Introducciòn

El presente informe corresponde al Laboratorio 2 de Derivados Financieros, donde el objetivo de este es analizar una estrategia de inversión con un plazo de 10 años, fundamentada en un portafolio diversificado que incluya tres acciones, en este caso, Intel Corporation (INTC), The Coca-Cola Company (KO) y Bank of America Corporation (BAC) y un capital inicial de 10 millones de dólares. Mediante el estudio de datos históricos desde el 1 de octubre de 2023 al día de hoy, se elabora un portafolio óptimo siguiendo el método de media-varianza de Markowitz (1952), el cual ayuda a identificar si los activos seleccionados logran equilibrar el riesgo y dar los rendimientos esperados.

Para proyectar los precios futuros, se realiza una simulación utilizando el Modelo de Movimiento Geométrico Browniano (MGB), que es comúnmente empleado en la valoración de precios de activos financieros debido a su habilidad para describir procesos estocásticos con un crecimiento exponencial constante (Hull, 2018). Este modelo permite prever la conducta de los activos a lo largo del periodo de inversión, haciendo posible el análisis de su rendimiento.

El análisis incluye indicadores financieros como:

  • el índice de Sharpe (Sharpe, 1966).
  • la volatilidad
  • los precios anticipados por trimestre
  • Valor en Riesgo (VaR) al 1% y 5%,

con el propósito de medir la rentabilidad ajustada al riesgo del portafolio (Jorion, 2007). Además, se elabora una estrategia de cobertura mediante la valuación de opciones europeas y americanas, tanto de compra como de venta, con pagos trimestrales y un nivel de cobertura del 85% de la inversión, apoyado en la tasa de los bonos del tesoro a 10 años.

Lo que se busca con este informe es demostrar cómo el uso de estos instrumentos de derivados financieros pueden reducir el riesgo del mercado, aumentar la estabilidad de los rendimientos y optimizar la gestión del portafolio ante la volatilidad, contribuyendo a una administración más eficaz del capital a largo plazo.

1. Objetivo general

Evaluar la eficiencia de un método de cobertura para un conjunto de inversiones compuesto por tres acciones, Intel Corporation (INTC), The Coca-Cola Company (KO) y Bank of America Corporation (BAC), a través del desarrollo de árboles binomiales y la valoración de opciones tanto europeas como americanas, con el objetivo de maximizar el rendimiento ajustado al riesgo y minimizar la exposición a la volatilidad del mercado a lo largo de un periodo de inversión de diez años.

1.1 Objetivos específicos

  1. Crear un portafolio de inversión, con un total de 10 millones de dólares, organizado de acuerdo al modelo de media-varianza y utilizando datos históricos desde el 1 de octubre de 2023.

  2. Simular el comportamiento futuro de los precios de los activos incluidos en el portafolio usando el modelo de Movimiento Geométrico Browniano (MGB), evaluando los posibles resultados de rentabilidad y riesgo hasta el periodo de inversión establecido.

  3. Analizar el rendimiento del portafolio a través de indicadores financieros fundamentales, como el índice de Sharpe, la volatilidad, el valor esperado trimestral y el Valor en Riesgo (VaR) con niveles de confianza del 1% y del 5%.

  4. Evaluar las opciones europeas y americanas de tipo call y put sobre cada uno de los activos del portafolio utilizando el modelo de árbol binomial, con el objetivo de encontrar instrumentos adecuados para gestionar el riesgo.

  5. Desarrollar una estrategia de cobertura apalancada que proteja el 85% del valor del portafolio a través de la tasa del bono del Tesoro a 10 años, justificando la asignación de fondos, la distribución del capital entre activos y la eficacia de la cobertura en los flujos trimestrales hasta la fecha de vencimiento.

2. Metodología

El desarrollo para este laboratorio se basa en un enfoque cuantitativo y analítico, orientado a la simulación de escenarios financieros y a la aplicación de modelos de valoración de derivados para la gestión del riesgo, estructurado en los siguientes puntos: 1. Selección de activos y recolección de datos históricos. 2. Construcción del portafolio de inversión. 3. Simulación de precios futuros. 4. Análisis de desempeño del portafolio. 5. Valoración de opciones y construcción de árboles binomiales. 6. Diseño de la estrategia de cobertura.

2.1. Fuentes de información

Se utilizaron fuentes cuantitativas, financieras y académicas como:

  • Yahoo Finance: para la obtención de precios históricos de las acciones, tasas de dividendo y volatilidades implícitas.

