EJERCICIOS - CAPITULO 6
GRUPO 5
2025-11-18
Punto 6.5
Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que está:
- a la izquierda de z = –1.39;
- a la derecha de z = 1.96;
- entre z = –2.16 y z = – 0.65; d ) a la izquierda de z = 1.43;
- a la derecha de z = – 0.89; f ) entre z = – 0.48 y z = 1.74.
Punto a.
mu <- 0
sigma <- 1
sol_a <- pnorm(q = -1.39, mean = mu, sd = sigma)
cat("a) P(Z < -1.39) = ", sol_a, "\n")## a) P(Z < -1.39) = 0.08226444x_a <- seq(from = -3.5, to = 3.5, by = 0.001)
y_a <- dnorm(x = x_a)
df_a <- data.frame(x_a, y_a)
df_a1 <- subset(df_a, x_a < -1.39)
graf_a <- ggplot(df_a, aes(x = x_a, y = y_a)) +
geom_line(col = "darkblue") +
geom_area(data = df_a1, aes(x = x_a, y = y_a), fill = "darkblue", alpha = 0.5) +
geom_vline(xintercept = -1.39, linetype = 2, col = "red") +
labs(title = "a) P(Z < -1.39)", x = "z", y = "Densidad") +
theme_minimal()
print(graf_a)
Punto b.
sol_b <- pnorm(q = 1.96, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
cat("b) P(Z > 1.96) = ", sol_b, "\n")## b) P(Z > 1.96) = 0.0249979df_b1 <- subset(df_a, x_a > 1.96)
graf_b <- ggplot(df_a, aes(x = x_a, y = y_a)) +
geom_line(col = "brown") +
geom_area(data = df_b1, aes(x = x_a, y = y_a), fill = "brown", alpha = 0.5) +
geom_vline(xintercept = 1.96, linetype = 2, col = "red") +
labs(title = "b) P(Z > 1.96)", x = "z", y = "Densidad") +
theme_minimal()
print(graf_b)
Punto c.
sol_c <- pnorm(q = -0.65, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(q = -2.16, mean = mu, sd = sigma)
cat("c) P(-2.16 < Z < -0.65) = ", sol_c, "\n")## c) P(-2.16 < Z < -0.65) = 0.2424598df_c1 <- subset(df_a, -2.16 < x_a & x_a < -0.65)
graf_c <- ggplot(df_a, aes(x = x_a, y = y_a)) +
geom_line(col = "darkgreen") +
geom_area(data = df_c1, aes(x = x_a, y = y_a), fill = "darkgreen", alpha = 0.5) +
geom_vline(xintercept = c(-2.16, -0.65), linetype = 2, col = "red") +
labs(title = "c) P(-2.16 < Z < -0.65)", x = "z", y = "Densidad") +
theme_minimal()
print(graf_c)
Punto d.
## d) P(Z < 1.43) = 0.9236415df_d1 <- subset(df_a, x_a < 1.43)
graf_d <- ggplot(df_a, aes(x = x_a, y = y_a)) +
geom_line(col = "purple") +
geom_area(data = df_d1, aes(x = x_a, y = y_a), fill = "purple", alpha = 0.5) +
geom_vline(xintercept = 1.43, linetype = 2, col = "red") +
labs(title = "d) P(Z < 1.43)", x = "z", y = "Densidad") +
theme_minimal()
print(graf_d)
Punto e.
sol_e <- pnorm(q = -0.89, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
cat("e) P(Z > -0.89) = ", sol_e, "\n")## e) P(Z > -0.89) = 0.8132671df_e1 <- subset(df_a, x_a > -0.89)
graf_e <- ggplot(df_a, aes(x = x_a, y = y_a)) +
geom_line(col = "orange") +
geom_area(data = df_e1, aes(x = x_a, y = y_a), fill = "orange", alpha = 0.5) +
geom_vline(xintercept = -0.89, linetype = 2, col = "red") +
labs(title = "e) P(Z > -0.89)", x = "z", y = "Densidad") +
theme_minimal()
print(graf_e)
Punto f.
