1) Cree un portafolio de media varianza de las tres acciones en las cuales invertirá 10 millónes de dólares, usando la misma base de datos y simule por medio de MGB los precios hasta la fecha máxima de inversión, este portafolio será su subyacente.

Para la construccion del portafolio se utilizaran los activos, Fiverr (FVRR), Archer-Daniels-Midland Company (ADM) y iShares Core U.S. Aggregate Bond ETF (AGG), con un periodo comprendido entre el 1 de octubre del 2024, hasta el 1 de octubre del 2034; para ello, se realizaran 3 simulaciones.

## # A tibble: 3 × 5
##   Asset    S0   mu_daily sigma_daily last_date 
##   <chr> <dbl>      <dbl>       <dbl> <date>    
## 1 FVRR   22.4 -0.000286      0.0302  2025-11-11
## 2 ADM    57.6  0.0000251     0.0178  2025-11-11
## 3 AGG   100.   0.000124      0.00308 2025-11-11

## # A tibble: 3 × 8
##   Asset    S0 final_5pct final_50pct final_95pct idx_5pct idx_50pct idx_95pct
##   <chr> <dbl>      <dbl>       <dbl>       <dbl>    <int>     <int>     <int>
## 1 FVRR   22.4      0.759        2.10        4.89        3         1         2
## 2 ADM    57.6     32.3         50.8       111.          3         2         1
## 3 AGG   100.     126.         135.        150.          1         2         3

## # A tibble: 9 × 7
##   Asset type             S0   final min_price max_price mean_price
##   <chr> <chr>         <dbl>   <dbl>     <dbl>     <dbl>      <dbl>
## 1 ADM   Alta_95pct     57.6 117.       41.8       125.       72.2 
## 2 ADM   Baja_5pct      57.6  30.3      24.7        62.4      38.4 
## 3 ADM   Mediana_50pct  57.6  50.8      16.6        68.9      40.6 
## 4 AGG   Alta_95pct    100.  151.       99.6       153.      123.  
## 5 AGG   Baja_5pct     100.  125.       98.4       127.      114.  
## 6 AGG   Mediana_50pct 100.  135.       98.7       137.      114.  
## 7 FVRR  Alta_95pct     22.4   5.20      4.57       41.5      13.1 
## 8 FVRR  Baja_5pct      22.4   0.610     0.419      30.3       5.32
## 9 FVRR  Mediana_50pct  22.4   2.10      2.01      118.       30.6

Análisis GBM (FVRR, ADM, AGG).

1) Parámetros estimados (históricos)

FVRR — S0 = 21.83 | mu_daily = -0.0003797 | sigma_daily = 0.03025 Interpretación: rendimiento diario históricamente levemente negativo (drift levemente abajo), pero alta volatilidad diaria (~3.0% por día) => riesgo elevado y cola ancha en la distribución futura.
ADM — S0 = 56.00 | mu_daily = -7.8e-05 | sigma_daily = 0.01778 Interpretación: rendimiento diario cercano a 0 (ligeramente negativo), volatilidad moderada (~1.78% diaria) — menos volátil que FVRR.
AGG — S0 = 100.16 | mu_daily = 0.0001133 | sigma_daily = 0.003078 Interpretación: pequeño drift positivo diario (crecimiento esperado leve) y muy baja volatilidad (~0.31% diaria). AGG se comporta como activo de renta fija/ETF estable.

2) Resultados de percentiles finales (al horizonte de 10 años)

FVRR

final_5pct ≈ 0.58
final_50pct ≈ 1.62
final_95pct ≈ 3.76

Observación: los percentiles finales son mucho menores que S0 (21.83). Esto indica que, con el mu_daily negativo y alta sigma, la mayor parte de las trayectorias tienden a valores bajos (decadencia), pero existe una cola que puede dar picos (outliers) — distribución fuertemente sesgada/desbalanceada por la combinación drift<0 y alta volatilidad.

ADM

final_5pct ≈ 24.28
final_50pct ≈ 38.11
final_95pct ≈ 82.96

Observación: la mediana (38.11) está por debajo de S0 (56). Existe posibilidad de escenarios optimistas (95pct ≈ 83) pero también caídas fuertes (5pct ≈ 24). Esto refleja cierto riesgo a la baja pero posibilidad de recuperación.

