo convierte en el mejor candidato en términos de ajuste.

Selección del Mejor Modelo

El modelo ARMA(5,4)-GARCH(1,1) tiene el valor más bajo, lo que indica el mejor balance entre ajuste y parsimonia. Por lo que, el modelo ARMA(5,4)-GARCH(1,1) fue seleccionado por AIC, lo cual es adecuado cuando el objetivo es capturar la mayor cantidad de estructura posible en la serie, especialmente en contextos financieros donde la precisión del ajuste es crítica.

Diagnostico Final mejor Modelo

El gráfico muestra que ningún rezago supera los límites de significancia, lo que indica que los residuos del modelo están libres de autocorrelación. Esto confirma que la estructura ARMA ha capturado adecuadamente la dependencia temporal de los rendimientos. Es una señal clara de que el modelo está bien especificado en su componente de media.

Estas tres pruebas confirman que el modelo ARMA(5,4)-GARCH(1,1) ha logrado eliminar tanto la autocorrelación como la heterocedasticidad en los residuos y en los residuos al cuadrado. Esto es excepcionalmente raro en series financieras, y demuestra que el modelo está bien calibrado y completamente validado.

Calculo de la Volatilidad y VaR

Estos valores indican la pérdida máxima esperada en un día, bajo condiciones normales de mercado, con distintos niveles de confianza. Por ejemplo, con 99% de confianza, se espera que la pérdida no supere los 7,138.84 en un portafolio de $100,000.

Comparación VaR

La comparación entre los modelos GARCH y RiskMetrics aplicada al cálculo de Value at Risk (VaR) para los rendimientos de RTX revela diferencias significativas en la estimación del riesgo. El modelo GARCH, al incorporar volatilidad condicional y una distribución t con colas pesadas, genera valores de VaR más elevados en todos los niveles de confianza (90%, 95% y 99%), lo que indica una mayor sensibilidad ante eventos extremos. Por ejemplo, a un nivel de confianza del 99%, GARCH estima una pérdida máxima de 7,138.84 frente a los $3,903.10 de RiskMetrics, lo que evidencia que este último subestima el riesgo en escenarios de alta volatilidad.

Además, los gráficos de volatilidad muestran que GARCH responde dinámicamente a los shocks del mercado, mientras que RiskMetrics suaviza las variaciones, lo que puede ser útil para estabilidad pero menos preciso en contextos críticos. En conjunto, estos resultados confirman que GARCH es más adecuado para entornos financieros donde la precisión en la medición del riesgo es crucial, mientras que RiskMetrics puede servir como referencia conservadora. Esta comparación no solo valida el modelo seleccionado, sino que también ofrece una narrativa clara para decisiones de gestión de riesgo y enseñanza aplicada.

VGTSX

El VGTSX (Vanguard Total International Stock Index Fund Investor Shares) es un fondo mutuo pasivo que replica el índice FTSE Global All Cap ex US, lo que significa que invierte en una amplia gama de acciones de mercados desarrollados y emergentes fuera de Estados Unidos. Esto incluye empresas grandes, medianas y pequeñas de Europa, Asia, América Latina y África.

El segundo activo es el fondo VGTSX, en este caso junte los tres datos de precio de cierre, rendimiendos logaritmicos, y los rendimientos cuadrados. Se ve en la tabla dinamica como en marzo de 2020 el precio de cierre era 11.8 dolares, mientras que el precio de cierre del 27 de octubre de 2025 es 24.3 dolares, un incremento del 107%.

Gráficos de precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado

Grafico de Precios

Este rendimiento refleja una recuperación global post-pandemia y el fortalecimiento de mercados emergentes. Sin embargo, como fondo internacional, está expuesto a riesgos cambiarios, políticos y de mercado específicos de cada región.

Rendimientos

El gráfico de rendimientos logarítmicos de VGTSX entre 2020 y 2025 muestra una serie centrada en torno a cero, con episodios de alta volatilidad reflejados en picos abruptos tanto positivos como negativos. Estos movimientos sugieren la presencia de agrupamiento de volatilidad y dependencia temporal, características típicas de activos financieros internacionales. La estructura observada justifica el uso de modelos como GARCH para capturar la dinámica de riesgo, especialmente en contextos de incertidumbre global.

Rendimientos Cuadrads

El gráfico de rendimientos cuadrados de VGTSX entre 2020 y 2025 muestra una clara evidencia de agrupamiento de volatilidad: los picos se concentran en ciertos periodos, lo que indica que los episodios de alta varianza no ocurren de forma aislada. Esta estructura sugiere la presencia de heterocedasticidad condicional, lo que valida el uso de modelos GARCH para capturar la dinámica del riesgo en esta serie.

