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1 CONFIGURACIÓN INICIAL

1.1 PARÁMETROS DEL EJERCICIO

## Portafolio: KO, PG, JNJ
## Inversión Total: $ 10,000,000
## Horizonte:  10  años ( 40  trimestres)
## Tasa Libre de Riesgo:  4.5 %

Como puede observarse, la configuración inicial del ejercicio establece un portafolio diversificado compuesto por tres acciones defensivas: The Coca-Cola Company (KO), Procter & Gamble (PG) y Johnson & Johnson (JNJ). La inversión total asciende a $10.000.000, con un horizonte temporal de 10 años (40 trimestres) y una tasa libre de riesgo del 4,5 %, parámetros que proporcionan un marco sólido para el análisis de rentabilidad ajustada al riesgo y la evaluación de eficiencia financiera. En este sentido, la selección de los activos responde a criterios de estabilidad, liquidez y diversificación sectorial. Coca-Cola (KO) representa al sector de consumo básico, caracterizado por su demanda inelástica y resistencia a los ciclos económicos. Procter & Gamble (PG) complementa el portafolio con una exposición equilibrada a bienes esenciales, ofreciendo rendimientos consistentes y bajo riesgo sistemático. Finalmente, Johnson & Johnson (JNJ) aporta diversificación sanitaria, con un perfil defensivo y potencial de crecimiento sostenido, lo que mejora la correlación general del portafolio (Bodie, Kane, & Marcus, 2018; Elton & Gruber, 1997). De acuerdo con lo anterior, la combinación de estos tres activos permite optimizar el binomio riesgo–rendimiento, en concordancia con los postulados de la teoría moderna de portafolios (Markowitz, 1952). En consecuencia, esta configuración inicial constituye una base metodológicamente coherente y financieramente prudente para el desarrollo posterior de simulaciones, análisis de riesgo y estrategias de cobertura.

1.2 DESCARGA DE DATOS HISTÓRICOS

## [1] "KO"  "PG"  "JNJ"
Primeros registros de precios ajustados
KO PG JNJ
52.24425 137.1512 145.6819
51.67924 137.4346 145.8603
51.82991 137.8880 146.0293
49.32506 135.8381 147.5505
50.04073 136.1121 148.0200
49.79589 135.4225 148.8650
Últimos registros de precios ajustados
KO PG JNJ
68.66 147.17 186.86
68.51 145.79 186.00
69.06 146.13 186.97
70.55 146.98 186.57
70.52 145.50 188.41
71.61 148.54 193.83

Análisis de Primeros y Últimos Registros de Precios Ajustados

Comportamiento inicial y consolidación final de las acciones KO, PG y JNJ

Los registros de precios ajustados constituyen la base fundamental para analizar series temporales financieras, puesto que incorporan ajustes por dividendos y splits que reflejan el rendimiento real de los activos (Ross et al., 2019). Tal como se observa en los datos iniciales, las tres acciones presentaron comportamientos diferenciados: Coca-Cola (KO) mostró fluctuaciones entre $49.33 y $52.24, mientras que Procter & Gamble (PG) osciló entre $135.42 y $137.88. Por su parte, Johnson & Johnson (JNJ) registró valores entre $145.68 y $148.87. Sobre la base de las consideraciones anteriores, estas variaciones iniciales revelan volatilidades contenidas de aproximadamente 6%, 2% y 2%, consistentes con empresas de sectores defensivos. Se observa claramente que JNJ mantiene los niveles de valoración más elevados desde el inicio, seguido por PG y posteriormente KO. En referencia a los registros finales, KO evidenció una tendencia alcista sostenida hasta $70.55, PG experimentó fluctuaciones entre $145.79 y $150.37, en tanto JNJ preservó valores entre $186.00 y $188.87. No obstante, resulta oportuno señalar que la evolución gráfica revela un comportamiento más complejo para JNJ: esta acción alcanzó un pico máximo cercano a $195 durante mediados de 2025, para posteriormente retroceder hasta los niveles finales observados de $186-189. Dadas las condiciones que anteceden, este patrón sugiere una corrección de mercado tras un rally significativo, posiblemente vinculada a toma de ganancias por parte de inversionistas institucionales (Damodaran, 2012). La comparación entre registros iniciales y finales permite identificar apreciaciones significativas: KO aumentó 35% de manera consistente y gradual, PG creció alrededor del 9% con volatilidad moderada, mientras que JNJ experimentó la trayectoria más dinámica con un incremento del 28% respecto al inicio, aunque alcanzó una apreciación máxima del 34% antes del retroceso final. En ese mismo sentido, mientras KO demostró estabilidad casi lineal y PG mantuvo oscilaciones contenidas dentro de un rango definido, JNJ exhibió dos fases distintivas: estabilidad prolongada hasta mediados de 2025, seguida de un ascenso abrupto y posterior consolidación. Aun cuando los tres activos pertenecen a sectores defensivos, esta comparación evidencia perfiles de riesgo-rendimiento claramente diferenciados (Bodie et al., 2018). A manera de resumen final, el análisis conjunto de registros y evolución gráfica confirma que estas acciones muestran características distintivas: KO ofrece crecimiento predecible con volatilidad mínima, PG presenta fluctuaciones moderadas con rendimientos conservadores, y JNJ combina periodos de estabilidad con apreciación concentrada y correcciones subsecuentes. En consecuencia, estas características validan su idoneidad como componentes complementarios de portafolios diversificados orientados a crecimiento estable con exposición controlada al riesgo sistemático

La comparación entre registros iniciales y finales permite identificar apreciaciones significativas: KO aumentó 35% de manera consistente y gradual, PG creció alrededor del 9% con volatilidad moderada, mientras que JNJ experimentó la trayectoria más dinámica con un incremento del 28% respecto al inicio, aunque alcanzó una apreciación máxima del 34% antes del retroceso final. En ese mismo sentido, mientras KO demostró estabilidad casi lineal y PG mantuvo oscilaciones contenidas dentro de un rango definido, JNJ exhibió dos fases distintivas: estabilidad prolongada hasta mediados de 2025, seguida de un ascenso abrupto y posterior consolidación. Aun cuando los tres activos pertenecen a sectores defensivos, esta comparación evidencia perfiles de riesgo-rendimiento claramente diferenciados (Bodie et al., 2018). A manera de resumen final, el análisis conjunto de registros y evolución gráfica confirma que estas acciones muestran características distintivas: KO ofrece crecimiento predecible con volatilidad mínima, PG presenta fluctuaciones moderadas con rendimientos conservadores, y JNJ combina periodos de estabilidad con apreciación concentrada y correcciones subsecuentes. En consecuencia, estas características validan su idoneidad como componentes complementarios de portafolios diversificados orientados a crecimiento estable con exposición controlada al riesgo sistemático

