Cobertura con Árboles Binomiales de un Portafolio (KO, JNJ, XOM)

RESUMEN

Este trabajo desarrolla la construcción, análisis y cobertura de un portafolio compuesto por los activos KO, JNJ y XOM, utilizando optimización media-varianza, métricas de rendimiento histórico, modelación estocástica y valoración de derivados reales. Con base en precios históricos del mercado, se obtiene el portafolio eficiente, se analiza su Sharpe, volatilidad y riesgo, y posteriormente se simulan escenarios de comportamiento a 10 años mediante un proceso GBM. Posteriormente, se implementa una cobertura con opciones PUT reales seleccionadas del mercado, las cuales son valoradas y cuantificadas en número de contratos necesarios. Finalmente, se compara el VaR del portafolio sin cobertura y con cobertura, evidenciando reducción del riesgo extremo y una mejora en la protección del capital ante caídas severas del mercado.

INTRODUCCIÓN

La construcción y gestión de portafolios financieros requiere no solo seleccionar activos, sino analizar el balance entre riesgo y rendimiento esperado. En este trabajo se desarrolla un portafolio real compuesto por acciones estadounidenses, utilizando la metodología de optimización media-varianza como referencia para definir asignaciones óptimas basadas en datos históricos del mercado.

Posteriormente, se evalúan métricas clave como volatilidad anual, rendimiento histórico y el índice de Sharpe, para determinar si el portafolio presenta una relación riesgo–retorno adecuada frente a la tasa libre de riesgo del Treasury norteamericano. Además, se proyecta su comportamiento potencial a 10 años mediante simulaciones bajo un proceso de Movimiento Geométrico Browniano.

Con el fin de proteger el capital ante escenarios adversos, se implementa una estrategia de cobertura mediante opciones PUT reales extraídas del mercado. Estas opciones se valoran y se calculan los contratos necesarios para cubrir el 85% del portafolio de mínima varianza. Finalmente, se compara el riesgo extremo mediante VaR antes y después de la cobertura, evidenciando el aporte de la estrategia protectiva en términos de reducción de pérdidas potenciales.

Parámetros generales del Taller

Este trabajo desarrolla la Creación de Árboles Binomiales para cobertura de un Portafolio de Inversión real utilizando RStudio.

• Se construye un portafolio de inversión compuesto por 3 acciones reales del mercado USA: KO, JNJ y XOM.
• Horizonte de inversión del portafolio: 10 años.
• Monto total invertido: 10 millones de dólares.
• Información histórica utilizada desde 01/10/2023.
• La tasa libre de riesgo corresponde al Bono del Tesoro USA 10 años, obtenida desde FRED / medidas recientes de mercado (valor utilizado final 4.10% anual).
• Se considera dividend yield en caso de ser relevante.
• Se realizará cobertura con opciones PUT y CALL europeas y americanas, con ejercicio trimestral hasta máximo 2 años (límite del derivado).
• La selección del Strike se realizará utilizando criterios reales: Bid-Ask / Mid / Open Interest / Liquidez / IV real.
• La cobertura se implementa sobre el 85% del portafolio.

Según el taller:

1. Se construye y optimiza el portafolio usando media-varianza y posteriormente se simula el precio del subyacente vía MGB riesgo-neutral 10 años.

2. Se analizan métricas del portafolio: Sharpe, Volatilidad anual, precios esperados trimestralmente y VaR (1% y 5%).

3. Se realiza la cobertura con PUT reales seleccionados por liquidez, justificando asignación, número de contratos y costo de la prima.

Últimos 10 precios ajustados por ticker

symbol	date	adjusted
JNJ	2025-10-30	189.05
JNJ	2025-10-31	188.87
JNJ	2025-11-03	186.26
JNJ	2025-11-04	186.86
JNJ	2025-11-05	186.00
JNJ	2025-11-06	186.97
JNJ	2025-11-07	186.57
JNJ	2025-11-10	188.41
JNJ	2025-11-11	193.83
JNJ	2025-11-12	194.39
KO	2025-10-30	68.98
KO	2025-10-31	68.90
KO	2025-11-03	67.97
KO	2025-11-04	68.66
KO	2025-11-05	68.51
KO	2025-11-06	69.06
KO	2025-11-07	70.55
KO	2025-11-10	70.52
KO	2025-11-11	71.61
KO	2025-11-12	71.51
XOM	2025-10-30	114.69
XOM	2025-10-31	114.36
XOM	2025-11-03	113.76
XOM	2025-11-04	114.14
XOM	2025-11-05	113.68
XOM	2025-11-06	114.50
XOM	2025-11-07	117.22
XOM	2025-11-10	118.22
XOM	2025-11-11	119.78
XOM	2025-11-12	118.12

## [1] 0.041

Interpretación del Gráfico 1 — Tasa Bono Tesoro USA 10Y

El gráfico 1 corresponde a la evolución histórica reciente de la tasa del Bono del Tesoro de Estados Unidos a 10 años. Se observa que la tasa ha presentado variaciones relevantes durante los últimos meses, moviéndose aproximadamente entre rangos cercanos al 3.9% – 4.8%. Este comportamiento refleja la percepción del mercado sobre la inflación y la política monetaria de la Reserva Federal. Para este estudio se utiliza una tasa anual del 4.10% como tasa libre de riesgo base para todos los cálculos posteriores de valoración, optimización y cobertura del portafolio.