Correlación

Correlograma Serie de Precios

ACF

La serie de precios que refiere al rezago p puede incluir todos los rezagos.

PACF

Por otro lado, para obtener el valor q de la serie de precios solo se podria utilizar el primero y tercer rezago.

Correlograma Rendimientos

ACF

Los rendimientos son la serie de tiempo que se utiliza para hacer el análisis de modelos, en este caso para la variable p se pueden usan los rezagos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, y 9.

PACF

Mientras que la variable q puede tomar los rezagos 1, 2, 6, y 7.

Correlograma Rendimientos Cuadrados

ACF

La variable p en los rendimientos al cuadrado pueden ser todos los rezagos hasta el 13.

PACF

En los rendimientos al cuadrado la variable q puede tomar los rezagos 1,2,3, y 6.

Normalidad

Histograma Precios: La distribución de precios de cierre muestra una forma aproximadamente simétrica, con media y mediana cercanas, 18.83 y 18.91. Un rango de valores entre 11.82 y 24.24.

• La asimetría es casi nula (skewness ≈ -0.10)
• La curtosis cercana a cero (≈ 0.065), lo que sugiere una forma similar a la normal.
• El test de Jarque-Bera arroja un valor bajo (J-B ≈ 2.70) y un p-valor de 0.259, lo que indica que no se rechaza la hipótesis de normalidad.

Aunque los precios brutos no suelen ser estacionarios, esta distribución es útil para entender la concentración de valores y validar transformaciones posteriores.

Histograma Rendimientos: La distribución de rendimientos presenta una fuerte asimetría negativa (skewness ≈ -1.26) y una curtosis muy elevada, la cual esta en 15.70, lo que indica colas pesadas y una alta probabilidad de eventos extremos negativos.

El test de Jarque-Bera tiene un resultado de 15,559.71 y p-val = 0, lo que rechaza rotundamente la normalidad. Este comportamiento es típico en activos financieros, donde los rendimientos no siguen una distribución normal.

Histograma Volatilidad:La distribución de la volatilidad es extremadamente sesgada hacia la izquierda y con una curtosis descomunal de 294.83, lo que indica que la mayoría de los valores son cercanos a cero, pero existen picos de volatilidad muy pronunciados.

El test de Jarque-Bera de 5,405,034 y p-val = 0 confirma una desviación extrema de la normalidad. Este patrón es característico de series de volatilidad condicional, donde los valores pequeños predominan pero los shocks generan explosiones temporales.

Test De Estacionariedad

Serie de Precios: El estadístico ADF de -1.7999 y el valor p de 0.663 indican que no se puede rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria. Esto significa que los precios de cierre no son estacionarios, lo cual es esperable en series de precios brutos que tienden a mostrar tendencias y acumulación de shocks.

Rendimientos: Con un estadístico ADF de -10.8488 y valor p de 0.01, se rechaza la hipótesis nula, lo que confirma que la serie de rendimientos es estacionaria. Esto valida su uso directo en modelos de media como ARMA y en modelos de volatilidad condicional como GARCH, ya que cumple con el requisito fundamental de estabilidad en la media.

Rendimientos Cuadrados: El estadístico ADF de -7.9209 y valor p de 0.01 también permiten rechazar la hipótesis nula, indicando que la serie de volatilidad es estacionaria.

Selección de Serie Estacionaria

Modelo AR: Este modelo incorpora cinco rezagos autoregresivos. Aunque tres de los cinco coeficientes AR no son significativos (p > 0.25), dos sí lo son: uno con p ≈ 0.0237 y otro con p ≈ 0.0067, lo que indica cierta capacidad para capturar dependencia temporal.

Sin embargo, el término constante no es significativo p ≈ 0.58, y el AIC es -9007.08 y BIC es -8970.02 son más altos que los del modelo ARMA, lo que sugiere un ajuste menos eficiente.

Modelo MA: Este modelo se basa en dos rezagos de errores pasados. Ambos coeficientes MA son significativos (p < 0.03), lo que indica que los choques recientes tienen poder explicativo sobre los rendimientos.

El AIC es -9003.85 y BIC es -8982.67 son ligeramente peores que los del modelo AR, lo que sugiere que, aunque parsimonioso, no supera al AR en ajuste. El término constante sigue sin ser significativo.

Modelo ARMA: Este modelo combina tres rezagos AR y dos MA, y todos los coeficientes son altamente significativos (p < 0.001), con t-statistics extremos que indican una estructura de media muy bien ajustada.

El AIC es -9046.29 y BIC es -9009.23 son los más bajos entre los tres modelos, lo que confirma que el ARMA(3,2) ofrece el mejor balance entre ajuste y complejidad.

