Dadas las ecuaciones: 1. \(\pi_{c}=\alpha(R-\delta P)+\beta \pi_{p}\) 2. \(\pi_{c}=\frac{dp}{dt}\) 3. \(\pi_{p}=\frac{dR}{dt}=\gamma(R-\delta P)\)
Primero, reescribimos las ecuaciones usando las definiciones de \(\pi_c\) y \(\pi_p\).
Sustituimos (3) en (1): \(\pi_{c} = \alpha(R-\delta P) + \beta [\gamma(R-\delta P)]\) \(\pi_{c} = (\alpha + \beta\gamma)(R-\delta P)\)
Ahora usamos la definición de \(\pi_c\) de (2): \(\frac{dp}{dt} = (\alpha + \beta\gamma)R - (\alpha + \beta\gamma)\delta P\)
La segunda ecuación del sistema es la definición de \(\pi_p\) de (3): \(\frac{dR}{dt} = \gamma R - \gamma\delta P\)
Ordenamos el sistema en términos de \(P\) y \(R\): \(\frac{dp}{dt} = -(\alpha + \beta\gamma)\delta P + (\alpha + \beta\gamma)R\) \(\frac{dR}{dt} = -\gamma\delta P + \gamma R\)
En forma matricial, esto es: \[\begin{pmatrix} \frac{dp}{dt} \\ \frac{dR}{dt} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(\alpha + \beta\gamma)\delta & (\alpha + \beta\gamma) \\ -\gamma\delta & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P \\ R \end{pmatrix}\]
Para hallar la trayectoria, resolvemos el sistema encontrando los autovalores (\(\lambda\)) de la matriz \(A = \begin{pmatrix} -(\alpha + \beta\gamma)\delta & (\alpha + \beta\gamma) \\ -\gamma\delta & \gamma \end{pmatrix}\).
Autovalores: El polinomio característico es \(\det(A - \lambda I) = 0\): \[\begin{vmatrix} -(\alpha + \beta\gamma)\delta - \lambda & (\alpha + \beta\gamma) \\ -\gamma\delta & \gamma - \lambda \end{vmatrix} = 0\] \((-(\alpha + \beta\gamma)\delta - \lambda)(\gamma - \lambda) - (-\gamma\delta)(\alpha + \beta\gamma) = 0\) \(\lambda^2 + [(\alpha + \beta\gamma)\delta - \gamma]\lambda = 0\) \(\lambda [ \lambda + ((\alpha + \beta\gamma)\delta - \gamma) ] = 0\)
Los autovalores son: * \(\lambda_1 = 0\) * \(\lambda_2 = \gamma - (\alpha + \beta\gamma)\delta\)
Autovectores: * Para \(\lambda_1 = 0\): \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \delta \end{pmatrix}\). * Para \(\lambda_2 = \gamma - (\alpha + \beta\gamma)\delta\): \(v_2 = \begin{pmatrix} \alpha + \beta\gamma \\ \gamma \end{pmatrix}\).
Solución General: \[\begin{pmatrix} P(t) \\ R(t) \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ \delta \end{pmatrix} + c_2 e^{\lambda_2 t} \begin{pmatrix} \alpha + \beta\gamma \\ \gamma \end{pmatrix}\] La trayectoria de \(P(t)\) es: \(P(t) = c_1 + c_2(\alpha + \beta\gamma)e^{\lambda_2 t}\)
Aplicar Condiciones Iniciales: 1. \(p(0) = p_0 \implies p_0 = c_1 + c_2(\alpha + \beta\gamma)\) 2. \(\dot{p}(0) = \pi_0\). Derivamos \(P(t)\): \(\dot{p}(t) = c_2(\alpha + \beta\gamma)\lambda_2 e^{\lambda_2 t}\) En \(t=0\): \(\pi_0 = c_2(\alpha + \beta\gamma)\lambda_2\)
Resolver para \(c_1\) y \(c_2\): De (2): \(c_2 = \frac{\pi_0}{(\alpha + \beta\gamma)\lambda_2}\) De (1): \(c_1 = p_0 - c_2(\alpha + \beta\gamma) = p_0 - \frac{\pi_0}{\lambda_2}\)
Trayectoria Final de \(P(t)\): \[P(t) = \left( p_0 - \frac{\pi_0}{\lambda_2} \right) + \frac{\pi_0}{\lambda_2} e^{\lambda_2 t}\] Donde \(\lambda_2 = \gamma - (\alpha + \beta\gamma)\delta\).
\(\pi_c(t) = \dot{p}(t)\): \[\pi_c(t) = \pi_0 e^{\lambda_2 t}\] Para \(\pi_p(t) = \dot{R}(t)\): \(R(t) = c_1\delta + c_2\gamma e^{\lambda_2 t}\) \(\pi_p(t) = \dot{R}(t) = c_2\gamma\lambda_2 e^{\lambda_2 t}\) \[\pi_p(t) = \left(\frac{\gamma \pi_0}{\alpha + \beta\gamma}\right) e^{\lambda_2 t}\]
El equilibrio ocurre cuando \(\dot{p} = 0\) y \(\dot{R} = 0\). Ambas ecuaciones se reducen a \(R = \delta P\). El sistema tiene una línea de equilibrios \(R^* = \delta P^*\).
