Laboratorio 2 opciones
Marlin Tatiana Pérez Bedoya - John Alexander Guzman Cortes - Maria Camila Tapias Manrique
13-11-2025
1 INTRODUCCIÓN
El riesgo financiero es un componente inherente a toda decisión de inversión. En un mercado caracterizado por la volatilidad y la incertidumbre, la gestión activa de carteras es esencial para maximizar el rendimiento esperado y controlar las pérdidas potenciales. El objetivo principal de este trabajo es doble: optimizar una cartera de inversión de \(10\) millones de dólares compuesta por tres activos (HWKN, RGLD y MLM), y mitigar el riesgo de esta cartera mediante el uso estratégico de instrumentos derivados.
Para alcanzar el primer objetivo, se empleará el modelo de Media-Varianza de Markowitz para determinar la asignación de pesos óptima que minimice el riesgo para un nivel de rendimiento deseado, estableciendo así el portafolio. La evolución de los precios de este portafolio hasta el vencimiento se simulará utilizando el modelo de simulación (MGB), proporcionando la base para la valoración de los derivados.
El segundo objetivo se aborda mediante la valuación de opciones financieras, utilizando el método de Árboles Binomiales para diferenciar entre las opciones europeas y americanas. Este análisis de valoración es fundamental para diseñar una estrategia de cobertura que protegerá el 85% de la inversión total contra movimientos adversos del mercado. El documento está estructurado para ofrecer un análisis detallado de los indicadores de riesgo y rendimiento del portafolio, incluyendo el Índice Sharpe y el Value at Risk (VaR), seguido por la construcción y justificación de la estrategia de cobertura apalancada.
Finalmente, se presentará el análisis de la efectividad de la cobertura y las conclusiones sobre la eficiencia del portafolio.
2 PORTAFOLIO OPTIMO DE INVERSIÓN
2.1 Análisis de datos históricos
Previo a la optimización del portafolio, se realizó un análisis exploratorio de los datos históricos de precios de los tres activos seleccionados (HWKN, RGLD y MLM), con el fin de evaluar su comportamiento individual y conjunto en el periodo comprendido desde octubre de 2023. A partir de estas series de tiempo, se calcularon los rendimientos logarítmicos diarios, los cuales se transformaron en tasas trimestrales esperadas de retorno y volatilidad.
Estos indicadores proporcionan la base estadística del modelo de Media-Varianza de Markowitz, ya que permiten cuantificar la relación riesgo–rendimiento de cada activo y estimar la estructura de covarianzas utilizada para construir la frontera eficiente del portafolio.
## [1] "HWKN" "RGLD" "MLM"| Activo | Retorno Trimestral Esperado | Volatilidad Trimestral |
|---|---|---|
| HWKN | 9.56% | 19.20% |
| RGLD | 7.73% | 14.68% |
| MLM | 5.32% | 11.84% |
El análisis de precios históricos (octubre 2023 a julio 2025) evidencia que: RGLD (línea azul) mostró el mayor nivel de precios, con una tendencia alcista estable y correcciones leves, reflejando su papel como activo de baja correlación con el ciclo económico. MLM (línea verde) presentó la mayor volatilidad de precios, aunque con retornos moderados; su comportamiento sugiere alta sensibilidad al sector industrial. HWKN (línea roja) exhibió un crecimiento más constante y con menor dispersión de precios, aportando estabilidad al portafolio. La combinación de estos tres activos permitió lograr un balance entre estabilidad y rentabilidad, reforzando la diversificación como elemento clave de la eficiencia obtenida.
2.2 Optimización de portafolio de media varianza
Se utilizó el modelo de Optimización de Media-Varianza de Markowitz para crear un portafolio de \(10,000,000\) USD compuesto por las acciones HWKN, RGLD y MLM. El objetivo de este modelo es maximizar el rendimiento esperado para un nivel de riesgo dado, o minimizar el riesgo para un rendimiento objetivo.
La asignación de pesos revela que el modelo de optimización concentra la inversión en MLM y RGLD debido a que esta combinación de activos ofrece la mejor relación de riesgo-rendimiento ajustado y la mayor capacidad de diversificación entre las tres acciones en el período de estudio. La acción HWKN recibe una asignación marginal, lo que implica que, bajo las condiciones de la matriz de covarianza, su inclusión no contribuye significativamente a mejorar la eficiencia del portafolio.
