Derivada de funciones

Derivada de una función

Una función \(f(x)\) es derivable en un punto \(a\) si existe el límite:

\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

Criterios para la derivada de una función

1. Continuidad en el punto (Condición necesaria pero no suficiente)

La función debe ser continua en el punto donde se quiere calcular la derivada Resueltoos. Si una función no es continua en un punto, entonces no puede ser derivable en ese punto. Sin embargo, la derivabilidad es una propiedad más fuerte que la continuidad Resueltoos, es decir:

Tener cuidado

Derivable → Continua (siempre)

Continua → Derivable (no siempre)

2. Existencia del límite de la derivada

La derivada en un punto “a” se define como el límite: \[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\] Para que la función sea derivable, este límite debe existir y ser finito.

3. Igualdad de derivadas laterales

Para que una función sea derivable en un punto, deben existir las derivadas laterales y estas deben ser iguales, es decir:

##Debe existir la derivada por la izquierda: f’(a⁻) _{h ^-}

##Debe existir la derivada por la derecha: f’(a⁺) _{h ^+}

####Deben coincidir: f’(a⁻) = f’(a⁺) Para que la derivada de \(f\) exista en el punto \(a\), deben coincidir los límites laterales del cociente incremental:

\[\lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \;=\;\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]

Si estos dos límites son iguales, entonces la derivada existe y su valor es:

\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]

4. Ausencia de puntos conflictivos

Las funciones no son derivables cuando tienen un “quiebre” en el punto, o la pendiente de la recta tangente no es finita, o la gráfica parece muy intrincada en las cercanías del punto.

Casos donde NO hay derivabilidad:

Puntos angulosos (picos): Como en f(x) = |x| x = 0

Tangentes verticales: La pendiente no es finita

Discontinuidades: Saltos, discontinuidades removibles, etc.

Para funciones definidas a trozos:

Para estudiar la derivabilidad en el cambio de rama: primero estudiar la continuidad; si es continua, calcular las derivadas laterales; si son finitas y coinciden, la función es derivable en ese punto.

Ejemplo clásico: La función valor absoluto f(x) = |x| es continua en x = 0 pero NO es derivable ahí, porque las derivadas laterales no coinciden f’(0^-) = -1 f’(0^+) = 1

Aplicación: ciencias naturales

Ejemplo: Fotosíntesis (intensidad lumínica)

1.Función

\[I(x) = x e^{-x/10}\]

donde, 𝑥 es la intensidad de luz (en unidades arbitrarias) y 𝐼(𝑥) representa la eficiencia fotosintética.

2.Derivada

\[I'(x) = e^{-x/10} \left( 1 - \frac{x}{10} \right)\]

Importante

La fotosíntesis alcanza su máximo cuando se anula la derivada: \[1 - \frac{x}{10} = 0 \;\Rightarrow\;x = 10.\]

3.Graficar la función \(I(x) = x e^{-x/10}\) y su derivada

Vamos a graficar la función:

\[I(x) = x e^{-x/10}\]

y su derivada:

\[I'(x) = e^{-x/10} \left( 1 - \frac{x}{10} \right)\]

Definir la función I(x)

def I(x): return x * np.exp(-x / 10)

Derivada de I(x)

def dI_dx(x): return np.exp(-x / 10) * (1 - x / 10)

Crear un rango de valores de x

x = np.linspace(0, 50, 500)

Evaluar la función y su derivada

y = I(x) dy = dI_dx(x)

Graficar la función I(x) y su derivada en R

Vamos a graficar:

\[ I(x) = x e^{-x/10} \]

y su derivada:

\[ I'(x) = e^{-x/10} \left(1 - \frac{x}{10}\right) \]

# Cargar ggplot2
library(ggplot2)

# Definir la función y su derivada
I <- function(x) x * exp(-x / 10)
dI_dx <- function(x) exp(-x / 10) * (1 - x / 10)

# Crear un rango de valores de x
x <- seq(0, 50, length.out = 500)
y <- I(x)
dy <- dI_dx(x)

# Crear un data frame
data <- data.frame(
  x = x,
  I = y,
  dI = dy
)

# Graficar usando ggplot2
ggplot(data) +
  geom_line(aes(x = x, y = I, color = "I(x)")) +
  geom_line(aes(x = x, y = dI, color = "I'(x)"), linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = 10, linetype = "dotted", color = "green") +
  labs(
    title = "Función I(x) y su derivada",
    x = "x",
    y = "Valores",
    color = "Funciones" ) +
  scale_color_manual(values = c("blue", "red")) +
  annotate("text", x = 12, y = max(y), label = "Máximo en x=10", color = "green", hjust = 0) +
  theme_minimal()