Diagnóstico de Modelos

Modelo AR: Aunque algunos coeficientes fueron significativos, los residuos presentan autocorrelación de la prueba Ljung-Box p < 0.0001 y heterocedasticidad ARCH-LM p < 0.0001, lo que indica que el modelo no captura adecuadamente la estructura temporal ni la variabilidad condicional. El correlograma confirma rezagos fuera de los límites, invalidando su uso como base para modelado de riesgo.

Modelo MA: Este modelo logra ajustar bien los choques pasados, pero los residuos también muestran autocorrelación y heterocedasticidad, lo que sugiere que la estructura de errores no es suficiente para explicar la dinámica de los rendimientos. El correlograma muestra varios rezagos significativos, lo que compromete su validez como modelo de media.

Modelo ARMA: Este modelo combina componentes AR y MA altamente significativos y logra eliminar la autocorrelación (Ljung-Box p ≈ 0.85), lo que valida su estructura. Aunque persiste la heterocedasticidad, esto es esperable en series financieras y se corrige con GARCH. El correlograma muestra barras dentro de los límites, confirmando que los residuos son ruido blanco.

Estimación GARCH

Modelo GARCH AR: Aunque el componente GARCH es robusto con alpha1 = 0.11, beta1 = 0.83, ambos altamente significativos, los coeficientes AR no aportan valor estadístico: ninguno de los cinco rezagos es significativo (p > 0.15).

Esto sugiere que la estructura autoregresiva no mejora el ajuste de la media, y que el modelo depende casi exclusivamente de la dinámica de volatilidad. El AIC y BIC son los más altos entre los tres modelos, lo que indica menor eficiencia.

Modelo GARCH MA: Este modelo presenta una buena estructura de volatilidad con alpha1 y beta1 significativos, pero los coeficientes MA no son significativos de p ≈ 0.69 y 0.17, lo que debilita su capacidad para capturar los choques pasados. El AIC y BIC son mejores que los del AR(5), pero aún superados por el ARMA.

Modelo GARCH ARMA: Este modelo logra un equilibrio óptimo: todos los coeficientes AR y MA son significativos con p-value < 0.01, lo que indica una estructura de media bien ajustada. La dinámica de volatilidad también es sólida con alpha1 ≈ 0.11, beta1 ≈ 0.83, y el parámetro shape ≈ 6.87 confirma la presencia de colas pesadas. Además, presenta el mejor AIC y BIC entre los tres, lo que lo convierte en el modelo más eficiente y estadísticamente robusto.

Selección del Mejor Modelo

La selección del modelo MA(2)-GARCH(1,1) como el mejor para VGTSX se basa en criterios de información:

• El AIC más bajo (-6.487749) y el BIC más bajo (-6.462572) entre los tres modelos evaluados.

Aunque el modelo ARMA(3,2)-GARCH(1,1) tiene una estructura de media más rica y coeficientes significativos, sus valores de AIC y BIC son ligeramente superiores, lo que penaliza su mayor complejidad. En cambio, el MA(2)-GARCH(1,1) ofrece un equilibrio óptimo entre parsimonia y capacidad explicativa, con una estructura de volatilidad robusta (alpha1 y beta1 altamente significativos) y una distribución con colas pesadas (shape ≈ 6.86), lo que lo convierte en una opción eficiente y estadísticamente válida para modelar el riesgo condicional de VGTSX.

Diagnóstico Final Mejor modelo

El diagnóstico final del modelo MA(2)-GARCH(1,1) para VGTSX confirma su validez estadística: los residuos no presentan autocorrelación con el modelo Ljung-Box p ≈ 0.518, ni heterocedasticidad en los residuos al cuadrado con Ljung-Box p ≈ 0.239, ni efectos ARCH residuales (ARCH-LM p ≈ 0.198).

Esto indica que el modelo ha capturado correctamente tanto la estructura de dependencia temporal como la dinámica de volatilidad condicional. Al superar todas las pruebas de diagnóstico, el modelo queda completamente validado para aplicaciones de pronóstico, estimación de riesgo y análisis didáctico.

Calculo de la Volatilidad y VaR

Los resultados muestran pérdidas máximas esperadas de corto plazo en función del nivel de confianza:

• 90%: VaR = -1.1519% con pérdida máxima: $1,151.92

• 95%: VaR = -1.5439% con pérdida máxima: $1,543.90

• 99%: VaR = -2.4495% con pérdida máxima: $2,449.51

Estos valores implican que, bajo condiciones normales y la volatilidad condicional estimada, en el 99% de los días la pérdida no excede 2.4495% del valor de referencia. La coherencia creciente del VaR con el nivel de confianza sugiere una calibración adecuada del sigma_t y de la distribución de innovaciones.