AGG

final_5pct ≈ 122.48
final_50pct ≈ 130.93
final_95pct ≈ 145.24

Observación: todos los percentiles están por encima de S0 (100.16). AGG muestra crecimiento esperado moderado y baja dispersión — perfil conservador y predecible.

3) Trayectorias representativas — estadísticos seleccionados (tabla table_selected)

Valores extraídos del resultado (S0, final, min_price, max_price) por cada tipo:

ADM

Alta_95pct: final = 87.94, min = 37.88, max = 100.98
Mediana_50pct: final = 38.11, min = 13.44, max = 64.76
Baja_5pct: final = 22.74, min = 19.93, max = 60.53

AGG

Alta_95pct: final = 146.83, min = 99.29, max = 148.55
Mediana_50pct: final = 130.93, min = 98.24, max = 133.59
Baja_5pct: final = 121.54, min = 98.11, max = 123.44

FVRR

Alta_95pct: final = 3.997, min = 3.52, max = 40.11
Mediana_50pct: final = 1.615, min = 1.54, max = 106.52
Baja_5pct: final = 0.468, min = 0.323, max = 29.31

Interpretación por activo:

FVRR: comportamiento inconsistente y riesgoso. La mediana y el 5% final están muy por debajo de S0: la mayoría de simulaciones provocan una caída marcada; sin embargo, las máximas observadas en algunas trayectorias (ej. max ≈ 106 en la mediana seleccionada) muestran que la alta volatilidad permite movimientos extremos ascendentes en pocas trayectorias. Esto indica alta asimetría: alta probabilidad de pérdida significativa + baja probabilidad de ganancias extremas.

ADM: perfil mixto: la mediana final (≈ 38) sugiere disminución respecto a S0 (56), pero existe la posibilidad de recuperación (95pct ≈ 83). Por tanto, ADM es riesgo moderado con posible upside.

AGG: estable y alcista en las simulaciones. Todos los percentiles finales > S0 y la dispersión (min / max) es estrecha: AGG se comporta como activo refugio o con rendimiento moderadamente positivo y baja volatilidad.

4) Implicaciones para la gestión del riesgo y cobertura

Diversificación: los resultados sugieren que AGG actúa como estabilizador (baja volatilidad, crecimiento leve). Si el objetivo es reducir riesgo de cola a la baja del portafolio, aumentar peso en AGG reduce el VaR total y la dispersión del portafolio.

Cobertura directa por opciones:

Para FVRR (alto riesgo a la baja): compra de puts podría ser una estrategia válida (protección downside). Dado que la mediana y percentiles bajos indican fuerte depreciación, proteger una porción de la posición (p.ej. 50–100% del valor en riesgo) evitaría pérdidas extremas; sin embargo, comprar puts cuesta prima — evaluar coste/beneficio.

Para ADM: cobertura parcial con opciones put o con forwards si se espera caída; o bien opciones collar (vender calls para financiar puts).

Para AGG: probablemente no necesita cobertura activa debido a su baja volatilidad; podría usarse como colchón natural.

Hedge ratio aproximado: usar las simulaciones para estimar pérdidas esperadas (ES/VaR) y dimensionar la cantidad de protección (por ejemplo, proteger hasta donde el 95% de pérdidas no sea catastrófico). Calcular el VaR del portafolio agregado (a partir de las simulaciones) y dimensionar la cobertura para cubrir la mayor parte del VaR.

Estrategia práctica:

Mantener AGG como core (alto % si aversión al riesgo).
Limitar exposición directa a FVRR (pequeña posición) o comprar puts para cobertura.
Para ADM, cobertura parcial (por ejemplo 50–75%) con opciones, usar forward/futuros si liquidez lo permite.

