TRABAJO FINAL/PARCIAL GR

TRABAJO FINAL

El propósito del trabajo es desarrollar y aplicar la metodología Box–Jenkins para analizar series de precios de diferentes activos financieros, con el fin de identificar su estructura temporal, seleccionar los modelos econométricos más adecuados y evaluar su capacidad para medir el riesgo a través del cálculo del VaR. Esto incluye la estimación de modelos AR, MA, ARMA y GARCH, así como la comparación del desempeño del modelo final frente al método estándar de RiskMetrics. En conjunto, el trabajo busca comprender el comportamiento estadístico de los activos, modelar su volatilidad y establecer un marco riguroso para la toma de decisiones financieras basadas en series de tiempo.

En este caso, se iniciará el análisis para la acción elegida:

MICROSOFT : MSFT

Microsoft Corporation es una empresa líder del sector tecnológico global, dedicada al desarrollo de software, servicios en la nube y soluciones empresariales. A nivel financiero, la compañía se caracteriza por su alta capitalización bursátil, elevada liquidez en el mercado accionario y una trayectoria de crecimiento estable, lo que la convierte en un activo de referencia para análisis de riesgo, volatilidad y modelación de series temporales.

##            MSFT.Open MSFT.High MSFT.Low MSFT.Close MSFT.Volume
## 2015-11-02     52.85     53.36    52.62      53.24    30285000
## 2015-11-03     52.93     54.39    52.90      54.15    36596900
## 2015-11-04     54.18     54.88    54.06      54.40    37087800
## 2015-11-05     54.49     54.70    54.00      54.38    31468500
## 2015-11-06     54.09     54.98    53.96      54.92    32851200

Gráfica de precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado

Interpretación de los gráficos

Precios El primer gráfico, correspondiente al precio de cierre de las acciones de MICROSOFT, muestra una tendencia general al alza a lo largo del periodo 2015–2025.Sin embargo, también se observan correcciones temporales o caídas abruptas en determinados momentos (como por ejemplo, a finales del 2021), lo que indica la existencia de episodios de incertidumbre o shocks externos.

Rendimientos El segundo gráfico, que representa los rendimientos diarios, está centrado alrededor de cero, lo cual es un patrón esperado en las series de retornos financieros. Esto significa que, aunque existen ganancias y pérdidas diarias, el rendimiento promedio en el largo plazo tiende a estabilizarse en torno a cero. Además, no se evidencia tendencia, lo que sugiere que los rendimientos son estacionarios.

Rendimientos al cuadrado Finalmente, el tercer gráfico, que muestra los rendimientos al cuadrado, permite analizar la volatilidad o la variabilidad de los rendimientos. En este caso, se evidencia agrupamiento de volatilidad (clusters), evidenciando que los choques de mercado tienden a concentrarse en determinados periodos.

Correlogramas

Interpretación de los gráficos

Correlograma precios

El primer gráfico correspondiente al correlograma de los precios, evidencia valores de autocorrelación altos en muchos rezagos, esto quiere decir, que los valores actuales dependen mucho de los pasados, indicando tendencia, es decir, los precios no son estacionarios.

Correlograma rendimientos

El gráfico de los rendimientos evidencia que los coeficientes de correlación caen rápidamente a cero, demostrando así que los rendimientos actuales no dependen de los pasados. Por tanto, esta gráfica demuestra que los rendimientos son estacionarios.

Correlograma rendimientos al cuadrado

El gráfico de los rendimientos al cuadrado evidencia valores de autocorrelación significativos y positivos, que decrecen con el tiempo, lo cual revela agrupamiento de volatilidad, lo que significa que los periodos de alta volatilidad tienden a seguirse entre sí, y los de baja volatilidad también.

Los gráficos de autocorrelación parcial nos ayudan a determinar el valor óptimo para el rezago p.

Test de normalidad de las series

Prueba de normalidad Shapiro-Wilk - MICROSOFT (MSFT)

Serie	p-value	Interpretación
Precios MSFT	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal
Rendimientos MSFT	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal
Rendimientos² MSFT	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal

De acuerdo con los resultados obtenidos en la prueba de Shapiro-Wilk, las tres series analizadas —precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado de las acciones de MICROSOFT (MSFT)— presentan valores p menores a 0,05. Esto implica el rechazo de la hipótesis nula de normalidad, concluyendo que ninguna de las series sigue una distribución normal con un nivel de confianza del 95%.

La distribución leptocúrtica (de 7.8) de los rendimientos de la acción de MICROSOFT indica que, aunque la mayoría de los rendimientos se concentran cerca de la media, existen eventos extremos más frecuentes de lo esperado a comparación de una distribución normal.

Test de estacionariedad

Una vez evaluada la normalidad de las series, avanzamos hacia el análisis de estacionariedad, elemento fundamental para determinar la viabilidad de los modelos econométricos basados en series de tiempo. Bajo la hipótesis nula (H₀), se asume que la serie tiene raíz unitaria y, por tanto, no es estacionaria, mientras que la hipótesis alternativa (H₁) plantea que la serie no tiene raíz unitaria, por tanto, es estacionaria.

Resultados de la prueba ADF (Dickey-Fuller Aumentada) para las series de Microsoft (MSFT)

Serie	Estadístico ADF	p-value	Decisión / Interpretación
Precios MSFT	-2.5013	0.366081	No rechaza H₀ → Serie no estacionaria
Rendimientos MSFT	-13.9975	0.010000	Rechaza H₀ → Serie estacionaria
Rendimientos² MSFT	-9.2740	0.010000	Rechaza H₀ → Serie estacionaria

En este caso, la hipótesis nula es que la serie tiene raiz unitaria (no estacionaria).

Los resultados del test de Dickey-Fuller aumentado (ADF) evidencian que la serie de precios de Microsoft (MSFT) no es estacionaria, ya que el p-value obtenido es mayor a 0,05, por lo que no se rechaza la hipótesis nula de presencia de raíz unitaria. Esto indica que los precios presentan una tendencia o comportamiento acumulativo en el tiempo, es decir, sus valores actuales dependen de los anteriores y no fluctúan alrededor de una media constante.

En contraste, las series de rendimientos y rendimientos al cuadrado sí resultan estacionarias, pues sus p-values son menores a 0,05, lo que implica el rechazo de la hipótesis nula. Esto significa que estas series presentan media y varianza constantes, y su comportamiento es más estable en el tiempo.

Selección de la serie que cumple con la propiedad de la estacionaridad

Con base en los resultados anteriores, se selecciona la serie de rendimientos, ya que estos son estacionarios.

Estimación de modelos

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  rendimientos_MSFT_num
## Dickey-Fuller = -13.997, Lag order = 13, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

## 📊 Mejor modelo AR(p): AR( 9 ,0,0) con AIC = -13491.99

## 📊 Mejor modelo MA(q): MA(0,0, 10 ) con AIC = -13484.6

## 📊 Mejor modelo ARMA(p,q): ARMA( 4 ,0, 5 ) con AIC = -13493.73

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO AR ---

## Series: rendimientos_MSFT_num 
## ARIMA(9,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2      ar3      ar4    ar5      ar6     ar7      ar8
##       -0.1448  -0.0352  -0.0107  -0.0192  3e-04  -0.0536  0.0412  -0.0817
## s.e.   0.0199   0.0200   0.0200   0.0200  2e-02   0.0200  0.0200   0.0200
##          ar9   mean
##       0.0763  9e-04
## s.e.  0.0199  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0002721:  log likelihood = 6757
## AIC=-13491.99   AICc=-13491.88   BIC=-13427.86
## 
## Training set error measures:
##                         ME       RMSE        MAE MPE MAPE      MASE        ACF1
## Training set -5.179087e-07 0.01646162 0.01158358 NaN  Inf 0.6576129 0.001964885

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO MA ---

## Series: rendimientos_MSFT_num 
## ARIMA(0,0,10) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ma1      ma2      ma3      ma4      ma5      ma6     ma7      ma8
##       -0.1472  -0.0113  -0.0070  -0.0146  -0.0009  -0.0444  0.0439  -0.0843
## s.e.   0.0200   0.0201   0.0199   0.0199   0.0199   0.0201  0.0199   0.0195
##          ma9     ma10   mean
##       0.0866  -0.0443  9e-04
## s.e.  0.0202   0.0200  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0002728:  log likelihood = 6754.3
## AIC=-13484.6   AICc=-13484.47   BIC=-13414.64
## 
## Training set error measures:
##                        ME       RMSE        MAE MPE MAPE      MASE         ACF1
## Training set 1.738017e-06 0.01647939 0.01156612 NaN  Inf 0.6566219 0.0008103124

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO ARMA ---

## Series: rendimientos_MSFT_num 
## ARIMA(4,0,5) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2     ar3     ar4     ma1      ma2      ma3      ma4
##       -1.2604  0.4148  1.3276  0.4948  1.1172  -0.6174  -1.3045  -0.3120
## s.e.   0.1854  0.1421  0.1569  0.1671  0.1846   0.1238   0.1649   0.1491
##          ma5   mean
##       0.1167  9e-04
## s.e.  0.0226  1e-04
## 
## sigma^2 = 0.0002717:  log likelihood = 6757.87
## AIC=-13493.73   AICc=-13493.63   BIC=-13429.61
## 
## Training set error measures:
##                        ME       RMSE       MAE MPE MAPE      MASE         ACF1
## Training set 7.872602e-05 0.01644989 0.0115546 NaN  Inf 0.6559679 -0.000576883

Interpretación

Para determinar los valores p y q del modelo ARMA, se analizó cómo los rendimientos de Microsoft (MSFT) se comportan frente a sus propios datos pasados y los errores de predicción.

El parámetro p representa la parte autorregresiva (AR), que muestra cuántos valores anteriores influyen directamente sobre el valor actual de la serie. Este valor se identifica observando la función de autocorrelación parcial (PACF): cuando deja de mostrar correlaciones significativas después de cierto punto, ese rezago marca el posible valor de p.En nuestro caso, el modelo AR(9) indica que los rendimientos actuales de MSFT dependen de los valores observados en los nueve periodos anteriores.

Por otro lado, el parámetro q corresponde a la parte de promedio móvil (MA), la cual refleja cómo los errores o variaciones inesperadas de periodos anteriores afectan el comportamiento presente. Este se obtiene a partir de la función de autocorrelación (ACF), y, de forma similar, cuando las correlaciones dejan de ser relevantes, se determina el valor de q.En nuestro caso, el modelo MA(10) sugiere que los errores o choques de hasta diez periodos pasados siguen teniendo un efecto sobre los rendimientos actuales. Aunque este modelo logra capturar buena parte de la volatilidad de corto plazo, su AIC ligeramente superior indica un ajuste menos eficiente que los modelos AR y ARMA.

Finalmente, el modelo con el menor AIC fue el ARMA(4,5), que por tanto se considera el más adecuado para representar la dinámica de los rendimientos de MSFT. Este modelo combina la influencia de los valores pasados (AR) y los errores recientes (MA), capturando de forma más equilibrada la dependencia temporal de corto plazo característica de las series financieras.

En este trabajo, además del análisis visual, se estimaron distintos modelos AR, MA y ARMA con diferentes combinaciones de p y q, comparándolos a través del criterio de información de Akaike (AIC). Este indicador permite identificar el modelo con mejor ajuste sin perder simplicidad. Dado que la serie de rendimientos de Microsoft contiene una gran cantidad de datos, se decidió probar hasta 10 rezagos tanto para p como para q, garantizando una búsqueda más completa. Finalmente, el modelo que presentó el menor valor de AIC fue seleccionado como el más adecuado para representar la dinámica de los rendimientos de MSFT.