Para que el sistema converja, \(\lambda_2 < 0\). \(\gamma - (\alpha + \beta\gamma)\delta < 0\) o \(\gamma < (\alpha + \beta\gamma)\delta\)
Dadas las ecuaciones (\(A, B > 0\)): \(\frac{dq}{dt} = Aq - p\) \(\frac{dp}{dt} = q - Bp + AB - 1\)
\[\begin{pmatrix} \frac{dq}{dt} \\ \frac{dp}{dt} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & -1 \\ 1 & -B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q \\ p \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ AB-1 \end{pmatrix}\]
Ponemos \(\dot{q} = 0\) y \(\dot{p} = 0\): 1. \(0 = Aq^* - p^*\) 2. \(0 = q^* - Bp^* + AB - 1\)
De (1), \(p^* = Aq^*\). Sustituimos en (2): \(0 = q^* - B(Aq^*) + AB - 1\) \(q^*(1 - AB) = 1 - AB\)
Asumiendo \(AB \neq 1\): \(q^* = 1\). \(p^* = A(1) = A\). El equilibrio es \(\begin{pmatrix} q^* \\ p^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ A \end{pmatrix}\).
Resolvemos el homogéneo \(\dot{X} = \begin{pmatrix} A & -1 \\ 1 & -B \end{pmatrix} X\).
Autovalores: \(\lambda^2 + (B - A)\lambda + (1 - AB) = 0\) \(\lambda_{1,2} = \frac{-(B - A) \pm \sqrt{(B - A)^2 - 4(1 - AB)}}{2}\)
Autovectores: \(v_i = \begin{pmatrix} 1 \\ A - \lambda_i \end{pmatrix}\)
Trayectoria General: (Asumiendo \(\lambda_1 \neq \lambda_2\) y \(AB \neq 1\)) \[\begin{pmatrix} q(t) \\ p(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{\lambda_1 t} \begin{pmatrix} 1 \\ A - \lambda_1 \end{pmatrix} + c_2 e^{\lambda_2 t} \begin{pmatrix} 1 \\ A - \lambda_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ A \end{pmatrix}\]
\(\begin{pmatrix} q_0 - 1 \\ p_0 - A \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ A - \lambda_1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ A - \lambda_2 \end{pmatrix}\) Las constantes son: \(c_1 = \frac{(p_0 - A) - (q_0 - 1)(A - \lambda_2)}{\lambda_2 - \lambda_1}\) \(c_2 = \frac{(q_0 - 1)(A - \lambda_1) - (p_0 - A)}{\lambda_2 - \lambda_1}\)
Usamos las Condiciones de Routh-Hurwitz en \(\lambda^2 + (B - A)\lambda + (1 - AB) = 0\). Todos los coeficientes deben ser positivos: 1. \(B - A > 0 \implies \mathbf{B > A}\) 2. \(1 - AB > 0 \implies \mathbf{AB < 1}\)
Sistema dado: \(\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.4 \\ 0.3 & 0.2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 100-x \\ 100-y \end{pmatrix}\)
\(\dot{x} = 0.3x + 0.4y + (100 - x) \implies \mathbf{\dot{x} = -0.7x + 0.4y + 100}\) \(\dot{y} = 0.3x + 0.2y + (100 - y) \implies \mathbf{\dot{y} = 0.3x - 0.8y + 100}\)
Ponemos \(\dot{x} = 0\) y \(\dot{y} = 0\): 1. \(0.7x - 0.4y = 100\) 2. \(0.3x - 0.8y = -100\)
Resolviendo, \(1.1x = 300 \implies \mathbf{x^*} = \mathbf{\frac{3000}{11}}\) Sustituyendo, \(\mathbf{y^*} = \mathbf{\frac{2500}{11}}\)
Equilibrio: \(\begin{pmatrix} x^* \\ y^* \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 272.73 \\ 227.27 \end{pmatrix}\).
Resolvemos el homogéneo \(\dot{X} = \begin{pmatrix} -0.7 & 0.4 \\ 0.3 & -0.8 \end{pmatrix} X\).