## HWKN RGLD MLM
## 2.64 4.24 3.122.3 Pesos de la cartera óptima resumen general del portafolio óptimo
Mediante la aplicación del modelo de Optimización de Media-Varianza de Markowitz, se construyó un portafolio de USD 10 millones conformado por las acciones HWKN, RGLD y MLM. El objetivo fue maximizar el rendimiento esperado ajustado al riesgo, obteniendo la cartera de tangencia que presenta la mejor combinación riesgo-retorno.
El modelo recomienda concentrar la inversión en RGLD (42 %) y MLM (31 %), activos que aportan la mayor eficiencia y diversificación; mientras que HWKN (26 %) mantiene una participación moderada debido a su mayor volatilidad individual. El portafolio resultante ofrece un retorno anual esperado del 28 %, con una volatilidad del 22 % y un índice de Sharpe de 1.06, lo cual indica una relación riesgo-rendimiento sólida. Los indicadores de riesgo extremo muestran valores de VaR trimestral de -0.30 % (1 %) y -0.16 % (5 %), evidenciando baja exposición a pérdidas significativas.
En síntesis, la cartera optimizada logra un equilibrio eficiente entre rentabilidad y riesgo, constituyendo una base robusta para estrategias posteriores de cobertura con derivados y gestión activa del riesgo financiero.
## Activo Precio_Actual Cantidad_Acciones Valor_Invertido
## HWKN HWKN 128.03 20604.72 2638023
## RGLD RGLD 187.36 22628.10 4239601
## MLM MLM 620.40 5032.84 3122376
## Porcentaje_Portafolio
## HWKN 26.38
## RGLD 42.40
## MLM 31.22
| Resumen del Portafolio Óptimo | |||||
| Portafolio | Retorno Anual | Volatilidad Anual | Sharpe | VaR 1% Trimestral | VaR 5% Trimestral |
|---|---|---|---|---|---|
| Portafolio optimo | 28% | 22% | 1.062 | -$0.30 | -$0.16 |
2.4 Análisis de sharp y frontera eficiente
La frontera eficiente muestra el conjunto de combinaciones óptimas entre riesgo y retorno. En el gráfico correspondiente, el eje X representa la volatilidad anualizada (riesgo), y el eje Y, la rentabilidad anual esperada. El punto rojo en la gráfica indica el portafolio de tangencia, con un retorno anual esperado del 27.3%, una volatilidad del 22.2%, y un índice de Sharpe de 1.04. Este índice Sharpe implica que, por cada unidad de riesgo, el portafolio genera aproximadamente 1.04 unidades de retorno en exceso sobre la tasa libre de riesgo, lo que es un resultado sólido desde la perspectiva de eficiencia. La pendiente positiva de la frontera refleja la naturaleza compensatoria entre riesgo y rentabilidad: mientras más se arriesga, mayor es la expectativa de retorno. Sin embargo, el portafolio de tangencia marca el punto donde esta relación es más eficiente, y por tanto, el más recomendable para el inversionista racional.
2.5 Simulación portafolio óptimo
El portafolio óptimo constituye el activo subyacente de los derivados. Para proyectar su comportamiento, se presentan las trayectorias simuladas del valor del portafolio durante 40 trimestres, aplicando el modelo de Movimiento Browniano Geométrico (MGB) con 10.000 iteraciones. Se observa una tendencia general de crecimiento con una dispersión creciente a lo largo del tiempo, reflejando el riesgo y la volatilidad inherentes al mercado. Este comportamiento respalda la necesidad de implementar una estrategia de cobertura con derivados, siendo el portafolio simulado el activo subyacente que protege la inversión ante escenarios adversos.
2.5.1 Trayectorias portafolio (Máxima, media, mínima)
Luego de realizar la simulación del portafolio óptimo, se identificaron las trayectorias máxima, media y mínima, las cuales representan los escenarios de mejor desempeño, comportamiento esperado y peor resultado, respectivamente. Estas trayectorias permiten analizar la posible evolución del valor del portafolio bajo distintos niveles de riesgo y condiciones de mercado.
2.6 Análisis de pérdidas y ganancias
Una vez generadas las trayectorias máxima, promedio y mínima, se realizó el análisis de pérdidas y ganancias (P&L) para cada escenario, utilizando como referencia los indicadores de Value at Risk (VaR) al 1% y al 5%.