Tabla 1 — Precios Históricos Acciones KO, JNJ y XOM

Los datos anteriores corresponden a los precios históricos diarios ajustados de las acciones seleccionadas para el portafolio (KO, JNJ y XOM). Estos valores representan el comportamiento real del mercado y son la base de cálculo para retornos, volatilidades, optimización media-varianza y simulación del precio futuro del portafolio. El uso de precios ajustados permite eliminar distorsiones por dividendos o splits, asegurando consistencia estadística.

Cartera tangencial (Máximo Sharpe) — Método tipo CodingFinance

ticker	peso	asignacion_usd
KO	0.653564	6535635.24
JNJ	0.346416	3464156.33
XOM	0.000021	208.43

Cartera de mínima varianza (referencia)

ticker	peso
KO	0.461852
JNJ	0.301073
XOM	0.237075

##       JNJ        KO       XOM 
## 0.3010730 0.4618521 0.2370749

Los pesos obtenidos representan la proporción óptima de dinero que se debe invertir en cada acción para lograr el portafolio con menor dispersión posible. KO tiene la participación más alta porque dentro del periodo analizado fue el activo más eficiente en balance riesgo-retorno. JNJ mantiene peso medio y XOM menor participación, evidenciando que su inclusión aporta diversificación pero no domina en eficiencia estadística. De este modo, la asignación de pesos no es arbitraria sino producto directo de optimización media-varianza.

Retorno, Volatilidad y Sharpe Trimestral por Acción (KO, JNJ, XOM)

Ticker	Retorno	Volatilidad	Sharpe
JNJ	0.0320	0.1055	0.2081
KO	0.0349	0.0891	0.2780
XOM	0.0101	0.0968	0.0005

La tabla muestra el comportamiento trimestral reciente de KO, JNJ y XOM en términos de retorno, riesgo y eficiencia:

Retorno: KO (0.0349) y JNJ (0.0320) tienen rendimientos similares y relativamente altos; XOM (0.0101) rinde mucho menos.

Volatilidad: KO es la menos volátil (0.0891), JNJ algo más riesgosa (0.1055) y XOM se mantiene en un nivel intermedio (0.0968).

Sharpe: KO presenta el mejor Sharpe (0.2780), seguida por JNJ (0.2081), mientras que XOM (0.0005) prácticamente no genera retorno extra por unidad de riesgo.

En conjunto, KO es la acción más eficiente (mayor retorno y menor volatilidad relativa), JNJ es una alternativa sólida y estable, y XOM aporta poca eficiencia en el periodo analizado, lo que justifica que KO y JNJ tengan más peso en el portafolio que XOM.

Simulación GBM por ACCIÓN (KO, JNJ, XOM)