  • U.S. Department of the Treasury: para la consulta de tasas de interés de los bonos del Tesoro a 10 años.

  • Bases de datos financieras en R (paquetes quantmod, tidyquant, PerformanceAnalytics y tseries): para la descarga, procesamiento y análisis de series temporales.

  • Literatura académica y técnica sobre modelos de valoración y gestión de riesgo financiero (Hull, J. Options, Futures and Other Derivatives; Bodie, Kane & Marcus, Investments).

3. Desarrollo del trabajo

En esta parte se relacionan los procedimientos y resultados obtenidos en cada una de las fases del laboratorio de cobertura de inversión. El trabajo se estructura en tres puntos principales: la construcción del portafolio de media-varianza, el análisis de desempeño y riesgo, y la valoración de opciones para la cobertura. Cada apartado incluye el código utilizado en R, las simulaciones realizadas mediante el modelo de Movimiento Geométrico Browniano (MGB) y los análisis correspondientes sobre la rentabilidad, volatilidad y efectividad de la estrategias de cobertura aplicadas al portafolio.

3.1. Parte 1: Creacion del portafolio y simulacion del precio con MGB

Para crear la estrategia de inversión, se escogieron tres acciones de diferentes sectores económicos con el objetivo de formar un portafolio diversificado. Las empresas seleccionadas fueron: Intel Corporation (INTC), que forma parte del sector tecnológico The Coca-Cola Company (KO), del sector de consumo masivo o bàsico. Bank of America Corporation (BAC), que representa al sector financiero. Esta elección tiene como propósito minimizar el riesgo no sistemático a través de la diversificación sectorial.

En cuanto a los datos iniciales se tiene una inversión total de diez millones de dólares. se emplearon los rendimientos históricos de las tres acciones desde el 1 de octubre de 2023, a partir de los cuales se estimaron la media, varianza y covarianza de los rendimientos.

El gráfico ilustra cómo ha cambiado el precio de cierre de tres acciones Bank of America (BAC), Intel Corporation (INTC) y The Coca-Cola Company (KO) desde octubre de 2023 hasta la fecha.

Se puede notar que KO (Coca-Cola) exhibe un comportamiento más constante y seguro, con precios que fluctúan entre 55 y 70 USD. Esta consistencia está relacionada con su ubicación en el sector de consumo básico, que tiende a ser menos sensible a los ciclos económicos, ya que la demanda de sus productos suele permanecer estable incluso en tiempos de recesión (Bodie, Kane y Marcus, 2021). De acuerdo con Investopedia (2024), este tipo de activos tiende a mostrar menor volatilidad y actúa como refugio en carteras diversificadas. En cuanto a BAC (Bank of America), muestra un rango de precios moderado (aproximadamente 30-40 USD) con cambios regulares, característicos del sector financiero, el cual está íntimamente relacionado con el ciclo económico y las variaciones en las tasas de interés. Como indica Damodaran (2023), las acciones de bancos suelen mostrar una relación positiva con las tasas de interés y la actividad de crédito, lo que justifica su comportamiento cíclico.

Por otro lado, INTC (Intel) presenta el nivel más alto de volatilidad, con caídas significativas y posteriores repuntes, variando entre 20 y 45 USD. Esto es típico del sector tecnológico, que a menudo demuestra una gran sensibilidad al riesgo del mercado y a la innovación. Según Morningstar (2024), las empresas tecnológicas suelen tener betas más altas y experimentan mayores oscilaciones en los precios debido a expectativas de crecimiento y cambios en la competencia.

En conjunto, la combinación de estos tres activos supone una estrategia de diversificación sectorial, incorporando empresas de tecnología, consumo básico y servicios financieros. Según Markowitz (1952), la diversificación ayuda a minimizar el riesgo no sistemático al incluir activos que no están perfectamente correlacionados entre sí.

Tabla 1. Media y desviación estándar diaria de los retornos logarítmicos
Activo Media_Diaria Desv_Diaria
BAC BAC 0.001328 0.016232
INTC INTC 0.000125 0.035562
KO KO 0.000477 0.009859

La Tabla 2 muestra que Bank of America (BAC) tiene la mayor rentabilidad promedio diaria con 0. 0013, lo que indica un buen desempeño. En cambio, Intel (INTC) tiene la menor media diaria de 0. 0001, lo que sugiere un rendimiento más variable. Coca-Cola (KO) presenta una media de 0. 0004, mostrando un crecimiento estable.

