中級統計学：復習テスト14

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト14〜20を順に重ねて左上でホチキス止めし，第3回中間試験実施日（12月12日の予定）に提出すること．

1. 以下の用語の定義を式または言葉で書きなさい（各20字程度）．

1. 統計的推測

2. 母集団

3. 標本

4. 無作為抽出

5. 母数

6. 統計量

7. 標本分布

解答例

1. 一部の観察から全体について推測すること．

2. 考察の対象全体．

3. 母集団のうち実際に観察される部分．

4. どの個体の組合せも等確率で取り出される抽出．

5. 確率分布の特性を表す定数．

6. 標本の関数．

7. 確率的な標本抽出にともなう統計量の分布．

2. 母集団分布を \mathrm{N}\left(\mu,\sigma^2\right) とする．母集団から無作為抽出した標本を (X_1,\dots,X_n) とする．

1. 標本平均を式で定義しなさい．

2. 標本平均の平均（期待値）が母平均に等しいことを示しなさい．

3. 標本平均の分散を求めなさい．

4. 標本平均の分布を求めなさい．

解答例

\bar{X}:=\frac{X_1+\dots+X_n}{n}

2. 期待値の線形性より

\begin{align*} \operatorname{E}\left(\bar{X}\right) & =\operatorname{E}\left(\frac{X_1+\dots+X_n}{n}\right) \\ & =\frac{\operatorname{E}(X_1+\dots+X_n)}{n} \\ & =\frac{\operatorname{E}(X_1)+\dots+\operatorname{E}(X_n)}{n} \\ & =\frac{\mu+\dots+\mu}{n} \\ & =\mu \end{align*}

3. X_1,\dots,X_n は独立なので

\begin{align*} \operatorname{var}\left(\bar{X}\right) & =\operatorname{var}\left(\frac{X_1+\dots+X_n}{n}\right) \\ & =\frac{\operatorname{var}(X_1+\dots+X_n)}{n^2} \\ & =\frac{\operatorname{var}(X_1)+\dots+\operatorname{var}(X_n)}{n^2} \\ & =\frac{\sigma^2+\dots+\sigma^2}{n^2} \\ & =\frac{\sigma^2}{n} \end{align*}

4. 正規分布の線形変換は正規分布なので

\bar{X} \sim \mathrm{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)