Acción: JNJ

Métricas históricas – JNJ

Accion	Retorno_Anual	Volatilidad_Anual	Sharpe
JNJ	0.1366	0.1725	0.5545

Rangos Estadísticos por Trimestre – JNJ

trimestre	p01	p05	mean	p95	p99
0	194.39000	194.3900	194.3900	194.3900	194.3900
1	160.19414	169.8232	195.9985	226.1449	240.9370
2	149.83987	159.9596	197.6507	239.6444	261.9271
3	139.67956	153.1769	199.2110	253.4917	271.9945
4	133.82051	149.3146	201.1564	267.1868	298.5706
5	128.13472	145.3296	203.0644	277.8587	318.5319
6	122.90849	140.1983	204.6085	283.3153	332.4684
7	119.72969	139.5024	206.7227	292.4308	345.1724
8	115.71683	137.0625	209.1434	301.8089	350.3640
9	111.73075	134.3200	211.2719	311.6390	372.9325
10	109.32247	129.5277	213.8514	323.5632	386.5975
11	106.16944	128.3199	215.2855	331.9104	402.7779
12	105.15490	125.8158	217.4753	343.0782	419.0602
13	101.54525	124.1263	219.8011	355.5782	429.2167
14	99.49232	124.0570	221.8866	357.2377	449.2575
15	95.95892	122.6173	224.2711	362.7716	472.0422
16	95.84273	122.3816	226.9699	373.6762	475.5211
17	92.30921	119.9696	229.8406	387.1754	481.9859
18	93.49758	120.2593	233.3027	404.3582	514.6499
19	89.36942	120.8044	235.3091	400.6393	508.8970
20	86.39530	118.1687	237.5255	411.7062	529.9471
21	87.02528	115.0582	240.0313	420.5120	543.7102
22	85.92865	115.9934	243.2227	435.8899	554.4371
23	83.21648	116.0495	245.7326	448.5861	572.2966
24	78.95638	113.3162	248.3820	456.6765	596.9141
25	77.54546	112.2181	251.6400	464.1928	601.9602
26	82.42448	112.1082	254.6993	476.5556	650.8350
27	79.20783	110.5826	257.7282	485.0224	683.4504
28	81.51844	109.8067	260.3037	500.1379	674.6115
29	78.37578	111.3454	263.2057	521.2131	693.9323
30	80.14672	110.6278	266.4933	536.0127	686.9185
31	75.62568	108.0019	269.4391	539.4750	737.9333
32	76.76526	108.3088	272.4390	544.2887	744.5003
33	71.92486	107.3014	275.4853	552.1094	758.2194
34	73.26093	106.2373	280.0444	561.5128	788.7326
35	74.20360	104.1920	282.5092	574.3371	809.1193
36	74.54433	104.7629	286.5928	587.0813	845.8035
37	70.93787	107.2708	289.5558	600.8837	867.9799
38	70.36326	105.0246	292.0770	613.3975	918.1220
39	68.99276	106.0499	294.2553	617.1963	894.7008
40	68.65121	106.0064	297.6039	641.4942	880.0897

Acción: KO

Métricas históricas – KO

Accion	Retorno_Anual	Volatilidad_Anual	Sharpe
KO	0.1487	0.1559	0.6907

Rangos Estadísticos por Trimestre – KO

trimestre	p01	p05	mean	p95	p99
0	71.51000	71.51000	71.51000	71.51000	71.51000
1	59.88489	63.12833	72.00878	81.21275	85.37710
2	55.78714	60.23460	72.67648	86.40762	93.34071
3	53.17503	58.68560	73.53718	90.96689	97.83762
4	51.22770	57.41322	74.30254	94.53056	106.37869
5	49.42449	55.50963	75.20126	98.69736	113.25559
6	47.23074	54.70782	76.15034	102.73677	117.47752
7	45.53657	54.03521	77.08576	106.96638	122.55113
8	44.60975	53.21632	77.85797	108.56661	132.97742
9	44.15559	52.49412	78.65965	113.69280	135.15945
10	42.86566	52.28894	79.54587	115.80775	139.44902
11	42.89630	50.54274	80.44771	118.68858	140.45592
12	42.72932	50.58400	81.21546	120.72253	145.55579
13	40.71252	50.04911	81.98946	124.56726	147.77544
14	39.77418	49.89178	82.87775	127.02290	151.50842
15	39.96573	48.97571	83.91767	131.60368	156.35215
16	39.94130	48.58012	84.86004	133.78891	163.48130
17	39.61900	48.78681	85.54461	135.97955	168.71620
18	38.57133	47.30243	86.16187	141.89132	171.66722
19	38.02406	46.85250	87.07300	144.47268	175.89829
20	38.17853	45.96347	88.19869	146.13670	185.33936
21	37.32356	46.33323	89.43874	150.66579	196.99774
22	36.61192	46.28385	90.38649	156.55129	201.70451
23	37.18609	44.86470	91.14529	160.37981	201.28715
24	35.92278	44.78716	92.29859	164.45246	207.62286
25	34.71129	45.01038	93.09050	163.33146	224.76220
26	33.77671	45.33327	94.12422	168.45018	228.86061
27	33.44693	43.86832	95.18948	172.92807	236.78171
28	33.25365	43.47142	96.30957	174.26847	235.20007
29	33.33550	43.88075	97.26280	177.02738	240.69070
30	32.69519	43.19414	98.60658	183.17836	257.96686
31	32.94362	43.51381	99.71585	187.24498	262.14219
32	33.13028	43.58050	101.17859	193.99558	259.18136
33	32.40721	42.68678	102.21186	195.47553	265.83152
34	32.05359	42.80593	103.31726	199.72510	271.68643
35	30.88128	42.35627	104.09299	202.55018	282.67109
36	31.11362	41.75840	105.13467	205.46526	295.42144
37	31.10593	41.66916	106.20717	211.95041	292.60349
38	30.93721	41.49769	107.51066	214.78927	305.94483
39	30.60556	40.96546	108.71686	214.76051	304.81928
40	30.85230	41.61325	109.81037	219.52104	312.41772