Respecto al riesgo, INTC tiene la desviación estándar más alta (0. 0355), lo que indica su alta volatilidad. KO tiene la menor desviación (0. 0098), confirmando su estabilidad. BAC se sitúa en un nivel intermedio con una desviación de 0. 0162. Estas observaciones coinciden con lo que dicen Bodie y Marcus (2021) sobre el riesgo de acciones tecnológicas y la estabilidad de empresas de consumo básico.

kable(as.data.frame(cov_mat), 
      caption = "Tabla 2.
      Matriz de covarianzas anualizada de los retornos logarítmicos")
Tabla 2. Matriz de covarianzas anualizada de los retornos logarítmicos
BAC INTC KO
BAC 0.0663985 0.0419550 0.0025619
INTC 0.0419550 0.3186956 0.0021669
KO 0.0025619 0.0021669 0.0244953

La matriz de covarianzas anualizada indica cómo se relacionan los movimientos de los retornos de tres acciones a lo largo del tiempo. La covarianza más alta se da entre BAC e INTC (0. 0420), lo que sugiere que ambos títulos suelen trasladarse en conjunto. Esto puede ser el resultado de su similar reacción a factores económicos generales, como las variaciones en las tasas de interés. Las covarianzas de KO con los otros dos activos son considerablemente más bajas (0. 0025 con BAC y 0. 0021 con INTC), lo que implica una débil correlación y un potencial más elevado de diversificación al añadir KO al portafolio.

En términosde riesgo individual, la mayor diferencia se observa entre INTC y otros 3193), lo que sugiere una considerable volatilidad, mientras KO presenta la varianza más baja (0. 0245). Esto apoya la noción de combinar activos de diferentes sectores para minimizar el riesgo total del portafolio, de acuerdo con la teoría de diversificación propuesta por Markowitz en 1952.

Se realiza una simulación Monte Carlo de 5.000 combinaciones aleatorias de pesos de inversión entre tres activos (INTC, KO y BAC), con el propósito de construir y analizar la frontera eficiente del portafolio bajo el enfoque de media-varianza, con el fin de identificar las combinaciones óptimas de los tres activos INTC, KO y BAC que ofrecen el mejor equilibrio entre riesgo y rendimiento esperado.
Tabla 3. Pesos del Portafolio de Varianza Mínima
INTC KO BAC
0.245 0.022 0.733

BAC, KO e INTC acaparan el 73.3%, 2.2% y 24.5% del portafolio de mínima varianza respectivamente, según la Tabla 3. Esta combinación reduce el riesgo total del portafolio debido a la diversificación entre activos con diferentes niveles de correlación y volatilidad. BAC tiene el mayor peso, lo que significa que es el activo con la mejor relación entre riesgo y retorno dentro de la estructura óptima. Es decir, BAC es el activo que más ayuda a disminuir la volatilidad total del portafolio por su menor riesgo individual y su escasa correlación con los demás activos.

Tabla 4. Pesos del Portafolio Tangencial (Máxima Razón de Sharpe)
INTC KO BAC
0.673 0.001 0.326

Los pesos del portafolio tangencial, que optimiza la razón de Sharpe (o sea, la rentabilidad ajustada por riesgo), son mostrados en la Tabla 4. En este caso, INTC tiene una ventaja con el 67,3%, lo que señala que brinda el mayor retorno por cada unidad de riesgo.

De acuerdo al grafico 2 Bank of America (BAC) es el principal componente del portafolio de varianza mínima, ocupando aproximadamente el 73% del mismo; le siguen Intel (INTC) y, en menor medida, Coca-Cola (KO). Esto señala que BAC contribuye de manera importante a la estabilidad del portafolio, proporcionando un equilibrio entre el retorno y una correlación baja con otros activos, lo cual reduce la volatilidad total del conjunto.

Intel (INTC) es la compañía que más impacta el portafolio tangencial, con aproximadamente un 67%, seguida de BAC; por su parte, KO apenas tiene participación. Esto muestra que INTC contribuye con un potencial de rendimiento más alto, aunque con un riesgo mayor, lo cual hace que la eficiencia del portafolio aumente en términos de frontera de Markowitz. En otras palabras, con el propósito de maximizar la rentabilidad ajustada por riesgo, el inversionista asume un riesgo mayor.