Test de autocorrelación y heterocedasticidad

Ahora procedemos a evaluar si existen problemas de autocorrelación y heterocedasticidad en los modelos. Para la autocorrelación, el test que se utilizará, será el Ljung-Box, cuya hipótesis nula plantea que no existe autocorrelación entre los residuos. Si el p-value es menor a 0,05, se rechaza la hipótesis nula, indicando que sí hay autocorrelación. En cuanto a la heterocedasticidad, se puede aplicar el test de ARCH, que verifica si la varianza de los errores cambia a lo largo del tiempo. Su hipótesis nula indica que no hay heterocedasticidad; por tanto, un p-value menor a 0,05 sugiere la presencia de varianza no constante (heterocedasticidad) en los residuos.

Resultados de las pruebas de autocorrelación y heterocedasticidad para los modelos estimados

	Modelo	p-value (Ljung-Box)	Interpretación Autocorrelación	p-value (ARCH Test)	Interpretación Heterocedasticidad
Chi-squared	AR (9,0,0)	0.9969	No se rechaza H₀ → No hay autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad
Chi-squared1	MA (0,0,10)	1.0000	No se rechaza H₀ → No hay autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad
Chi-squared2	ARMA (4,0,5)	0.8992	No se rechaza H₀ → No hay autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad

Hipótesis nula del test Ljung-Box: No hay autocorrelación en los residuos. → Si el p-value < 0.05, se rechaza H₀, indicando autocorrelación presente.

Hipótesis nula del test ARCH: No hay heterocedasticidad en los residuos. → Si el p-value < 0.05, se rechaza H₀, indicando heterocedasticidad presente.

Con base en los resultados, se puede observar que en la prueba de autocorrelación, el p value fue mayor al 0.05 en todos los modelos, lo que significa que se acepta la hipotesis nula, por tanto, No hay autocorrelación.

En el test de heterocedasticidad, los resultados mostraron que en los tres casos el p-value del test ARCH fue menor a 0.05, lo que indica que se rechaza la hipótesis nula, demostrando por tanto problemas de heterocedasticidad. En otras palabras, la volatilidad de la serie cambia a lo largo del tiempo. Por esta razón, se considera necesario estimar un modelo GARCH, que permite capturar este tipo de comportamiento al modelar directamente la varianza condicional de los rendimientos.

Estimación de modelos GARCH

## ---- AR(9)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(9,0,0)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu      0.001183    0.000217  5.459683 0.000000
## ar1    -0.103942    0.021694 -4.791302 0.000002
## ar2    -0.048834    0.021820 -2.238014 0.025220
## ar3    -0.024191    0.021570 -1.121493 0.262078
## ar4    -0.007660    0.021473 -0.356718 0.721303
## ar5    -0.015010    0.020997 -0.714840 0.474708
## ar6    -0.021791    0.021114 -1.032055 0.302046
## ar7    -0.001861    0.020837 -0.089332 0.928818
## ar8    -0.039958    0.020841 -1.917312 0.055198
## ar9     0.014453    0.020665  0.699433 0.484282
## omega   0.000011    0.000001 18.876506 0.000000
## alpha1  0.103804    0.008088 12.834059 0.000000
## beta1   0.856052    0.009694 88.304531 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu      0.001183    0.000230  5.142870 0.000000
## ar1    -0.103942    0.020555 -5.056803 0.000000
## ar2    -0.048834    0.022466 -2.173684 0.029729
## ar3    -0.024191    0.021409 -1.129941 0.258501
## ar4    -0.007660    0.022104 -0.346537 0.728939
## ar5    -0.015010    0.020409 -0.735444 0.462069
## ar6    -0.021791    0.021252 -1.025378 0.305185
## ar7    -0.001861    0.021497 -0.086592 0.930996
## ar8    -0.039958    0.019948 -2.003152 0.045161
## ar9     0.014453    0.019457  0.742828 0.457586
## omega   0.000011    0.000001  9.787638 0.000000
## alpha1  0.103804    0.011874  8.741791 0.000000
## beta1   0.856052    0.018060 47.401614 0.000000
## 
## LogLikelihood : 7009.04 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -5.5657
## Bayes        -5.5355
## Shibata      -5.5657
## Hannan-Quinn -5.5547
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                          statistic p-value
## Lag[1]                      0.6488  0.4206
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][26]    4.1522  1.0000
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][44]   10.8896  1.0000
## d.o.f=9
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.00865  0.9259
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]   0.09430  0.9983
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   0.86925  0.9910
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]   0.02533 0.500 2.000  0.8736
## ARCH Lag[5]   0.22437 1.440 1.667  0.9596
## ARCH Lag[7]   0.57619 2.315 1.543  0.9710
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  19.5405
## Individual Statistics:              
## mu     0.10768
## ar1    0.30679
## ar2    0.14224
## ar3    0.11674
## ar4    0.07118
## ar5    0.38084
## ar6    0.08486
## ar7    0.10401
## ar8    0.30257
## ar9    0.25060
## omega  2.25817
## alpha1 0.20822
## beta1  0.28703
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          2.89 3.15 3.69
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias            0.977 0.32864    
## Negative Sign Bias   2.099 0.03589  **
## Positive Sign Bias   1.322 0.18617    
## Joint Effect         7.073 0.06962   *
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     118.8    1.890e-16
## 2    30     136.1    8.416e-16
## 3    40     147.8    1.431e-14
## 4    50     172.9    1.020e-15
## 
## 
## Elapsed time : 0.87707

## 
## ---- MA(10)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(0,0,10)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu      0.001186    0.000210  5.644347 0.000000
## ma1    -0.102810    0.021694 -4.738988 0.000002
## ma2    -0.039589    0.021929 -1.805356 0.071019
## ma3    -0.013628    0.021544 -0.632560 0.527021
## ma4    -0.002730    0.021472 -0.127136 0.898833
## ma5    -0.014099    0.021097 -0.668307 0.503938
## ma6    -0.016725    0.021331 -0.784085 0.432990
## ma7    -0.000083    0.020991 -0.003976 0.996828
## ma8    -0.036749    0.020416 -1.799993 0.071862
## ma9     0.019489    0.021140  0.921912 0.356575
## ma10   -0.017090    0.019492 -0.876782 0.380605
## omega   0.000011    0.000001 18.857421 0.000000
## alpha1  0.103170    0.007976 12.934346 0.000000
## beta1   0.856730    0.009620 89.052859 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu      0.001186    0.000225  5.273526 0.000000
## ma1    -0.102810    0.020599 -4.990919 0.000001
## ma2    -0.039589    0.022799 -1.736469 0.082481
## ma3    -0.013628    0.021679 -0.628618 0.529599
## ma4    -0.002730    0.021129 -0.129199 0.897200
## ma5    -0.014099    0.020093 -0.701727 0.482849
## ma6    -0.016725    0.021282 -0.785895 0.431929
## ma7    -0.000083    0.020934 -0.003987 0.996819
## ma8    -0.036749    0.019727 -1.862940 0.062471
## ma9     0.019489    0.020110  0.969091 0.332500
## ma10   -0.017090    0.018314 -0.933190 0.350722
## omega   0.000011    0.000001  9.737889 0.000000
## alpha1  0.103170    0.011677  8.835534 0.000000
## beta1   0.856730    0.017874 47.932901 0.000000
## 
## LogLikelihood : 7009.133 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -5.5649
## Bayes        -5.5325
## Shibata      -5.5650
## Hannan-Quinn -5.5532
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                          statistic p-value
## Lag[1]                      0.5791  0.4467
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][29]    5.2734  1.0000
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][49]   12.8596  1.0000
## d.o.f=10
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.01118  0.9158
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]   0.08363  0.9987
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   0.82168  0.9925
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]    0.0185 0.500 2.000  0.8918
## ARCH Lag[5]    0.1927 1.440 1.667  0.9672
## ARCH Lag[7]    0.5051 2.315 1.543  0.9779
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  19.424
## Individual Statistics:              
## mu     0.11193
## ma1    0.26495
## ma2    0.09127
## ma3    0.06185
## ma4    0.16478
## ma5    0.47850
## ma6    0.07804
## ma7    0.11061
## ma8    0.40694
## ma9    0.18032
## ma10   0.03316
## omega  2.24909
## alpha1 0.20655
## beta1  0.28346
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          3.08 3.34 3.9
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias            1.004 0.31541    
## Negative Sign Bias   2.105 0.03538  **
## Positive Sign Bias   1.368 0.17138    
## Joint Effect         7.213 0.06540   *
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     115.4    8.029e-16
## 2    30     142.7    5.737e-17
## 3    40     147.0    1.954e-14
## 4    50     171.2    1.850e-15
## 
## 
## Elapsed time : 0.976516

## 
## ---- ARMA(4,5)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(4,0,5)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error     t value Pr(>|t|)
## mu      0.001195    0.000199  6.0015e+00        0
## ar1    -1.278371    0.000991 -1.2903e+03        0
## ar2     0.364986    0.001685  2.1655e+02        0
## ar3     1.061877    0.000996  1.0666e+03        0
## ar4     0.254063    0.001453  1.7490e+02        0
## ma1     1.181284    0.000860  1.3734e+03        0
## ma2    -0.533767    0.000602 -8.8643e+02        0
## ma3    -1.094990    0.000007 -1.6464e+05        0
## ma4    -0.160588    0.001896 -8.4678e+01        0
## ma5     0.048312    0.000464  1.0411e+02        0
## omega   0.000011    0.000001  1.9778e+01        0
## alpha1  0.107147    0.007409  1.4462e+01        0
## beta1   0.851477    0.009800  8.6883e+01        0
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error     t value Pr(>|t|)
## mu      0.001195    0.000216  5.5338e+00        0
## ar1    -1.278371    0.000634 -2.0157e+03        0
## ar2     0.364986    0.002913  1.2528e+02        0
## ar3     1.061877    0.001023  1.0377e+03        0
## ar4     0.254063    0.001593  1.5951e+02        0
## ma1     1.181284    0.001004  1.1769e+03        0
## ma2    -0.533767    0.000813 -6.5638e+02        0
## ma3    -1.094990    0.000006 -1.7187e+05        0
## ma4    -0.160588    0.001403 -1.1445e+02        0
## ma5     0.048312    0.000428  1.1291e+02        0
## omega   0.000011    0.000001  9.9443e+00        0
## alpha1  0.107147    0.011500  9.3170e+00        0
## beta1   0.851477    0.017362  4.9042e+01        0
## 
## LogLikelihood : 7013.988 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -5.5696
## Bayes        -5.5395
## Shibata      -5.5697
## Hannan-Quinn -5.5587
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                          statistic p-value
## Lag[1]                      0.3702  0.5429
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][26]    4.0080  1.0000
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][44]   10.5824  1.0000
## d.o.f=9
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.02721  0.8690
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]   0.12982  0.9968
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   0.85373  0.9915
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]   0.06089 0.500 2.000  0.8051
## ARCH Lag[5]   0.23442 1.440 1.667  0.9572
## ARCH Lag[7]   0.53387 2.315 1.543  0.9752
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  19.6941
## Individual Statistics:              
## mu     0.12139
## ar1    0.07400
## ar2    0.10324
## ar3    0.09283
## ar4    0.08664
## ma1    0.12159
## ma2    0.17636
## ma3    0.14381
## ma4    0.12904
## ma5    0.06752
## omega  2.45585
## alpha1 0.20759
## beta1  0.29959
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          2.89 3.15 3.69
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias           0.6484 0.51680    
## Negative Sign Bias  1.9044 0.05697   *
## Positive Sign Bias  1.1976 0.23120    
## Joint Effect        6.4805 0.09044   *
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     102.7    1.705e-13
## 2    30     121.3    2.964e-13
## 3    40     142.8    9.204e-14
## 4    50     157.5    2.598e-13
## 
## 
## Elapsed time : 1.701792

Selección del mejor modelo

📊 Comparación de los valores AIC para los modelos GARCH estimados (basado en los modelos guardados)

	Modelo	AIC	Interpretación
3	ARMA(4,5)-GARCH(1,1)	-5.569601	Mejor modelo (AIC más bajo)
1	AR(9)-GARCH(1,1)	-5.565665	Menor ajuste relativo
2	MA(10)-GARCH(1,1)	-5.564943	Menor ajuste relativo

El modelo seleccionado fue el ARMA(4,5)-GARCH(1,1), ya que presentó el valor más bajo del criterio AIC, lo que indica que logra un mejor equilibrio entre ajuste y complejidad. Esto significa que el modelo captura de manera más precisa la relación entre los rendimientos actuales y sus valores pasados (a través de los componentes AR y MA), mientras que el término GARCH refleja la presencia de volatilidad condicional, es decir, que los periodos de alta y baja variabilidad tienden a agruparse en el tiempo.