Acción: XOM

Métricas históricas – XOM

Accion	Retorno_Anual	Volatilidad_Anual	Sharpe
XOM	0.0432	0.2187	0.0102

Rangos Estadísticos por Trimestre – XOM

trimestre	p01	p05	mean	p95	p99
0	118.12000	118.12000	118.1200	118.1200	118.1200
1	91.72384	98.71978	119.2307	141.3479	152.9353
2	84.11206	92.20792	120.2490	151.8327	174.8830
3	79.16565	88.83617	121.6614	162.3910	187.0153
4	75.16435	84.61448	123.5318	173.6303	197.6728
5	68.55350	79.97449	125.0019	183.6454	210.1298
6	63.67650	77.85914	126.4100	193.6275	225.3366
7	61.79490	76.24234	127.4709	196.7395	240.7877
8	59.07090	75.05406	128.5061	204.3440	250.6556
9	57.61569	73.27709	129.9249	211.9723	262.9622
10	56.09696	72.15081	131.7248	221.1034	282.6109
11	54.55788	70.72347	133.1136	228.2219	288.2652
12	52.88084	68.97015	134.1073	234.5124	309.7525
13	51.20851	67.20598	135.7601	243.6004	310.4313
14	48.54355	65.68104	136.4518	249.0790	307.4727
15	50.11120	64.10869	138.5166	257.3865	334.0109
16	48.60456	62.57854	140.0107	261.5597	340.8870
17	45.29471	61.39031	141.5177	264.8496	354.5537
18	45.62241	60.57776	142.2304	267.8845	364.3265
19	45.09431	60.49105	144.1463	272.9375	374.0772
20	41.85145	58.52949	146.5853	288.8614	401.9893
21	42.89886	58.78081	148.0675	293.9602	410.5102
22	41.65920	58.76302	149.5885	298.4513	423.8309
23	41.21566	58.03549	150.9242	311.2597	426.2572
24	40.07340	57.30870	152.4668	309.9697	425.0228
25	40.63655	55.65964	153.6186	308.5737	438.8849
26	39.88898	55.12375	155.0811	318.8387	470.4474
27	37.13575	54.35076	156.3126	325.2274	479.2870
28	34.85243	52.87152	157.6976	331.4343	474.4320
29	34.12824	51.95825	159.4024	345.6668	502.7629
30	35.26877	51.81819	160.8386	351.0421	518.8962
31	33.28123	52.59875	163.6833	363.4864	539.1733
32	32.68611	50.70065	165.3310	371.4946	540.7257
33	32.63225	49.17503	167.1418	378.5335	558.8995
34	32.86885	48.79506	168.7496	396.0378	601.3872
35	31.54249	48.55765	170.5552	396.4496	618.4811
36	29.76976	47.71339	172.1347	393.0750	644.8745
37	29.82560	48.17146	174.1882	406.9465	641.3092
38	29.54665	46.04569	176.0145	413.8379	663.7884
39	28.33102	46.68396	177.9459	423.6336	679.7967
40	28.26998	45.95015	179.7572	440.1311	688.1371

📌 Métricas históricas por Acción (KO, JNJ, XOM)

Accion	Retorno_Anual	Volatilidad_Anual	Sharpe
JNJ	0.1366	0.1725	0.5545
KO	0.1487	0.1559	0.6907
XOM	0.0432	0.2187	0.0102

La simulación GBM a 10 años para cada acción muestra comportamientos diferenciados en términos de riesgo y crecimiento esperado. KO presenta el abanico más compacto y estable, coherente con su menor volatilidad histórica, lo que genera trayectorias más predecibles y menores extremos tanto al alza como a la baja. JNJ muestra un comportamiento intermedio: su rango de precios proyectados es más amplio que KO, pero mantiene una tendencia ascendente moderada y estable. XOM, en cambio, refleja el mayor nivel de dispersión entre escenarios, con trayectorias que se abren más rápido, evidenciando mayor sensibilidad a los choques del mercado energético.

En los tres casos, las curvas máx–media–mín se separan progresivamente a medida que aumentan los trimestres, lo que confirma el incremento natural de la incertidumbre a largo plazo bajo un proceso GBM. KO y JNJ tienden a mostrar medias más consistentes y menos alejadas de sus mínimos, mientras que en XOM la distancia entre mínimos y máximos es mucho mayor, indicando riesgo elevado y resultados menos predecibles.

En conjunto, la simulación confirma que KO es la acción más estable, JNJ la más balanceada, y XOM la más volátil, lo cual coincide con los resultados de las métricas históricas y justifica los pesos asignados posteriormente en el portafolio.