5) Medidas de riesgo y cuantitativas que deberías incluir en RPubs

Presenta (por activo y para portafolio si lo construyes):

S0, mu_daily, sigma_daily (ya en params) — explicar método de estimación (media y sd de retornos log).
Percentiles finales (5%, 50%, 95%) — interpretar.
Distribución de valores finales (histograma o densidad) — destacar cola izquierda/derecha.
Estadísticos de las trayectorias seleccionadas: min, max, promedio, valor final.
VaR / ES a horizontes relevantes (1 año, 10 años) — si ya calculaste VaR para portafolio, incluirlo.

Resultados clave:

FVRR (S0 = 21.83): mu_daily ≈ -0.00038, sigma_daily ≈ 0.03025. La mediana y los percentiles finales están muy por debajo de S0; esto refleja un riesgo alto de deterioro del precio en la mayor parte de simulaciones. La alta volatilidad hace que existan trayectorias extremas alcistas aisladas.
ADM (S0 = 56.00): mu_daily ≈ -7.8e-05, sigma_daily ≈ 0.0178. Mediana final ≈ 38 (baja respecto a S0), 95pct ≈ 83 (posible recuperación). Riesgo moderado.
AGG (S0 = 100.16): mu_daily ≈ 0.00011, sigma_daily ≈ 0.00308. Percentiles finales ≫ S0 y baja dispersión: perfil conservador.

Implicaciones para cobertura: priorizar AGG en la base del portafolio para reducir volatilidad; considerar compra de puts sobre FVRR o reducción de la posición en FVRR; para ADM, cobertura parcial o collar para limitar pérdidas y financiar protección.

Conclusión:

El análisis cuantitativo sugiere una arquitectura de portafolio con AGG como ancla, exposición moderada a ADM y exposición limitada (o cubierta) a FVRR. Las simulaciones muestran que el riesgo asimétrico de FVRR puede generar pérdidas significativas en la mediana, mientras que AGG aporta estabilidad.

## Pesos Óptimos del Portafolio:

##       FVRR        ADM        AGG 
## 0.01022753 0.01809311 0.97167936

## 
## Rendimiento Anual Esperado: 2.8 %

## 
## Volatilidad Anual: 4.83 %

## 
## Valores finales simulados del portafolio (USD):

##             [,1]     [,2]     [,3]
## [2520,] 14325274 11682559 13844176

Análisis Técnico y Justificación del Portafolio Optimizado

El portafolio presentado tiene como objetivo minimizar la varianza, reduciendo así el riesgo asociado mientras se mantiene un retorno esperado positivo. A continuación, se desglosan los principales componentes del análisis:

Distribución de Pesos

FVRR: 0.01047331        ADM: 0.01919978        AGG: 0.97032691

Suma de pesos: 1

Esto indica que el portafolio está altamente concentrado en renta fija (AGG), mientras que los activos de renta variable (FVRR y ADM) representan una fracción marginal del total. Esta distribución refleja una estrategia conservadora, priorizando la estabilidad del portafolio y reduciendo la exposición al riesgo de mercado.

Estadísticas Anuales

Retorno Esperado Anualizado: 2.51 % Volatilidad Anualizada: 4.84 %

Estos resultados son coherentes con un perfil defensivo de inversión, ya que el rendimiento esperado es moderado, pero la volatilidad se mantiene baja, lo cual disminuye la probabilidad de pérdidas severas en el largo plazo.

En términos de eficiencia, el portafolio logra un equilibrio adecuado entre retorno y riesgo, compatible con un inversor institucional o conservador.

Simulación MGB

El Movimiento Browniano Geométrico (GBM) se utilizó para simular la trayectoria futura del valor del portafolio durante un horizonte de 10 años (2.520 días hábiles) bajo los supuestos de mercado eficiente y distribución lognormal de los retornos.

Se realizaron 3 simulaciones independientes con la misma semilla aleatoria (set.seed(123)) para garantizar reproducibilidad.

Simulación Valor Final (USD)

Sim 1 13,918,721
Sim 2 11,348,472
Sim 3 13,450,773

El valor inicial fue de USD 10,000,000, por lo que todas las trayectorias simulan una rentabilidad positiva a 10 años, con variaciones esperadas por la aleatoriedad del modelo estocástico.

En promedio, el portafolio tendería a un valor esperado cercano a USD 12,9 millones, lo que representa un crecimiento acumulado del 29 % en una década.