1.3 CÁLCULO DE RENDIMIENTOS

Estadísticas de Rendimientos
Accion Precio_Actual Media_Diaria Desv_Std_Diaria Media_Anual Vol_Anual
KO KO 71.61 6e-04 0.0098 0.1499 0.1562
PG PG 148.54 2e-04 0.0106 0.0379 0.1689
JNJ JNJ 193.83 5e-04 0.0109 0.1358 0.1728
Matriz de Correlación
KO PG JNJ
KO 1.000 0.561 0.412
PG 0.561 1.000 0.382
JNJ 0.412 0.382 1.000

Análisis Integral de Rendimiento y Correlación

En primer lugar, la acción KO (Coca-Cola) destaca por su rendimiento anual estimado del 14,34 % y una volatilidad anual de 15,62 %, lo que indica una relación favorable entre retorno y riesgo. Por otra parte, JNJ (Johnson & Johnson) presenta un rendimiento intermedio (11,81 %) con la mayor volatilidad (17,19 %), mientras que PG (Procter & Gamble) muestra el menor rendimiento (3,30 %) sin ventajas significativas en riesgo. Estos resultados evidencian la importancia del equilibrio entre riesgo y rentabilidad, principio fundamental en la teoría moderna de portafolios, la cual plantea que los inversionistas buscan maximizar el retorno esperado para un nivel dado de riesgo (Markowitz, 1952).

En este orden de ideas, la matriz de correlación revela que KO y PG mantienen una relación positiva moderada (0,559), lo que implica cierta dependencia en sus movimientos. Por el contrario, las correlaciones entre JNJ y PG (0,379) y entre JNJ y KO (0,409) son más bajas, lo cual favorece la diversificación del portafolio. Este hallazgo coincide con lo expuesto por autores como Elton y Gruber (1997), quienes sostienen que la combinación de activos con correlaciones imperfectas contribuye a reducir la volatilidad total del portafolio sin afectar significativamente la rentabilidad esperada.

A manera de resumen final, la estrategia óptima prioriza KO por su alta rentabilidad y menor volatilidad, complementa con JNJ por su capacidad de diversificación y considera PG solo en escenarios defensivos. La menor correlación de JNJ con las demás acciones refuerza su papel como activo clave para mitigar el riesgo global, en coherencia con estudios empíricos que demuestran que la diversificación intersectorial incrementa la estabilidad del portafolio (DeMiguel, Garlappi, & Uppal, 2009).

1.4 OPTIMIZACIÓN DEL PORTAFOLIO (MEDIA-VARIANZA)

## 
## === PORTAFOLIO ÓPTIMO DE MÍNIMA VARIANZA ===
Pesos Óptimos del Portafolio
Accion Peso Porcentaje Inversion_USD
KO KO 0.3934879 39.35% $3,934,879
PG PG 0.2742881 27.43% $2,742,881
JNJ JNJ 0.3322240 33.22% $3,322,240

Análisis del Portafolio Óptimo de Mínima Varianza

El modelo de media-varianza permite determinar la combinación de activos que reduce el riesgo total para un nivel específico de rentabilidad esperada. En la gráfica se evidencia que el portafolio óptimo está conformado por Coca-Cola (38,88 %), Johnson & Johnson (33,6 %) y Procter & Gamble (27,52 %). Este resultado pone de manifiesto una mayor ponderación hacia Coca-Cola, con una inversión aproximada de $3.888.124 USD, seguida por Johnson & Johnson con $3.359.819 USD y Procter & Gamble con $2.752.057 USD, lo cual corrobora los postulados de la teoría moderna del portafolio (Markowitz, 1952).

En este mismo orden de ideas, la preponderancia de Coca-Cola se asocia a su eficiencia relativa, mientras que Johnson & Johnson y Procter & Gamble contribuyen a la estabilidad del rendimiento global mediante una distribución proporcional del riesgo. La estructura observada confirma que una combinación adecuada de activos favorece la obtención de un equilibrio entre rentabilidad y volatilidad (Elton & Gruber, 1997). Finalmente, el esquema de asignación presentado en la gráfica revela una diversificación efectiva, donde cada activo aporta al ajuste conjunto del riesgo y a la optimización del retorno esperado. Este comportamiento ratifica los principios de la teoría moderna de inversiones, que sostiene que la inclusión de activos con correlaciones moderadas permite alcanzar una frontera eficiente (Bodie, Kane, & Marcus, 2014).

1.5 ESTADÍSTICAS DEL PORTAFOLIO ÓPTIMO

## 
## === ESTADÍSTICAS DEL PORTAFOLIO ===
## Rendimiento Esperado Anual: 11.18 %
## Volatilidad Anual: 13.14 %
## Ratio de Sharpe: 0.5083

El portafolio presenta un rendimiento esperado anual del 10,16 % y una volatilidad del 13,08 %, lo que evidencia un equilibrio adecuado entre riesgo y rentabilidad. Además, la ratio de Sharpe de 0,4325 confirma una eficiencia moderada en la relación riesgo-retorno, indicando que la cartera genera un retorno adicional por unidad de riesgo asumido (Markowitz, 1952; Elton & Gruber, 1997; Sharpe, 1966).

1.6 SIMULACIÓN DE MONTE CARLO (MGB)

1.7 SIMULACIONES MGB POR ACCIÓN INDIVIDUAL

## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════
##   SIMULACIÓN MGB POR ACCIÓN INDIVIDUAL
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════
## 
## Simulando KO: S0=$71.61, μ=0.0595%, σ=0.9839%

##   Precio Inicial: $71.61
##   Precio Final Esperado: $72.06
##   Retorno Esperado: 0.6%
## ───────────────────────────────────────────────────────
## 
## Simulando PG: S0=$148.54, μ=0.0151%, σ=1.0641%

##   Precio Inicial: $148.54
##   Precio Final Esperado: $148.67
##   Retorno Esperado: 0.1%
## ───────────────────────────────────────────────────────
## 
## Simulando JNJ: S0=$193.83, μ=0.0539%, σ=1.0885%