Métricas históricas del portafolio

mu_ann	vol_ann	sharpe
0.144512	0.1377419	0.7514922

Rangos Estadísticos por Trimestre (GBM Riesgo-Neutral Portafolio)

trimestre	p01	p05	mean	p95	p99
0	100.00000	100.00000	100.0000	100.0000	100.0000
1	86.55589	89.96063	101.2346	112.9489	119.0395
2	81.05716	86.68712	102.1604	118.8764	126.9153
3	78.69009	84.00359	103.2213	124.4256	135.9244
4	74.04857	81.99032	104.1775	128.8492	142.2361
5	71.25019	80.14165	105.2158	133.5854	152.6093
6	70.23666	78.80085	106.4798	138.2287	156.1020
7	67.65102	77.33896	107.4941	142.5967	160.4793
8	65.43085	75.83919	108.6842	146.4933	163.5884
9	65.78461	75.84433	109.4769	149.8544	168.5786
10	64.63678	75.48310	110.3313	154.1531	174.2352
11	64.79744	75.07839	111.4276	156.2650	182.1722
12	63.61760	74.40445	112.6338	159.6601	190.4623
13	61.84541	72.47896	113.5690	163.9864	193.8991
14	61.31603	72.39590	114.5426	167.5698	198.4479
15	60.64300	72.20239	115.8311	172.8930	206.8110
16	60.65883	71.67354	117.0276	175.3091	213.6381
17	57.38636	70.46302	118.3339	178.2817	219.4815
18	56.87672	70.57954	119.2807	182.7065	219.3260
19	56.99536	70.73732	120.4277	185.6466	226.8988
20	55.30861	70.14144	121.6360	191.5095	228.6863
21	55.31880	70.12283	122.8759	195.3815	234.9417
22	55.21704	70.01336	124.2785	201.1019	241.6249
23	56.02103	68.49426	125.3463	202.4292	248.7484
24	54.75260	69.06327	127.2195	209.3195	264.6452
25	53.49747	69.18860	128.7149	213.3207	265.4921
26	52.25983	68.73252	130.1467	218.5322	258.4683
27	52.82955	68.40876	131.5148	222.6635	280.6456
28	52.05530	67.90491	132.7101	223.9906	273.3410
29	51.82515	67.53220	134.3414	230.1374	284.7755
30	51.89494	68.69901	136.0009	231.8183	291.8645
31	50.66934	67.80673	137.0677	239.2362	300.1965
32	50.74973	67.06531	138.7912	240.5602	310.2714
33	49.47356	68.05018	140.4129	245.0602	325.1725
34	49.79513	67.60654	142.0239	251.9878	330.3047
35	50.14686	67.23315	143.5808	255.6125	346.0772
36	49.88777	68.27222	145.1209	261.9010	353.6705
37	50.15118	68.38660	146.6611	267.0395	360.3188
38	49.33798	67.79850	148.3187	272.7603	364.1267
39	49.82972	66.63147	149.7902	275.4980	370.5043
40	49.01684	66.26244	151.4369	281.3043	370.8699

Los resultados muestran que el portafolio seleccionado presenta un retorno anual esperado cercano al 13.69% con una volatilidad anual del 14.04%. Esto indica una relación riesgo/retorno balanceada, donde el riesgo asumido es razonable frente al retorno promedio esperado. El índice de Sharpe (0.68) confirma que existe una compensación positiva por cada unidad de riesgo asumida frente a la tasa libre de riesgo usada.

En la simulación GBM de 10 años, partiendo desde un valor base de 100, el abanico de trayectorias muestra cómo el portafolio podría oscilar de forma amplia en el tiempo, evidenciando escenarios bajos, medios y altos, lo cual permite visualizar la incertidumbre propia del mercado.

El cuadro de rangos estadísticos trimestrales evidencia que el valor promedio del portafolio tiende a aumentar con el paso del tiempo, reflejando que bajo el escenario riesgo-neutral hay una expectativa ascendente del precio. Sin embargo, también se observa que existen casos en los percentiles bajos donde el portafolio podría caer, lo que justifica la necesidad de evaluar estrategias de cobertura para proteger capital frente eventos adversos futuros.

VaR trimestral del portafolio (riesgo-neutral)

VaR_1	VaR_5
-0.1524657	-0.1057246

El VaR trimestral estimado bajo la simulación GBM muestra que, en un escenario de alta incertidumbre (1%), el portafolio podría llegar a perder aproximadamente un -15.5% en un trimestre, mientras que en un escenario menos extremo (5%) la pérdida probable sería cercana al -10.8%. Estos valores indican que, aunque el portafolio tiene expectativa positiva de crecimiento en el tiempo, también existen eventos de mercado donde las pérdidas trimestrales podrían ser significativas, lo que refuerza la necesidad de implementar coberturas para mitigar pérdidas fuertes en escenarios adversos.

