Una distribución de probabilidad continua describe cómo se reparte la probabilidad en una variable aleatoria que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de números reales.
Formalmente, una variable aleatoria continua \(X\) tiene asociada una función de densidad de probabilidad \(f(x)\) que cumple:
¡Observación!: En una distribución continua, la probabilidad de que \(X\) tome exactamente un valor específico es 0, es decir: \[ \mathbb{P}(X = x_0) = 0 \] por lo que siempre trabajamos con probabilidades en intervalos.
Una distribución uniforme continua describe una variable aleatoria continua \(X\) que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo \([a,b]\), y todos los valores del intervalo son igualmente probables.
Formalmente, la variable aleatoria continua \(X\) tiene una función de densidad de probabilidad \(f(x)\) que cumple:
La función de densidad es constante en el intervalo \([a,b]\): \[ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \le x \le b \] y fuera de ese intervalo vale 0.
La probabilidad total en el intervalo es 1: \[ \int_a^b \frac{1}{b-a}\,dx = 1 \]
La probabilidad de que \(X\) tome un valor entre \(c\) y \(d\), con \(a \le c < d \le b\), es proporcional a la longitud del intervalo: \[ \mathbb{P}(c \le X \le d) = \int_c^d \frac{1}{b-a}\,dx = \frac{d-c}{b-a} \]
En RStudio, la distribución uniforme continua sobre
el intervalo \([a,b]\) se trabaja
mediante las siguientes funciones, donde el argumento min
corresponde a \(a\) y max
corresponde a \(b\):
Función de densidad (dunif)
La densidad de \(X\) es \[
f_X(x) = \frac{1}{b-a},\quad a \le x \le b,
\]
En RStudio se evalúa en un punto \(x\) con:
dunif(x, min = a, max = b).
Función de distribución acumulada
(punif)
La distribución acumulada de \(X\)
es \[
F_X(q) = \mathbb{P}(X \le q).
\]
En RStudio se obtiene con:
punif(q, min = a, max = b).
qunif)qunif(p, min = a, max = b).Generación de simulaciones (runif)
Una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de la distribución uniforme \(U(a,b)\) se genera con:
runif(n, min = a, max = b).
Esperanza y varianza
Para \(X \sim U(a,b)\), la esperanza y la varianza son: \[ \mathbb{E}(X) = \frac{a+b}{2}, \qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}. \]
Supongamos que el tiempo de respuesta (en segundos)
de un estudiante a una pregunta corta en un cuestionario en línea se
modela como uniforme entre 20 y 50 segundos.
Es decir: \[
X \sim U(20, 50).
\]
A partir de este contexto, podemos usar cada función de RStudio:
Densidad en un punto
¿Cuál es la densidad de probabilidad en \(x
= 30\) segundos?
dunif(30, min = 20, max = 50).
Probabilidad acumulada
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea menor o
igual a 35 segundos?
punif(35, min = 20, max = 50).
Probabilidad en un intervalo
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta esté entre 25 y 40 segundos?
punif(40, min = 20, max = 50) - punif(25, min = 20, max = 50).
Cuantil
¿Por debajo de qué tiempo se encuentra el 90% de las
respuestas?
qunif(0.9, min = 20, max = 50).
Esperanza y varianza
\[ \mathbb{E}(X) = \frac{20 + 50}{2} = 35, \qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{(50 - 20)^2}{12}. \]
Ejercicio 1. Tiempo de espera del bus
El tiempo de espera (en minutos) para que llegue un bus en una parada se modela como una variable aleatoria continua \[ X \sim U(0,15). \]
Ejercicio 2. Longitud de tablas de madera
La longitud (en metros) de una tabla producida por una máquina se modela como \[ X \sim U(1.95, 2.05). \]
Ejercicio 3. Nivel de batería de un celular
El porcentaje de batería con el que los celulares de un curso encienden al comienzo de la clase se modela como \[ X \sim U(0.3, 0.9), \] donde \(X\) está medido en proporción (0 = 0%, 1 = 100%).
Ejercicio 4. Inicio de una reunión en línea
El horario de inicio efectivo de una reunión en línea se retrasa de manera uniforme entre 0 y 10 minutos respecto de la hora pactada. Sea \[ X \sim U(0,10), \] donde \(X\) es el retraso en minutos.
Ejercicio 5. Peso de envases de un producto
El peso (en gramos) de un envase de un producto alimenticio se modela como \[ X \sim U(495, 505). \]
Una distribución exponencial describe una variable aleatoria continua \(X\) que suele utilizarse para modelar tiempos de espera o tiempos entre eventos en un proceso que ocurre de manera continua y aleatoria (por ejemplo, tiempo hasta la próxima llamada, tiempo hasta que falle un componente, etc.).
Formalmente, la variable aleatoria continua \(X\) con parámetro \(\lambda > 0\) tiene una función de densidad de probabilidad \(f(x)\) que cumple:
La función de densidad es \[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\quad x \ge 0, \] y \(f(x) = 0\) para \(x < 0\).
La probabilidad total es 1: \[ \int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1. \]
La probabilidad de que \(X\) tome un valor entre \(c\) y \(d\), con \(0 \le c < d\), es \[ \mathbb{P}(c \le X \le d) = \int_c^d \lambda e^{-\lambda x}\,dx. \]
En RStudio, la distribución exponencial con
parámetro \(\lambda\) se trabaja
mediante las siguientes funciones, donde el argumento rate
corresponde al parámetro \(\lambda\)
(es decir, rate = lambda):
dexp)dexp(x, rate = lambda).pexp)pexp(t, rate = lambda).qexp)qexp(p, rate = lambda).rexp)rexp(n, rate = lambda).Supongamos que el tiempo de atención (en minutos)
hasta que un estudiante recibe respuesta de su profesor en un chat se
modela como exponencial con parámetro \(\lambda = 0{,}2\).