Comparación VaR

El VaR estimado con GARCH es más conservador en todos los niveles de confianza:

• 90%: −1.1519% vs −0.9107%

• 95%: −1.5439% vs −1.1689%

• 99%: −2.4495% vs −1.6531%

Esto se traduce en pérdidas máximas esperadas más altas, lo que refleja una mejor captura de colas pesadas y agrupamiento de volatilidad. GARCH ajusta dinámicamente la varianza condicional, lo que permite reaccionar ante shocks recientes y evitar subestimaciones en periodos de estrés.

Por lo que se puede ver que el modelo RiskMetrics, basado en volatilidad exponencial, suaviza los cambios y responde más lentamente a eventos extremos.En conclusión el modelo GARCH ofrece una estimación de riesgo más realista y prudente, especialmente útil para gestión activa, cumplimiento regulatorio y enseñanza de modelos de volatilidad condicional. La diferencia entre metodologías se amplifica con el nivel de confianza, lo que refuerza la importancia de elegir modelos que capturen adecuadamente la dinámica del mercado.

USDCAD

Serie De Precios, Rendimientos, Rendimientos Cuadrados

El tercer activo es la moneda USD/CAD, en este caso los tres datos de precio de cierre, rendimientos logaritmicos, y los rendimientos cuadrados. Como es una moneda no hay mucha hay variación entre los precios en toda la serie de tiempo, esta varia entre 1.2 y 1.3.

Gráficos de precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado

Gráfico de Precios

La gráfica muestra una evolución con oscilaciones marcadas, especialmente en 2020 y 2024, lo que sugiere sensibilidad a eventos macroeconómicos. La tendencia general parece lateral, con episodios de apreciación y depreciación que justifican el análisis de rendimientos.

Gráfico de Rendimientos

La serie de rendimientos se centra en torno a cero, con picos abruptos que reflejan alta volatilidad en momentos específicos. Este comportamiento confirma la necesidad de modelar la varianza condicional, ya que los shocks no se distribuyen de forma uniforme.

Gráfico de Rendimients Cuadrados

Los rendimientos al cuadrado evidencian agrupamiento de volatilidad: los picos se concentran en ciertos periodos, lo que indica heterocedasticidad. Este patrón valida el uso de modelos GARCH para capturar la dinámica del riesgo cambiario.

Correlogramas

Como se va a utilizar la serie de rendimientos logarítmicos solo se tiene en cuenta la gráfica ACF y PACF Rendimientos. De aqui podemos obtener los valores p y q de los rezagos, en la p se pueden usar los rezagos 2 y 4, mientras que en la q se podria usar el rezago 2.

Pruebas de Normalidad

Histograma Precios: La distribución de precios muestra una forma aproximadamente simétrica, con media de 18.83 y mediana de 18.91 muy cercanas, y una asimetría casi nula. La curtosis también es cercana a cero, lo que sugiere una forma similar a la normal.

El test de Jarque-Bera es de J-B ≈ 2.70 y p ≈ 0.259, no rechaza la hipótesis de normalidad, lo que indica que los precios brutos no presentan distorsiones extremas. Aunque no son estacionarios por construcción, esta distribución es útil para validar la transformación a rendimientos.

Histograma Rendimientos: La distribución de rendimientos está centrada en cero, con leve asimetría positiva y una curtosis elevada de 4.44, lo que indica colas más pesadas que la normal.

El test de Jarque-Bera resulta enn J-B ≈ 1259.47 y p ≈ 0 lo que rechaza la normalidad, lo que es típico en series financieras. Este comportamiento justifica el uso de distribuciones más flexibles en modelos GARCH, especialmente para estimar riesgo en escenarios extremos.

Histograma Volatilidad: La distribución de la volatilidad es altamente sesgada a la izquierda y con una curtosis extrema de 198.13, lo que indica que la mayoría de los valores son cercanos a cero, pero existen picos muy pronunciados.

El test de Jarque-Bera es J-B ≈ 2,533,628 y p ≈ 0 lo que confirma una desviación radical de la normalidad. Este patrón es característico de series de varianza condicional, y valida el uso de modelos GARCH para capturar explosiones de volatilidad en el mercado cambiario.

Test De Estacionariedad

Serie de Precios: El estadístico ADF de −1.7999 y el valor p de 0.663 indican que no se puede rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria. Esto confirma que la serie de precios no es estacionaria, lo cual es esperable en activos financieros, ya que los precios suelen seguir procesos integrados con tendencia. Para modelar esta serie, es necesario transformarla, típicamente mediante diferenciación.