Test de heterocedasticidad y autocorrelación del mejor modelo seleccionado

Resultados de las pruebas aplicadas al modelo ARMA(4,5)-GARCH(1,1)

	Prueba	Estadístico	p-value	Decisión
X-squared	Autocorrelación (Ljung–Box)	2.4247	0.991928	No rechaza H₀: No hay autocorrelación
Chi-squared	Heterocedasticidad (ARCH)	6.9592	0.8603	No rechaza H₀: No hay heterocedasticidad

Al aplicar las pruebas de autocorrelación (Ljung-Box) y heterocedasticidad (ARCH) al mejor modelo, que fue el ARMA(4,5)-GARCH(1,1), se observó que los valores p son mayores a 0.05. Esto indica que no se rechaza la hipótesis nula en ninguno de los dos casos, por lo que no existe evidencia de autocorrelación ni de heterocedasticidad en los residuales. En otras palabras, el modelo logró corregir los problemas presentes en las estimaciones anteriores y ahora los residuales se comportan como ruido blanco. Además, en el correlograma de los residuales estandarizados se aprecia que los rezagos se mantienen dentro de las bandas de confianza, lo que confirma que el modelo está bien especificado.

Cálculo de volatilidad y VaR con modelo ARMA(4,5)-GARCH(1,1)

Para estimar el nivel de riesgo de la acción de Microsoft, se utilizó el modelo ARMA(4,5)-GARCH(1,1), que permite capturar los cambios en la volatilidad a lo largo del tiempo. A partir de este modelo se calculó el Valor en Riesgo (VaR) al 99% de confianza, lo que representa la pérdida máxima esperada bajo condiciones normales de mercado. Los resultados indican que, con una inversión de 100.000 USD, existe solo un 1% de probabilidad de que la pérdida diaria supere el valor obtenido por el VaR, en este caso, de 3.513,67.

Comparación VaR GARCH vs RiskMetrics

Método	VaR (%)	Pérdida Máxima (USD)
VaR GARCH (99%)	3.5137	3513.67
VaR RiskMetrics (99%)	2.7434	2743.35

Al comparar ambos resultados, se observa que el VaR GARCH es más alto que el VaR RiskMetrics. Esto ocurre porque el modelo GARCH(1,1) incorpora la volatilidad condicional, es decir, una volatilidad que cambia con el tiempo, mientras que el método RiskMetrics, asume un factor de decaimiento fijo (λ = 0.94) y una volatilidad suavizada, por lo tanto, tiende a subestimar los resultados.

MONEDA: EUR/COP

##            EURCOP=X.Open EURCOP=X.High EURCOP=X.Low EURCOP=X.Close
## 2015-11-02        3163.3        3163.3       3140.3         3163.3
## 2015-11-03        3140.3        3140.3       3128.6         3140.3
## 2015-11-04        3128.6        3128.6       3008.1         3128.6
## 2015-11-05        3008.1        3034.6       3008.1         3008.1
## 2015-11-06        3034.6        3059.8       3034.6         3034.6
##            EURCOP=X.Volume
## 2015-11-02               0
## 2015-11-03               0
## 2015-11-04               0
## 2015-11-05               0
## 2015-11-06               0

##            EURCOP=X.Close
## 2015-11-02         3163.3
## 2015-11-03         3140.3
## 2015-11-04         3128.6
## 2015-11-05         3008.1
## 2015-11-06         3034.6
## 2015-11-09         3059.8

Gráfica de precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado

Interpretación de los gráficos

Precios El primer gráfico, correspondiente al precio de cierre del tipo de cambio EUR/COP, muestra una tendencia general al alza a lo largo del periodo 2015–2025.Sin embargo, también se observan correcciones temporales o caídas abruptas en determinados momentos, lo que indica la existencia de episodios de incertidumbre o shocks externos.

Rendimientos El segundo gráfico, que representa los rendimientos diarios, está centrado alrededor de cero, lo cual es un patrón esperado en las series de retornos financieros. Esto significa que, aunque existen ganancias y pérdidas diarias, el rendimiento promedio en el largo plazo tiende a estabilizarse en torno a cero. Además, no se evidencia tendencia, lo que sugiere que los rendimientos son estacionarios.

Rendimientos al cuadrado Finalmente, el tercer gráfico, que muestra los rendimientos al cuadrado, permite analizar la volatilidad o la variabilidad de los rendimientos. En este caso, se evidencia agrupamiento de volatilidad (clusters), evidenciando que los choques de mercado tienden a concentrarse en determinados periodos.

Correlogramas

Interpretación de los gráficos

Correlograma precios

El primer gráfico correspondiente al correlograma de los precios, evidencia valores de autocorrelación altos en muchos rezagos, esto quiere decir, que los valores actuales dependen mucho de los pasados, indicando tendencia, es decir, los precios no son estacionarios.

Correlograma rendimientos

El gráfico de los rendimientos evidencia que los coeficientes de correlación caen rápidamente a cero, demostrando así que los rendimientos actuales no dependen de los pasados. Por tanto, esta gráfica demuestra que los rendimientos son estacionarios.

Correlograma rendimientos al cuadrado

El gráfico de los rendimientos al cuadrado evidencia valores de autocorrelación significativos y positivos, que decrecen con el tiempo, lo cual revela agrupamiento de volatilidad, lo que significa que los periodos de alta volatilidad tienden a seguirse entre sí, y los de baja volatilidad también.

Test de normalidad de las series

Prueba de normalidad Shapiro-Wilk - MICROSOFT (MSFT)

Serie	p-value	Interpretación
Precios EUR/COP	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal
Rendimientos EUR/COP	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal
Rendimientos² EUR/COP	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal

De acuerdo con los resultados obtenidos en la prueba de Shapiro-Wilk, las tres series analizadas —precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado del tipo de cambio EURCOP, presentan valores p menores a 0,05. Esto implica el rechazo de la hipótesis nula de normalidad, concluyendo que ninguna de las series sigue una distribución normal con un nivel de confianza del 95%.

En el caso de la distribución de los rendimientos, se evidencia una curtosis de 1,8, y se basa en el cálculo de una curtosis excesiva, (tomando como normal una curtosis= 0), por lo que en este caso, vendría siendo leptocúrtica. Esto quiere decir que presenta un pico más alto que el de una distribución normal (más concentración de valores cerca del promedio) y colas más pesadas, lo que implica que hay más probabilidad de eventos extremos, tanto ganancias como pérdidas grandes a comparación de la normal.

Test de estacionariedad

Resultados de la prueba ADF (Dickey-Fuller Aumentada) para las series del EUR/COP

Serie	Estadístico ADF	p-value	Decisión / Interpretación
Precios EUR/COP	-3.0870	0.118132	No rechaza H₀ → Serie no estacionaria
Rendimientos EUR/COP	-14.1375	0.010000	Rechaza H₀ → Serie estacionaria
Rendimientos² EUR/COP	-10.5115	0.010000	Rechaza H₀ → Serie estacionaria

Lo resultados del Test Dickey-Fuller confirman algo previamente analizado en las gráficas de los correlogramas, en este caso, que la serie de precios es no estacionaria, mientras que la de rendimientos y rendimientos al cuadrado es estacionaria, indicando que para las ultimas dos series, su media y varianza es constante, por tanto, no tienen una tendencia clara hacia arriba o hacia abajo, lo que hace imposible predecir su próximo valor.

Selección de la serie estacionaria

Con base en lo expresado anteriormente, se procede a seleccionar la serie de rendimientos compuestos para poder hacer predicciones válidas y evitar estimaciones falsas.

Estimación de modelos

En este caso, se eligió a los modelos que tuvieran mejor AIC

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  rendimientos_EURCOP_num
## Dickey-Fuller = -14.138, Lag order = 13, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

## 📊 Mejor modelo AR(p): AR( 1 ,0,0) con AIC = -17023.47

## 📊 Mejor modelo MA(q): MA(0,0, 1 ) con AIC = -17023.64

## 📊 Mejor modelo ARMA(p,q): ARMA( 5 ,0, 3 ) con AIC = -17027.09

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO AR ---

## Series: rendimientos_EURCOP_num 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1   mean
##       -0.0352  1e-04
## s.e.   0.0196  2e-04
## 
## sigma^2 = 8.403e-05:  log likelihood = 8514.73
## AIC=-17023.47   AICc=-17023.46   BIC=-17005.88
## 
## Training set error measures:
##                         ME        RMSE         MAE MPE MAPE      MASE
## Training set -2.106058e-07 0.009163041 0.006777261 NaN  Inf 0.6812569
##                       ACF1
## Training set -0.0008968722

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO MA ---

## Series: rendimientos_EURCOP_num 
## ARIMA(0,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ma1   mean
##       -0.0371  1e-04
## s.e.   0.0201  2e-04
## 
## sigma^2 = 8.402e-05:  log likelihood = 8514.82
## AIC=-17023.64   AICc=-17023.63   BIC=-17006.05
## 
## Training set error measures:
##                        ME        RMSE         MAE MPE MAPE      MASE
## Training set 1.028597e-07 0.009162742 0.006777035 NaN  Inf 0.6812342
##                      ACF1
## Training set 0.0009098273

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO ARMA ---

## Series: rendimientos_EURCOP_num 
## ARIMA(5,0,3) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2     ar3     ar4     ar5     ma1      ma2      ma3   mean
##       -0.5572  0.5508  0.8958  0.0528  0.0322  0.5195  -0.6005  -0.9189  2e-04
## s.e.   0.0586  0.0427  0.0594  0.0228  0.0212  0.0554   0.0375   0.0525  0e+00
## 
## sigma^2 = 8.361e-05:  log likelihood = 8523.55
## AIC=-17027.09   AICc=-17027.01   BIC=-16968.46
## 
## Training set error measures:
##                        ME        RMSE         MAE MPE MAPE      MASE
## Training set 4.165719e-05 0.009127904 0.006760265 NaN  Inf 0.6795484
##                      ACF1
## Training set 0.0004761717

Test de autocorrelación y heterocedasticidad

Pruebas de autocorrelación y heterocedasticidad para los modelos de rendimientos del EUR/COP

	Modelo	p-value (Ljung-Box)	Interpretación Autocorrelación	p-value (ARCH Test)	Interpretación Heterocedasticidad
Chi-squared	AR (1,0,0)	0.3106	No se rechaza H₀ → No hay evidencia de autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad
Chi-squared1	MA (0,0,1)	0.3247	No se rechaza H₀ → No hay evidencia de autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad
Chi-squared2	ARMA (5,0,3)	0.9371	No se rechaza H₀ → No hay evidencia de autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad

Tras estimar los modelos AR, MA y ARMA para la serie de rendimientos del EUR/COP, se aplicaron pruebas de diagnóstico sobre los residuos, específicamente los test de Ljung-Box y ARCH-LM, con el fin de evaluar la presencia de autocorrelación y heterocedasticidad.