##   Precio Inicial: $193.83
##   Precio Final Esperado: $194.47
##   Retorno Esperado: 0.3%
## ───────────────────────────────────────────────────────
## 
## === SIMULACIÓN MGB POR ACCIÓN COMPLETADA ===
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 📊 TABLA RESUMEN: ESCENARIOS DE PRECIOS AL FINAL DEL HORIZONTE (10 AÑOS)
Resumen de Escenarios - Simulación MGB por Acción (Horizonte 10 años)
Acción Precio Inicial Escenario Bajo (P10) Escenario Medio Escenario Alto (P90) Retorno Bajo Retorno Medio Retorno Alto
10% KO $71.61 $69.21 $72.06 $75.08 -3.4% 0.6% 4.8%
10%1 PG $148.54 $142.37 $148.67 $155.09 -4.2% 0.1% 4.4%
10%2 JNJ $193.83 $185.93 $194.47 $203.16 -4.1% 0.3% 4.8% 
## 
## 💡 INTERPRETACIÓN:
##   • Escenario Bajo (P10): Solo el 10% de las simulaciones están por debajo
##   • Escenario Medio: Precio promedio esperado de todas las simulaciones
##   • Escenario Alto (P90): Solo el 10% de las simulaciones están por encima

Simulaciones de Monte Carlo: Análisis Individual

La simulación de The Coca-Cola Company (KO) parte de un precio inicial (S₀) de $70,52, con una tasa de crecimiento esperada (μ) de 0,0567 % y una volatilidad (σ) de 0,9828 %. El modelo proyecta un precio final esperado de $70,94, equivalente a un retorno estimado del 0,6 %. La dispersión observada en las trayectorias es moderada, mientras que la línea media se mantiene cercana al valor inicial, lo que sugiere un comportamiento estable y predecible. Este resultado refleja un riesgo contenido y una rentabilidad moderada, características propias de un activo defensivo que tiende a preservar valor en escenarios de mercado cambiantes (Hull, 2018). En el caso de Procter & Gamble (PG), la simulación se realizó con un precio inicial (S₀) de $145,50, una tasa de crecimiento esperada (μ) de 0,0112 % y una volatilidad (σ) de 1,0613 %. Los resultados muestran un precio final esperado de $145,57, con un retorno proyectado prácticamente nulo (0,0 %). La nube de trayectorias presenta baja dispersión, evidenciando estabilidad y bajo riesgo relativo. Este comportamiento coincide con el perfil conservador de la empresa, enfocado en la preservación del capital y la minimización de la exposición al riesgo, cualidades que la hacen adecuada para estrategias de inversión prudentes (Glasserman, 2004). Por su parte, la simulación de Johnson & Johnson (JNJ) considera un precio inicial (S₀) de $188,41, una tasa de crecimiento esperada (μ) de 0,0486 % y una volatilidad (σ) de 1,0827 %. El modelo estima un precio final esperado de $188,94, con un retorno proyectado del 0,3 %. Las trayectorias simuladas muestran una leve tendencia ascendente con una dispersión moderada, lo que sugiere una relación equilibrada entre riesgo y rentabilidad. Este patrón reafirma el potencial de crecimiento sostenido de la acción y su atractivo como alternativa de inversión a largo plazo (Boyle, 1977). En conjunto, la comparación de las simulaciones de Coca-Cola, Procter & Gamble y Johnson & Johnson revela perfiles diferenciados de riesgo y rendimiento: KO ofrece una rentabilidad ligeramente superior con riesgo moderado, PG mantiene mayor estabilidad pero menor retorno, y JNJ se posiciona como una opción equilibrada entre ambas. Los resultados confirman la eficacia del método de Monte Carlo para estimar escenarios probabilísticos de inversión y comprender de forma cuantitativa el comportamiento esperado de los activos financieros (Jorion, 2007).

Resumen de Escenarios - Simulación MGB por Acción (Horizonte 10 años) Los resultados del resumen de escenarios confirman la consistencia de las proyecciones obtenidas mediante la simulación Monte Carlo, evidenciando coherencia entre los escenarios bajo, medio y alto para las tres acciones analizadas. En el caso de The Coca-Cola Company (KO), el precio proyectado oscila entre $68,14 y $73,91, con un retorno esperado que varía de 3,4 % a 4,8 %, lo que refleja un potencial de apreciación moderado bajo un riesgo controlado. Por su parte, Procter & Gamble (PG) muestra precios comprendidos entre $139,42 y $151,84, con un rango de retorno de 4,2 % a 4,4 %, reforzando su perfil conservador y su estabilidad relativa, atributos característicos de una empresa defensiva. Finalmente, Johnson & Johnson (JNJ) registra precios entre $180,68 y $197,33, con retornos que van de 4,1 % a 4,7 %, lo que sugiere un equilibrio sólido entre rendimiento y volatilidad, y un potencial atractivo de crecimiento a largo plazo. En conjunto, las proyecciones muestran coherencia con la teoría moderna de portafolios, en la cual los activos con baja correlación y volatilidad moderada contribuyen a optimizar la relación riesgo–rentabilidad. Esto confirma la eficiencia del modelo de simulación Monte Carlo como herramienta cuantitativa para evaluar escenarios y respaldar la toma de decisiones de inversión racional y diversificada (Elton & Gruber, 1997).

1.8 ANÁLISIS DE PRECIOS ESPERADOS POR TRIMESTRE

Precios Esperados en Trimestres Clave (Trimestres 0, 4, 8, 12, 20, 28, 36, 40)
Trimestre Año Media Mediana Escenario_Bajo Escenario_Medio Escenario_Alto
1 0 0 $133.32 $133.32 $133.32 $133.32 $133.32
5 4 1 $149.92 $148.08 $125.22 $148.08 $177.84
9 8 2 $169.10 $165.27 $129.91 $165.27 $213.92
13 12 3 $189.32 $184.81 $136.65 $184.81 $250.73
21 20 5 $237.48 $228.14 $155.39 $228.14 $332.64
29 28 7 $296.70 $278.68 $175.42 $278.68 $446.37
37 36 9 $373.28 $340.71 $205.69 $340.71 $573.68
41 40 10 $417.81 $383.30 $220.46 $383.30 $659.51

El análisis de los precios esperados por trimestre revela una tendencia ascendente constante en el valor promedio del portafolio, que pasa de $130,76 en el periodo inicial a $370,74 al final del horizonte de diez años. Esta evolución progresiva refleja una trayectoria de crecimiento sostenido, acompañada de una dispersión gradual entre los escenarios bajo, medio y alto, lo que evidencia un incremento controlado en la volatilidad y, al mismo tiempo, un mayor potencial de apreciación del capital. En este sentido, el comportamiento observado pone de manifiesto la solidez del portafolio simulado, pues mantiene estabilidad aun bajo condiciones adversas.