Rendimientos: Con un estadístico ADF de −11.0903 y valor p de 0.01, se rechaza la hipótesis nula, lo que indica que la serie de rendimientos es estacionaria. Esto valida su uso directo en modelos de media como ARMA y en modelos de volatilidad condicional como GARCH, ya que cumple con el requisito de estabilidad en la media.

Rendimientos Cuadrados: El estadístico ADF de −9.9438 y valor p de 0.01 también permite rechazar la hipótesis nula, lo que indica que la serie de volatilidad es estacionaria.

Selección de Serie Estacionaria

Modelo AR: Este modelo incluye cuatro rezagos autoregresivos, pero solo uno de ellos el AR2 es estadísticamente significativo. Los demás presentan valores p superiores a 0.08, lo que debilita la estructura de media. El término constante tampoco es significativo con un p-value de 0.628. Aunque el AIC es −12270.70 y BIC es −12238.71 son competitivos, la baja significancia general sugiere que el modelo no captura adecuadamente la dinámica de los rendimientos.

Modelo MA: Este modelo incorpora cuatro rezagos de errores pasados. Dos coeficientes MA son cercanos a la significancia con MA1 con p-value de 0.0039 y MA4 con p-value de 0.0668, mientras que los otros dos no lo son. El AIC es −12270.05 y BIC es −12238.06 son similares al AR(4), pero la estructura de media sigue siendo débil. El modelo mejora ligeramente la captura de choques, pero no supera al ARMA en eficiencia

Modelo ARMA: Este modelo logra una estructura más equilibrada: el segundo término AR (AR2) y el segundo MA (MA2) son altamente significativos con p-value < 0.001, y los otros dos están cerca del umbral de p-value de 0.07–0.08. El AIC es −12271.88 y BIC es −12239.89 son los más bajos entre los tres, lo que indica mejor ajuste con menor penalización por complejidad.

Diagnóstico de Modelos

Modelo AR: Aunque uno de los coeficientes AR es significativo en AR2, p-value es 0.0029, los demás no aportan evidencia estadística sólida. Sin embargo, el modelo supera el test de Ljung-Box con p-value de 0.9957, lo que indica que los residuos son ruido blanco. El problema aparece en el test ARCH-LM (p < 0.0001), que revela heterocedasticidad, lo que invalida su uso como modelo final sin corrección de varianza condicional.

Modelo MA: Este modelo presenta un coeficiente MA significativo con MA2, p-value es 0.0039, pero los demás son débiles. Al igual que el AR(4), supera el test de autocorrelación es Ljung-Box con p-value 0.992, pero falla en el test de heterocedasticidad con el test ARCH-LM p-value < 0.0001. El correlograma muestra rezagos dentro de los límites, lo que valida la estructura de media, pero no la de varianza.

Modelo ARMA: Este modelo logra una estructura más equilibrada: AR2 y MA2 son altamente significativos con p-value < 0.001, y los demás están cerca del umbral. El test de Ljung-Box de p-value de 0.9984 confirma que los residuos son ruido blanco, y el correlograma no muestra autocorrelación significativa. Sin embargo, el test ARCH-LM también detecta heterocedasticidad (p < 0.0001), lo que sugiere que debe complementarse con GARCH para capturar la dinámica de volatilidad.

Estimación GARCH

Modelo GARCH AR: Este modelo presenta una estructura de media débil: solo el segundo rezago AR, ar2 es significativo con p-value igual a 0.0406, mientras que los demás no aportan evidencia estadística. Sin embargo, la dinámica de volatilidad es sólida: alpha1 ≈ 0.0506 y beta1 ≈ 0.9395, ambos altamente significativos, lo que indica persistencia en la varianza condicional. El parámetro shape ≈ 6.96 confirma colas pesadas, pero el AIC es −8.1926 y BIC es −8.1612 que son ligeramente superiores al modelo ARMA, lo que penaliza su eficiencia.

Modelo GARCH MA: La estructura MA es más débil aún: solo ma2 es significativo con p-value de 0.0448, mientras que los demás coeficientes no lo son. La varianza condicional sigue siendo robusta con alpha1 igual a 0.0482, beta1 igual a 0.9387, y el parámetro shape ≈ 6.97 indica sensibilidad a eventos extremos. Sin embargo, el AIC es −8.1924 y BIC es −8.1610 son los más altos entre los tres modelos, lo que lo descarta como opción óptima.