Los resultados indicaron que, si bien no se evidencia autocorrelación significativa en los residuos, el test de heterocedasticidad (ARCH-LM) arrojó valores p inferiores a 0.05 en todos los casos, lo que lleva a rechazar la hipótesis nula de homocedasticidad. En consecuencia, se confirma que los residuos presentan varianza no constante en el tiempo, es decir, existe heterocedasticidad condicional.

Este resultado implica que la volatilidad de los rendimientos del EUR/COP no es estable, sino que varía a lo largo del tiempo, mostrando períodos de alta y baja volatilidad. En el contexto financiero, este comportamiento es característico de las series de rendimientos, donde los choques o perturbaciones tienden a agruparse en el tiempo (efecto volatility clustering).

Por tanto, los modelos AR, MA y ARMA —que suponen una varianza constante— resultan insuficientes para capturar esta dinámica. Ante ello, se hace necesario implementar un modelo GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), el cual permite modelar la varianza condicional.

Estimación con modelos GARCH

## ---- AR(1)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(1,0,0)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000048    0.000153 -0.31062 0.756091
## ar1    -0.051795    0.020638 -2.50972 0.012083
## omega   0.000002    0.000002  1.58339 0.113332
## alpha1  0.066907    0.009960  6.71757 0.000000
## beta1   0.903859    0.014685 61.55112 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000048    0.000145 -0.32770 0.743141
## ar1    -0.051795    0.020264 -2.55606 0.010586
## omega   0.000002    0.000010  0.24639 0.805381
## alpha1  0.066907    0.028104  2.38069 0.017280
## beta1   0.903859    0.075835 11.91873 0.000000
## 
## LogLikelihood : 8637.923 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.6382
## Bayes        -6.6269
## Shibata      -6.6382
## Hannan-Quinn -6.6341
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.5096  0.4753
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    0.7870  0.8578
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    1.6663  0.8043
## d.o.f=1
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.3291 0.56618
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]    6.3499 0.07433
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]    7.4881 0.16163
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]    0.4234 0.500 2.000  0.5152
## ARCH Lag[5]    0.5164 1.440 1.667  0.8788
## ARCH Lag[7]    0.7433 2.315 1.543  0.9514
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  39.8564
## Individual Statistics:              
## mu     0.07034
## ar1    0.12877
## omega  3.50169
## alpha1 0.11890
## beta1  0.13208
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.28 1.47 1.88
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value     prob sig
## Sign Bias           0.4990 0.617839    
## Negative Sign Bias  0.5622 0.574062    
## Positive Sign Bias  2.5809 0.009909 ***
## Joint Effect        9.8248 0.020115  **
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     62.55    1.517e-06
## 2    30     79.22    1.506e-06
## 3    40     89.00    8.894e-06
## 4    50     93.02    1.503e-04
## 
## 
## Elapsed time : 0.24421

## 
## ---- MA(1)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(0,0,1)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000047    0.000153 -0.31078 0.755967
## ma1    -0.053477    0.020958 -2.55157 0.010724
## omega   0.000002    0.000002  1.57787 0.114595
## alpha1  0.066946    0.009942  6.73337 0.000000
## beta1   0.903768    0.014701 61.47678 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000047    0.000145 -0.32649 0.744051
## ma1    -0.053477    0.020659 -2.58859 0.009637
## omega   0.000002    0.000010  0.24463 0.806740
## alpha1  0.066946    0.027915  2.39820 0.016476
## beta1   0.903768    0.076221 11.85721 0.000000
## 
## LogLikelihood : 8638.026 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.6382
## Bayes        -6.6270
## Shibata      -6.6382
## Hannan-Quinn -6.6342
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.6283  0.4280
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    0.8158  0.8434
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    1.6387  0.8115
## d.o.f=1
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.3331 0.56384
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]    6.3385 0.07479
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]    7.4747 0.16257
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]    0.4293 0.500 2.000  0.5123
## ARCH Lag[5]    0.5214 1.440 1.667  0.8773
## ARCH Lag[7]    0.7448 2.315 1.543  0.9512
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  39.5036
## Individual Statistics:              
## mu     0.07099
## ma1    0.13999
## omega  3.46460
## alpha1 0.11911
## beta1  0.13254
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.28 1.47 1.88
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias           0.1174 0.90656    
## Negative Sign Bias  0.3585 0.71996    
## Positive Sign Bias  2.3916 0.01685  **
## Joint Effect        9.6464 0.02182  **
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     62.04    1.829e-06
## 2    30     76.52    3.698e-06
## 3    40     88.78    9.485e-06
## 4    50     94.33    1.072e-04
## 
## 
## Elapsed time : 0.3244331

## 
## ---- ARMA(5,3)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(5,0,3)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error     t value Pr(>|t|)
## mu      0.000067    0.000050     1.33632 0.181443
## ar1    -0.617426    0.015201   -40.61820 0.000000
## ar2     0.623973    0.015666    39.82913 0.000000
## ar3     0.886736    0.019911    44.53408 0.000000
## ar4     0.041802    0.016544     2.52672 0.011513
## ar5     0.016589    0.018496     0.89686 0.369792
## ma1     0.569586    0.000397  1434.81364 0.000000
## ma2    -0.658193    0.000357 -1845.76436 0.000000
## ma3    -0.893408    0.000386 -2313.11684 0.000000
## omega   0.000003    0.000002     1.15601 0.247675
## alpha1  0.068436    0.009180     7.45501 0.000000
## beta1   0.899841    0.016573    54.29579 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
## mu      0.000067    0.000139    0.48204 0.629777
## ar1    -0.617426    0.044243  -13.95536 0.000000
## ar2     0.623973    0.062372   10.00402 0.000000
## ar3     0.886736    0.021333   41.56673 0.000000
## ar4     0.041802    0.058491    0.71467 0.474812
## ar5     0.016589    0.036269    0.45738 0.647396
## ma1     0.569586    0.000870  654.82809 0.000000
## ma2    -0.658193    0.000836 -786.86269 0.000000
## ma3    -0.893408    0.000904 -987.97651 0.000000
## omega   0.000003    0.000020    0.12995 0.896605
## alpha1  0.068436    0.014536    4.70805 0.000003
## beta1   0.899841    0.124611    7.22119 0.000000
## 
## LogLikelihood : 8643.064 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.6367
## Bayes        -6.6097
## Shibata      -6.6368
## Hannan-Quinn -6.6269
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                          statistic p-value
## Lag[1]                       0.282  0.5954
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][23]     6.377  1.0000
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][39]    12.309  0.9960
## d.o.f=8
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.2546  0.6139
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]    4.6894  0.1797
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]    6.1828  0.2777
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]    0.1917 0.500 2.000  0.6615
## ARCH Lag[5]    0.2223 1.440 1.667  0.9601
## ARCH Lag[7]    1.0400 2.315 1.543  0.9070
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  24.9929
## Individual Statistics:              
## mu     0.26542
## ar1    0.14145
## ar2    0.11265
## ar3    0.04188
## ar4    0.09169
## ar5    0.08368
## ma1    0.05786
## ma2    0.06639
## ma3    0.02333
## omega  2.07439
## alpha1 0.13065
## beta1  0.14754
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          2.69 2.96 3.51
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias          0.04813 0.96162    
## Negative Sign Bias 0.52073 0.60260    
## Positive Sign Bias 2.16842 0.03022  **
## Joint Effect       9.02803 0.02892  **
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     54.59    2.689e-05
## 2    30     70.48    2.609e-05
## 3    40     73.59    6.737e-04
## 4    50     87.72    5.669e-04
## 
## 
## Elapsed time : 1.032631

Selección del mejor modelo

Comparación de los valores AIC para los modelos GARCH estimados sobre los rendimientos del EUR/COP

	Modelo	AIC	Interpretación
2	MA(1)-GARCH(1,1)	-6.638236	Mejor modelo (AIC más bajo)
1	AR(1)-GARCH(1,1)	-6.638157	Menor ajuste relativo
3	ARMA(5,3)-GARCH(1,1)	-6.636727	Menor ajuste relativo

Con base en los resultados de la tabla, se establece como mejor modelo el MA(1) GARCH (1,1), ya que tiene el AIC más bajo.

Test de heterocedasticidad y correlogramas para el mejor modelo

Resultados de los tests aplicados al modelo MA(1)-GARCH(1,1) para los rendimientos del EUR/COP

	Prueba	Estadístico	p-value	Decisión
X-squared	Autocorrelación (Ljung–Box)	8.5555	0.574742	No rechaza H₀ → No hay autocorrelación
Chi-squared	Heterocedasticidad (ARCH)	16.7816	0.158001	No rechaza H₀ → No hay heterocedasticidad

Al aplicar las pruebas de autocorrelación (Ljung-Box) y heterocedasticidad (ARCH) al mejor modelo, que fue el MA(1) GARCH (1,1), se observó que los valores p son mayores a 0.05. Esto indica que no se rechaza la hipótesis nula en ninguno de los dos casos, por lo que no existe evidencia de autocorrelación ni de heterocedasticidad en los residuales. En otras palabras, el modelo logró corregir los problemas presentes en las estimaciones anteriores y ahora los residuales se comportan como ruido blanco. Además, en el correlograma de los residuales estandarizados se aprecia que los rezagos se mantienen dentro de las bandas de confianza, lo que confirma que el modelo está bien especificado.

Cálculo de volatilidad y VaR con modelo MA(1,1)-GARCH(1,1)

Para estimar el nivel de riesgo del tipo de cambio EUR/COP, se utilizó el modelo MA(1)-GARCH(1,1), que permite capturar los cambios en la volatilidad a lo largo del tiempo. A partir de este modelo se calculó el Valor en Riesgo (VaR) al 99% de confianza, lo que representa la pérdida máxima esperada bajo condiciones normales de mercado. Los resultados indican que, con una inversión de 100.000 USD, existe solo un 1% de probabilidad de que la pérdida diaria supere el valor obtenido por el VaR, en este caso, de 1.750.31.

Comparación VaR GARCH vs RiskMetrics

Comparación del VaR calculado mediante GARCH y RiskMetrics para los rendimientos del EUR/COP (nivel de confianza 99%)

Método	VaR (%)	Pérdida Máxima (USD)
VaR GARCH (modelo MA(1)-GARCH(1,1))	1.7503	1750.31
VaR RiskMetrics (λ = 0.94)	1.5052	1505.25

Al comparar ambos resultados, se observa que el VaR GARCH es más alto que el VaR RiskMetrics. Esto ocurre porque el modelo GARCH(1,1) incorpora la volatilidad condicional, es decir, una volatilidad que cambia con el tiempo, mientras que el método RiskMetrics, asume un factor de decaimiento fijo (λ = 0.94) y una volatilidad suavizada, por lo tanto, tiende a subestimar los resultados.