sol_f <- pnorm(q = 1.74, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(q = -0.48, mean = mu, sd = sigma)
cat("f) P(-0.48 < Z < 1.74) = ", sol_f, "\n")## f) P(-0.48 < Z < 1.74) = 0.6434568df_f1 <- subset(df_a, -0.48 < x_a & x_a < 1.74)
graf_f <- ggplot(df_a, aes(x = x_a, y = y_a)) +
geom_line(col = "steelblue") +
geom_area(data = df_f1, aes(x = x_a, y = y_a), fill = "steelblue", alpha = 0.5) +
geom_vline(xintercept = c(-0.48, 1.74), linetype = 2, col = "red") +
labs(title = "f) P(-0.48 < Z < 1.74)", x = "z", y = "Densidad") +
theme_minimal()
print(graf_f)
Punto 6.7
Dada una distribución normal estándar, calcule el valor de k tal que:
- P(Z > k) = 0.2946;
- P(Z < k) = 0.0427;
- P(−0.93 < Z < k) = 0.7235.
Punto a.
mu <- 0
sigma <- 1
k_a <- qnorm(p = 0.2946, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
cat("a) k tal que P(Z > k) = 0.2946: k =", k_a, "\n")## a) k tal que P(Z > k) = 0.2946: k = 0.5399957df_k_a1 <- subset(df_a, x_a > k_a)
graf_k_a <- ggplot(df_a, aes(x = x_a, y = y_a)) +
geom_line(col = "darkred") +
geom_area(data = df_k_a1, aes(x = x_a, y = y_a), fill = "darkred", alpha = 0.5) +
geom_vline(xintercept = k_a, linetype = 2, col = "blue", size = 1) +
geom_text(aes(x = k_a, y = 0.1, label = paste("k =", round(k_a, 4))),
vjust = -1, color = "blue") +
labs(title = "a) P(Z > k) = 0.2946", x = "z", y = "Densidad") +
theme_minimal()## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.## Warning in geom_text(aes(x = k_a, y = 0.1, label = paste("k =", round(k_a, : All aesthetics have length 1, but the data has 7001 rows.
## ℹ Please consider using `annotate()` or provide this layer with data containing
## a single row.
Punto b.
k_b <- qnorm(p = 0.0427, mean = mu, sd = sigma)
cat("b) k tal que P(Z < k) = 0.0427: k =", k_b, "\n")## b) k tal que P(Z < k) = 0.0427: k = -1.720178df_k_b1 <- subset(df_a, x_a < k_b)
graf_k_b <- ggplot(df_a, aes(x = x_a, y = y_a)) +
geom_line(col = "darkgreen") +
geom_area(data = df_k_b1, aes(x = x_a, y = y_a), fill = "darkgreen", alpha = 0.5) +
geom_vline(xintercept = k_b, linetype = 2, col = "blue", size = 1) +
geom_text(aes(x = k_b, y = 0.1, label = paste("k =", round(k_b, 4))),
vjust = -1, color = "blue") +
labs(title = "b) P(Z < k) = 0.0427", x = "z", y = "Densidad") +
theme_minimal()
print(graf_k_b)## Warning in geom_text(aes(x = k_b, y = 0.1, label = paste("k =", round(k_b, : All aesthetics have length 1, but the data has 7001 rows.
## ℹ Please consider using `annotate()` or provide this layer with data containing
## a single row.
Punto c.
prob_izq <- pnorm(-0.93, mean = mu, sd = sigma)
prob_k <- prob_izq + 0.7235
k_c <- qnorm(prob_k, mean = mu, sd = sigma)
cat("c) k tal que P(-0.93 < Z < k) = 0.7235: k =", k_c, "\n")## c) k tal que P(-0.93 < Z < k) = 0.7235: k = 1.279762df_k_c1 <- subset(df_a, -0.93 < x_a & x_a < k_c)
graf_k_c <- ggplot(df_a, aes(x = x_a, y = y_a)) +
geom_line(col = "purple") +
geom_area(data = df_k_c1, aes(x = x_a, y = y_a), fill = "purple", alpha = 0.5) +
geom_vline(xintercept = c(-0.93, k_c), linetype = 2, col = "blue", size = 1) +
geom_text(aes(x = k_c, y = 0.1, label = paste("k =", round(k_c, 4))),
vjust = -1, color = "blue") +
labs(title = "c) P(-0.93 < Z < k) = 0.7235", x = "z", y = "Densidad") +
theme_minimal()
print(graf_k_c)## Warning in geom_text(aes(x = k_c, y = 0.1, label = paste("k =", round(k_c, : All aesthetics have length 1, but the data has 7001 rows.