Modelo GARCH ARMA: Este modelo logra el mejor balance: ar2 con p-value igual a 0.0031 y ma2 con p-value igual a 0.0094 son altamente significativos, y aunque los demás coeficientes no lo son, la estructura combinada mejora el ajuste. La varianza condicional es igual de robusta con alpha1 ≈ 0.0555, beta1 ≈ 0.9370, y el shape ≈ 6.46 sigue indicando colas pesadas. Además, presenta el AIC más bajo es −8.1935 y el BIC más competitivo −8.1620, lo que lo convierte en el modelo más eficiente.

Selección del Mejor Modelo

La selección del modelo ARMA(2,2)-GARCH(1,1) como el mejor para el tipo de cambio USD/CAD se fundamenta en los criterios de información AIC y BIC, donde este modelo presenta los valores más bajos con un AIC igual a −8.1935 y BIC igual a −8.1620 frente a sus competidores AR(4)-GARCH y MA(4)-GARCH.

Esto indica que logra el mejor equilibrio entre ajuste y parsimonia, penalizando menos la complejidad estructural. Además, este modelo combina una estructura de media significativa con coeficientes AR2 y MA2 con p-value < 0.01, una dinámica de volatilidad robusta con alpha1 igual 0.0555 y beta1 igual 0.9370, y una distribución con colas pesadas, lo que lo convierte en la opción más eficiente y estadísticamente sólida para modelar riesgo cambiario. Es el candidato ideal para estimación de VaR y análisis didáctico.

Diagnóstico Final Mejor modelo

El test de Ljung-Box sobre los residuos arroja un valor p-value igual a 0.9998, lo que indica que no hay autocorrelación remanente. Esto valida la estructura de media del modelo ARMA(2,2), confirmando que los choques pasados han sido correctamente absorbidos.

Tanto el test de Ljung-Box sobre los residuos al cuadrado de p-value igual a 0.0526 como el test ARCH-LM con p-value igual a 0.0529 no rechazan la hipótesis nula, lo que sugiere que no hay heterocedasticidad residual significativa. Esto indica que el componente GARCH(1,1) ha capturado adecuadamente la dinámica de volatilidad condicional.

El modelo supera los tres diagnósticos clave: ruido blanco, homocedasticidad y ausencia de efectos ARCH. Esto lo convierte en una herramienta confiable para estimación de riesgo, pronóstico y análisis didáctico.

Calculo de la Volatilidad y VaR

La volatilidad se estima dinámicamente a través del componente GARCH(1,1), donde el componente alpha1 es igual a 0.0555 captura el impacto de choques recientes. Ademas de beta1 igual a 0.9370 refleja alta persistencia en la varianza condicional. El parámetro shape es 6.46 lo que indica colas pesadas, lo que mejora la sensibilidad ante eventos extremos.

Este enfoque permite que la volatilidad se ajuste en cada periodo según la información más reciente, lo que es esencial para activos con comportamiento no constante como el tipo de cambio.

Nivel de Confianza VaR (%) Pérdida Máxima ($)

• 90%: VaR = −0.3884% con pérdida máxima de $388.36

• 95%: VaR = −0.5221% con pérdida máxima de $522.07

• 99%: VaR = −0.8351% con pérdida máxima de $835.10

Esto significa que, bajo condiciones normales, en el 99% de los días la pérdida no superaría $835.10. El VaR crece con el nivel de confianza, lo que indica una calibración adecuada del modelo.

Comparación VaR

El modelo RiskMetrics, basado en volatilidad exponencial, genera VaR más bajos:

• 90%: −0.2652% → $265.19

• 95%: −0.3404% → $340.36

• 99%: −0.4814% → $481.38

Aunque útil en entornos estables, su suavidad lo hace menos reactivo ante cambios abruptos, lo que puede comprometer la gestión de riesgo en mercados volátiles

El modelo GARCH ofrece una estimación más conservadora y realista del riesgo cambiario, especialmente útil para decisiones de cobertura, cumplimiento regulatorio y enseñanza de modelos de volatilidad condicional. La diferencia entre metodologías se amplifica con el nivel de confianza, lo que refuerza la superioridad de GARCH en escenarios extremos.

BVSP

Serie De Precios, Rendimientos, Rendimientos Cuadrados

El ultimo activo es el indice BVSP, se ve la serie de rendimientos muestra variaciones diarias con picos relevantes, lo que indica sensibilidad a eventos de mercado. Mientras, los valores elevados en fechas específicas evidencian agrupamiento de volatilidad.

Gráficos de precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado

Gráfico de Precios

La trayectoria muestra una recuperación sostenida desde 2020, con ciclos de corrección y repuntes que reflejan sensibilidad macroeconómica. El patrón ascendente reciente sugiere presión alcista, pero no es estacionario, por lo que se requiere trabajar con rendimientos.