RENTA FIJA : BONO ALEMÁN

En este caso, debido a que no se pudo obtener la serie de precios del bono alemán, se trabajó con la serie de rendimientos, por tanto, se pueden presentar algunas divergencias importantes en las interpretaciones del VaR, debido a que se usó una segunda diferencia al momento de calcular los rendimientos compuestos.

Correlogramas

acf(bono, main = "Correlograma (ACF) de la tasa del bono alemán")

pacf(bono, main = "Correlograma parcial (PACF) de la tasa del bono alemán")

acf(rendimientos_DE10Y, main = "Correlograma (ACF) de los cambios diarios en el bono alemán")

pacf(rendimientos_DE10Y, main = "Correlograma parcial (PACF) de los cambios diarios en el bono alemán")

acf(rendimientos2_DE10Y, main = "Correlograma (ACF) de los cambios al cuadrado diarios en el bono alemán")

pacf(rendimientos2_DE10Y, main = "Correlograma parcial (PACF) de los cambios al cuadrado diarios en el bono alemán")

Interpretación de los gráficos

Correlograma precios

El primer gráfico correspondiente al correlograma de los niveles de tasa, evidencia valores de autocorrelación altos en muchos rezagos, esto quiere decir, que los valores actuales dependen mucho de los pasados, indicando tendencia, es decir, los precios no son estacionarios.

Correlograma rendimientos

El gráfico de los rendimientos evidencia que los coeficientes de correlación caen rápidamente a cero, demostrando así que los rendimientos actuales no dependen de los pasados. Por tanto, esta gráfica demuestra que los rendimientos son estacionarios.

Correlograma rendimientos al cuadrado

El gráfico de los rendimientos al cuadrado evidencia valores de autocorrelación significativos y positivos, que decrecen con el tiempo, lo cual revela agrupamiento de volatilidad, lo que significa que los periodos de alta volatilidad tienden a seguirse entre sí, y los de baja volatilidad también.

Test de normalidad de las series

Prueba de normalidad Shapiro-Wilk - MICROSOFT (MSFT)

Serie	p-value	Interpretación
Niveles de tasa del bono alemán	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal
Cambios en los niveles de tasa del bono alemán	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal
Cambios al cuadrado en los niveles de tasa del bono alemán	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal

De acuerdo con los resultados obtenidos en la prueba de Shapiro-Wilk, las tres series analizadas —precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado del bono alemán, presentan valores p menores a 0,05. Esto implica el rechazo de la hipótesis nula de normalidad, concluyendo que ninguna de las series sigue una distribución normal con un nivel de confianza del 95%.

En el caso de la distribución de los rendimientos, se evidencia una curtosis de 4.72, y se basa en el cálculo de una curtosis excesiva, (tomando como normal una curtosis= 0), por lo que en este caso, vendría siendo leptocúrtica. Esto quiere decir que presenta un pico más alto que el de una distribución normal (más concentración de valores cerca del promedio) y colas más pesadas, lo que implica que hay más probabilidad de eventos extremos, tanto ganancias como pérdidas grandes a comparación de la normal.

Test de estacionariedad

Resultados de la prueba ADF (Dickey-Fuller Aumentada) para las tasas del bono alemán (DE10Y)

Serie	Estadístico ADF	p-value	Decisión / Interpretación
Tasa del bono alemán (DE10Y)	-1.7591	0.680297	No rechaza H₀ → Serie no estacionaria
Cambios absolutos en la tasa (ΔTasa)	-14.3407	0.010000	Rechaza H₀ → Serie estacionaria
Cambios absolutos al cuadrado (ΔTasa²)	-9.5470	0.010000	Rechaza H₀ → Serie estacionaria

En este caso, la hipótesis nula es que la serie tiene raiz unitaria (no estacionaria).

Los resultados del test de Dickey-Fuller aumentado (ADF) evidencian que la serie de niveles de tasa del bono alemán es no estacionaria, ya que el p-value obtenido es mayor a 0,05, por lo que se acepta la hipótesis nula de presencia de raíz unitaria. Esto indica que los noveles de tasa presentan una tendencia o comportamiento acumulativo en el tiempo, es decir, sus valores actuales dependen de los anteriores y no fluctúan alrededor de una media constante.

En contraste, las series de rendimientos y rendimientos al cuadrado sí resultan estacionarias, pues sus p-values son menores a 0,05, lo que implica el rechazo de la hipótesis nula. Esto significa que estas series presentan media y varianza constantes, y su comportamiento es más estable en el tiempo.

Selección de la serie que cumple con la propiedad de la estacionaridad

Con base en los resultados anteriores, se selecciona la serie de rendimientos, ya que estos son estacionarios.

Estimación de modelos

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  rendimientos_DE10Y_num
## Dickey-Fuller = -14.341, Lag order = 13, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

## 📊 Mejor modelo AR(p): AR( 1 ,0,0) con AIC = -9280.555

## 📊 Mejor modelo MA(q): MA(0,0, 1 ) con AIC = -9280.51

## 📊 Mejor modelo ARMA(p,q): ARMA( 1 ,0, 1 ) con AIC = -9280.505

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO AR ---

## Series: rendimientos_DE10Y_num 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1   mean
##       -0.0180  8e-04
## s.e.   0.0192  8e-04
## 
## sigma^2 = 0.001928:  log likelihood = 4643.28
## AIC=-9280.55   AICc=-9280.55   BIC=-9262.83
## 
## Training set error measures:
##                        ME       RMSE        MAE MPE MAPE      MASE         ACF1
## Training set 1.671442e-06 0.04389188 0.03077932 NaN  Inf 0.6844525 0.0004786814

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO MA ---

## Series: rendimientos_DE10Y_num 
## ARIMA(0,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ma1   mean
##       -0.0171  8e-04
## s.e.   0.0187  8e-04
## 
## sigma^2 = 0.001928:  log likelihood = 4643.25
## AIC=-9280.51   AICc=-9280.5   BIC=-9262.78
## 
## Training set error measures:
##                        ME       RMSE        MAE MPE MAPE      MASE
## Training set 4.230147e-08 0.04389224 0.03077983 NaN  Inf 0.6844639
##                       ACF1
## Training set -0.0004620931

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO ARMA ---

## Series: rendimientos_DE10Y_num 
## ARIMA(1,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ma1   mean
##       -0.7721  0.7517  8e-04
## s.e.   0.2266  0.2341  8e-04
## 
## sigma^2 = 0.001927:  log likelihood = 4644.25
## AIC=-9280.51   AICc=-9280.49   BIC=-9256.87
## 
## Training set error measures:
##                         ME       RMSE        MAE MPE MAPE      MASE        ACF1
## Training set -3.039718e-06 0.04387613 0.03077731 NaN  Inf 0.6844079 0.003346685

Interpretación

Para determinar los valores p y q del modelo ARMA, se analizó cómo los rendimientos del bono alemán se comportan frente a sus propios datos pasados y los errores de predicción.

El parámetro p representa la parte autorregresiva (AR), que muestra cuántos valores anteriores influyen directamente sobre el valor actual de la serie. Este valor se identifica observando la función de autocorrelación parcial (PACF): cuando deja de mostrar correlaciones significativas después de cierto punto, ese rezago marca el posible valor de p.En nuestro caso, el modelo AR(1) indica que los rendimientos actuales del bono dependen de los valores observados en un solo periodo anterior. En nuestro caso, debido a que este modelo tiene el menor AIC, se considera el más adecuado para representar la dinámica de los rendimientos del bono.

Por otro lado, el parámetro q corresponde a la parte de promedio móvil (MA), la cual refleja cómo los errores o variaciones inesperadas de periodos anteriores afectan el comportamiento presente. Este se obtiene a partir de la función de autocorrelación (ACF), y, de forma similar, cuando las correlaciones dejan de ser relevantes, se determina el valor de q.En nuestro caso, el modelo MA(1) sugiere que los errores o choques de un solo periodo pasad sigue teniendo un efecto sobre los rendimientos actuales. Aunque este modelo logra capturar buena parte de la volatilidad de corto plazo, su AIC ligeramente superior indica un ajuste menos eficiente que los modelos AR y ARMA.

Finalmente, el modelo ARMA(1,1), combina la influencia de los valores pasados (AR) y los errores recientes (MA), capturando de forma más equilibrada la dependencia temporal de corto plazo característica de las series financieras.

En este trabajo, además del análisis visual, se estimaron distintos modelos AR, MA y ARMA con diferentes combinaciones de p y q, comparándolos a través del criterio de información de Akaike (AIC). Este indicador permite identificar el modelo con mejor ajuste sin perder simplicidad. Dado que la serie de rendimientos del bono contiene una gran cantidad de datos, se decidió probar hasta 10 rezagos tanto para p como para q, garantizando una búsqueda más completa. Finalmente, el modelo que presentó el menor valor de AIC fue seleccionado como el más adecuado para representar la dinámica de los rendimientos del bono alemán.

Test de autocorrelación y heterocedasticidad

Ahora procedemos a evaluar si existen problemas de autocorrelación y heterocedasticidad en los modelos. Para la autocorrelación, el test que se utilizará, será el Ljung-Box, cuya hipótesis nula plantea que no existe autocorrelación entre los residuos. Si el p-value es menor a 0,05, se rechaza la hipótesis nula, indicando que sí hay autocorrelación. En cuanto a la heterocedasticidad, se puede aplicar el test de ARCH, que verifica si la varianza de los errores cambia a lo largo del tiempo. Su hipótesis nula indica que no hay heterocedasticidad; por tanto, un p-value menor a 0,05 sugiere la presencia de varianza no constante (heterocedasticidad) en los residuos.

Resultados de las pruebas de autocorrelación y heterocedasticidad para los modelos estimados

	Modelo	p-value (Ljung-Box)	Interpretación Autocorrelación	p-value (ARCH Test)	Interpretación Heterocedasticidad
Chi-squared	AR (1,0,0)	0.7713	No se rechaza H₀ → No hay autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad
Chi-squared1	MA (0,0,1)	0.7669	No se rechaza H₀ → No hay autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad
Chi-squared2	ARMA (1,0,1)	0.9299	No se rechaza H₀ → No hay autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad

Tras estimar los modelos AR, MA y ARMA para la serie de rendimientos del bono alemán, se aplicaron pruebas de diagnóstico sobre los residuos, específicamente los test de Ljung-Box y ARCH-LM, con el fin de evaluar la presencia de autocorrelación y heterocedasticidad.

Los resultados indicaron que, si bien no se evidencia autocorrelación significativa en los residuos, el test de heterocedasticidad (ARCH-LM) arrojó valores p inferiores a 0.05 en todos los casos, lo que lleva a rechazar la hipótesis nula de homocedasticidad. En consecuencia, se confirma que los residuos presentan varianza no constante en el tiempo, es decir, existe heterocedasticidad condicional.

Este resultado implica que la volatilidad de los rendimientos del bono no es estable, sino que varía a lo largo del tiempo, mostrando períodos de alta y baja volatilidad. En el contexto financiero, este comportamiento es característico de las series de rendimientos, donde los choques o perturbaciones tienden a agruparse en el tiempo (efecto volatility clustering).

Por tanto, los modelos AR, MA y ARMA —que suponen una varianza constante— resultan insuficientes para capturar esta dinámica. Ante ello, se hace necesario implementar un modelo GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), el cual permite modelar la varianza condicional.