El gráfico 4 muestra las combinaciones más adecuadas entre riesgo y rendimiento para las tres acciones que se están evaluando. Cada punto representa un portafolio simulado, en el que el color indica su Ratio de Sharpe (una medida de la eficiencia entre riesgo y rendimiento). El portafolio tangencial (en azul) maximiza el Ratio de Sharpe, lo que significa que alcanza la mejor proporción entre rentabilidad y riesgo (Markowitz, 1952), mientras que el portafolio de varianza mínima (en rojo) presenta el menor riesgo posible, aunque con un rendimiento inferior. En este caso, la frontera muestra que al fusionar activos con distintos grados de volatilidad se presenta un balance eficaz entre el riesgo y el retorno.

Las simulaciones realizadas mediante el modelo de Geometría Browniana muestran la posible evolución de los precios de INTC, KO y BAC durante un horizonte de 10 años.

En cada gráfico se observan 1,000 trayectorias simuladas que representan distintos escenarios posibles, las cuales son representadas en los gráficos por líneas semitransparentes y una línea roja que ilustra el promedio de los caminos simulados. En los resultados, INTC muestra una dispersión de precios más amplia, lo que significa que es muy volátil y, por lo tanto, tiene un riesgo mayor a largo plazo. BAC se ubica en un punto medio entre los dos comportamientos, mientras KO exhibe trayectorias más concentradas alrededor del promedio, lo que demuestra su naturaleza defensiva y su menor exposición al riesgo. las simulaciones son consistentes con las desviaciones históricas que se han detectado y apuntan a que INTC proporciona un potencial de retorno más alto, aunque con una volatilidad mayor; en cambio, KO y BAC funcionan como activos defensivos y relativamente más estables

3.2. Parte 2: Criterio Financieros

El segundo paso consistió en analizar el comportamiento financiero y la magnitud del riesgo del portafolio creado, utilizando para su valoración indicadores cuantitativos fundamentales.

El índice de Sharpe se calcula para examinar cómo se relacionan el riesgo asumido y el rendimiento esperado, contrastando la rentabilidad del portafolio con la del activo libre de riesgo. También se calcula la volatilidad de los retornos como un indicador de dispersión de los precios simulados.

Media y desviación anual de retornos (por activo)
Activo Mean_Annual SD_Annual
BAC BAC 0.334589 0.257679
INTC INTC 0.031397 0.564531
KO KO 0.120228 0.156510
Métricas de portafolio (anuales)
Portafolio Return Vol Sharpe
MinVar 0.1707987 0.1369050 0.9486044
Tangency 0.2645097 0.1840537 1.2147529

Las métricas anuales evidencian diferencias significativas en el perfil de riesgo-retorno de los tres activos que se han examinado. BAC sobresale como el activo con la mejor relación entre retorno y riesgo, ya que cuenta con una volatilidad moderada de 25.8% y un rendimiento anual esperado del 32.84%. KO muestra un comportamiento más defensivo, con una rentabilidad intermedia de 11.44% y la volatilidad más baja (15.7%). Por otro lado, INTC tiene la volatilidad más alta (56.6%) y una rentabilidad muy baja (3.45%), lo que lo convierte en el activo con mayor riesgo del grupo. Respecto a los portafolios, el de mínima varianza presenta un índice de Sharpe de 0.91, una volatilidad baja del 13.70% y una rentabilidad anual esperada del 16.51%, lo que demuestra un enfoque en la estabilidad con un rendimiento aceptable.

Tabla 7. Precios esperados por trimestre
Quarter INTC KO BAC
1 37.90 71.52 54.13
2 37.91 71.52 54.15
3 37.93 71.51 54.15
4 37.98 71.50 54.20
5 37.97 71.51 54.25
6 37.96 71.52 54.27
7 38.01 71.53 54.28
8 37.98 71.55 54.30
9 37.96 71.55 54.32
10 37.96 71.58 54.32
11 37.92 71.59 54.35
12 37.92 71.60 54.37
13 37.91 71.61 54.40
14 37.91 71.62 54.43
15 37.93 71.62 54.46
16 37.95 71.62 54.45
17 37.96 71.63 54.46
18 37.95 71.62 54.45
19 37.91 71.65 54.44
20 37.87 71.66 54.45
21 37.86 71.66 54.47
22 37.85 71.65 54.50
23 37.88 71.65 54.52
24 37.89 71.67 54.54
25 37.86 71.67 54.56
26 37.84 71.66 54.59
27 37.84 71.66 54.62
28 37.82 71.69 54.64
29 37.84 71.69 54.65
30 37.85 71.70 54.65
31 37.87 71.71 54.66
32 37.86 71.73 54.70
33 37.89 71.71 54.69
34 37.85 71.72 54.71
35 37.82 71.72 54.73
36 37.78 71.71 54.77
37 37.77 71.73 54.78
38 37.77 71.76 54.79
39 37.80 71.76 54.80
40 37.84 71.78 54.81