Gráfico de Rendimientos

La serie de rendimientos oscila en torno a cero, con picos negativos y positivos que evidencian alta volatilidad en momentos específicos. Este comportamiento valida el uso de modelos ARMA para capturar la dinámica de media.

Gráfico de Rendimientos al Cuadrado

Los picos en los rendimientos al cuadrado confirman agrupamiento de volatilidad, típico de series heterocedásticas. Este patrón justifica el uso de modelos GARCH para representar la varianza condicional del índice.

Correlograma

Solo se tiene en cuenta la serie de rendimiento, para el valor p se utilizan los rezagos 1, 2, 5, 6, y 7. Mientras que para el valor q se utilizan los rezagos 1,2,6, y 7.

Test de Normalidad

Histograma Precios: La distribución de precios muestra una forma ligeramente sesgada a la derecha, con curtosis baja de 0.64, lo que indica una forma más plana que la normal. Aunque la media y mediana son cercanas, el test de Jarque-Bera es 83.11 con p-value igual 0, donde rechaza la normalidad, lo que sugiere que los precios no siguen una distribución gaussiana. Esto refuerza la necesidad de trabajar con rendimientos para garantizar estacionariedad y propiedades estadísticas más estables.

Histograma Rendimientos: La distribución de rendimientos es claramente asimétrica y presenta una curtosis extremadamente alta de 23.23, lo que indica colas muy pesadas. El test de Jarque-Bera de 33,508 con p-value de 0 que confirma una desviación radical de la normalidad. Este comportamiento es típico en activos financieros y justifica el uso de distribuciones t-student o GED en modelos GARCH para capturar adecuadamente el riesgo extremo.

Histograma Volatilidad:La distribución de los rendimientos al cuadrado está fuertemente sesgada a la izquiera y presenta una curtosis extrema de 259.37, con la mayoría de los valores concentrados cerca de cero y picos muy pronunciados. El test de Jarque-Bera de 4,159,858 con p-value de 0 confirma una forma altamente no normal. Este patrón valida el uso de modelos GARCH, ya que refleja agrupamiento de volatilidad y heterocedasticidad en la serie.

Test De Estacionariedad

Serie de Precios: El estadístico ADF de −3.8622 y valor p de 0.0159 permiten rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria, lo que indica que la serie de precios es estacionaria en este caso. Esto es poco común en activos financieros, donde los precios suelen ser no estacionarios. Puede deberse a una transformación previa o a una estructura de tendencia débil. En cualquier caso, se recomienda validar con KPSS o revisar la especificación del modelo.

Rendimientos:Con un estadístico ADF de −9.4329 y valor p de 0.01, se confirma que la serie de rendimientos es claramente estacionaria, lo que valida su uso directo en modelos ARMA. Esta propiedad es esencial para garantizar que los parámetros estimados sean estables y que las inferencias sean válidas.

Rendimientos Cuadrados:El estadístico ADF de −7.9162 y valor p de 0.01 también permite rechazar la hipótesis nula, lo que indica que la serie de volatilidad es estacionaria. Esto es clave para aplicar modelos GARCH, ya que permite modelar la varianza condicional sin necesidad de transformaciones adicionales.

Selección de Serie Estacionaria

Modelo AR: Este modelo presenta una estructura autoregresiva con varios coeficientes significativos: AR1 con p-value < 0.00001, AR2 con p-value ≈ 0.0027 y AR5 con p-value ≈ 0.0472, lo que indica que los rendimientos tienen memoria de corto plazo. El AIC es −8053.61 y BIC es −8016.60 son competitivos, aunque no óptimos.

Modelo MA: Ambos coeficientes MA son altamente significativos con p-value < 0.00001 y p-value ≈ 0.000035, lo que sugiere que los errores pasados explican bien la serie. El AIC es −8054.36 y BIC es −8033.21 son ligeramente mejores que el AR(5)

Modelo ARMA: Este modelo combina cinco rezagos AR y cinco MA, con varios coeficientes altamente significativos (AR3, AR4, AR5, MA3, MA4, MA5). El AIC es −8075.16 y BIC es −8011.73 son los más bajos, lo que indica el mejor ajuste entre los tres.

Diagnóstico de Modelos

Modelo AR: El test de Ljung-Box con p-value < 0.0001 indica que los residuos presentan autocorrelación significativa, lo que sugiere que el modelo no ha capturado completamente la estructura de dependencia temporal. Además, el test ARCH-LM con p-value < 0.0001 revela heterocedasticidad, lo que invalida la suposición de varianza constante. En conjunto, el modelo AR(5) requiere ajustes adicionales, especialmente en la varianza.