Conclusión

El portafolio diseñado:

Maximiza el rendimiento ajustado al riesgo bajo la metodología de media-varianza de Markowitz.
Presenta un perfil conservador, enfocado en la preservación del capital.
Logra una baja volatilidad (4.84%) y un retorno anual esperado moderado (2.51%).
Bajo simulación estocástica (MGB), el valor del portafolio tiende a crecer de manera sostenida en el largo plazo, con resultados consistentes con un inversor averso al riesgo.

En síntesis, el modelo evidencia que la diversificación y predominio de renta fija son efectivos para estabilizar el rendimiento total en horizontes temporales amplios, aún bajo condiciones de incertidumbre.

A continuacion calcularemos el valor del portafolio y graficaremos por medio del siguiente Script

## Pesos Óptimos del Portafolio:

##       FVRR        ADM        AGG 
## 0.01047331 0.01919978 0.97032691

## 
## Rendimiento anual esperado: 2.51 %

## Volatilidad anual: 4.84 %

## Pesos Óptimos del Portafolio:

##       FVRR        ADM        AGG 
## 0.01047331 0.01919978 0.97032691

## 
## Rendimiento anual esperado: 0.03 %

## Volatilidad anual: 0.05 %

## # A tibble: 6 × 3
##     Day Simulacion    Precio
##   <int> <chr>          <dbl>
## 1     1 Sim1       10000000 
## 2     1 Sim2       10000000 
## 3     1 Sim3       10000000 
## 4     2 Sim1        9983874.
## 5     2 Sim2       10022053.
## 6     2 Sim3       10024267.

## Valores finales simulados del portafolio (USD):

##             [,1]     [,2]     [,3]
## [2520,] 13913485 11342349 13445345

## 
## Valor medio esperado del portafolio a 10 anios: $12,900,393

## Crecimiento acumulado estimado: 29 %

Simulación Valor final (USD)

sim 1 13,913,485
sim 2 11,342,349
sim 3 13,445,345

Promedio esperado 12,900,393

Crecimiento acumulado esperado ≈ 29.0% en 10 años

El portafolio aumentaría su valor promedio a 12.9 millones USD en 10 años.
Eso representa un crecimiento acumulado del 29%, consistente con un rendimiento compuesto anual cercano al 2.6%.
Las trayectorias muestran variabilidad moderada: incluso en los escenarios menos favorables, el portafolio no pierde valor real, lo que reafirma su carácter defensivo.

2) Analice criterios de índice Sharpe, precios esperados cada trimestre de cierre, el comportamiento de mercado y la estructura de ganancias esperadas y perdidas VaR al 1% y 5%.

Resumen ejecutivo: Sharpe, mu, sigma y VaR
Metric	Value
Sharpe (ann)	0.3120
mu (ann %)	2.5100
sigma (ann %)	4.8400
VaR 5% 1y (rel)	-0.0531
VaR 1% 1y (rel)	-0.0850
VaR 5% 1y (USD)	-530529.0600
VaR 1% 1y (USD)	-850314.0800
VaR 5% 10y (rel)	-0.0018
VaR 1% 10y (rel)	-0.1022
VaR 5% 10y (USD)	-17887.0200
VaR 1% 10y (USD)	-1022344.8700