El avance de los precios proyectados para cada trimestre es estable en los tres activos. El rendimiento esperado es muy bajo y la incertidumbre es alta, lo que se manifiesta en que INTC sostiene valores casi invariables alrededor de los USD 38. KO muestra una trayectoria estable alrededor de USD 71.7, lo que confirma su bajo nivel de volatilidad y su comportamiento defensivo. BAC muestra una ligera tendencia al alza, subiendo de USD 54.1 a USD 54.8, lo que señala un rendimiento positivo y moderado. Los resultados en general indican que BAC y KO brindan estabilidad, mientras que INTC proporciona un retorno bajo con un riesgo mayor.

Valor de portafolio esperado por trimestre (promedio de simulaciones)
Quarter PortVal_MinVar PortVal_Tang
1 10003098 10002641
2 10007061 10006271
3 10008191 10009358
4 10018361 10021581
5 10024434 10022767
6 10026303 10022607
7 10031115 10031005
8 10031764 10027034
9 10033545 10026007
10 10032672 10024300
11 10034681 10019959
12 10037896 10021768
13 10041211 10021076
14 10045267 10022487
15 10050836 10028686
16 10050575 10031199
17 10051671 10033074
18 10050256 10030940
19 10046143 10023561
20 10045889 10017304
21 10047901 10017214
22 10050587 10016284
23 10055311 10023587
24 10059462 10026650
25 10059132 10021742
26 10062553 10020855
27 10066007 10021368
28 10067950 10019715
29 10070454 10024371
30 10070972 10025727
31 10073636 10028855
32 10078841 10030529
33 10079568 10034506
34 10079397 10029637
35 10080847 10025740
36 10082514 10020064
37 10083580 10018823
38 10084884 10019617
39 10088342 10025836
40 10092465 10032837

Los valores esperados de los portafolios muestran un comportamiento estable y ligeramente creciente a lo largo del horizonte trimestral. El portafolio de mínima varianza mantiene una trayectoria suave y constante, pasando de aproximadamente 10.003.098 a 10.092.465 unidades monetarias, lo que refleja su enfoque conservador y eficiente en la reducción del riesgo (Markowitz, 1952). En cambio, el portafolio de tangencia presenta fluctuaciones algo mayores, aunque con un nivel final similar, coherente con su naturaleza de maximizar la rentabilidad ajustada al riesgo (Sharpe, 1966). En conjunto, ambos portafolios evidencian estabilidad y consistencia, confirmando que la diversificación optimizada permite obtener rendimientos sostenidos con niveles controlados de volatilidad en el tiempo.

Tabla 8. VaR (simulado) por trimestre - Portafolio Tangencial (primeras 8 trimestres)
Quarter VaR_1 VaR_5
1 0.0265814 0.0194668
2 0.0379213 0.0276393
3 0.0466980 0.0333694
4 0.0518102 0.0367523
5 0.0565321 0.0392817
6 0.0602408 0.0425210
7 0.0653064 0.0472268
8 0.0674689 0.0514498
VaR paramétrico por trimestre (retornos)
Portafolio ParamVaR_1 ParamVaR_5
MinVar 0.1165447 0.0698947
Tangency 0.1479590 0.0852432

El VaR, tanto simulado como paramétrico, se evalúa trimestralmente y permite que los riesgos de los portafolios Tangency y MinVar sean comparados a través del tiempo. Los VaR simulados del portafolio tangencial presentan un incremento paulatino durante los primeros ocho trimestres, al pasar del 2,66% (VaR 1%) y 1,95% (VaR 5%) al 6,75% y 5,14%, lo que señala que las pérdidas extremas se acumulan en horizontes más prolongados debido a la volatilidad. La tabla de VaR paramétrico muestra pérdidas porcentuales anticipadas bajo el supuesto de rendimientos normales. Para MinVar, el VaR es 11,81 % al 1 % y 7,14 % al 5 %. Por su parte, para Tangency estos valores son de 16,02 % y 9,36 %, respectivamente. Esto confirma que Tangency ofrece una rentabilidad esperada más alta pero también asume riesgos mucho mayores.

