Normal

\[X \sim N (\mu, \sigma^2)\]

x<-rnorm(1000,5,2)
hist(x)

plot(density(x))

\[Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\] # Muestra aleatoria \[X_1, X_2, \dots, X_n \sim (i.i.d.) N(\mu, \sigma^2)\]

Estimador: Estadística que se aproxima en algún sentido al parámetro

\[T(X_1,X_2,\dots,X_n)\]

Estimador de la media

\[\bar X \sim N(\mu,\sigma^2/n)\]

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\]

En la mayoría de los casos no se conoce la varainza, hay que estimarla

\[Z \sim N(0,1)\]

\[Z^2 \sim \chi^2_1\]

z<-rnorm(1000)
w<-z^2
hist(w)

w<-rchisq(100,1)
plot(density(w))

\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]

\[H_0: \sigma = \sigma_0\]

\[H_a: \sigma \neq \sigma_0\]

Se rechaza la hipótesis nula cuando p valor menor a \(\alpha = 0.05\)

qnorm(1-0.02)
## [1] 2.053749
qt(0.95,18)
## [1] 1.734064
qchisq(0.95,25)
## [1] 37.65248

Una muestra aleatoria de 25 valores de datos se selecciona de una población con distribución normal con el propósito de estimar la media poblacional, . Los estadísticos muestrales son n = 25, x = 28.6 y s = 3.50. a. Encuentra la estimación puntual para 

28.6

  1. Encuentra el error máximo de estimación para la media

3.5/5=0.7

3.5/5
## [1] 0.7
3.5-0.7
## [1] 2.8

\[ T = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} \]

n<-25
me<-28.6
s<-3.5
a<-0.05
LI<- me+qt(a/2,n-1)*s/sqrt(n)
LI
## [1] 27.15527
LS<- me+qt(1-a/2,n-1)*s/sqrt(n)
LS
## [1] 30.04473
c(LI,LS)
## [1] 27.15527 30.04473

Recientemente se les aplicó un examen estandarizado nacional para poner a prueba sus habilidades de composición a miles de estudiantes de una escuela elemental del área. Si de una muestra aleatoria de 100 estudiantes 64 aprobaron el examen, construye la estimación del porción de todos los estudiantes del área que aprobaron el examen.

n<-100
x<-64
prop.test(x,n)
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  x out of n, null probability 0.5
## X-squared = 7.29, df = 1, p-value = 0.006934
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5372745 0.7318279
## sample estimates:
##    p 
## 0.64

\[(0.5372745 ; 0.7318279)\] \[H_0: p= 0.6\]

n<-100
x<-64
prop.test(x,n,conf.level = 0.98)
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  x out of n, null probability 0.5
## X-squared = 7.29, df = 1, p-value = 0.006934
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 98 percent confidence interval:
##  0.5187645 0.7462345
## sample estimates:
##    p 
## 0.64

Enuncia las hipótesis nula que usarías para poner a prueba cada una de las siguientes a. El peso medio de los jugadores profesionales de básquetbol es de no más de 225 lb.

\[H_0: \mu \leq 225\]

\[H_a: \mu > 225\]

  1. Aproximadamente 40% de los estudiantes diurnos tienen su propio carro.

  2. La desviación estándar para las cantidades mensuales de lluvia en el condado Monroe es menor a 3.7 pulgadas.

INFERENCIA EN DOS POBLACIONES

\[S_X/S_y \sim F^{n-1}_{m-1}\] # QUIZ

  1. Diferencia entre muestras independientes y pareadas.

  2. Si hay 100 individuos cuantos grados de libertad tiene la distribución chi

  3. Cuando se usa normal y cuando t

\[\sigma / \sqrt{n} -------> 0\]

qf(0.95,24, 12)
## [1] 2.505482
x<-c(76 ,60 ,85 ,58 ,91
,44 ,82 ,64 ,79 ,88)
y<-c(81, 62, 87, 70, 86,
77, 90, 63, 85, 83)
t.test(x,y)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  x and y
## t = -0.97906, df = 15.526, p-value = 0.3426
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -18.072556   6.672556
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##      72.7      78.4
t.test(x,y,paired = T)
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  x and y
## t = -1.6363, df = 9, p-value = 0.1362
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -13.580118   2.180118
## sample estimates:
## mean difference 
##            -5.7