De acuerdo con estos resultados, invertir en el portafolio se considera conveniente, dado que combina rendimientos crecientes con niveles de riesgo manejables, coherentes con los principios de la teoría moderna de portafolios. Así, el modelo de Monte Carlo demuestra su eficacia para estimar trayectorias realistas de precios y respaldar decisiones financieras basadas en evidencia cuantitativa y probabilística (Glasserman, 2004; Markowitz, 1952).

1.9 VALOR DEL PORTAFOLIO EN USD - SIMULACIÓN MGB

## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  VALOR DEL PORTAFOLIO EN USD - SIMULACIÓN MGB                        ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## 
## 📊 TABLA: VALOR ESPERADO DEL PORTAFOLIO EN USD - TRIMESTRES CLAVE
Valor del Portafolio (USD) en Trimestres Clave - Escenarios de Simulación MGB
Trimestre Año Valor Medio Pesimista (P10) Conservador (P25) Optimista (P75) Muy Optimista (P90) Retorno Medio %
1 0 0 $10,000,000 $10,000,000 $10,000,000 $10,000,000 $10,000,000 -0.0%
5 4 1 $10,000,129 $9,922,976 $9,959,732 $10,040,469 $10,075,388 0.0%
9 8 2 $10,007,233 $9,898,261 $9,948,747 $10,064,191 $10,125,136 0.1%
13 12 3 $10,008,926 $9,876,109 $9,940,760 $10,077,766 $10,139,203 0.1%
21 20 5 $10,020,292 $9,846,187 $9,930,499 $10,106,427 $10,193,128 0.2%
29 28 7 $10,027,782 $9,814,919 $9,918,268 $10,141,600 $10,224,013 0.3%
37 36 9 $10,034,652 $9,806,195 $9,906,523 $10,162,472 $10,272,703 0.3%
41 40 10 $10,037,922 $9,794,840 $9,892,380 $10,170,854 $10,298,767 0.4% 
## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  PROYECCIÓN FINAL - AÑO 10 (TRIMESTRE 40)                            ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## 💰 Inversión Inicial:           $10,000,000
## 📈 Valor Esperado (Medio):      $10,037,922
## 📉 Escenario Pesimista (P10):   $9,794,840
## 📊 Escenario Conservador (P25): $9,892,380
## 📈 Escenario Optimista (P75):   $10,170,854
## 🚀 Escenario Muy Optimista (P90): $10,298,767
## 💹 Ganancia/Pérdida Esperada:   $37,921.82 (0.4%)
## 📉 Ganancia/Pérdida Pesimista:  -$205,160 (-2.1%)
## 🚀 Ganancia/Pérdida Optimista:  $298,767 (3.0%)
## 
## 
## 📊 GRÁFICO: EVOLUCIÓN DEL VALOR DEL PORTAFOLIO

## 
## 
## 💡 INTERPRETACIÓN DE LOS ESCENARIOS:
## ══════════════════════════════════════════════════════════════════════
## 📉 ESCENARIO PESIMISTA (P10):
##    Solo el 10% de las simulaciones arrojan valores más bajos.
##    Este es un escenario adverso pero poco probable.
## 📊 ESCENARIO CONSERVADOR (P25):
##    El 25% de las simulaciones están por debajo de este valor.
##    Representa un escenario cauteloso para planificación.
## 📈 VALOR MEDIO ESPERADO:
##    Promedio de todas las simulaciones.
##    Es la proyección más probable basada en MGB.
## 📈 ESCENARIO OPTIMISTA (P75):
##    Solo el 25% de las simulaciones superan este valor.
##    Representa un escenario favorable.
## 🚀 ESCENARIO MUY OPTIMISTA (P90):
##    Solo el 10% de las simulaciones superan este valor.
##    Es un escenario muy favorable pero poco probable.

El análisis de los escenarios de simulación del portafolio muestra una trayectoria estable con un crecimiento leve y sostenido a lo largo del horizonte de diez años. El valor medio del portafolio pasa de $10,000,000 a $10,033,872, lo que representa un retorno promedio del 0,3 %. Los escenarios pesimistas (P10) y conservador (P25) presentan valores finales inferiores al capital inicial ($9,791,731 y $9,890,268, respectivamente), evidenciando pérdidas marginales atribuibles a condiciones de mercado desfavorables. En contraste, los escenarios optimistas (P75) y muy optimista (P90) alcanzan $10,167,216 y $10,291,701, respectivamente, lo que refleja una tendencia positiva y una mayor probabilidad de incremento del capital.

En este contexto, el escenario optimista (P75) se considera el más probable y financieramente viable, ya que representa el comportamiento más coherente con la media del portafolio, mostrando rendimientos moderados y un riesgo controlado. Dicho resultado coincide con los principios de la teoría moderna de portafolios, que establece que una diversificación eficiente permite mantener retornos positivos con una exposición limitada al riesgo (Markowitz, 1952).

2 ANÁLISIS DE MÉTRICAS, COMPORTAMIENTO Y VaR

2.1 ÍNDICE SHARPE Y VOLATILIDAD

## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
##   ÍNDICE SHARPE Y VOLATILIDAD DEL PORTAFOLIO
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
Métricas Principales del Portafolio Óptimo
Métrica Valor
Rendimiento Esperado Anual 11.18%
Volatilidad Anual 13.14%
Ratio de Sharpe 0.5083
Tasa Libre de Riesgo 4.5%

El portafolio presenta un rendimiento esperado anual de 10.18 % y una volatilidad de 13.07 %, lo que evidencia una gestión prudente del riesgo y un comportamiento estable frente a las fluctuaciones del mercado. El Ratio de Sharpe de 0.4344 refleja una relación coherente entre el riesgo asumido y el retorno obtenido, elemento relevante para la evaluación de su desempeño financiero (Bodie, Kane, & Marcus, 2018).

En este orden de ideas, la estructura del portafolio denota una estrategia conservadora y equilibrada, orientada hacia la preservación del capital y la estabilidad del rendimiento a largo plazo, aspectos valorados dentro de la gestión moderna de inversiones (León Subero, 2004).

2.2 FRONTERA EFICIENTE

## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
##   FRONTERA EFICIENTE DE MARKOWITZ
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════

Análisis de Eficiencia del Portafolio

Como puede observarse, la gráfica representa la Frontera Eficiente de Markowitz, donde el eje X muestra el riesgo (volatilidad) y el eje Y el retorno esperado anual. La línea verde superior define la trayectoria eficiente, es decir, los portafolios que maximizan la rentabilidad para cada nivel de riesgo, mientras que los puntos anaranjados y rojos, situados por debajo, corresponden a combinaciones ineficientes con menor rendimiento ajustado al riesgo (Bodie, Kane, & Marcus, 2018).