Estimación con modelos GARCH

## ---- AR(1)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(1,0,0)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000048    0.000153 -0.31062 0.756091
## ar1    -0.051795    0.020638 -2.50972 0.012083
## omega   0.000002    0.000002  1.58339 0.113332
## alpha1  0.066907    0.009960  6.71757 0.000000
## beta1   0.903859    0.014685 61.55112 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000048    0.000145 -0.32770 0.743141
## ar1    -0.051795    0.020264 -2.55606 0.010586
## omega   0.000002    0.000010  0.24639 0.805381
## alpha1  0.066907    0.028104  2.38069 0.017280
## beta1   0.903859    0.075835 11.91873 0.000000
## 
## LogLikelihood : 8637.923 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.6382
## Bayes        -6.6269
## Shibata      -6.6382
## Hannan-Quinn -6.6341
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.5096  0.4753
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    0.7870  0.8578
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    1.6663  0.8043
## d.o.f=1
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.3291 0.56618
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]    6.3499 0.07433
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]    7.4881 0.16163
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]    0.4234 0.500 2.000  0.5152
## ARCH Lag[5]    0.5164 1.440 1.667  0.8788
## ARCH Lag[7]    0.7433 2.315 1.543  0.9514
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  39.8564
## Individual Statistics:              
## mu     0.07034
## ar1    0.12877
## omega  3.50169
## alpha1 0.11890
## beta1  0.13208
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.28 1.47 1.88
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value     prob sig
## Sign Bias           0.4990 0.617839    
## Negative Sign Bias  0.5622 0.574062    
## Positive Sign Bias  2.5809 0.009909 ***
## Joint Effect        9.8248 0.020115  **
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     62.55    1.517e-06
## 2    30     79.22    1.506e-06
## 3    40     89.00    8.894e-06
## 4    50     93.02    1.503e-04
## 
## 
## Elapsed time : 0.2478459

## 
## ---- MA(1)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(0,0,1)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000047    0.000153 -0.31078 0.755967
## ma1    -0.053477    0.020958 -2.55157 0.010724
## omega   0.000002    0.000002  1.57787 0.114595
## alpha1  0.066946    0.009942  6.73337 0.000000
## beta1   0.903768    0.014701 61.47678 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000047    0.000145 -0.32649 0.744051
## ma1    -0.053477    0.020659 -2.58859 0.009637
## omega   0.000002    0.000010  0.24463 0.806740
## alpha1  0.066946    0.027915  2.39820 0.016476
## beta1   0.903768    0.076221 11.85721 0.000000
## 
## LogLikelihood : 8638.026 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.6382
## Bayes        -6.6270
## Shibata      -6.6382
## Hannan-Quinn -6.6342
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.6283  0.4280
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    0.8158  0.8434
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    1.6387  0.8115
## d.o.f=1
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.3331 0.56384
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]    6.3385 0.07479
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]    7.4747 0.16257
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]    0.4293 0.500 2.000  0.5123
## ARCH Lag[5]    0.5214 1.440 1.667  0.8773
## ARCH Lag[7]    0.7448 2.315 1.543  0.9512
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  39.5036
## Individual Statistics:              
## mu     0.07099
## ma1    0.13999
## omega  3.46460
## alpha1 0.11911
## beta1  0.13254
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.28 1.47 1.88
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias           0.1174 0.90656    
## Negative Sign Bias  0.3585 0.71996    
## Positive Sign Bias  2.3916 0.01685  **
## Joint Effect        9.6464 0.02182  **
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     62.04    1.829e-06
## 2    30     76.52    3.698e-06
## 3    40     88.78    9.485e-06
## 4    50     94.33    1.072e-04
## 
## 
## Elapsed time : 0.316684

## 
## ---- ARMA(1,1)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(1,0,1)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000044    0.000118  -0.37007  0.71133
## ar1     0.882041    0.058767  15.00900  0.00000
## ma1    -0.913864    0.051646 -17.69468  0.00000
## omega   0.000003    0.000004   0.63610  0.52471
## alpha1  0.071312    0.008553   8.33802  0.00000
## beta1   0.895164    0.023789  37.62880  0.00000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
## mu     -0.000044    0.000270  -0.161354 0.871815
## ar1     0.882041    0.060690  14.533540 0.000000
## ma1    -0.913864    0.052141 -17.526650 0.000000
## omega   0.000003    0.000068   0.040551 0.967654
## alpha1  0.071312    0.063717   1.119198 0.263056
## beta1   0.895164    0.401930   2.227163 0.025936
## 
## LogLikelihood : 8640.414 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.6393
## Bayes        -6.6258
## Shibata      -6.6393
## Hannan-Quinn -6.6344
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.08269  0.7737
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]   1.55026  0.9970
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   3.40120  0.8209
## d.o.f=2
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                     0.2412  0.6234
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]    5.2533  0.1341
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]    6.3247  0.2626
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]    0.3320 0.500 2.000  0.5645
## ARCH Lag[5]    0.4300 1.440 1.667  0.9041
## ARCH Lag[7]    0.5822 2.315 1.543  0.9704
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  13.8558
## Individual Statistics:              
## mu     0.11975
## ar1    0.04489
## ma1    0.03449
## omega  1.18418
## alpha1 0.13157
## beta1  0.14636
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          1.49 1.68 2.12
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value    prob sig
## Sign Bias           0.1635 0.87016    
## Negative Sign Bias  0.4364 0.66255    
## Positive Sign Bias  2.3268 0.02005  **
## Joint Effect        9.2770 0.02583  **
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     81.28    1.116e-09
## 2    30     93.34    1.106e-08
## 3    40    110.53    9.189e-09
## 4    50    111.25    9.683e-07
## 
## 
## Elapsed time : 0.62729

Selección del mejor modelo

📊 Comparación de los valores AIC para los modelos GARCH estimados (basado en los modelos guardados)

	Modelo	AIC	Interpretación
3	ARMA(1,1)-GARCH(1,1)	-6.639303	Mejor modelo (AIC más bajo)
2	MA(1)-GARCH(1,1)	-6.638236	Menor ajuste relativo
1	AR(1)-GARCH(1,1)	-6.638157	Menor ajuste relativo

Con base en los resultados de la tabla, se establece como mejor modelo el ARMA(1.1) GARCH (1,1), ya que tiene el AIC más bajo.

Test de heterocedasticidad y correlogramas para el mejor modelo

Resultados de los tests aplicados al modelo MA(1)-GARCH(1,1) para los rendimientos del bono

	Prueba	Estadístico	p-value	Decisión
X-squared	Autocorrelación (Ljung–Box)	8.7067	0.560146	No rechaza H₀ → No hay autocorrelación
Chi-squared	Heterocedasticidad (ARCH)	15.1647	0.232553	No rechaza H₀ → No hay heterocedasticidad

Al aplicar las pruebas de autocorrelación (Ljung-Box) y heterocedasticidad (ARCH) al mejor modelo, que fue el ARMA(1,1) GARCH (1,1), se observó que los valores p son mayores a 0.05. Esto indica que no se rechaza la hipótesis nula en ninguno de los dos casos, por lo que no existe evidencia de autocorrelación ni de heterocedasticidad en los residuales. En otras palabras, el modelo logró corregir los problemas presentes en las estimaciones anteriores y ahora los residuales se comportan como ruido blanco. Además, en el correlograma de los residuales estandarizados se aprecia que los rezagos se mantienen dentro de las bandas de confianza, lo que confirma que el modelo está bien especificado.

Cálculo de volatilidad y VaR con modelo ARMA(1,1)-GARCH(1,1)

Para estimar el nivel de riesgo deL bono, se utilizó el modelo ARMA(1,1)-GARCH(1,1), que permite capturar los cambios en la volatilidad a lo largo del tiempo. A partir de este modelo se calculó el Valor en Riesgo (VaR) al 99% de confianza, lo que representa la pérdida máxima esperada bajo condiciones normales de mercado. Los resultados indican que, con una inversión de 100.000 USD, existe solo un 1% de probabilidad de que la pérdida diaria supere el valor obtenido por el VaR, en este caso, de 1,757.19.

Comparación VaR GARCH vs RiskMetrics

Comparación del VaR calculado mediante GARCH y RiskMetrics para los rendimientos del bono (nivel de confianza 99%)

Método	VaR (%)	Pérdida Máxima (USD)
VaR GARCH (modelo ARMA(1.1)-GARCH(1,1))	1.7572	1757.19
VaR RiskMetrics (λ = 0.94)	6.1325	6132.52

ETF: VEU(Vanguard FTSE All-World ex-US ETF)

Es un ETF de renta variable internacional que invierte en acciones de todo el mundo excepto Estados Unidos. El VEU sigue el índice FTSE All-World ex-US, que está compuesto por:

Mercados desarrollados fuera de EE. UU. (Europa, Japón, Canadá, Australia, etc.)

Mercados emergentes (China, Brasil, India, México, Corea del Sur, etc.)

Más de 2.500 empresas de todos los tamaños (large, mid y small caps).

##            VEU.Open VEU.High VEU.Low VEU.Close VEU.Volume
## 2015-11-02    45.68    45.92   45.59     45.89    1896900
## 2015-11-03    45.66    46.15   45.63     46.05    2090100
## 2015-11-04    46.13    46.16   45.65     45.78    1736200
## 2015-11-05    45.87    45.89   45.56     45.68    3388400
## 2015-11-06    45.32    45.40   45.08     45.38    3303200

Gráfica de precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado

Interpretación de los gráficos

Precios El primer gráfico, correspondiente al precio de cierre del fondo VEU, muestra aproximadamente 3 tendencias alcistas y 2 bajistas a lo largo del tiempo. Rendimientos El segundo gráfico, que representa los rendimientos diarios, está centrado alrededor de cero, lo cual es un patrón esperado en las series de retornos financieros. Esto significa que, aunque existen ganancias y pérdidas diarias, el rendimiento promedio en el largo plazo tiende a estabilizarse en torno a cero. Además, no se evidencia tendencia, lo que sugiere que los rendimientos son estacionarios.

Rendimientos al cuadrado Finalmente, el tercer gráfico, que muestra los rendimientos al cuadrado, permite analizar la volatilidad o la variabilidad de los rendimientos. En este caso, se evidencia agrupamiento de volatilidad (clusters), evidenciando que los choques de mercado tienden a concentrarse en determinados periodos.

Correlogramas

Interpretación de los gráficos

Correlograma precios

El primer gráfico correspondiente al correlograma de los precios, evidencia valores de autocorrelación altos en muchos rezagos, esto quiere decir, que los valores actuales dependen mucho de los pasados, indicando tendencia, es decir, los precios no son estacionarios.

Correlograma rendimientos

El gráfico de los rendimientos evidencia que los coeficientes de correlación caen rápidamente a cero, demostrando así que los rendimientos actuales no dependen de los pasados. Por tanto, esta gráfica demuestra que los rendimientos son estacionarios.

Correlograma rendimientos al cuadrado

El gráfico de los rendimientos al cuadrado evidencia valores de autocorrelación significativos y positivos, que decrecen con el tiempo, lo cual revela agrupamiento de volatilidad, lo que significa que los periodos de alta volatilidad tienden a seguirse entre sí, y los de baja volatilidad también.