Modelo MA:Al igual que el modelo AR, el MA(2) también falla en ambos diagnósticos: autocorrelación de Ljung-Box p-value < 0.0001 y heterocedasticidad. Esto indica que los errores pasados no son suficientes para explicar la dinámica de la serie, y que la varianza cambia con el tiempo. Aunque los coeficientes MA son significativos, el modelo no es adecuado por sí solo.

Modelo ARMA:Este modelo mejora parcialmente la estructura de media, pero aún presenta autocorrelación residual con Ljung-Box p-value de 0.0256 y heterocedasticidad. Aunque el ajuste es superior en términos de AIC/BIC, el diagnóstico confirma que la varianza condicional no es constante, lo que justifica extenderlo con un componente GARCH.

Estimación GARCH

Modelo GARCH AR: La estructura AR es débil ya que ninguno de los cinco rezagos es estadísticamente significativo todos con p-value > 0.08, lo que limita la capacidad del modelo para capturar la dinámica de media.

Sin embargo, el componente GARCH es sólido: - alpha1 ≈ 0.071, beta1 ≈ 0.913 → alta persistencia en la volatilidad

• shape ≈ 9.43 → colas pesadas bien representadas

El AIC es −6.017 y BIC es −5.981 son los más altos entre los tres, lo que penaliza su eficiencia.

Modelo GARCH MA: La estructura MA también es débil: ma1 está cerca del umbral con p-value = 0.086, pero ma2 es completamente insignificante p-value ≈ 0.959. A pesar de esto, el componente GARCH mantiene robustez: - alpha1 ≈ 0.071 - beta1 ≈ 0.912 - shape ≈ 9.43

El AIC es −6.020 y BIC es −5.995 lo que son ligeramente mejores que el modelo AR, pero la estructura de media sigue siendo insuficiente.

Modelo GARCH ARMA: Este modelo presenta una estructura de media altamente significativa ya que todos los coeficientes AR y MA tienen p < 0.001, lo que indica una captura precisa de la dinámica de rendimientos El componente GARCH mantiene consistencia (alpha1 ≈ 0.073, beta1 ≈ 0.911, shape ≈ 9.27) El AIC es −6.021) y BIC es −5.996 lo que indica que son los más bajos.

Selección del Mejor Modelo

La selección del mejor modelo GARCH para el índice BVSP se basa en los criterios de información AIC y BIC, que penalizan la complejidad y premian el ajuste. En este caso, el modelo MA(2)-GARCH(1,1) fue elegido como el más eficiente, con los valores más bajos:

• AIC ≈ −6.0202

• BIC ≈ −5.9948

Diagnóstico Final Mejor modelo

El test de Ljung-Box sobre los residuos con p-value igual a 0.5733, no rechaza la hipótesis nula, lo que indica que no hay autocorrelación remanente. Esto valida la estructura de media del modelo MA(2), confirmando que los choques pasados han sido correctamente absorbidos.

Pero, tanto el test de Ljung-Box sobre los residuos al cuadrado (p ≈ 0.00006) como el test ARCH-LM (p ≈ 0.0013) rechazan la hipótesis nula, lo que indica que persisten efectos ARCH y heterocedasticidad.

Calculo de la Volatilidad y VaR

El modelo GARCH captura adecuadamente la dinámica de varianza con parámetros robustos:

• alpha1 ≈ 0.0712, beta1 ≈ 0.9121 → alta persistencia de volatilidad, típica en mercados emergentes como Brasil.

• shape ≈ 9.43 → distribución leptocúrtica, lo que indica sensibilidad a eventos extremos.

Aunque el modelo supera el test de autocorrelación en residuos, persisten efectos ARCH, lo que sugiere que la volatilidad es agrupada y reactiva, ideal para estimar riesgo.

90%: VaR = −1.1446% con pérdida máxima de $1,144.64 95%: VaR = −1.5147% con pérdida máxima de $1,514.75 99%: VaR = −2.3215% con pérdida máxima de $2,321.52

Comparación VaR

Nivel de Confianza VaR GARCH (%) VaR RiskMetrics (%) Diferencia (%)

• 90% VaR = −1.1446 vs −0.8996 con diferencia de 0.2450

• 95% VaR = −1.5147 vs −1.1546 con diferencia de 0.3601

• 99% VaR = −2.3215 vs −1.6330 con diferencia de 0.6885

El modelo GARCH estima pérdidas más altas en todos los niveles, reflejando mayor sensibilidad a eventos extremos. Lo que significa que el gráfico de volatilidad muestra que RiskMetrics suaviza los picos, mientras que GARCH reacciona con mayor intensidad ante shocks