Contratos elegidos por liquidez (reales — Yahoo)

ContractID	ConractSize	Currency	Expiration	Strike	Last	Chg	ChgPct	Bid	Ask	Vol	Open.Int	LastTradeTime	IV	ITM	mid	spread	moneyness	symbol	type
KO251114C00072000	REGULAR	USD	2025-11-14	72	0.19	-0.1000000	-34.482758	0.17	0.20	1497	6098	2025-11-12 15:59:25	0.1875081	FALSE	0.185	0.03	0.4899979	KO	call
KO251114P00072000	REGULAR	USD	2025-11-14	72	0.61	-0.0400000	-6.153841	0.57	0.67	196	316	2025-11-12 15:58:19	0.1767660	TRUE	0.620	0.10	0.4899979	KO	put
JNJ251114C00195000	REGULAR	USD	2025-11-14	195	0.95	0.0500000	5.555557	0.65	1.11	1301	609	2025-11-12 15:59:00	0.2424392	FALSE	0.880	0.46	0.6100006	JNJ	call
JNJ251114P00195000	REGULAR	USD	2025-11-14	195	1.50	-0.7400000	-33.035713	1.22	1.67	155	91	2025-11-12 15:12:43	0.2336502	TRUE	1.445	0.45	0.6100006	JNJ	put
XOM251114C00118000	REGULAR	USD	2025-11-14	118	0.66	-1.3199999	-66.666664	0.62	0.67	835	4239	2025-11-12 15:58:11	0.1743247	TRUE	0.645	0.05	0.1200027	XOM	call
XOM251114P00118000	REGULAR	USD	2025-11-14	118	1.33	0.8000001	150.943420	1.16	1.33	1854	5382	2025-11-12 15:59:06	0.3984435	FALSE	1.245	0.17	0.1200027	XOM	put

##     KO    JNJ    XOM 
##  70.55 186.57 117.22

##    KO   JNJ   XOM 
##  71.0 187.5 117.0

##    KO   JNJ   XOM 
## 0.840 2.190 1.725

Se seleccionaron los contratos por mayor liquidez real, priorizando Open Interest positivo, spreads bajos y strike cercano al precio spot. Esto permite replicar una cobertura realista y operativa, minimizando problemas de ejecución y asegurando que la prima pagada refleje precios de mercado efectivos y no valores teóricos.

##     KO    JNJ    XOM 
##  70.55 186.57 117.22

##       JNJ        KO       XOM 
## 0.1724693 0.1559090 0.2186952

Valuación CRR por activo (CALL/PUT, Europea/Americana) — parámetros reales

symbol	spot	K	sigma	C_euro	C_amer	P_euro	P_amer
KO	70.55	71.0	0.1559	8.7433	8.7433	3.6036	4.3746
JNJ	186.57	187.5	0.1725	24.7633	24.7633	10.9318	12.9658
XOM	117.22	117.0	0.2187	18.6317	18.6317	9.2005	10.4554

Los resultados de valoración muestran que los activos presentan diferencias importantes en el costo de protección. JNJ es el activo más costoso de cubrir, porque su volatilidad implícita y su strike están más alejados del spot, lo cual incrementa el precio de las opciones PUT y CALL. XOM también tiene un costo más elevado que KO, debido a mayor volatilidad implícita estimada. KO resulta la acción menos costosa para cubrir debido a menor sigma aparente y strike más cercano al precio spot.

Además, se observa que para estos strikes óptimos por liquidez, la diferencia entre opciones europeas y americanas no es tan grande en precio, por lo tanto para este caso de estudio el beneficio adicional del ejercicio anticipado (americana) no genera una prima tan alta frente a la europea. Esto permite suponer que para este portafolio la cobertura con PUT Europea sería igualmente válida y eficiente, lo cual reduce costo de implementación sin sacrificar protección.

Árboles Binomiales por ACCIÓN (KO, JNJ, XOM)

## -------------------------------------------------------
## Árbol Binomial para: KO 
## -------------------------------------------------------

## -------------------------------------------------------
## Árbol Binomial para: JNJ 
## -------------------------------------------------------

## -------------------------------------------------------
## Árbol Binomial para: XOM 
## -------------------------------------------------------

Los árboles binomiales de 8 pasos trimestrales permiten visualizar cómo podrían evolucionar los precios de KO, JNJ y XOM durante los próximos 2 años, y muestran de forma clara la relación entre el precio futuro del activo y el payoff potencial del PUT (St – K). En KO, el abanico del árbol es más compacto, lo cual refleja su menor volatilidad histórica: los niveles de precio posibles se agrandan lentamente y los valores del GAP se mantienen relativamente cercanos al strike, indicando que el riesgo de caídas profundas es más moderado.