Este análisis se complementa con el gráfico de evolución del VaR simulado, que presenta para los dos portafolios curvas en ascenso y una diferencia sostenida entre estos: Tangency sostiene un VaR más alto que el de MinVar en los dos niveles de confianza, lo que demuestra su perfil más agresivo. En resumen, el portafolio tangencial podría producir más ventajas, pero con pérdidas potenciales más graves en situaciones desfavorables. Por su parte, MinVar protege mejor el capital frente a movimientos extremos del mercado.

Tabla 8. Resumen estadístico de retornos trimestrales - Portafolio Tangencial (primeros 8 trimestres)
Quarter Mean Median SD Skew Kurt
1 0.0002641 -0.0000684 0.0127385 0.1920074 0.1620833
2 0.0006271 0.0004003 0.0180025 0.1856607 0.0064940
3 0.0009358 0.0010981 0.0214117 0.1225215 -0.0469436
4 0.0021581 0.0019116 0.0243512 0.1438904 0.0307992
5 0.0022767 0.0015022 0.0271669 0.1727905 0.1236118
6 0.0022607 0.0013846 0.0289925 0.2432493 0.1119208
7 0.0031005 0.0008541 0.0315080 0.2551731 0.3266347
8 0.0027034 0.0017606 0.0336678 0.2125590 0.1013532

La gráfica que representa el valor esperado de las carteras MinVar y Tangencial durante 40 trimestres indica que la cartera de mínima varianza aumenta de manera constante y estable, a diferencia del portafolio tangencial, que muestra fluctuaciones más pronunciadas, lo cual demuestra su mayor exposición al riesgo. A pesar de que el tangencial maximiza la relación Sharpe, su rendimiento puede verse influido por la inestabilidad del mercado en plazos largos. Además, el análisis estadístico de los primeros ocho trimestres del portafolio tangencial señala que los retornos medios y medidos suben un poco a medida que pasa el tiempo; sin embargo, la desviación estándar se eleva de 1,27% a 3,37%, lo cual muestra un aumento en el riesgo.

La curtosis próxima a cero y los coeficientes de asimetría positivos indican que las ganancias son relativamente simétricas y no tienen colas extremas relevantes. En su totalidad, estos hallazgos revelan que el portafolio tangencial tiene la capacidad de crecer moderadamente, pero con más fluctuaciones y susceptibilidad a impactos del mercado; en cambio, el MinVar se enfoca en mantener la estabilidad y conservar el capital.

3.3. Parte 3: Valuación de opciones

La implementación de una estrategia de cobertura sobre el portafolio y la evaluación de instrumentos derivados fueron los temas tratados en la tercera etapa. Se crearon árboles binomiales para cada una de las tres acciones, con el objetivo de evaluar opciones europeas y americanas, incluyendo tanto las de tipo put como las de tipo call, con vencimientos trimestrales. Los precios de ejercicio (strike) se establecieron basándose en la volatilidad implícita, la liquidez y el open interest del mercado.

Se creó una estrategia de cobertura con base en estos modelos, la cual ampara el 85% del valor total del portafolio. Esta se financió por medio de un esquema de apalancamiento a la tasa del bono del Tesoro a 10 años, que se utilizó como referencia para el coste de financiación.

Opciones tipo Call: Se puede ver en el gráfico que, a medida que se acerca la fecha de vencimiento, el valor de las Calls va en aumento. Esto muestra el impacto del valor temporal y la probabilidad más alta de conseguir beneficios cuando se extiende el horizonte. Como no tiene sentido ejercer anticipadamente en ausencia de dividendos, las Calls europeas y americanas son idénticas. Por lo tanto, una opción Call americana tiene el mismo valor que la europea, y no se obtienen beneficios al pagar un precio adicional por la flexibilidad de ejercerla antes.

Opciones tipo put: Por otro lado, las puts americanas tienen valores más altos que las europeas a lo largo de todo el periodo, por la posibilidad de ejercerlas antes del tiempo en situaciones de grandes descensos del activo subyacente. Esto le da la posibilidad al inversionista de protegerse contra las pérdidas y conseguir beneficios inmediatos. La volatilidad y el precio inicial de cada activo son los factores principales que explican las diferencias entre las acciones BAC, INTC y KO, ya que estos elementos son cruciales para el valor de las opciones Put.

Estrategia de cobertura con opciones PUT americanas usando el portafolio con máximo sharpe (tangencial)

Al obtener opciones de venta estadounidenses en el dinero (ATM) sobre todos los activos de la cartera, pudieron proteger la inversión contra caídas del mercado hasta en un 85% del valor global. La selección de las opciones put americanas se basa en su capacidad de ejercicio anticipado, lo que brinda protección ante movimientos bruscos del mercado, a diferencia de las europeas que solo pueden ser ejercidas al momento de su vencimiento.