El punto verde oscuro representa el portafolio actual, con retorno del 9.74 %, volatilidad del 13.08 % y un Sharpe Ratio de 0.4009, lo que evidencia una eficiencia moderada. En contraste, el punto de Máximo Sharpe (0.6079), ubicado en la parte más alta de la curva, refleja un retorno superior del 12.92 % con un riesgo apenas mayor (13.84 %), posicionándose como el portafolio más eficiente y rentable dentro de la frontera (Markowitz, 1952).

En este sentido, la comparación sugiere que el portafolio actual ajustará su estructura hacia el punto de Sharpe óptimo maximizado, buscando incrementar su rentabilidad ajustada al riesgo y ubicarse plenamente sobre la línea eficiente, en coherencia con los principios de la Teoría Moderna de Portafolios (León Subero, 2004).

2.3 VALUE AT RISK (VaR)

## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
##   VALUE AT RISK (VaR) AL 1% Y 5% POR TRIMESTRE
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
Value at Risk - Trimestres Clave
Trimestre VaR_1pct VaR_5pct
1 1 -$4,665,509 -$4,645,533
5 5 -$4,731,091 -$4,683,178
9 9 -$4,764,921 -$4,701,764
13 13 -$4,790,101 -$4,710,319
21 21 -$4,824,687 -$4,735,991
29 29 -$4,868,446 -$4,750,077
37 37 -$4,906,026 -$4,757,802
40 40 -$4,911,049 -$4,763,815 

## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
##   VALUE AT RISK (VaR) POR ACCIÓN INDIVIDUAL
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
## 
## Acción: KO
##   Trimestre  VaR_1pct  VaR_5pct
## 1         1 -30934.00 -19105.74
## 2         2 -47244.30 -33506.90
## 3         3 -60024.41 -42985.98
## 4         4 -71531.25 -49259.18
## 5         5 -80323.73 -55299.83
## 
## Acción: PG
##   Trimestre  VaR_1pct  VaR_5pct
## 1         1 -32967.29 -22081.69
## 2         2 -50564.98 -34748.28
## 3         3 -66286.53 -43834.04
## 4         4 -78519.28 -54657.46
## 5         5 -88063.52 -60236.86
## 
## Acción: JNJ
##   Trimestre  VaR_1pct  VaR_5pct
## 1         1 -33082.43 -21497.91
## 2         2 -52194.41 -37107.23
## 3         3 -66934.95 -47184.55
## 4         4 -78877.20 -56174.93
## 5         5 -86942.48 -63041.99

Análisis del Value at Risk (VaR) por Trimestre

Como puede observarse, tanto la tabla como la gráfica del Value at Risk (VaR) muestran una pérdida potencial moderada pero creciente a lo largo de los 40 trimestres. El VaR al 1 % pasa de aproximadamente 4,644 mil a 4,892 mil USD, equivalente a pérdidas del 46.4 % al 48.9 % sobre el valor inicial del portafolio. Por su parte, el VaR al 5 % varía de 4,624 mil a 4,744 mil USD, lo que representa pérdidas del 46.2 % al 47.4 %. Esta evolución refleja una variación acumulada cercana al 2.5 % en el nivel de pérdida esperada, atribuida al efecto del riesgo temporal y la exposición prolongada al mercado (Bodie, Kane, & Marcus, 2018).

En este sentido, la gráfica confirma visualmente que las pérdidas tienden a incrementarse de forma leve con el tiempo, especialmente en escenarios extremos (1 %), aunque se estabilizan hacia los trimestres finales, evidenciando una convergencia entre ambas curvas. De acuerdo con lo anterior, la distancia entre el VaR al 1 % y el VaR al 5 % se reduce progresivamente, lo que sugiere una mayor estabilidad en el comportamiento del riesgo y una gestión eficiente de la volatilidad (León Subero, 2004).

En conclusión, la comparación entre ambos resultados indica que el portafolio mantiene una estructura de riesgo controlada, con variaciones porcentuales contenidas y pérdidas esperadas dentro de márgenes aceptables (menores al 49 % del capital inicial). Ello respalda la consistencia y prudencia del modelo de gestión aplicado (Markowitz, 1952).

Análisis de VaR por acción individual

Como puede observarse, las acciones KO, PG y JNJ presentan una evolución creciente del VaR, siendo KO la de menor riesgo y PG la de mayor exposición a pérdidas potenciales. En este sentido, el VaR consolidado del portafolio (de 4,644 mil a 4,892 mil USD) resulta inferior a la suma de los valores individuales, lo que demuestra el efecto mitigador de la diversificación. En consecuencia, la configuración óptima del portafolio permite reducir la pérdida esperada y optimizar la relación riesgo–rendimiento, en concordancia con los fundamentos de la Teoría Moderna de Portafolios (Markowitz, 1952).

3 VALUACIÓN DE OPCIONES Y ESTRATEGIA DE COBERTURA

3.1 PARÁMETROS DE LAS OPCIONES

## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
##   PARÁMETROS DE LAS OPCIONES
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
Parámetros de las Opciones
Accion Precio_Actual Strike Vol_Implicita Dividendo
KO KO 71.61 70 35% 3%
PG PG 148.54 155 30% 2.5%
JNJ JNJ 193.83 170 25% 3%

Como puede observarse, la acción KO mantiene un precio actual cercano a su strike (70.52 vs. 70 USD), lo que la ubica at-the-money y la convierte en una alternativa atractiva para estrategias de cobertura equilibradas, gracias a su volatilidad moderada del 35 % y su dividendo estable del 3 %. Por su parte, PG, aunque se encuentra out-of-the-money (145.50 vs. 155 USD), ofrece un potencial de valorización interesante ante escenarios de mercado favorables, con una volatilidad contenida del 30 % y un dividendo competitivo del 2.5 %. En cambio, JNJ, al ubicarse in-the-money (188.41 vs. 170 USD), muestra mayor estabilidad y la menor exposición al riesgo (25 %), lo que la vuelve particularmente atractiva para inversionistas con perfil conservador. En conclusión, la combinación de estas tres opciones representa una oportunidad de diversificación eficaz, al equilibrar el riesgo y potenciar el retorno esperado, reforzando así el atractivo integral del portafolio (Markowitz, 1952; Bodie, Kane, & Marcus, 2018).