En JNJ, el árbol muestra una apertura intermedia: la dispersión entre los estados altos y bajos es mayor que KO, aunque sigue siendo ordenada y relativamente estable, en línea con su volatilidad media. En contraste, XOM presenta el árbol más amplio de los tres, con una expansión rápida de los niveles de precio posibles y nodos con GAP más negativos en los escenarios bajistas; esto evidencia mayor variabilidad esperada y mayor sensibilidad a movimientos adversos.

En conjunto, los árboles reflejan fielmente el perfil de riesgo de cada acción: KO es la más estable, JNJ equilibrada y XOM la más volátil. Esto confirma por qué KO y JNJ son más eficientes en el portafolio y por qué XOM requiere más atención en la cobertura, ya que su estructura de precios futuros presenta los escenarios bajistas más pronunciados.

## Strike usado en el portafolio (K) = 100

Árbol Binomial del Portafolio

El árbol binomial muestra la posible evolución del valor del portafolio a lo largo del tiempo en intervalos trimestrales. En cada nodo se representa el precio estimado y su respectiva ganancia o pérdida respecto al precio base inicial de 100. Se observa que, a medida que avanzan los periodos, el rango de valores posibles se amplía, lo que refleja el crecimiento de la incertidumbre y el riesgo a futuro. Los valores más altos representan escenarios favorables de mercado, mientras que los más bajos muestran escenarios de caída.

Este árbol sirve como base para valorar las opciones de cobertura (CALL o PUT) tanto europeas como americanas, ya que permite visualizar los posibles precios futuros del portafolio y calcular sus flujos de pago. En términos prácticos, el modelo confirma que, aunque existe potencial de crecimiento, también hay riesgo de pérdidas significativas en los escenarios bajos, lo que justifica la implementación de estrategias de cobertura.

##     KO    JNJ    XOM 
##  70.55 186.57 117.22

Cobertura PUT Real sobre el 85% del Portafolio (Mínima Varianza) — Contract Size = 100 acciones

ticker	peso	asignado_85pct	strike	mid_put	contratos
KO	0.459035	3901794	71.0	0.840	553.05
JNJ	0.305567	2597319	187.5	2.190	139.21
XOM	0.235399	2000887	117.0	1.725	170.70

Cobertura PUT Real 85% Portafolio

En este punto lo que hicimos fue tomar el portafolio optimizado y cubrirlo con PUT reales del mercado, utilizando un porcentaje del 85% del valor total de la inversión (10 millones USD). Esto significa que no estamos protegiendo al 100%, pero sí una parte importante que reduce una posible caída fuerte en precios sin pagar una prima excesiva.

Se calcularon los pesos reales de la cartera, y según esos porcentajes se distribuyó el capital que cubrimos entre KO, JNJ y XOM. Luego se escogieron PUTs reales disponibles en el mercado con strikes cercanos al precio actual de cada acción, y con los precios mid reales (Bid-Ask promedio), para poder aproximar cuántos contratos necesitamos para cubrir ese 85%.

El resultado final muestra que KO es la empresa que requiere más contratos porque tiene un peso mayor dentro del portafolio y es la que más capital absorbe. JNJ y XOM necesitan menos contratos porque tienen menor peso relativo.

En conclusión, se demuestra cuantitativamente cuántos contratos PUT del mercado serían necesarios para proteger el portafolio en caso que los precios bajen significativamente durante los próximos 2 años, manteniendo consistencia con mínimos de varianza y parámetros reales del mercado.

Comparación VaR USD reales (10M) — sin hedge vs PUT Hedge

Nivel	VaR_sin_cobertura_USD	VaR_con_cobertura_USD	Reduccion_USD
1%	195458	136943	58515
5%	113728	80838	32890

Comparación VaR sin cobertura vs con cobertura PUT

Al comparar el VaR del portafolio sin cobertura frente al VaR después de aplicar PUTs reales sobre el 85% del portafolio, se evidencia una reducción importante del riesgo de pérdida extrema.

Para el nivel del 1%, el posible peor escenario del portafolio sin cobertura sería alrededor de USD 195.780, mientras que con cobertura disminuye aproximadamente a USD 137.029, logrando una reducción cercana a USD 58.751.

Para el nivel del 5%, el VaR pasa de USD 113.816 sin cobertura, a USD 80.948 con cobertura, reduciendo el riesgo cerca de USD 32.868.

Esto demuestra que la compra de PUTs sí mejora la protección ante caídas severas, y reduce el impacto financiero de un escenario negativo poco probable pero posible. Aunque la cobertura no elimina el riesgo totalmente, ayuda a controlar la magnitud de la pérdida potencial en eventos adversos del mercado.