Precios esperados por cierre trimestral (media, mediana, percentiles)
quarter_number	Date	mean	median	p05	p25	p75	p95
0	2025-11-12	10000000	10000000	10000000	10000000	10000000	10000000
1	2026-01-14	10058956	10058016	9654822	9891564	10221728	10463554
2	2026-03-18	10128381	10118341	9564975	9894569	10357677	10727182
3	2026-05-20	10191352	10181281	9504775	9893237	10478752	10906217
4	2026-07-22	10256965	10239799	9469471	9915277	10593487	11069714
5	2026-09-23	10316857	10299137	9429512	9934567	10692180	11240708
6	2026-11-25	10380960	10364932	9410540	9953666	10791286	11416933
7	2027-01-27	10452613	10443528	9381539	9978569	10895789	11574792
8	2027-03-31	10515206	10509736	9380210	10003268	10989764	11718378
9	2027-06-02	10585143	10555724	9372732	10049427	11118059	11878717
10	2027-08-04	10656903	10619178	9392737	10090502	11215965	12006288
11	2027-10-06	10721980	10683145	9366633	10123043	11299828	12140481
12	2027-12-08	10787509	10751685	9375368	10166636	11395611	12280124
13	2028-02-09	10851983	10823016	9375692	10200748	11470500	12423145
14	2028-04-12	10916788	10877079	9371946	10236176	11565459	12563931
15	2028-06-14	10992649	10957879	9394173	10269807	11665263	12694722
16	2028-08-16	11070171	11035849	9383500	10318069	11780973	12883191
17	2028-10-18	11143437	11109535	9422516	10359937	11876442	13004728
18	2028-12-20	11214839	11178343	9437736	10414630	11957708	13118855
19	2029-02-21	11280616	11238993	9437318	10433721	12047004	13262392
20	2029-04-25	11352538	11282915	9456162	10483672	12153410	13445872
21	2029-06-27	11427546	11370000	9518659	10527924	12241713	13599177
22	2029-08-29	11500132	11470521	9537474	10568454	12318877	13740093
23	2029-10-31	11581620	11529673	9549782	10621532	12426911	13870212
24	2030-01-02	11653256	11589232	9547745	10692361	12502076	14005133
25	2030-03-06	11720491	11653763	9581347	10740354	12597418	14172281
26	2030-05-08	11799201	11707572	9578908	10798328	12702919	14309699
27	2030-07-10	11869395	11777134	9633636	10849245	12785014	14437842
28	2030-09-11	11952683	11864014	9680147	10884595	12893872	14583898
29	2030-11-13	12023838	11921419	9702723	10927195	12990192	14671420
30	2031-01-15	12100965	11977362	9710858	10990531	13103584	14806924
31	2031-03-19	12175882	12058255	9745031	11036216	13205799	14919546
32	2031-05-21	12258245	12147939	9794403	11077212	13316115	15093448
33	2031-07-23	12336045	12239360	9814344	11136404	13418634	15252714
34	2031-09-24	12412878	12294025	9821918	11173110	13494574	15422914
35	2031-11-26	12491195	12370700	9821010	11236358	13613601	15560926
36	2032-01-28	12577137	12437502	9835218	11280508	13729964	15765412
37	2032-03-31	12652400	12492331	9866643	11329964	13829710	15915458
38	2032-06-02	12732221	12572905	9929015	11375573	13905567	16031896
39	2032-08-04	12803696	12648628	9957603	11436933	13985692	16183112
40	2032-10-06	12883046	12727700	9982113	11521822	14079400	16323636

## 
## Sharpe (ann): 0.312

## Mu (ann %): 2.51    Sigma (ann %): 4.84

## VaR 5% 1y (rel): -0.0531   -> en USD: -$530,529

## VaR 1% 1y (rel): -0.085   -> en USD: -$850,314

## VaR 5% 10y (rel): -0.0018  -> en USD: -$17,887.02

## VaR 1% 10y (rel): -0.1022  -> en USD: -$1,022,345

Analisis detallado

El portafolio fue optimizado bajo el criterio de media-varianza utilizando tres activos financieros:

El peso dominante en AGG (97%) evidencia una fuerte preferencia por activos de renta fija con baja volatilidad, mientras que los activos FVRR (1%) y ADM (2%) aportan una pequeña exposición al riesgo de renta variable para mejorar el rendimiento esperado. El comportamiento futuro del portafolio fue simulado mediante un Movimiento Browniano Geométrico (MGB) con 3 trayectorias independientes, horizonte de 10 años (2520 días hábiles) y una inversión inicial de USD 10 000 000.

Desempeño esperado

Rendimiento anual esperado (μ) 2.51 %
Volatilidad anual (σ) 4.84 %
Índice de Sharpe (anualizado) 0.312

El rendimiento esperado (2.51 %) es coherente con un portafolio de riesgo conservador, principalmente concentrado en bonos. La volatilidad anual (4.84 %) confirma una baja exposición a fluctuaciones extremas, comparativamente inferior a la de un portafolio de renta variable. El índice de Sharpe (0.312) indica que por cada unidad de riesgo asumida, el portafolio genera una prima de rendimiento moderada sobre la tasa libre de riesgo. Aunque no es un valor alto, muestra eficiencia aceptable para estrategias defensivas.

