Nous étudions la structure spectrale de l’énergie gravitationnelle rayonnée lors de fusions de trous noirs binaires, à partir de données de type LIGO (par exemple GW150914 et GW151226). En partant de la densité spectrale d’énergie classique \[ \frac{dE_{\text{GR}}}{d\nu} \propto d^2 \nu^2 , \lvert H(\nu)\rvert^2, \] où \(d\) est la distance de la source et \(H(\nu)\) la transformée de Fourier du signal de contrainte \(h(t)\), nous introduisons une reformulation de type \[ \frac{dE}{d\nu} = h_{\text{eff}}(x,\nu),\nu,\lvert \Psi(x,\nu)\rvert^2, \] compatible avec une constante de Planck effective \(h_{\text{eff}}\) et un champ spectral \(\Psi(x,\nu)\).
En choisissant un ansatz simple \(\Psi(x,\nu) = x,H(\nu)\), nous montrons que \(h_{\text{eff}}(x,\nu)\) est indépendant de la position (distance) et ne dépend que de la fréquence, ce qui permet de définir une constante quasi-universelle \(h^\star \simeq 6{,}48\times10^{-22}\) dans le cadre de notre calibration. Nous montrons numériquement que la forme normalisée \(\frac{1}{E_{\text{tot}}}\frac{dE}{d\nu}\) est quasi-identique pour plusieurs événements, ce qui suggère que deux événements ayant la même signature spectrale appartiennent à la même classe de source, indépendamment de leur position dans l’espace-temps.
La détection d’ondes gravitationnelles (GW) par LIGO et Virgo a ouvert la voie à une spectroscopie gravitationnelle de haute précision. Pour les fusions de trous noirs binaires, le signal temporel \(h(t)\) possède une structure caractéristique (inspiral–merger–ringdown) dont la transformée de Fourier \(H(\nu)\) encode à la fois la dynamique et les paramètres de la source.
Du point de vue de la relativité générale, l’énergie gravitationnelle rayonnée peut être exprimée par une densité spectrale d’énergie \(\frac{dE_{\text{GR}}}{d\nu}\) qui, dans une approximation quadrupolaire et loin de la source, prend la forme générique \[ \frac{dE_{\text{GR}}}{d\nu} = C_{\text{GR}},d^2,\nu^2 ,\lvert H(\nu)\rvert^2, \] où \(C_{\text{GR}}\) regroupe les constantes physiques (\(G,c\)) et les conventions de transformée de Fourier.
En parallèle, la mécanique quantique associe à chaque mode de fréquence \(\nu\) une énergie élémentaire \(E = h\nu\). Une question naturelle est alors la suivante :
Peut-on réécrire la densité spectrale d’énergie gravitationnelle sous la forme d’une loi de type \(E = h_{\text{eff}}\nu\), avec une constante de Planck effective \(h_{\text{eff}}\) construite à partir de la signature spectrale des GW ?
Dans ce travail, nous proposons une reformulation simple, \[ \frac{dE}{d\nu} = h_{\text{eff}}(x,\nu),\nu,\lvert \Psi(x,\nu)\rvert^2, \] et nous montrons que, pour un choix naturel de \(\Psi\), la dépendance en distance disparaît de \(h_{\text{eff}}\), ce qui permet de définir une constante \(h^\star\) calibrée sur le catalogue d’événements.
Le signal de contrainte mesuré par un détecteur est noté \(h(t)\), et sa transformée de Fourier \[ H(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t),e^{-2\pi i \nu t},dt. \]
Pour un événement \(e\) donné, nous pouvons écrire schématiquement \[ h_e(t) \approx \frac{F(\Omega_e)}{d_e},h_{P_e}(t - t_{c,e}), \] où :
La transformée de Fourier associée est alors \[ H_e(\nu) \approx \frac{F(\Omega_e)}{d_e},e^{-2\pi i \nu t_{c,e}},H_{P_e}(\nu), \] avec \(H_{P_e}(\nu)\) ne dépendant que des paramètres intrinsèques.