## ℹ Please consider using `annotate()` or provide this layer with data containing
## a single row.
Punto 6.9
Dada la variable X normalmente distribuida con una media de 18 y una desviación estándar de 2.5, calcule
- P(X < 15);
- el valor de k tal que P(X < k) = 0.2236;
- el valor de k tal que P(X > k) = 0.1814; d ) P(17 < X < 21)
md <- 18
sigma <- 2.5
# a)
sol.a <- pnorm(q = 15, mean = md, sd = sigma)
cat("el valor de p(x<15) es:",sol.a)## el valor de p(x<15) es: 0.1150697#b)
sol.b.z <- qnorm(p = 0.2236)
sol.b.k <- md + sol.b.z * sigma
cat("el valor de ka tal que P(X < k) = 0.2236 es:",sol.b.k)## el valor de ka tal que P(X < k) = 0.2236 es: 16.09977# c)
sol.c.z <- qnorm(p = 1 - 0.1814)
sol.c.k <- md + sol.c.z * sigma
cat("valor de k tal que P(X > k) = 0.1814 es:",sol.c.k)## valor de k tal que P(X > k) = 0.1814 es: 20.27511# d)
sol.d <- pnorm(q = 21, mean = md, sd = sigma) -
pnorm(q = 17, mean = md, sd = sigma)
cat("el valor de P(17 < X < 21) es:",sol.d)## el valor de P(17 < X < 21) es: 0.5403521Punto 6.11
la para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros,
¿qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros?
¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas?
¿por debajo de qué valor obtendremos el 25% más bajo en el llenado de las bebidas?
md <- 200
sigma <- 15
# a)
sol.a <- pnorm(q = 224, mean = md, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
cat("la fraccion de los vaosos que contendrian mas de 224mL es de:",sol.a)## la fraccion de los vaosos que contendrian mas de 224mL es de: 0.05479929# b)
sol.b <- pnorm(q = 209, mean = md, sd = sigma) -
pnorm(q = 191, mean = md, sd = sigma)
cat("la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209mL es de:",sol.b)## la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209mL es de: 0.4514938# c)
p.derrame <- pnorm(q = 230, mean = md, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
vasos <- 1000 * p.derrame
cat("la cantidad de vasos que probablemente se derramen si se usan vasos de 230mL para las siguientes 1000 bebidas es de:",vasos)## la cantidad de vasos que probablemente se derramen si se usan vasos de 230mL para las siguientes 1000 bebidas es de: 22.75013# d)
z.25 <- qnorm(p = 0.25)
sol.d <- md + z.25 * sigma
cat("el valor donde obtendremos el 25% más bajo en el llenado de las bebidas es de:",sol.d)## el valor donde obtendremos el 25% más bajo en el llenado de las bebidas es de: 189.8827Punto 6.13
Un investigador informa que unos ratones a los que primero se les restringen drásticamente sus dietas y después se les enriquecen con vitaminas y proteínas vivirán un promedio de 40 meses. Si suponemos que la vida de tales ratones se distribuye normalmente, con una desviación estándar de 6.3 meses, calcule la probabilidad de que un ratón determinado viva:
más de 32 meses;
menos de 28 meses;
entre 37 y 49 meses.
md <- 40
sigma <- 6.3
# a) P(X > 32)
prob.a <- pnorm(q = 32, mean = md, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
cat("mas de 32 meses es de:",prob.a)## mas de 32 meses es de: 0.8979294# b) P(X < 28)
prob.b <- pnorm(q = 28, mean = md, sd = sigma)
cat("menos de los 28 meses es de:",prob.b)## menos de los 28 meses es de: 0.02840551# c) P(37 < X < 49)
prob.c <- pnorm(q = 49, mean = md, sd = sigma) -
pnorm(q = 37, mean = md, sd = sigma)
cat("entre 37 y 49 meses es de:",prob.c)## entre 37 y 49 meses es de: 0.6064669Punto 6.15
Un abogado viaja todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje sólo de ida es de 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.
¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos \(\tfrac{1}{2}\) hora?
Si la oficina abre a las 9:00 A.M. y él sale diario de su casa a las 8:45 A.M., ¿qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo?
Si sale de su casa a las 8:35 A.M. y el café se sirve en la oficina de 8:50 A.M. a 9:00 A.M., ¿cuál es la probabilidad de que se pierda el café?
Calcule la duración mayor en la que se encuentra el 15% de los viajes más lentos.
Calcule la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos \(\tfrac{1}{2}\) hora.
Punto a.
mu <- 24
sigma <- 3.8
sol.a <- pnorm(q = 30, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
cat("P(X >= 30) =", sol.a)## P(X >= 30) = 0.05717406Punto b.
sol.b <- pnorm(q = 15, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
cat("Probabilidad de llegar tarde =", sol.b)## Probabilidad de llegar tarde = 0.9910679Punto c.
## P(X > 25) = 0.3962144Punto d.
sol.d <- qnorm(p = 0.85, mean = mu, sd = sigma)
cat("Duración mayor del 15% más lento =", sol.d, "minutos")## Duración mayor del 15% más lento = 27.93845 minutosPunto e.
p <- pnorm(q = 30, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)
sol.e <- dbinom(x = 2, size = 3, prob = p)
cat("P(2 de 3 viajes >= 30 min) =", sol.e)## P(2 de 3 viajes >= 30 min) = 0.009245937Punto 6.17
La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años, con una desviación estándar de 2 años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del periodo de garantía. Si estuviera dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿cuánto tiempo de garantía debería ofrecer? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.
mu <- 10
sigma <- 2
sol.g <- qnorm(p = 0.03, mean = mu, sd = sigma)
cat("Garantía en años =", sol.g)## Garantía en años = 6.238413Punto 6.19
Una empresa paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora, con una desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se redondean al centavo más cercano,
¿Qué porcentaje de los trabajadores recibe salarios de entre $13.75 y $16.22 por hora?
¿el 5% de los salarios más altos por hora de los empleados es mayor a qué cantidad?
Punto a.
mu <- 15.90
sigma <- 1.50
sol.a <- pnorm(16.22, mean = mu, sd = sigma) -
pnorm(13.75, mean = mu, sd = sigma)
cat("P(13.75 <= X <= 16.22) =", sol.a)## P(13.75 <= X <= 16.22) = 0.5085852Punto b.
mu <- 15.90
sigma <- 1.50
sol.b <- qnorm(p = 0.95, mean = mu, sd = sigma)
cat("El 5% más alto gana más de =", sol.b)## El 5% más alto gana más de = 18.36728Punto 6.21
La resistencia a la tensión de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se redondean a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado más cercanos.
- ¿Qué proporción de estos componentes excede a 10,150 kilogramos por centímetro cuadrado de resistencia a la tensión?
mu <- 10000
sigma <- 100
a <- pnorm(10175,mean = mu, sd=sigma, lower.tail = FALSE)
cat("La proporción de componenetes que excede a 10150 kilogramos es:",a)## La proporción de componenetes que excede a 10150 kilogramos es: 0.04005916- Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la tensión de entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado, ¿qué proporción de piezas esperaría que se descartara?
b_menor <- pnorm(9775, mu, sigma)
b_mayor <- pnorm(10225, mu, sigma,lower.tail = FALSE)
b_total <- b_menor + b_mayor
cat("La proporción de piezas que se esperaría descartar es:",b_total)## La proporción de piezas que se esperaría descartar es: 0.02444895Punto 6.23
El coeficiente intelectual (CI) de 600 aspirantes a cierta universidad se distribuye aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados con base en éste sin importar sus otras calificaciones? Tome en cuenta que el CI de los aspirantes se redondea al entero más cercano.
mu <- 115
sigma <- 12
n <- 600
valorajustado <- 94.5
rechazo <- pnorm(valorajustado, mean = mu, sd = sigma)
rechazo## [1] 0.04378725## El número de estudiantes rechazados será: 26