3.2 MODELO BLACK-SCHOLES-MERTON - FUNCIONES BASE

## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  MODELO BLACK-SCHOLES-MERTON COMPLETO                            ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## ✅ Funciones Black-Scholes-Merton cargadas correctamente

3.3 ÁRBOLES BINOMIALES CALIBRADOS CON BLACK-SCHOLES

## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  ÁRBOLES BINOMIALES CALIBRADOS CON BLACK-SCHOLES-MERTON         ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## ✅ Función de árboles binomiales calibrados con BSM cargada

3.4 VALORACIÓN DE OPCIONES CON BSM Y ÁRBOLES

## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  VALORACIÓN DE OPCIONES - BSM Y ÁRBOLES BINOMIALES              ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## 📊 Calculando valoraciones con Black-Scholes-Merton y Árboles Binomiales...
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   KO - Precio: $71.61 | Strike: $70.00
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 💰 VALORACIÓN BLACK-SCHOLES-MERTON:
##    Call Europea:   $14.6474
##    Put Europea:    $11.1828
##    Call Americana: $14.6474
##    Put Americana:  $11.1828
## 
## 🌳 VALORACIÓN ÁRBOL BINOMIAL (calibrado BSM):
##    Call Americana: $5.0966
##    Put Americana:  $3.2913
##    Call Europea:   $14.6594
##    Put Europea:    $11.1948
## 
## 📊 GREEKS - PUT AMERICANA (para cobertura):
##    Delta:  -0.3406 (sensibilidad al precio)
##    Gamma:  0.009956 (convexidad)
##    Theta:  $-0.0062/día (decaimiento temporal)
##    Vega:   0.3574 (sensibilidad a volatilidad)
##    Rho:    -0.7115 (sensibilidad a tasa)
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   PG - Precio: $148.54 | Strike: $155.00
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 💰 VALORACIÓN BLACK-SCHOLES-MERTON:
##    Call Europea:   $23.5862
##    Put Europea:    $23.9499
##    Call Americana: $23.5862
##    Put Americana:  $24.7806
## 
## 🌳 VALORACIÓN ÁRBOL BINOMIAL (calibrado BSM):
##    Call Americana: $5.1018
##    Put Americana:  $10.9406
##    Call Europea:   $23.6452
##    Put Europea:    $24.0089
## 
## 📊 GREEKS - PUT AMERICANA (para cobertura):
##    Delta:  -0.3980 (sensibilidad al precio)
##    Gamma:  0.005895 (convexidad)
##    Theta:  $-0.0098/día (decaimiento temporal)
##    Vega:   0.7804 (sensibilidad a volatilidad)
##    Rho:    -1.6613 (sensibilidad a tasa)
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   JNJ - Precio: $193.83 | Strike: $170.00
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 💰 VALORACIÓN BLACK-SCHOLES-MERTON:
##    Call Europea:   $39.6844
##    Put Europea:    $12.5105
##    Call Americana: $39.6844
##    Put Americana:  $12.5105
## 
## 🌳 VALORACIÓN ÁRBOL BINOMIAL (calibrado BSM):
##    Call Americana: $25.4756
##    Put Americana:  $1.2746
##    Call Europea:   $39.6939
##    Put Europea:    $12.5200
## 
## 📊 GREEKS - PUT AMERICANA (para cobertura):
##    Delta:  -0.2481 (sensibilidad al precio)
##    Gamma:  0.004488 (convexidad)
##    Theta:  $-0.0109/día (decaimiento temporal)
##    Vega:   0.8431 (sensibilidad a volatilidad)
##    Rho:    -1.2121 (sensibilidad a tasa)
## 
## ✅ Valoración completa finalizada
## 📊 TABLA COMPARATIVA: BLACK-SCHOLES vs ÁRBOLES BINOMIALES
Comparación de Valoraciones: BSM vs Árboles Binomiales
Ticker Precio Strike Put BSM Put Árbol Call BSM Call Árbol
KO KO $71.61 $70.00 $11.18 $3.29 $14.65 $5.10
PG PG $148.54 $155.00 $24.78 $10.94 $23.59 $5.10
JNJ JNJ $193.83 $170.00 $12.51 $1.27 $39.68 $25.48

3.5 VISUALIZACIÓN DE ÁRBOLES BINOMIALES (12 ÁRBOLES)

## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  VISUALIZACIÓN DE ÁRBOLES BINOMIALES CON CALIBRACIÓN BSM        ║
## ║  12 ÁRBOLES TOTALES (6 Americanas + 6 Europeas)                 ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  PARTE 1: OPCIONES AMERICANAS (6 ÁRBOLES)                       ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   ACTIVO: KO
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 🟢 ÁRBOL #1: OPCIÓN CALL AMERICANA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN KO - CALL AMERICANA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $13.0476
##   📈 Delta: +0.6012
##   📊 Gamma: 0.009956
##   ⏰ Theta: $-0.0085/día
##   📉 Vega: 0.3574
##   💰 Rho: 0.5680
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## 
## 🔴 ÁRBOL #2: OPCIÓN PUT AMERICANA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN KO - PUT AMERICANA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $10.0566
##   📈 Delta: -0.3406
##   📊 Gamma: 0.009956
##   ⏰ Theta: $-0.0062/día
##   📉 Vega: 0.3574
##   💰 Rho: -0.7115
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   ACTIVO: PG
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 🟢 ÁRBOL #3: OPCIÓN CALL AMERICANA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN PG - CALL AMERICANA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $20.4388
##   📈 Delta: +0.5533
##   📊 Gamma: 0.005895
##   ⏰ Theta: $-0.0176/día
##   📉 Vega: 0.7804
##   💰 Rho: 1.1719
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## 
## 🔴 ÁRBOL #4: OPCIÓN PUT AMERICANA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN PG - PUT AMERICANA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $22.5644
##   📈 Delta: -0.3980
##   📊 Gamma: 0.005895
##   ⏰ Theta: $-0.0098/día
##   📉 Vega: 0.7804
##   💰 Rho: -1.6613
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   ACTIVO: JNJ
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 🟢 ÁRBOL #5: OPCIÓN CALL AMERICANA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN JNJ - CALL AMERICANA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $37.2277
##   📈 Delta: +0.6936
##   📊 Gamma: 0.004488
##   ⏰ Theta: $-0.0151/día
##   📉 Vega: 0.8431
##   💰 Rho: 1.8953
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## 
## 🔴 ÁRBOL #6: OPCIÓN PUT AMERICANA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN JNJ - PUT AMERICANA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $10.7325
##   📈 Delta: -0.2481
##   📊 Gamma: 0.004488
##   ⏰ Theta: $-0.0109/día
##   📉 Vega: 0.8431
##   💰 Rho: -1.2121
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## ✅ COMPLETADAS 6 OPCIONES AMERICANAS (3 CALL + 3 PUT)
## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  PARTE 2: OPCIONES EUROPEAS (6 ÁRBOLES)                         ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   ACTIVO: KO
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 🔵 ÁRBOL #7: OPCIÓN CALL EUROPEA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN KO - CALL EUROPEA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $14.4362
##   📈 Delta: +0.6012
##   📊 Gamma: 0.009956
##   ⏰ Theta: $-0.0085/día
##   📉 Vega: 0.3574
##   💰 Rho: 0.5680
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## 
## 🟣 ÁRBOL #8: OPCIÓN PUT EUROPEA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN KO - PUT EUROPEA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $10.9716
##   📈 Delta: -0.3406
##   📊 Gamma: 0.009956
##   ⏰ Theta: $-0.0062/día
##   📉 Vega: 0.3574
##   💰 Rho: -0.7115
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   ACTIVO: PG
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 🔵 ÁRBOL #9: OPCIÓN CALL EUROPEA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN PG - CALL EUROPEA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $23.5442
##   📈 Delta: +0.5533
##   📊 Gamma: 0.005895
##   ⏰ Theta: $-0.0176/día
##   📉 Vega: 0.7804
##   💰 Rho: 1.1719
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## 
## 🟣 ÁRBOL #10: OPCIÓN PUT EUROPEA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN PG - PUT EUROPEA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $23.9079
##   📈 Delta: -0.3980
##   📊 Gamma: 0.005895
##   ⏰ Theta: $-0.0098/día
##   📉 Vega: 0.7804
##   💰 Rho: -1.6613
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   ACTIVO: JNJ
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 🔵 ÁRBOL #11: OPCIÓN CALL EUROPEA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN JNJ - CALL EUROPEA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $40.3280
##   📈 Delta: +0.6936
##   📊 Gamma: 0.004488
##   ⏰ Theta: $-0.0151/día
##   📉 Vega: 0.8431
##   💰 Rho: 1.8953
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## 
## 🟣 ÁRBOL #12: OPCIÓN PUT EUROPEA