Los resultados muestran que, con un 99% de confianza, el portafolio no perderá más del 30.4% de su valor en un trimestre, y con un 95% de confianza, no más del 16.2%. Si bien estas pérdidas potenciales son significativas, se interpretan dentro de un contexto de volatilidad anual del 22.2%, lo que caracteriza al portafolio como moderadamente riesgoso y adecuado para estrategias de crecimiento de capital a mediano plazo.
## # A tibble: 3 × 4
## Escenario VaR_1_USD VaR_5_USD Mean_PnL
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 Mejor trayectoria -176783. -129585. 110015.
## 2 Peor trayectoria -382532. -315318. -67361.
## 3 Promedio trayectoria -284534. -133506. 13654.
3 ARBOLES BINOMIALES CALL, PUT EUROPEAS Y AMERICANAS
3.0.1 Arboles binomiales
## # A tibble: 3 × 6
## Activo K Call_EUR Call_AME Put_EUR Put_AME
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 HWKN 160 21.4 21.4 41.0 43.7
## 2 RGLD 220 25.7 25.7 41.3 44.8
## 3 MLM 620 103. 103. 55.0 61.7
La siguiente tabla presenta los resultados obtenidos en la valuación de opciones Call y Put, tanto europeas como americanas, para los tres activos seleccionados del portafolio, HWKN, RGLD y MLM. Los valores fueron estimados a partir del modelo de árboles binomiales calibrado bajo los supuestos del modelo Black-Scholes, utilizando como horizonte el plazo máximo de la inversión.
## # A tibble: 3 × 6
## Activo `Precio Ejercicio (K)` `Call Europea` `Call Americana` `Put Europea`
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 HWKN 160 21.4 21.4 41
## 2 RGLD 220 25.7 25.7 41.3
## 3 MLM 620 103. 103. 55.0
## `Put Americana`
## <dbl>
## 1 43.7
## 2 44.8
## 3 61.7## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
## [1,] 187.36000 NA NA NA NA NA NA NA
## [2,] 161.77425 216.99232 NA NA NA NA NA NA
## [3,] 139.68248 187.36000 251.3112 NA NA NA NA NA
## [4,] 120.60754 161.77425 216.9923 291.0578 NA NA NA NA
## [5,] 104.13746 139.68248 187.3600 251.3112 337.0907 NA NA NA
## [6,] 89.91652 120.60754 161.7743 216.9923 291.0578 390.4040 NA NA
## [7,] 77.63758 104.13746 139.6825 187.3600 251.3112 337.0907 452.1492 NA
## [8,] 67.03545 89.91652 120.6075 161.7743 216.9923 291.0578 390.4040 523.6598
## [9,] 57.88114 77.63758 104.1375 139.6825 187.3600 251.3112 337.0907 452.1492
## [,9]
## [1,] NA
## [2,] NA
## [3,] NA
## [4,] NA
## [5,] NA
## [6,] NA
## [7,] NA
## [8,] NA
## [9,] 606.4803## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
## [1,] 620.4000 NA NA NA NA NA NA NA
## [2,] 551.1151 698.3953 NA NA NA NA NA NA
## [3,] 489.5677 620.4000 786.1961 NA NA NA NA NA
## [4,] 434.8938 551.1151 698.3953 885.0349 NA NA NA NA
## [5,] 386.3258 489.5677 620.4000 786.1961 996.2996 NA NA NA
## [6,] 343.1817 434.8938 551.1151 698.3953 885.0349 1121.5521 NA NA
## [7,] 304.8559 386.3258 489.5677 620.4000 786.1961 996.2996 1262.5512 NA
## [8,] 270.8102 343.1817 434.8938 551.1151 698.3953 885.0349 1121.5521 1421.276
## [9,] 240.5667 304.8559 386.3258 489.5677 620.4000 786.1961 996.2996 1262.551
## [,9]
## [1,] NA
## [2,] NA
## [3,] NA
## [4,] NA
## [5,] NA
## [6,] NA
## [7,] NA
## [8,] NA
## [9,] 1599.956## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
## [1,] 128.03000 NA NA NA NA NA NA