Es decir: \[
X \sim \text{Exponencial}(\lambda = 0{,}2).
\]
A partir de este contexto, podemos usar cada función de RStudio:
Densidad en un punto
¿Cuál es la densidad de probabilidad en \(x = 5\) minutos?
dexp(5, rate = 0.2).
Probabilidad acumulada
¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante reciba respuesta
antes de 10 minutos?
pexp(10, rate = 0.2).
Probabilidad en un intervalo
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta esté entre 5
y 15 minutos?
pexp(15, rate = 0.2) - pexp(5, rate = 0.2).
Cuantil
¿Por debajo de qué tiempo se encuentran el 90% de las
respuestas?
qexp(0.9, rate = 0.2).
Esperanza y varianza
Calcula la esperanza y la varianza teóricas de \(X\) usando las fórmulas de la distribución
exponencial: \[
\mathbb{E}(X) = \frac{1}{0{,}2}, \qquad
\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{0{,}2^2}.
\]
Ejercicio 1. Tiempo de falla de un componente electrónico
El tiempo de vida (en años) de cierto componente electrónico se modela como una variable aleatoria continua con distribución exponencial \[ X \sim \text{Exponencial}(\lambda = 0{,}5). \]
Ejercicio 2. Tiempos entre llamadas en un centro de atención
En un centro de atención telefónica, el tiempo (en minutos) entre dos llamadas consecutivas se modela como \[ X \sim \text{Exponencial}(\lambda = 0{,}4). \]
Ejercicio 3. Tiempo de respuesta de un servidor web
El tiempo de respuesta (en segundos) de un servidor web a una petición se modela como \[ X \sim \text{Exponencial}(\lambda = 1{,}5). \]
Ejercicio 4. Duración de una conexión a internet
La duración (en horas) de una conexión a internet antes de que se corte se modela como \[ X \sim \text{Exponencial}(\lambda = 0{,}25). \]
Ejercicio 5. Tiempo de atención en una mesa de ayuda
El tiempo de atención (en minutos) que un estudiante permanece en una mesa de ayuda se modela como \[ X \sim \text{Exponencial}(\lambda = 0{,}3). \]
Una distribución normal describe una variable
aleatoria continua \(X\) cuyos valores
se agrupan en torno a una media, formando una curva en forma de
campana, simétrica respecto de dicha media.
La distribución normal está determinada por dos parámetros:
Decimos que \[ X \sim N(\mu,\sigma^2). \]
Formalmente, la variable aleatoria continua \(X\) tiene una función de densidad de probabilidad \(f(x)\) que cumple:
La función de densidad es \[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad x \in \mathbb{R}. \]
La probabilidad total en la recta real es 1: \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx = 1. \]
La probabilidad de que \(X\) tome un valor entre \(a\) y \(b\), con \(a < b\), es \[ \mathbb{P}(a \le X \le b) = \int_a^b \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx. \]
En RStudio, la distribución normal se trabaja
mediante las siguientes funciones, donde los argumentos
mean y sd corresponden a la media \(\mu\) y a la desviación estándar \(\sigma\):
dnorm)dnorm(x, mean = mu, sd = sigma).pnorm)pnorm(q, mean = mu, sd = sigma).qnorm)qnorm(p, mean = mu, sd = sigma).rnorm)rnorm(n, mean = mu, sd = sigma).Supongamos que el puntaje obtenido por estudiantes
en una prueba estandarizada se modela como normal con media \(\mu = 500\) puntos y desviación estándar
\(\sigma = 100\) puntos.
Es decir: \[
X \sim N(500, 100^2).
\]
A partir de este contexto, podemos usar cada función de RStudio:
Densidad en un punto
¿Cuál es la densidad de probabilidad en \(x = 550\) puntos?
dnorm(550, mean = 500, sd = 100).
Probabilidad acumulada
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga un puntaje
menor o igual a 600 puntos?
pnorm(600, mean = 500, sd = 100).
Probabilidad en un intervalo
¿Cuál es la probabilidad de que el puntaje esté entre 450 y 650
puntos?
pnorm(650, mean = 500, sd = 100) - pnorm(450, mean = 500, sd = 100).
Cuantil
¿Por encima de qué puntaje se encuentra el 10% de
los estudiantes con mejores resultados?
(Es decir, el cuantil de orden \(0{,}90\)).
qnorm(0.90, mean = 500, sd = 100).
Esperanza y varianza
Calcula la esperanza y la varianza teóricas de \(X\) usando las fórmulas de la distribución
normal: \[
\mathbb{E}(X) = 500, \qquad
\operatorname{Var}(X) = 100^2.
\]
Ejercicio 1. Altura de estudiantes
La altura (en cm) de los estudiantes de un curso se modela como \[ X \sim N(165, 8^2). \]
Ejercicio 2. Tiempos de resolución de un ejercicio
El tiempo (en minutos) que tarda un estudiante en resolver cierto ejercicio se modela como \[ X \sim N(12, 3^2). \]
Ejercicio 3. Peso de paquetes enviados
El peso (en kg) de paquetes enviados por una empresa de envíos se modela como \[ X \sim N(2{,}5, 0{,}4^2). \]
Ejercicio 4. Puntaje en una prueba de matemáticas
El puntaje (en una escala de 0 a 100) de una prueba de matemáticas se modela como \[ X \sim N(60, 12^2). \]
Ejercicio 5. Consumo de combustible
El consumo (en litros por cada 100 km) de cierto modelo de automóvil se modela como \[ X \sim N(7{,}5, 0{,}9^2). \]