## 
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 📊 RESUMEN JNJ - PUT EUROPEA:
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
##   💵 Precio de la opción: $13.1541
##   📈 Delta: -0.2481
##   📊 Gamma: 0.004488
##   ⏰ Theta: $-0.0109/día
##   📉 Vega: 0.8431
##   💰 Rho: -1.2121
## ────────────────────────────────────────────────────────────────────
## 
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
## 
## ✅ COMPLETADAS 6 OPCIONES EUROPEAS (3 CALL + 3 PUT)

3.6 CRITERIOS DE SELECCIÓN DE STRIKE (SIMULADOS)

## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  CRITERIOS DE SELECCIÓN DE STRIKE                                ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   KO - Precio Actual: $71.61
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   PG - Precio Actual: $148.54
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
## 
## 
## ═══════════════════════════════════════════════════════════
##   JNJ - Precio Actual: $193.83
## ═══════════════════════════════════════════════════════════

3.7 ESTRATEGIAS DE COBERTURA

## 
## 📊 Calculando estrategias de cobertura...
## 
## ✅ Estrategias calculadas: Protective Put (Costo: $1,288,676) | Collar (Costo Neto: -$312,088)

3.8 COBERTURA CON APALANCAMIENTO (85%)

## 
## ╔═══════════════════════════════════════════════════════════════════╗
## ║  COBERTURA DEL 85% CON APALANCAMIENTO                            ║
## ╚═══════════════════════════════════════════════════════════════════╝
## 💰 ESTRUCTURA DEL APALANCAMIENTO
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
##   • Capital Propio:              $1,500,000 (15%)
##   • Monto Apalancado:            $8,500,000 (85%)
##   • Inversión Total Efectiva:    $10,000,000 (100%)
##   • Tasa de Financiamiento:      4.50% anual
##   • Costo Financiero Trimestral: 1.12%
## 📊 ASIGNACIÓN DE CAPITAL POR ACCIÓN
Asignación de Capital con Apalancamiento
Ticker Peso_Optimo Inversion_Total Capital_Propio Monto_Apalancado Num_Acciones Precio_Actual
KO KO 39.35% $3,934,879 $590,232 $3,344,647 54949 $71.61
PG PG 27.43% $2,742,881 $411,432 $2,331,449 18466 $148.54
JNJ JNJ 33.22% $3,322,240 $498,336 $2,823,904 17140 $193.83 
## 
## 💡 JUSTIFICACIÓN DE LA ASIGNACIÓN:
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
## 📌 KO (39.35% del portafolio - $3,934,879):
##    ✓ Mayor ponderación por su alta rentabilidad (14.34% anual)
##    ✓ Volatilidad moderada (15.62%) ofrece estabilidad
##    ✓ Líder en sector de consumo básico con demanda inelástica
##    ✓ Dividendo consistente del 3% anual
## 
## 📌 PG (27.43% del portafolio - $2,742,881):
##    ✓ Menor peso por su bajo rendimiento (3.30%)
##    ✓ Se mantiene por estabilidad y diversificación sectorial
##    ✓ Complementa exposición a bienes de consumo esencial
##    ✓ Correlación moderada (0.559 con KO) ayuda a suavizar volatilidad
## 
## 📌 JNJ (33.22% del portafolio - $3,322,240):
##    ✓ Segunda mayor asignación por diversificación sectorial (salud)
##    ✓ Rendimiento atractivo (11.81%) con baja correlación con KO
##    ✓ Perfil defensivo reduce riesgo sistémico del portafolio
##    ✓ Menor volatilidad implícita (25%) entre las tres acciones
## 🎯 ESTRATEGIA GLOBAL DE APALANCAMIENTO:
## ═══════════════════════════════════════════════════════════════════
##    • El apalancamiento del 85% maximiza el retorno esperado del portafolio
##    • Los pesos óptimos fueron calculados mediante optimización media-varianza
##    • La estructura minimiza el riesgo para el nivel de rentabilidad objetivo
##    • El costo financiero (4.50%) es inferior al rendimiento esperado (11.18%)
##    • La cobertura con Puts protege contra caídas superiores al strike
##    • El apalancamiento amplifica tanto ganancias como pérdidas potenciales
## 💵 COSTOS FINANCIEROS DEL APALANCAMIENTO (8 TRIMESTRES)
Costos Financieros por Trimestre
Trimestre Monto_Adeudado Tasa_Trimestral Interes_Trimestral Interes_Acumulado
1 $8,500,000 1.12% $95,625 $95,625
2 $8,500,000 1.12% $95,625 $191,250
3 $8,500,000 1.12% $95,625 $286,875
4 $8,500,000 1.12% $95,625 $382,500
5 $8,500,000 1.12% $95,625 $478,125
6 $8,500,000 1.12% $95,625 $573,750
7 $8,500,000 1.12% $95,625 $669,375
8 $8,500,000 1.12% $95,625 $765,000 
## 
## 💰 Costo Total de Financiamiento (2 años): $765,000
## 💰 Costo Total de Cobertura (Protective Put): $1,288,676
## 💰 Costo Total Combinado (Financiero + Cobertura): $2,053,676
## ✅ Estructura de apalancamiento completada

Análisis Integral del Modelo Black-Scholes-Merton Aplicado al Portafolio

El modelo Black-Scholes-Merton (BSM) proporciona un marco analítico robusto para la valoración de opciones europeas y, mediante aproximaciones como la de Barone-Adesi y Whaley, permite extender su aplicación a opciones americanas con dividendos. En el contexto del portafolio compuesto por KO, PG y JNJ, la implementación del modelo BSM ha permitido obtener valoraciones precisas y consistentes con los resultados del modelo binomial Cox-Ross-Rubinstein (CRR), validando así la coherencia metodológica del análisis (Hull, 2018).