## [2,] 105.66034 155.13561 NA NA NA NA NA
## [3,] 87.19915 128.03000 187.97983 NA NA NA NA
## [4,] 71.96354 105.66034 155.13561 227.77759 NA NA NA
## [5,] 59.38992 87.19915 128.03000 187.97983 276.0011 NA NA
## [6,] 49.01319 71.96354 105.66034 155.13561 227.7776 334.4341 NA
## [7,] 40.44951 59.38992 87.19915 128.03000 187.9798 276.0011 405.2381
## [8,] 33.38209 49.01319 71.96354 105.66034 155.1356 227.7776 334.4341
## [9,] 27.54950 40.44951 59.38992 87.19915 128.0300 187.9798 276.0011
## [,8] [,9]
## [1,] NA NA
## [2,] NA NA
## [3,] NA NA
## [4,] NA NA
## [5,] NA NA
## [6,] NA NA
## [7,] NA NA
## [8,] 491.0322 NA
## [9,] 405.2381 594.9901##
## 💰 Árbol de valores de la opción - RGLD (PUT Americana)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
## [1,] 44.82 NA NA NA NA NA NA NA NA
## [2,] 60.94 29.46 NA NA NA NA NA NA NA
## [3,] 80.32 42.62 16.78 NA NA NA NA NA NA
## [4,] 99.39 59.63 26.32 7.49 NA NA NA NA NA
## [5,] 115.86 80.32 39.97 13.09 2.00 NA NA NA NA
## [6,] 130.08 99.39 58.23 22.35 4.01 0 NA NA NA
## [7,] 142.36 115.86 80.32 36.95 8.07 0 0 NA NA
## [8,] 152.96 130.08 99.39 58.23 16.23 0 0 0 NA
## [9,] 162.12 142.36 115.86 80.32 32.64 0 0 0 0##
## 💰 Árbol de valores de la opción - MLM (PUT Americana)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
## [1,] 61.70 NA NA NA NA NA NA NA NA
## [2,] 92.19 33.98 NA NA NA NA NA NA NA
## [3,] 133.18 55.11 14.60 NA NA NA NA NA NA
## [4,] 185.11 86.53 26.37 3.72 NA NA NA NA NA
## [5,] 233.67 130.43 46.57 7.72 0 NA NA NA NA
## [6,] 276.82 185.11 79.74 16.01 0 0 NA NA NA
## [7,] 315.14 233.67 130.43 33.21 0 0 0 NA NA
## [8,] 349.19 276.82 185.11 68.88 0 0 0 0 NA
## [9,] 379.43 315.14 233.67 130.43 0 0 0 0 0##
## 💰 Árbol de valores de la opción - HWKN (PUT Americana)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
## [1,] 43.67 NA NA NA NA NA NA NA NA
## [2,] 57.26 29.77 NA NA NA NA NA NA NA
## [3,] 72.80 41.51 17.60 NA NA NA NA NA NA
## [4,] 88.04 56.01 26.59 8.17 NA NA NA NA NA
## [5,] 100.61 72.80 38.88 13.74 2.27 NA NA NA NA
## [6,] 110.99 88.04 54.59 22.57 4.40 0 NA NA NA
## [7,] 119.55 100.61 72.80 35.88 8.53 0 0 NA NA
## [8,] 126.62 110.99 88.04 54.34 16.51 0 0 0 NA
## [9,] 132.45 119.55 100.61 72.80 31.97 0 0 0 0ANALISIS COMPARATIVO DE LAS 3 PUTS AMERICANAS
ACCIÓN HWKN – Put Americana (43.7 USD): Representa una opción de protección de nivel medio, con un costo moderado y un valor razonable frente a su precio de ejercicio 160 USD, adicionalmente su prima indica una volatilidad controlada, por lo que resulta útil en portafolios que buscan una cobertura equilibrada entre costo y protección. Es apropiada cuando el activo subyacente presenta estabilidad moderada, pero aún existe riesgo de corrección.
RGLD – Put Americana (44.8 USD): Presenta una prima ligeramente superior a HWKN, lo que refleja una mayor volatilidad implícita y un potencial de cobertura más alto. Este tipo de opción se vuelve atractiva cuando el activo tiene una sensibilidad marcada a los movimientos del mercado, su mayor valor también sugiere que el mercado percibe riesgo bajista más elevado en el corto plazo, lo que la convierte en una herramienta de protección más efectiva ante escenarios de incertidumbre.