La protección se financia en parte utilizando apalancamiento a la tasa libre de riesgo (bono del Tesoro), y se asumen pagos cada tres meses hasta que el derivado expire. Los análisis indican que el costo total de la cobertura es razonable en el corto plazo (un trimestre), pero aumenta de manera exponencial en períodos más extendidos (diez años) debido al efecto acumulativo de la prima y al interés compuesto resultante del apalancamiento.

Tabla 9. Cobertura 85% por activo (contratos y costos aproximados)
Symbol Weight Exposure Shares_to_cover Contracts AmPut_Q1 Cost_Q1 AmPut_Q40 Cost_Q40
INTC 0.6733772 6733772.27 151062 1511 4.06 612961.80 17.13 2588290.02
KO 0.0007250 7249.88 87 1 1.93 193.31 6.22 622.03
BAC 0.3258978 3258977.85 51195 512 2.54 129805.78 9.75 499290.27 
## Costo total cobertura 1 trimestre:  742960.9 USD
## Costo total cobertura 10 años:  3088202 USD
## Interés estimado (apalancamiento Tesoro): Q1 = 7641.38 USD; Q40 = 1561900 USD

El análisis de cobertura demuestra que, para el primer trimestre, garantizar un 85% de la exposición de los activos a través de opciones tiene un coste total de cobertura de 742.961 USD; en diez años, este monto asciende a 3.088.202 USD. Según el desglose por activo, INTC constituye la parte más grande del costo, con 612.962 USD en el primer trimestre y 2.588.290 USD en el trigésimo noveno trimestre, debido a su elevado peso en la cartera y a su notable volatilidad. BAC también tiene una contribución importante, con un costo de 129.806 USD en el primer trimestre y 499.290 USD al trimestre 40; por su parte, KO aporta de manera marginal debido a su peso reducido y menor riesgo.

El interés calculado por apalancamiento en el Tesoro sube de 7,641 USD en el primer trimestre a 1,561,900 USD en el trigésimo noveno trimestre, lo cual muestra la acumulación de gastos financieros con el paso del tiempo. En resumen, esto demuestra que la cobertura brinda una protección importante frente a riesgos de mercado, pero supone costos cada vez mayores y concentrados en los activos más volátiles, sobre todo INTC; en contraposición, los activos defensivos como KO apenas aumentan el costo. Esta estrategia, por lo tanto, consigue reducir los riesgos extremos pero necesita tener en cuenta el efecto acumulativo de los costos de cobertura y el interés del financiamiento relacionado.

## [1] "INTC" "KO"   "BAC"

Las gráficas y los resultados del modelo binomial muestran que el valor de las primas está directamente relacionado con la volatilidad y el horizonte temporal.

Dado que INTC es más volátil, las primas de las opciones Calls y Puts son más altas.

KO, que presenta una volatilidad baja, produce primas más estables y reducidas, lo cual es consistente con su perfil defensivo.

BAC está en una posición intermedia, con primas balanceadas y un comportamiento moderado.

Estos resultados demuestran que el arbbol binomial no solo calcula con exactitud el valor justo de las opciones, sino que además posibilita la visualización del riesgo vinculado al activo subyacente y del impacto de la volatilidad en los pagos de las primas.

Evaluación del desemepeño de la cobertura

Tabla 10. Resumen general de la cobertura por activo (1 trimestre)
Symbol Acciones_cubiertas Contratos Inversion_en_puts Recupera_caida15 Recupera_sube10 Resultado_neto_promedio Eficiencia
BAC 51195 512 129805.7794 -129765.19687 147210.3688 8722.5859 -99.97
INTC 151062 1511 612961.8045 -612745.83147 -40587.8957 -326666.8636 -99.96
KO 87 1 193.3107 -53.86616 428.8264 187.4801 -27.87
Resultados detallados de la cobertura (escenarios simulados)
Symbol Escenario Invertido_en_puts Payoff_recuperado Ganancia_o_Perdida_total Eficiencia
BAC Caída 15% 129805.7794 415564.80 -129765.19687 320.14
BAC Sube 10% 129805.7794 0.00 147210.36875 0.00
INTC Caída 15% 612961.8045 858776.84 -612745.83147 140.10
INTC Sube 10% 612961.8045 0.00 -40587.89569 0.00
KO Caída 15% 193.3107 1072.65 -53.86616 554.88
KO Sube 10% 193.3107 0.00 428.82635 0.00

El análisis de la táctica de cobertura con opciones put americanas revela marcadas distinciones entre los tres activos del portafolio tangencial.