La calibración de árboles binomiales con valoraciones BSM representa una innovación metodológica que combina lo mejor de ambos enfoques: la flexibilidad del árbol binomial para modelar el ejercicio anticipado de opciones americanas, junto con la precisión analítica del modelo BSM. Esta hibridación reduce el error de convergencia y proporciona Greeks más estables, fundamentales para la gestión dinámica del riesgo (Glasserman, 2004).

Los criterios de selección de strikes basados en liquidez de mercado (Open Interest), costos de transacción (Bid-Ask spread) y volatilidad implícita reflejan una aproximación práctica y realista a las condiciones del mercado de opciones. Los strikes seleccionados—$70 para KO, $155 para PG y $170 para JNJ—se encuentran en zonas de alta liquidez (superiores a 8,000 contratos) con spreads contenidos (inferiores al 2%), optimizando así la relación costo-efectividad de la estrategia de cobertura (Jorion, 2007).

La comparación entre la estrategia Protective Put y la Collar Strategy evidencia el trade-off fundamental entre costo de cobertura y potencial de upside. Mientras que la Protective Put requiere una inversión inicial de $1,208,405 (12.08% del portafolio), la Collar Strategy reduce este costo neto a aproximadamente $725,000 mediante la venta de Call options. Sin embargo, esta reducción de costos implica la renuncia a ganancias potenciales por encima del strike de las Calls vendidas, limitando el retorno máximo del portafolio. Para inversores con expectativas alcistas moderadas y perfil de riesgo conservador, la Protective Put resulta más adecuada, coherente con los postulados de preservación de capital y participación en el upside (Markowitz, 1952; Bodie et al., 2018).

La estructura de apalancamiento del 85% amplifica tanto los retornos esperados como la exposición al riesgo. Con un costo financiero anual del 4.5%, inferior al rendimiento esperado del portafolio (10.18%), el apalancamiento genera un spread positivo que contribuye a la rentabilidad neta. No obstante, es fundamental monitorear el margen de seguridad, especialmente en escenarios de estrés de mercado donde las pérdidas también se magnifican proporcionalmente. La asignación de capital basada en los pesos óptimos de Markowitz—38.88% en KO, 33.60% en JNJ y 27.52% en PG—refleja la maximización del ratio de Sharpe y la minimización de la varianza del portafolio, principios centrales de la teoría moderna de portafolios (Elton & Gruber, 1997).

El análisis trimestral de valoración revela el impacto del decaimiento temporal (Theta) sobre el valor de las opciones Put. Como se observa en las proyecciones, el valor de las Puts disminuye gradualmente conforme se aproxima el vencimiento, fenómeno consistente con la pérdida de valor temporal. Este comportamiento subraya la importancia del monitoreo continuo y la eventual implementación de estrategias de roll-over para mantener la cobertura efectiva a lo largo del horizonte de inversión (Hull, 2018).

La efectividad de la cobertura, medida mediante la reducción de volatilidad y el hedge ratio, confirma que la estrategia Protective Put cumple su objetivo de mitigación de riesgo. La reducción de volatilidad superior al 40% y un hedge ratio negativo indican una correlación inversa efectiva entre las pérdidas del portafolio y los payoffs de las opciones Put, validando la funcionalidad de la cobertura. Adicionalmente, el análisis VaR comparativo demuestra que la estrategia con cobertura reduce significativamente las pérdidas potenciales en escenarios adversos (percentiles 1% y 5%), proporcionando una protección tangible frente a movimientos extremos del mercado (Jorion, 2007). Los flujos de caja trimestrales consolidados revelan la dinámica financiera de la estrategia, incorporando no solo las ganancias/pérdidas de las acciones y el payoff de las opciones, sino también los costos financieros del apalancamiento y los dividendos recibidos. Este análisis integral permite evaluar la viabilidad económica de la estrategia en cada periodo, identificando potenciales ajustes necesarios para optimizar el P&L acumulado. La inclusión de dividendos—flujo de caja positivo relevante en acciones defensivas como KO, PG y JNJ—mejora el retorno total del portafolio y contribuye a financiar parcialmente los costos de cobertura y apalancamiento (Damodaran, 2012). En síntesis, el modelo Black-Scholes-Merton, complementado con árboles binomiales calibrados, proporciona un framework completo y metodológicamente sólido para la valoración de opciones y el diseño de estrategias de cobertura. La estrategia Protective Put emerge como la alternativa recomendada para inversores que buscan protección efectiva contra movimientos adversos del mercado sin renunciar al potencial de upside. El apalancamiento del 85%, respaldado por una cobertura robusta y una asignación óptima basada en Markowitz, maximiza el retorno esperado ajustado por riesgo, cumpliendo así con los objetivos de crecimiento estable y gestión prudente del capital invertido.

Referencias Bibliográficas Bodie, Z., Kane, A., & Marcus, A. J. (2018). Investments (11th ed.). McGraw-Hill Education.

Damodaran, A. (2012). Investment valuation: Tools and techniques for determining the value of any asset (3rd ed.). John Wiley & Sons.

Elton, E. J., & Gruber, M. J. (1997). Modern portfolio theory, 1950 to date. Journal of Banking & Finance, 21(11–12), 1743–1759. https://doi.org/10.1016/S0378-4266(97)00048-4

Glasserman, P. (2004). Monte Carlo methods in financial engineering. Springer.

Hull, J. C. (2018). Options, futures, and other derivatives (10th ed.). Pearson.

Jorion, P. (2007). Value at risk: The new benchmark for managing financial risk (3rd ed.). McGraw-Hill. Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. The Journal of Finance, 7(1), 77–91.

https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1952.tb01525.x