Autovalores: \(\lambda^2 + 1.5\lambda + 0.44 = 0\) * \(\lambda_1 = \mathbf{-0.4}\) * \(\lambda_2 = \mathbf{-1.1}\)
Autovectores: * Para \(\lambda_1 = -0.4\): \(v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) * Para \(\lambda_2 = -1.1\): \(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)
Trayectoria General: \[\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{-0.4t} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} + c_2 e^{-1.1t} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3000/11 \\ 2500/11 \end{pmatrix}\]
Definimos \(\tilde{x}_0 = x_0 - 3000/11\) y \(\tilde{y}_0 = y_0 - 2500/11\). 1. \(\tilde{x}_0 = 4c_1 + c_2\) 2. \(\tilde{y}_0 = 3c_1 - c_2\)
\(\mathbf{c_1 = \frac{1}{7}(\tilde{x}_0 + \tilde{y}_0)}\) \(\mathbf{c_2 = \frac{1}{7}(3\tilde{x}_0 - 4\tilde{y}_0)}\)
Los autovalores son \(\lambda_1 = -0.4\) y \(\lambda_2 = -1.1\). Ambos son reales y negativos, el sistema es asintóticamente estable (convergente). Es un nodo estable.
Sistema (corrigiendo el error tipográfico del PDF): \(\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & -1 \\ a^2 - b^2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}\)
\(\dot{x} = 2ax - y + \alpha\) \(\dot{y} = (a^2 - b^2)x + \beta\)
Ponemos \(\dot{x} = 0\) y \(\dot{y} = 0\): De (2): \(\mathbf{x^*} = -\frac{\beta}{a^2 - b^2} = \mathbf{\frac{\beta}{b^2 - a^2}}\) (asumiendo \(a^2 \neq b^2\)) De (1): \(\mathbf{y^*} = \mathbf{\alpha + \frac{2a\beta}{b^2 - a^2}}\)
Resolvemos el homogéneo \(\dot{X} = \begin{pmatrix} 2a & -1 \\ a^2 - b^2 & 0 \end{pmatrix} X\).
Autovalores: \(\lambda^2 - 2a\lambda + (a^2 - b^2) = 0\) \(\lambda_{1,2} = a \pm b\) * \(\lambda_1 = a + b\) * \(\lambda_2 = a - b\)
Autovectores: * Para \(\lambda_1 = a + b\): \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ a - b \end{pmatrix}\) * Para \(\lambda_2 = a - b\): \(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ a + b \end{pmatrix}\)
Trayectoria General: \[\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{(a+b)t} \begin{pmatrix} 1 \\ a-b \end{pmatrix} + c_2 e^{(a-b)t} \begin{pmatrix} 1 \\ a+b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x^* \\ y^* \end{pmatrix}\]
Definimos \(\tilde{x}_0 = x_0 - x^*\) y \(\tilde{y}_0 = y_0 - y^*\). \(\mathbf{c_1 = \frac{\tilde{x}_0(a+b) - \tilde{y}_0}{2b}}\) \(\mathbf{c_2 = \frac{\tilde{y}_0 - \tilde{x}_0(a-b)}{2b}}\) (Asumiendo \(b \neq 0\))
Para convergencia, \(Re(\lambda_1) < 0\) y \(Re(\lambda_2) < 0\). 1. \(a+b < 0\) 2. \(a-b < 0\) La condición que resume ambas es \(a < -|b|\).
Sistema: \(t \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) Sustitución: \(t = e^w \implies w = \ln(t)\). Regla de la cadena: \(\frac{dx}{dw} = \frac{dx}{dt} \cdot \frac{dt}{dw} = \frac{dx}{dt} \cdot t\).
El sistema se transforma en: \[\begin{pmatrix} \frac{dx}{dw} \\ \frac{dy}{dw} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]
Para \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}\): \(\frac{dx}{dw} = x + y\) \(\frac{dy}{dw} = -3x + 5y\)
\(\frac{dx}{dw} = 0, \frac{dy}{dw} = 0 \implies x = 0, y = 0\). El equilibrio es \(\mathbf{(x^*, y^*) = (0, 0)}\).
Resolvemos \(\frac{d}{dw}X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} X\).
Autovalores: \(\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0 \implies (\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0\) * \(\lambda_1 = 2\) * \(\lambda_2 = 4\)
Autovectores: * Para \(\lambda_1 = 2\): \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) * Para \(\lambda_2 = 4\): \(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)
Trayectoria General (en \(w\)): \(\begin{pmatrix} x(w) \\ y(w) \end{pmatrix} = c_1 e^{2w} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{4w} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)
Trayectoria General (en \(t\)): Sustituimos \(e^{2w} = t^2\) y \(e^{4w} = t^4\): \(\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = c_1 t^2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 t^4 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) O: \(x(t) = c_1 t^2 + c_2 t^4\) \(y(t) = c_1 t^2 + 3c_2 t^4\)
Aplicamos las condiciones a la trayectoria: \(x(0) = c_1(0)^2 + c_2(0)^4 = 0 \implies \mathbf{x_0 = 0}\). \(y(0) = c_1(0)^2 + 3c_2(0)^4 = 0 \implies \mathbf{y_0 = 0}\). La única trayectoria es la trivial \(\mathbf{x(t) = 0, y(t) = 0}\).
Los autovalores son \(\lambda_1 = 2\) y \(\lambda_2 = 4\). Como ambos son positivos, el sistema es inestable (divergente). Es un nodo inestable.