Bank of America (BAC): La cobertura se comportó como se esperaba ante una disminución del 15%, recuperando cerca de 415.565 USD; sin embargo, el elevado costo de la prima (129.806 USD) provocó que el beneficio neto medio fuera casi cero (8.723 USD). La cobertura es casi 99% eficiente, lo que muestra que, a pesar de la protección, el coste reduce considerablemente la ganancia neta.

Intel (INTC): La cobertura fue menos eficaz. La protección recuperó 858.777 USD, a pesar de una disminución del 15%, sin embargo, la elevada inversión en puts (612.962 USD) generó un promedio de pérdida neta significativo de -326.667 USD, lo que indica una eficiencia próxima al -100%. Esto demuestra que en activos con una alta volatilidad, las primas altas pueden sobrepasar las ventajas de la protección, lo que limita su eficacia.

Coca-Cola (KO): La cobertura fue más favorable porque el precio de las opciones (193 USD) fue bajo y la recuperación después de un descenso (1.073 USD) fue modesta, lo que generó un resultado neto positivo de 187 USD. La eficiencia llegó a ser -27,87%, lo que demuestra que en activos estables y con poca volatilidad, la cobertura puede ser rentable aun con una inversión relativamente pequeña.

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que el costo de la opción, la volatilidad del activo y la magnitud del movimiento del mercado son factores determinantes en la rentabilidad y eficiencia de la cobertura. Para activos inestables como INTC, la cobertura es cara y puede resultar en pérdidas netas. Para activos más estables como KO, sin embargo, la protección tiene el potencial de crear valor adicional. Por lo tanto, para manejar el portafolio tangencial, es recomendable enfocar la cobertura en activos con una volatilidad moderada o baja y analizar detenidamente el costo de las primas en activos más volátiles antes de poner en práctica la estrategia.

4. Conclusión general

Los hallazgos indican que, en un periodo breve (tres meses), el gasto en protección es bastante bajo, mientras que ampliar la cobertura a plazos más largos (hasta 10 años) aumenta de manera notable el total de gastos, especialmente para activos con alta volatilidad como INTC. La distribución del capital para la protección muestra una diversificación alineada con la exposición del portafolio, asignando mayores recursos a los activos más pesados o volátiles, lo que facilita una gestión eficaz del riesgo.

En términos generales, el portafolio tangencial (5%) presenta un mayor potencial de crecimiento, aunque con un nivel de volatilidad superior en comparación con el portafolio de mínima varianza, y la cobertura parcial fortalece la capacidad de recuperación ante situaciones desfavorables. Por lo tanto, esta combinación puede verse como una opción de inversión sensata para aquellos que buscan un balance entre rendimientos y control del riesgo extremo, siempre que se mantenga un seguimiento de los costos relacionados con la protección en plazos prolongados.

El uso de opciones put americanas como estrategia de cobertura se muestra como una manera efectiva de reducir pérdidas severas sin renunciar del todo al potencial de ganancias.

La estrategia de diversificación, que está en línea con la exposición del portafolio, se refleja en la distribución del dinero para la cobertura. Los activos más volátiles o pesados requieren una cobertura de mayor monto, lo que posibilita una distribución eficaz del capital apalancado.

5. Referencias

Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives (10th ed.). Pearson.

Jorion, P. (2007). Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk (3rd ed.). McGraw-Hill.

Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7(1), 77–91. https://doi.org/10.2307/2975974

Sharpe, W. F. (1966). Mutual Fund Performance. The Journal of Business, 39(1), 119–138. https://doi.org/10.1086/294846

Bodie, Z., Kane, A., & Marcus, A. J. (2021). Investments (12th ed.). McGraw-Hill Education.

Damodaran, A. (2023). Investment Valuation: Tools and Techniques for Determining the Value of Any Asset (4th ed.). Wiley Finance.

Investopedia. (2024). Defensive Stocks: Definition and Examples. Recuperado de https://www.investopedia.com

Morningstar. (2024). Technology Sector Outlook Q3 2024. Recuperado de https://www.morningstar.com

Elton, E. J., & Gruber, M. J. (1995). Modern Portfolio Theory and Investment Analysis (5th ed.). Wiley. Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7(1), 77–91.