Test de normalidad de las series

Prueba de normalidad Shapiro-Wilk - VEU (MSFT)

Serie	p-value	Interpretación
Precios VEU	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal
Rendimientos VEU	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal
Rendimientos² VEU	0.00000000	Se rechaza H₀ → La serie no sigue una distribución normal

De acuerdo con los resultados obtenidos en la prueba de Shapiro-Wilk, las tres series analizadas —precios, rendimientos y rendimientos al cuadrado del fondeo VEU, presentan valores p menores a 0,05. Esto implica el rechazo de la hipótesis nula de normalidad, concluyendo que ninguna de las series sigue una distribución normal con un nivel de confianza del 95%.

La distribución leptocúrtica (de 16) de los rendimientos del fondo indica que, aunque la mayoría de los rendimientos se concentran cerca de la media, existen eventos extremos más frecuentes de lo esperado a comparación de una distribución normal.

Test de estacionariedad

Resultados de la prueba ADF (Dickey-Fuller Aumentada) para las series de VEU

Serie	Estadístico ADF	p-value	Decisión / Interpretación
Precios VEU	-2.1846	0.500158	No rechaza H₀ → Serie no estacionaria
Rendimientos VEU	-13.7043	0.010000	Rechaza H₀ → Serie estacionaria
Rendimientos² VEU	-9.7678	0.010000	Rechaza H₀ → Serie estacionaria

En este caso, la hipótesis nula es que la serie tiene raiz unitaria (no estacionaria).

Los resultados del test de Dickey-Fuller aumentado (ADF) evidencian que la serie de precios VEU no es estacionaria, ya que el p-value obtenido es mayor a 0,05, por lo que no se rechaza la hipótesis nula de presencia de raíz unitaria. Esto indica que los precios presentan una tendencia o comportamiento acumulativo en el tiempo, es decir, sus valores actuales dependen de los anteriores y no fluctúan alrededor de una media constante.

En contraste, las series de rendimientos y rendimientos al cuadrado sí resultan estacionarias, pues sus p-values son menores a 0,05, lo que implica el rechazo de la hipótesis nula. Esto significa que estas series presentan media y varianza constantes, y su comportamiento es más estable en el tiempo.

Selección de la serie que cumple con la propiedad de la estacionaridad

Con base en los resultados anteriores, se selecciona la serie de rendimientos, ya que estos son estacionarios.

Estimación de modelos

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  rendimientos_VEU_num
## Dickey-Fuller = -13.704, Lag order = 13, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

## 📊 Mejor modelo AR(p): AR( 9 ,0,0) con AIC = -15632.69

## 📊 Mejor modelo MA(q): MA(0,0, 9 ) con AIC = -15625.43

## 📊 Mejor modelo ARMA(p,q): ARMA( 4 ,0, 4 ) con AIC = -15638.92

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO AR ---

## Series: rendimientos_VEU_num 
## ARIMA(9,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2     ar3      ar4     ar5      ar6     ar7      ar8
##       -0.0764  0.0874  0.0115  -0.0247  0.0281  -0.0949  0.0613  -0.0334
## s.e.   0.0199  0.0200  0.0200   0.0199  0.0199   0.0199  0.0200   0.0200
##          ar9   mean
##       0.0360  2e-04
## s.e.  0.0199  2e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001161:  log likelihood = 7827.35
## AIC=-15632.69   AICc=-15632.59   BIC=-15568.57
## 
## Training set error measures:
##                        ME       RMSE         MAE MPE MAPE      MASE
## Training set 4.508447e-07 0.01075404 0.007476895 NaN  Inf 0.6866497
##                      ACF1
## Training set 0.0006779972

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO MA ---

## Series: rendimientos_VEU_num 
## ARIMA(0,0,9) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ma1     ma2     ma3      ma4     ma5      ma6     ma7      ma8
##       -0.0773  0.0923  0.0017  -0.0218  0.0340  -0.0998  0.0721  -0.0477
## s.e.   0.0199  0.0199  0.0199   0.0199  0.0205   0.0203  0.0197   0.0199
##          ma9   mean
##       0.0398  2e-04
## s.e.  0.0202  2e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001164:  log likelihood = 7823.71
## AIC=-15625.43   AICc=-15625.32   BIC=-15561.3
## 
## Training set error measures:
##                         ME       RMSE         MAE MPE MAPE      MASE
## Training set -2.543484e-08 0.01076965 0.007475937 NaN  Inf 0.6865617
##                       ACF1
## Training set -0.0009594972

## 
## --- RESUMEN DEL MEJOR MODELO ARMA ---

## Series: rendimientos_VEU_num 
## ARIMA(4,0,4) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2      ar3      ar4     ma1      ma2     ma3     ma4   mean
##       -0.2232  0.6472  -0.3384  -0.7776  0.1392  -0.5821  0.3989  0.6632  2e-04
## s.e.   0.4307  0.2599   0.3432   0.3163  0.4737   0.2871  0.3161  0.2847  2e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001159:  log likelihood = 7829.46
## AIC=-15638.92   AICc=-15638.83   BIC=-15580.62
## 
## Training set error measures:
##                        ME      RMSE         MAE MPE MAPE      MASE        ACF1
## Training set 1.699419e-05 0.0107449 0.007462635 NaN  Inf 0.6853401 0.008367224

Interpretación

Para determinar los valores p y q del modelo ARMA, se analizó cómo los rendimientos de VEU se comportan frente a sus propios datos pasados y los errores de predicción.

El parámetro p representa la parte autorregresiva (AR), que muestra cuántos valores anteriores influyen directamente sobre el valor actual de la serie. Este valor se identifica observando la función de autocorrelación parcial (PACF): cuando deja de mostrar correlaciones significativas después de cierto punto, ese rezago marca el posible valor de p.En nuestro caso, el modelo AR(9) indica que los rendimientos actuales del EUR/COP dependen de los valores observados en los nueve periodos anteriores.

Por otro lado, el parámetro q corresponde a la parte de promedio móvil (MA), la cual refleja cómo los errores o variaciones inesperadas de periodos anteriores afectan el comportamiento presente. Este se obtiene a partir de la función de autocorrelación (ACF), y, de forma similar, cuando las correlaciones dejan de ser relevantes, se determina el valor de q.En nuestro caso, el modelo MA(9) sugiere que los errores o choques de hasta nueve periodos pasados siguen teniendo un efecto sobre los rendimientos actuales. Aunque este modelo logra capturar buena parte de la volatilidad de corto plazo, su AIC ligeramente superior indica un ajuste menos eficiente que los modelos AR y ARMA.

Finalmente, el modelo con el menor AIC fue el ARMA(4,4), que por tanto se considera el más adecuado para representar la dinámica de los rendimientos del VEU Este modelo combina la influencia de los valores pasados (AR) y los errores recientes (MA), capturando de forma más equilibrada la dependencia temporal de corto plazo característica de las series financieras.

En este trabajo, además del análisis visual, se estimaron distintos modelos AR, MA y ARMA con diferentes combinaciones de p y q, comparándolos a través del criterio de información de Akaike (AIC). Este indicador permite identificar el modelo con mejor ajuste sin perder simplicidad. Dado que la serie de rendimientos de VEU contiene una gran cantidad de datos, se decidió probar hasta 10 rezagos tanto para p como para q, garantizando una búsqueda más completa. Finalmente, el modelo que presentó el menor valor de AIC fue seleccionado como el más adecuado para representar la dinámica de los rendimientos de VEU.

Test de autocorrelación y heterocedasticidad

Ahora procedemos a evaluar si existen problemas de autocorrelación y heterocedasticidad en los modelos. Para la autocorrelación, el test que se utilizará, será el Ljung-Box, cuya hipótesis nula plantea que no existe autocorrelación entre los residuos. Si el p-value es menor a 0,05, se rechaza la hipótesis nula, indicando que sí hay autocorrelación. En cuanto a la heterocedasticidad, se puede aplicar el test de ARCH, que verifica si la varianza de los errores cambia a lo largo del tiempo. Su hipótesis nula indica que no hay heterocedasticidad; por tanto, un p-value menor a 0,05 sugiere la presencia de varianza no constante (heterocedasticidad) en los residuos.

Resultados de las pruebas de autocorrelación y heterocedasticidad para los modelos estimados

	Modelo	p-value (Ljung-Box)	Interpretación Autocorrelación	p-value (ARCH Test)	Interpretación Heterocedasticidad
Chi-squared	AR (9,0,0)	0.9997	No se rechaza H₀ → No hay autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad
Chi-squared1	MA (0,0,9)	0.9953	No se rechaza H₀ → No hay autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad
Chi-squared2	ARMA (4,0,4)	0.9471	No se rechaza H₀ → No hay autocorrelación	0	Se rechaza H₀ → Existe heterocedasticidad

Hipótesis nula del test Ljung-Box: No hay autocorrelación en los residuos. → Si el p-value < 0.05, se rechaza H₀, indicando autocorrelación presente.

Hipótesis nula del test ARCH: No hay heterocedasticidad en los residuos. → Si el p-value < 0.05, se rechaza H₀, indicando heterocedasticidad presente.

Con base en los resultados, se puede observar que en la prueba de autocorrelación, el p value fue mayor al 0.05 en todos los modelos, lo que significa que se acepta la hipotesis nula, por tanto, No hay autocorrelación.

En el test de heterocedasticidad, los resultados mostraron que en los tres casos el p-value del test ARCH fue menor a 0.05, lo que indica que se rechaza la hipótesis nula, demostrando por tanto problemas de heterocedasticidad. En otras palabras, la volatilidad de la serie cambia a lo largo del tiempo. Por esta razón, se considera necesario estimar un modelo GARCH, que permite capturar este tipo de comportamiento al modelar directamente la varianza condicional de los rendimientos.

Estimación de modelos GARCH

## ---- AR(9)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(9,0,0)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu      0.000453    0.000151   2.99262 0.002766
## ar1    -0.028553    0.021886  -1.30465 0.192013
## ar2     0.030010    0.021700   1.38295 0.166679
## ar3    -0.033318    0.021220  -1.57008 0.116396
## ar4     0.007941    0.021032   0.37756 0.705756
## ar5    -0.022677    0.020774  -1.09165 0.274987
## ar6    -0.037797    0.020528  -1.84122 0.065589
## ar7     0.030521    0.020334   1.50098 0.133361
## ar8    -0.013765    0.019800  -0.69520 0.486932
## ar9    -0.007522    0.019594  -0.38391 0.701044
## omega   0.000004    0.000002   1.85144 0.064106
## alpha1  0.151425    0.012778  11.85032 0.000000
## beta1   0.813076    0.005997 135.58000 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu      0.000453    0.000159  2.85504 0.004303
## ar1    -0.028553    0.019578 -1.45845 0.144717
## ar2     0.030010    0.022301  1.34564 0.178417
## ar3    -0.033318    0.021872 -1.52331 0.127682
## ar4     0.007941    0.021766  0.36484 0.715235
## ar5    -0.022677    0.019989 -1.13450 0.256587
## ar6    -0.037797    0.024740 -1.52776 0.126572
## ar7     0.030521    0.020691  1.47509 0.140189
## ar8    -0.013765    0.021157 -0.65060 0.515306
## ar9    -0.007522    0.020297 -0.37062 0.710921
## omega   0.000004    0.000012  0.36635 0.714106
## alpha1  0.151425    0.045121  3.35598 0.000791
## beta1   0.813076    0.081839  9.93509 0.000000
## 
## LogLikelihood : 8231.661 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.5383
## Bayes        -6.5082
## Shibata      -6.5384
## Hannan-Quinn -6.5274
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                          statistic p-value
## Lag[1]                      0.4599  0.4977
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][26]    8.6367  1.0000
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][44]   16.3612  0.9702
## d.o.f=9
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                   0.009293  0.9232
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]  1.372432  0.7712
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]  2.446686  0.8455
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]     1.462 0.500 2.000  0.2266
## ARCH Lag[5]     2.652 1.440 1.667  0.3444
## ARCH Lag[7]     2.892 2.315 1.543  0.5343
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  3.5725
## Individual Statistics:              
## mu     0.05662
## ar1    0.03174
## ar2    0.08524
## ar3    0.08651
## ar4    0.31647
## ar5    0.04676
## ar6    0.24548
## ar7    0.03687
## ar8    0.38048
## ar9    0.08373
## omega  0.23834
## alpha1 0.09199
## beta1  0.41375
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          2.89 3.15 3.69
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value     prob sig
## Sign Bias           2.3348 0.019632  **
## Negative Sign Bias  0.1155 0.908021    
## Positive Sign Bias  0.2381 0.811822    
## Joint Effect       12.0846 0.007099 ***
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     58.92    5.728e-06
## 2    30     68.10    5.492e-05
## 3    40     91.44    4.251e-06
## 4    50    102.98    1.037e-05
## 
## 
## Elapsed time : 0.763576