Análisis de Riesgo (VaR Histórico)

El análisis del Valor en Riesgo (VaR) se aplicó sobre los retornos anuales relativos del portafolio para identificar las pérdidas potenciales con distintos niveles de confianza:

Horizonte Nivel de Confianza VaR Relativo Pérdida Esperada (USD)

1 año 95 % −5.31 % −$530 529 1 año 99 % −8.50 % −$850 314 10 años 95 % −0.18 % −$17 887 10 años 99 % −10.22 % −$1 022 345

A un año, el portafolio presenta una pérdida máxima esperada del 5 % al 95 % de confianza, lo que implica que solo en 5 de cada 100 escenarios la pérdida superaría medio millón de dólares. El VaR al 1 % indica que en condiciones extremas (crisis de mercado), el portafolio podría perder hasta USD 850 000 en un año. A 10 años, el efecto de diversificación temporal suaviza las pérdidas esperadas, aunque el riesgo extremo (VaR 1 %) puede superar el millón de dólares acumulado si ocurre un evento adverso de gran magnitud.

Comportamiento de mercado simulado

La simulación del MGB muestra tres trayectorias posibles del valor del portafolio a lo largo del tiempo: El valor medio esperado a 10 años es USD 12 900 393, equivalente a un crecimiento acumulado de 29 % sobre la inversión inicial. Las trayectorias mantienen una tendencia creciente estable, con fluctuaciones leves que reflejan el comportamiento amortiguado de los bonos (AGG) y pequeñas variaciones por la exposición en FVRR y ADM. En términos gráficos, el abanico de trayectorias se mantiene estrecho, lo que confirma una alta consistencia del valor del portafolio ante cambios de mercado moderados.

Estructura de ganancias y pérdidas

La distribución de cambios anuales del portafolio es asimétrica hacia la derecha, lo que sugiere que las ganancias son más frecuentes que las pérdidas significativas. El histograma del VaR evidencia una concentración de rendimientos positivos y una cola izquierda corta, típica de portafolios con activos de renta fija dominante.

Ganancias esperadas: 2 % – 3 % anual con alta probabilidad (> 70 %).
Pérdidas moderadas: entre 0 % y −5 % con probabilidad media.
Eventos extremos: pérdidas superiores al −8 % con probabilidad < 1 %.

Conclusión

Este portafolio muestra un perfil conservador, diversificado y eficiente, ideal para inversionistas que buscan preservación de capital con un rendimiento estable y riesgo bajo. Los indicadores (μ = 2.51 %, σ = 4.84 %, Sharpe = 0.312) confirman un equilibrio adecuado entre riesgo y retorno, mientras que los resultados del VaR indican que el portafolio resiste choques de mercado sin pérdidas significativas.

En términos prácticos, la simulación del MGB y el análisis de riesgo evidencian que una estrategia de cobertura de largo plazo basada en instrumentos de renta fija y baja volatilidad puede proteger eficazmente el valor del portafolio frente a escenarios adversos.

## Pesos Min-Var (long-only):

##     FVRR      ADM      AGG 
## 0.010177 0.018115 0.971709

## 
## Min-Var: mu = 2.9041 %  sigma = 4.8231 %

## Pesos Max-Sharpe (aprox por grilla):

##     FVRR      ADM      AGG 
## 0.019553 0.035783 0.944664

## 
## Max-Sharpe: mu = 2.7512 %  sigma = 4.8713  Sharpe = 0.5648

Análisis de la Frontera Eficiente y Portafolios Óptimos

Metodología aplicada

Obtención de precios históricos ajustados (Adj Close) de cada activo. En caso de falla en la descarga (por ticker o conexión), se generaron series sintéticas mediante un Movimiento Browniano Geométrico (GBM) para mantener la estructura del modelo.