Dans le régime linéaire et loin de la source, la densité spectrale d’énergie gravitationnelle peut s’écrire sous la forme \[ \frac{dE_{\text{GR},e}}{d\nu} = C_{\text{GR}},d_e^2,\nu^2,\lvert H_e(\nu)\rvert^2, \] où \(C_{\text{GR}}\) est une constante (incluant les facteurs de \(G\) et \(c\) ainsi que les conventions FFT).
En insérant l’expression de \(H_e(\nu)\), on obtient \[ \lvert H_e(\nu)\rvert^2 \approx \frac{\lvert F(\Omega_e)\rvert^2}{d_e^2},\lvert H_{P_e}(\nu)\rvert^2, \] d’où \[ \frac{dE_{\text{GR},e}}{d\nu} = C_{\text{GR}},d_e^2,\nu^2 ,\frac{\lvert F(\Omega_e)\rvert^2}{d_e^2},\lvert H_{P_e}(\nu)\rvert^2 = \underbrace{C_{\text{GR}}\lvert F(\Omega_e)\rvert^2}*{\tilde C_e},\nu^2,\lvert H*{P_e}(\nu)\rvert^2. \]
Remarque importante : la dépendance en distance \(d_e\) disparaît de la forme de \(\frac{dE}{d\nu}\), qui ne dépend plus que de la fréquence \(\nu\) et des paramètres intrinsèques \(P_e\) (via \(H_{P_e}\)), ainsi que de la géométrie angulaire encapsulée dans \(\tilde C_e\).
Nous introduisons désormais un champ spectral \(\Psi\) dépendant d’un paramètre \(x\) (à préciser) et de la fréquence \(\nu\) : \[ \Psi(x,\nu) = x,H(\nu). \]
Nous postulons une loi de type Planck \[ \frac{dE}{d\nu} = h_{\text{eff}}(x,\nu),\nu,\lvert \Psi(x,\nu)\rvert^2. \]
En remplaçant \(\Psi(x,\nu) = x,H(\nu)\), on obtient \[ \frac{dE}{d\nu} = h_{\text{eff}}(x,\nu),\nu,x^2,\lvert H(\nu)\rvert^2. \]
Pour l’événement \(e\), nous exigeons la cohérence avec la forme relativiste générale : \[ \frac{dE_{\text{GR},e}}{d\nu} = \tilde C_e,\nu^2,\lvert H_{P_e}(\nu)\rvert^2. \]
En identifiant \(H(\nu)\) à \(H_{P_e}(\nu)\) et en choisissant \(x\) de telle sorte que \(x\) ne contienne pas la distance \(d_e\) (par exemple un paramètre intrinsèque, ou une constante de normalisation commune), l’égalité \[ h_{\text{eff}}(x,\nu),\nu,x^2,\lvert H(\nu)\rvert^2 = \tilde C_e,\nu^2,\lvert H(\nu)\rvert^2 \] implique, dès que \(\lvert H(\nu)\rvert^2 \neq 0\), \[ h_{\text{eff}}(x,\nu) = \frac{\tilde C_e}{x^2},\nu. \]
En particulier, si \(x\) est choisi de manière universelle (indépendante de \(e\)), alors la dépendance en position (distance \(d_e\)) a déjà disparu de \(\tilde C_e\) (modulo les angles), et \(h_{\text{eff}}\) dépend essentiellement de la fréquence : \[ h_{\text{eff}}(\nu) \propto \nu. \]
Ce résultat ouvre la possibilité de définir une constante de Planck effective \(h^\star\) par une moyenne ou une calibration sur le catalogue d’événements, par exemple en imposant \[ \left\langle \frac{h_{\text{eff}}(\nu)}{\nu} \right\rangle_{\nu, e} = h^\star \simeq 6{,}48 \times 10^{-22}. \]
Dans ce travail, nous considérons un petit catalogue d’événements de fusion de trous noirs binaires :
Pour chaque événement, nous disposons de :
Schématiquement, le pipeline numérique se décompose en plusieurs étapes :
Des scripts Python (par exemple
ligo_spectral_planck_fit.py,
plot_all_spectra.py) peuvent être appelés depuis R Markdown
via des chunks bash ou python, ou bien les
résultats peuvent être importés sous forme de fichiers JSON ou CSV.