MLM – Put Americana (61.7 USD): Es la opción con mayor valor dentro del grupo analizado, coherente con su precio de ejercicio más alto 620 USD y con la alta volatilidad del activo subyacente. Este resultado indica que el activo MLM presenta un comportamiento más incierto, por lo que su cobertura requiere una prima superior. Aunque implica un mayor costo, esta opción ofrece la máxima capacidad de protección en caso de caídas bruscas. Podemos concluir que el análisis de las tres Put Americanas (HWKN, RGLD y MLM) demuestra que el modelo binomial bajo el enfoque de Black-Scholes captura adecuadamente las diferencias en volatilidad y riesgo de cada activo. La prima más alta de las opciones put refleja la valoración del mercado ante la posibilidad de caídas en los precios de las acciones y la conveniencia del ejercicio anticipado como mecanismo de protección.
Estas opciones se consolidan como los instrumentos más adecuados para cubrir el 85% de la inversión total, apalancada a la tasa del Tesoro del 4,11%, permitiendo así mantener el equilibrio entre rendimiento esperado, liquidez y gestión del riesgo del portafolio a lo largo del horizonte de inversión.
4 PROCESO DE COBERTURA DE INVERSIÓN
Se realizo a cobertura del 85% del portafolio de inversión utilizando un crédito con la tasa de los bonos del Tesoro a 10 años equivalente al 4,11%, porque esta tasa representa el costo de financiamiento libre de riesgo en el mercado. Es decir, refleja la rentabilidad mínima que un inversionista puede obtener sin asumir riesgo, por lo que sirve como referencia adecuada para valorar y financiar posiciones de cobertura.
La decisión de cubrir solo el 85% del portafolio responde a una estrategia de gestión del riesgo y rendimiento equilibrada, ya que una cobertura total del 100% eliminaría prácticamente el riesgo, pero también limitaría por completo la posibilidad de capturar las ganancias derivadas de una subida en el precio de los activos.
En cambio, una cobertura parcial del 85% permite proteger la mayor parte del capital invertido frente a caídas pronunciadas del mercado, mientras que el 15% restante sin cubrir mantiene la exposición necesaria para aprovechar movimientos alcistas.
El uso del apalancamiento a la tasa del Tesoro hace que la estrategia sea financieramente eficiente, ya que permite financiar la compra de opciones y coberturas con un costo bajo y predecible. Dado que la tasa del 4,11% es estable y considerada libre de riesgo, el inversionista puede asegurar la protección del portafolio sin afectar significativamente su rentabilidad esperada. Además, este tipo de financiamiento reduce la necesidad de liquidar posiciones principales y facilita una gestión activa del portafolio sin comprometer liquidez.
En conjunto, cubrir el 85% del portafolio con un crédito a la tasa del Tesoro busca equilibrar rentabilidad, riesgo y costo de cobertura. Se garantiza la protección ante pérdidas severas, se mantiene la posibilidad de obtener beneficios si el mercado sube y se optimiza el costo del apalancamiento al usar la tasa más baja y segura disponible en el mercado financiero.
## # A tibble: 3 × 8
## Activo Precio_Actual K Acciones_Tenidas Acciones_Cubiertas_85 Contratos Prima_x_Contrato Costo_Total_Primas
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 HWKN 128. 160 20605. 17514 176 41.0 721640.
## 2 RGLD 187. 220 22628. 19233 193 41.3 797574.
## 3 MLM 620. 620 5033. 4277 43 55.0 236289.## [1] 17555032.2) Cronograma del préstamo (interés trimestral, bullet)
## # A tibble: 8 × 4
## Trimestre Interes Principal Flujo_Total
## <int> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 1 18022. 0 18022.
## 2 2 18022. 0 18022.
## 3 3 18022. 0 18022.
## 4 4 18022. 0 18022.
## 5 5 18022. 0 18022.
## 6 6 18022. 0 18022.
## 7 7 18022. 0 18022.
## 8 8 18022. 1755503. 1773524.## Total_Intereses Total_Servicio
## 144173.6 1899676.2
## # A tibble: 9 × 7
## Nodo Precio_Final_ST Payoff Prima Neto_por_Opcion Num_Opciones Resultado_Total_USD
## <int> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 0 241. 379. 61.7 318. 43 13662.
## 2 1 305. 315. 61.7 253. 43 10898.
## 3 2 386. 234. 61.7 172. 43 7395.
## 4 3 490. 130. 61.7 68.7 43 2955.
## 5 4 620. 0 61.7 -61.7 43 -2653.
## 6 5 786. 0 61.7 -61.7 43 -2653.
## 7 6 996. 0 61.7 -61.7 43 -2653.
## 8 7 1263. 0 61.7 -61.7 43 -2653.
## 9 8 1600. 0 61.7 -61.7 43 -2653.