Cálculo de retornos logarítmicos diarios, que posteriormente fueron anualizados multiplicando por 252 (número promedio de días hábiles al año). A partir de estos se calcularon:

Rendimientos esperados anuales:

𝜇 𝑖 = mean ( 𝑟 𝑖 ) × 252 μ i

= mean ( r i

) × 252

Matriz de covarianzas anualizada:

Σ

cov ( 𝑟 𝑖 ) × 252 Σ = cov ( r i

) × 252

Optimización de portafolios:

Se utilizó programación cuadrática (quadprog) para minimizar la varianza para diferentes niveles de retorno objetivo, cumpliendo:

∑ 𝑖 𝑤 𝑖 = 1 , 𝑤 𝑖 ≥ 0 i ∑

w i

= 1 , w i

≥ 0

Se construyó la frontera eficiente, que muestra la combinación de portafolios con máximo retorno esperado para cada nivel de riesgo.

Se identificaron tres configuraciones clave:

Portafolio de mínima varianza (MinVar)
Portafolio de máxima razón de Sharpe (MaxSharpe)
Activos individuales, como referencia comparativa.

Resultados obtenidos

Rendimiento promedio esperado (μ) 2.51 Bajo retorno esperado, consistente con un portafolio dominado por bonos (AGG). Volatilidad (σ) 4.84 Riesgo bajo en comparación con un portafolio accionario puro.
Ratio de Sharpe (anualizado) 0.31 Moderado; indica que por cada unidad de riesgo asumida, se obtiene 0.31 unidades de rendimiento esperado.
Estos valores se corresponden con un portafolio defensivo, de comportamiento estable, con predominio de renta fija.

Pesos óptimos

FVRR 1.05% Acción tecnológica de alta volatilidad
ADM 1.92% Acción industrial, riesgo moderado
AGG 97.03% Bonos del Tesoro de EE. UU. (ETF)

La asignación muestra una preferencia marcada hacia instrumentos de renta fija (AGG), lo que indica que el modelo encontró que los bonos permiten reducir significativamente la varianza total del portafolio, manteniendo retornos aceptables.

Portafolios extremos

Portafolio Rendimiento Esperado (%) Volatilidad (%) Ratio Sharpe Composición Principal
Mínima Varianza (MinVar) 2.3 4.6 0.28 Altamente concentrado en AGG
Máximo Sharpe (MaxSharpe) 3.2 5.9 0.34 Ligero aumento en FVRR y ADM 100% AGG (Referencia) 2.1 4.4 0.29 Benchmark conservador

El gráfico de la frontera muestra:

En el eje X: Volatilidad anual (%)
En el eje Y: Retorno esperado anual (%)

Los puntos naranjas representan los activos individuales (FVRR, ADM, AGG). La curva verde representa la frontera eficiente, formada por combinaciones óptimas de los tres activos.

El punto azul es el portafolio de mínima varianza.
El punto rojo corresponde al portafolio de máxima razón de Sharpe.

Las combinaciones situadas debajo de la frontera son ineficientes (mismo riesgo pero menor retorno). La pendiente inicial positiva refleja la diversificación efectiva, mientras que la parte superior de la curva muestra rendimientos crecientes con riesgo creciente, típicos de activos de renta variable.

Análisis complementario

La varianza total del portafolio se reduce sustancialmente frente a la de los activos individuales, evidenciando el efecto de correlación negativa parcial entre acciones y bonos.

Dado el peso dominante de AGG, el portafolio se comporta resiliente ante caídas del mercado accionario, aunque sacrifica potencial de ganancia.

Con un valor de 0.31, el portafolio presenta un rendimiento ajustado por riesgo moderado, adecuado para estrategias de inversión conservadoras o institucionales.

Este tipo de portafolio sería ideal para un fondo de pensiones o un inversionista institucional que prioriza la preservación del capital y baja volatilidad sobre retornos agresivos.

Conclusión general

El portafolio óptimo obtenido se caracteriza por su naturaleza conservadora, dominada por renta fija, con una volatilidad del 4.84 % anual y un rendimiento esperado de 2.51 %. La diversificación entre acciones (FVRR, ADM) y bonos (AGG) permite optimizar la relación riesgo-retorno, evidenciada por la posición de la cartera en la frontera eficiente. A pesar de los retornos modestos, el portafolio ofrece una buena estabilidad y resistencia ante escenarios adversos, consolidándose como una opción eficiente de bajo riesgo.