## 
## ---- MA(10)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(0,0,9)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)
## mu      0.000453    0.000150   3.02745 0.002466
## ma1    -0.028269    0.021880  -1.29200 0.196357
## ma2     0.031040    0.021693   1.43084 0.152475
## ma3    -0.034415    0.021266  -1.61832 0.105594
## ma4     0.008606    0.021198   0.40596 0.684774
## ma5    -0.022388    0.021163  -1.05788 0.290112
## ma6    -0.037435    0.021747  -1.72143 0.085173
## ma7     0.025570    0.020595   1.24154 0.214407
## ma8    -0.013638    0.019902  -0.68525 0.493187
## ma9    -0.009675    0.019871  -0.48690 0.626333
## omega   0.000004    0.000002   1.91511 0.055478
## alpha1  0.151311    0.012763  11.85557 0.000000
## beta1   0.812993    0.004638 175.30713 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
## mu      0.000453    0.000156  2.90555 0.003666
## ma1    -0.028269    0.019432 -1.45479 0.145727
## ma2     0.031040    0.022340  1.38941 0.164707
## ma3    -0.034415    0.022442 -1.53349 0.125156
## ma4     0.008606    0.022052  0.39024 0.696358
## ma5    -0.022388    0.020004 -1.11915 0.263078
## ma6    -0.037435    0.027948 -1.33945 0.180425
## ma7     0.025570    0.020982  1.21865 0.222977
## ma8    -0.013638    0.021884 -0.62321 0.533149
## ma9    -0.009675    0.021249 -0.45533 0.648875
## omega   0.000004    0.000011  0.38983 0.696665
## alpha1  0.151311    0.043684  3.46377 0.000533
## beta1   0.812993    0.077421 10.50087 0.000000
## 
## LogLikelihood : 8231.387 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.5381
## Bayes        -6.5080
## Shibata      -6.5381
## Hannan-Quinn -6.5272
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                          statistic p-value
## Lag[1]                      0.4244  0.5148
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][26]    8.6228  1.0000
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][44]   16.4149  0.9689
## d.o.f=9
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                   0.007858  0.9294
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]  1.367982  0.7723
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]  2.439567  0.8466
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]     1.468 0.500 2.000  0.2256
## ARCH Lag[5]     2.659 1.440 1.667  0.3433
## ARCH Lag[7]     2.898 2.315 1.543  0.5330
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  3.6373
## Individual Statistics:              
## mu     0.05830
## ma1    0.02448
## ma2    0.07946
## ma3    0.09265
## ma4    0.37143
## ma5    0.03265
## ma6    0.26897
## ma7    0.03921
## ma8    0.35572
## ma9    0.07314
## omega  0.23490
## alpha1 0.09177
## beta1  0.41389
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          2.89 3.15 3.69
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value     prob sig
## Sign Bias           2.2726 0.023132  **
## Negative Sign Bias  0.1283 0.897944    
## Positive Sign Bias  0.2676 0.788996    
## Joint Effect       11.7097 0.008447 ***
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     58.22    7.376e-06
## 2    30     67.67    6.273e-05
## 3    40     85.11    2.800e-05
## 4    50    110.11    1.354e-06
## 
## 
## Elapsed time : 0.775624

## 
## ---- ARMA(4,5)-GARCH(1,1) ----

## 
## *---------------------------------*
## *          GARCH Model Fit        *
## *---------------------------------*
## 
## Conditional Variance Dynamics    
## -----------------------------------
## GARCH Model  : sGARCH(1,1)
## Mean Model   : ARFIMA(4,0,4)
## Distribution : norm 
## 
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
##         Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
## mu      0.000420    0.000159     2.6357 0.008397
## ar1    -0.134124    0.031356    -4.2775 0.000019
## ar2     0.599944    0.036596    16.3937 0.000000
## ar3    -0.341644    0.020028   -17.0580 0.000000
## ar4    -0.860141    0.005261  -163.4800 0.000000
## ma1     0.106357    0.000993   107.1097 0.000000
## ma2    -0.571356    0.000273 -2094.6360 0.000000
## ma3     0.341381    0.000141  2427.7466 0.000000
## ma4     0.847472    0.000265  3195.0266 0.000000
## omega   0.000004    0.000003     1.4768 0.139718
## alpha1  0.147725    0.012253    12.0560 0.000000
## beta1   0.817506    0.012468    65.5694 0.000000
## 
## Robust Standard Errors:
##         Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
## mu      0.000420    0.000180    2.33915 0.019328
## ar1    -0.134124    0.208098   -0.64452 0.519237
## ar2     0.599944    0.243222    2.46665 0.013638
## ar3    -0.341644    0.134781   -2.53481 0.011251
## ar4    -0.860141    0.026973  -31.88837 0.000000
## ma1     0.106357    0.006685   15.91045 0.000000
## ma2    -0.571356    0.001773 -322.16438 0.000000
## ma3     0.341381    0.000191 1787.15785 0.000000
## ma4     0.847472    0.001458  581.34855 0.000000
## omega   0.000004    0.000019    0.21264 0.831609
## alpha1  0.147725    0.059385    2.48759 0.012861
## beta1   0.817506    0.133598    6.11913 0.000000
## 
## LogLikelihood : 8240.313 
## 
## Information Criteria
## ------------------------------------
##                     
## Akaike       -6.5460
## Bayes        -6.5182
## Shibata      -6.5460
## Hannan-Quinn -6.5359
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
##                          statistic p-value
## Lag[1]                      0.1664  0.6834
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][23]    7.8733  1.0000
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][39]   14.3447  0.9672
## d.o.f=8
## H0 : No serial correlation
## 
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
##                         statistic p-value
## Lag[1]                    0.08571  0.7697
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5]   2.01982  0.6137
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9]   3.25250  0.7166
## d.o.f=2
## 
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
##             Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3]     2.375 0.500 2.000  0.1233
## ARCH Lag[5]     3.557 1.440 1.667  0.2186
## ARCH Lag[7]     3.752 2.315 1.543  0.3837
## 
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic:  2.5282
## Individual Statistics:              
## mu     0.04578
## ar1    0.05026
## ar2    0.13384
## ar3    0.39319
## ar4    0.35935
## ma1    0.13582
## ma2    0.16181
## ma3    0.08853
## ma4    0.04103
## omega  0.27180
## alpha1 0.09663
## beta1  0.41842
## 
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic:          2.69 2.96 3.51
## Individual Statistic:     0.35 0.47 0.75
## 
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
##                    t-value      prob sig
## Sign Bias           3.1961 0.0014101 ***
## Negative Sign Bias  0.4106 0.6813819    
## Positive Sign Bias  0.1474 0.8828276    
## Joint Effect       16.5794 0.0008624 ***
## 
## 
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
##   group statistic p-value(g-1)
## 1    20     61.26    2.443e-06
## 2    30     67.53    6.556e-05
## 3    40     92.62    2.967e-06
## 4    50    113.49    4.981e-07
## 
## 
## Elapsed time : 1.283064

Selección del mejor modelo

📊 Comparación de los valores AIC para los modelos GARCH estimados (basado en los modelos guardados)

	Modelo	AIC	Interpretación
3	ARMA(4,4)-GARCH(1,1)	-6.545992	Mejor modelo (AIC más bajo)
1	AR(9)-GARCH(1,1)	-6.538315	Menor ajuste relativo
2	MA(9)-GARCH(1,1)	-6.538096	Menor ajuste relativo

El modelo seleccionado fue el ARMA(4,4)-GARCH(1,1), ya que presentó el valor más bajo del criterio AIC, lo que indica que logra un mejor equilibrio entre ajuste y complejidad. Esto significa que el modelo captura de manera más precisa la relación entre los rendimientos actuales y sus valores pasados (a través de los componentes AR y MA), mientras que el término GARCH refleja la presencia de volatilidad condicional, es decir, que los periodos de alta y baja variabilidad tienden a agruparse en el tiempo.

Test de heterocedasticidad y autocorrelación del mejor modelo seleccionado

Resultados de las pruebas aplicadas al modelo ARMA(4,4)-GARCH(1,1)

	Prueba	Estadístico	p-value	Decisión
X-squared	Autocorrelación (Ljung–Box)	5.3293	0.868121	No rechaza H₀: No hay autocorrelación
Chi-squared	Heterocedasticidad (ARCH)	11.4740	0.488795	No rechaza H₀: No hay heterocedasticidad

Al aplicar las pruebas de autocorrelación (Ljung-Box) y heterocedasticidad (ARCH) al mejor modelo, que fue el ARMA(4,4)-GARCH(1,1), se observó que los valores p son mayores a 0.05. Esto indica que no se rechaza la hipótesis nula en ninguno de los dos casos, por lo que no existe evidencia de autocorrelación ni de heterocedasticidad en los residuales. En otras palabras, el modelo logró corregir los problemas presentes en las estimaciones anteriores y ahora los residuales se comportan como ruido blanco. Además, en el correlograma de los residuales estandarizados se aprecia que los rezagos se mantienen dentro de las bandas de confianza, lo que confirma que el modelo está bien especificado.

Cálculo de volatilidad y VaR con modelo ARMA(4,5)-GARCH(1,1)

Para estimar el nivel de riesgo del fondo, se utilizó el modelo ARMA(4,4)-GARCH(1,1), que permite capturar los cambios en la volatilidad a lo largo del tiempo. A partir de este modelo se calculó el Valor en Riesgo (VaR) al 99% de confianza, lo que representa la pérdida máxima esperada bajo condiciones normales de mercado. Los resultados indican que, con una inversión de 100.000 USD, existe solo un 1% de probabilidad de que la pérdida diaria supere el valor obtenido por el VaR, en este caso, de 1.697.21 USD.

Comparación VaR GARCH vs RiskMetrics

Método	VaR (%)	Pérdida Máxima (USD)
VaR GARCH (99%)	1.6972	1697.21
VaR RiskMetrics (99%)	1.6789	1678.91

Al comparar ambos resultados, se observa que el VaR GARCH es más alto que el VaR RiskMetrics. Esto ocurre porque el modelo ARMA (4,4) GARCH(1,1) incorpora la volatilidad condicional, es decir, una volatilidad que cambia con el tiempo, mientras que el método RiskMetrics, asume un factor de decaimiento fijo (λ = 0.94) y una volatilidad suavizada, por lo tanto, tiende a subestimar los resultados.