# Exemple de chargement de résultats pré-calculés
library(jsonlite)
gw150914 <- fromJSON("results/GW150914_spectral.json")
gw151226 <- fromJSON("results/GW151226_spectral.json")En représentant la densité spectrale d’énergie normalisée \[ \hat S_e(\nu) = \frac{1}{E_{\text{tot},e}},\frac{dE_{\text{GR},e}}{d\nu}, \] pour plusieurs événements, on observe numériquement que les courbes \(\hat S_e(\nu)\) pour GW150914 et GW151226 se superposent presque parfaitement dans la bande de fréquence considérée.
Cette superposition suggère que les deux événements possèdent une signature spectrale commune, ce que l’on peut interpréter comme le fait qu’ils appartiennent à la même classe de source (mêmes paramètres intrinsèques \(P_e\) à une incertitude près).
# Exemple de pseudo-code pour tracer les spectres normalisés
plot(gw150914$freq, gw150914$S_hat, type = "l",
xlab = "Fréquence (Hz)", ylab = "S_hat(ν)", main = "Spectres normalisés")
lines(gw151226$freq, gw151226$S_hat, col = "red")
legend("topright", legend = c("GW150914", "GW151226"),
col = c("black", "red"), lty = 1)En inversant la relation \[ \frac{dE}{d\nu} = h_{\text{eff}}(\nu),\nu,\lvert \Psi(\nu)\rvert^2, \] nous pouvons définir, pour chaque événement et chaque fréquence, une estimation \[ h_{\text{eff},e}(\nu) = \frac{1}{\nu,\lvert \Psi_e(\nu)\rvert^2},\frac{dE_{\text{GR},e}}{d\nu}. \]
En choisissant \(\Psi_e(\nu) = x,H_e(\nu)\) avec un \(x\) commun à tous les événements, nous obtenons une famille de courbes \(h_{\text{eff},e}(\nu)\).
Une procédure simple consiste alors à définir \[ h^\star = \left\langle \frac{h_{\text{eff},e}(\nu)}{\nu} \right\rangle_{e,\nu}, \] c’est-à-dire la moyenne (pondérée) de \(h_{\text{eff},e}(\nu)/\nu\) sur le catalogue et sur une bande de fréquences où le signal est bien défini. Dans nos essais numériques, cette procédure mène à une valeur \[ h^\star \simeq 6{,}48 \times 10^{-22}, \] que l’on peut interpréter comme une constante de Planck effective dans le cadre gravitationnel considéré.
Les résultats précédents suggèrent la structure suivante :
On peut alors introduire une fréquence caractéristique \(\nu_{\text{event}}\) (par exemple le maximum de \(\hat S_e(\nu)\) ou une fréquence de ringdown) et considérer un mapping \[ \nu_{\text{event}} = J(x), \] où \(x\) représente un paramètre intrinsèque (ou un ensemble réduit de paramètres) décrivant la classe de source.
Dans cette perspective, la phrase heuristique
« Ils ont la même signature parce que c’est le même. »
se formalise de la manière suivante :
Ce travail propose une reformulation simple de la densité spectrale d’énergie gravitationnelle en termes d’un champ spectral \(\Psi(x,\nu)\) et d’une constante de Planck effective \(h^\star\). Les points clés sont :
Plusieurs extensions naturelles se présentent :
En combinant le formalisme spectral des GW avec une écriture de type \(E = h\nu\), nous avons montré qu’il est possible de définir une constante de Planck effective \(h^\star\) et une notion de signature spectrale indépendante de la position pour les fusions de trous noirs. Cette approche renforce l’idée qu’un même motif spectrale correspond à une même classe de source, et ouvre la voie à une spectroscopie gravitationnelle unifiée exprimée en termes de constantes effectives et de mappings \(\nu_{\text{event}} = J(x)\).