En términos prácticos, la cobertura con PUTs genera un portafolio más estable y conserva mejor el capital ante choques fuertes, lo cual es coherente con la gestión de riesgo de portafolios institucionales.

Para la cobertura del portafolio se utiliza PUT porque este tipo de opción protege contra caídas fuertes del mercado. Si el precio baja, el PUT gana valor y compensa la pérdida del portafolio en los activos base, lo cual es coherente con el objetivo del ejercicio, que es reducir los riesgos de pérdida del capital invertido. Por esta razón, para un inversionista que busca proteger patrimonio en un horizonte largo, la PUT es el instrumento financiero más adecuado.

El dinero de cobertura se reparte de forma proporcional al peso que cada acción tiene dentro del portafolio mínimo de varianza. Esto permite que los activos que más peso tienen y por lo tanto aportan más riesgo dentro de la cartera reciban también mayor cobertura. Al distribuir el 85% de los 10 millones de dólares usando los mismos pesos óptimos obtenidos en la optimización media-varianza, se logra una asignación objetiva, consistente y alineada con la exposición real al riesgo de cada acción, evitando decisiones arbitrarias y asegurando una protección equilibrada del portafolio

Estrategias Óptimas de Cobertura con Opciones PUT

Con base en los resultados del árbol binomial, la valoración CRR y la reducción del VaR, se identifican dos estrategias óptimas para proteger el portafolio frente a caídas significativas del mercado. Ambas estrategias utilizan opciones PUT reales y son coherentes con los datos de volatilidad, strikes de mercado y pesos del portafolio mínimo de varianza.

1. Protective Put (PUT ATM) — Estrategia Principal Recomendada

La Protective Put consiste en comprar opciones PUT con strikes cercanos al precio spot, manteniendo simultáneamente las posiciones en las acciones. Esta estrategia entrega protección total ante escenarios de caída, mientras conserva la posibilidad de capturar ganancias si los precios suben.

En este trabajo se cubrió el 85% del portafolio con PUTs reales (KO, JNJ y XOM), seleccionados con base en liquidez y spreads reducidos. Los resultados muestran que la Protective Put reduce de forma significativa el riesgo extremo:

Reducción del VaR al 1%: aprox. USD 58.751

Reducción del VaR al 5%: aprox. USD 32.868

Por su capacidad de limitar pérdidas extremas sin sacrificar el potencial alcista, es la mejor estrategia para este portafolio.

2. Bear Put Spread (Compra PUT ATM + Venta PUT OTM) — Segunda Mejor Estrategia

El Bear Put Spread consiste en comprar una PUT ATM y vender simultáneamente una PUT OTM de strike inferior. Esto reduce de forma importante el costo de prima, ofreciendo protección moderada ante caídas del mercado.

Aunque limita la protección en desplomes extremos, presenta una relación costo–beneficio favorable, especialmente cuando la volatilidad del portafolio es moderada y los strikes reales se encuentran cerca del spot. Por ello es la segunda estrategia recomendada. ``` # CONCLUSIÓN

El ejercicio permitió integrar todas las etapas reales del proceso de gestión de riesgo: construcción de portafolio, medición, proyección de escenarios y aplicación de derivados como instrumento de protección. El portafolio optimizado mostró una relación riesgo–retorno coherente frente a la tasa libre de riesgo, lo cual justifica su uso como subyacente de referencia. El análisis posterior con simulaciones evidenció que, en horizontes largos, la incertidumbre futura puede generar movimientos significativos en el valor del portafolio; por lo tanto, implementar estrategias de cobertura se vuelve fundamental para mitigar impactos negativos severos.

La utilización de PUT reales del mercado permitió diseñar una cobertura aplicada, cuantificada y financiera, no teórica. Al comparar el VaR sin cobertura y con cobertura, se observa una reducción clara del riesgo extremo, lo que demuestra que el uso de derivados sí aporta una disminución real de pérdidas potenciales. En términos prácticos, la estrategia de protección suaviza los resultados en escenarios desfavorables, haciendo el portafolio más estable ante correcciones fuertes del mercado. Por lo tanto, se concluye que la combinación entre optimización de portafolio y cobertura con opciones es una herramienta efectiva y replicable para protección patrimonial de largo plazo.

REFERENCIAS

Federal Reserve Bank of St. Louis. (2025). 10-Year Treasury Constant Maturity Rate (DGS10) [Data set]. FRED, Federal Reserve Bank of St. Louis. https://fred.stlouisfed.org/series/DGS10

Yahoo Finance. (2025). Historical Prices Data KO, JNJ & XOM [Data set]. Yahoo Finance. https://finance.yahoo.com/