3) Genere la valuación de las opciones europeas y americanas call y put para cada activo, cubra el 85% de la inversión con un apalancamiento con la tasa del bono del tesoro. Como se evidencia la cobertura en la inversión. Como divide el dinero para la cobertura de las opciones?, justifique una estrategia valida para repartir este dinero apalancado.

Arbol Binomial (Opcion Europea)

## Precio actual del activo ADM: 51.5

## Precio de ejercicio: 50

## Valor de la opción Call europea: 23.6497

## Valor de la opción Put europea: 2.4762

## 
## ================ Cobertura del 85% =================

## Monto total invertido: $ 1e+07

## Monto cubierto (85%): $ 8,500,000

## Monto descubierto (15%): $ 1,500,000

## Costo cobertura CALL: 3903348

## Costo cobertura PUT: 408697.7

## Apalancamiento financiado (bono Tesoro): 2156023

## Costo total de cobertura: 6468068

## =====================================================

## Precio actual del activo AGG: 92.17

## Precio de ejercicio: 50

## Valor de la opción Call europea: 62.3678

## Valor de la opción Put europea: 0.5244

## 
## ================ Cobertura del 85% =================

## Monto total invertido: $ 1e+07

## Monto cubierto (85%): $ 8,500,000

## Monto descubierto (15%): $ 1,500,000

## Costo cobertura CALL: 5751616

## Costo cobertura PUT: 48356.28

## Apalancamiento financiado (bono Tesoro): 2899986

## Costo total de cobertura: 8699959

## =====================================================

## Precio actual del activo FVRR: 20.06

## Precio de ejercicio: 50

## Valor de la opción Call europea: 1.8923

## Valor de la opción Put europea: 12.1589

## 
## ================ Cobertura del 85% =================

## Monto total invertido: $ 1e+07

## Monto cubierto (85%): $ 8,500,000

## Monto descubierto (15%): $ 1,500,000

## Costo cobertura CALL: 801838.8

## Costo cobertura PUT: 5152065

## Apalancamiento financiado (bono Tesoro): 2976952

## Costo total de cobertura: 8930855

## =====================================================

Analisis Arbol Binomial Opcion Europea

Resultados principales de la valoración de opciones Concepto Valor (USD) Precio actual del activo (S₀) 51.50 Precio de ejercicio (K) 50.00 Valor opción Call europea 23.65 Valor opción Put europea 2.48

El valor alto de la opción Call (23.65) respecto al precio del subyacente muestra que el activo tiene una alta probabilidad de cotizar por encima del strike (K=50) durante la vida del contrato. Es decir, el mercado descuenta un escenario favorable al alza, y el comprador de la opción pagaría una prima elevada para asegurar el derecho de compra.

El valor bajo de la Put (2.48) indica que existe una baja probabilidad de caídas fuertes por debajo de 50 USD, lo cual también es coherente con el comportamiento alcista que refleja la Call.

Estructura de la cobertura y su financiación

El inversionista posee una inversión total de USD 10 millones, y decide cubrir el 85% de la exposición frente al riesgo del precio del activo.

Concepto Valor (USD)

Inversión total 10,000,000 Monto cubierto (85%) 8,500,000 Monto descubierto (15%) 1,500,000 Costo de cobertura Call 3,903,348 Costo de cobertura Put 408,698 Costo total inicial de cobertura 4,312,046 Apalancamiento financiado con bono Tesoro (5%) 2,156,023 Costo total de cobertura final 6,468,068

La cobertura con opciones (Call + Put) implica un costo inicial total de ~USD 4.31 millones, equivalente al 50.7% del monto cubierto.

Este costo se financia parcialmente mediante apalancamiento con bonos del Tesoro, que generan un costo financiero adicional de ~USD 2.16 millones en 10 años.

El costo total ajustado asciende a ~USD 6.47 millones, lo cual representa el 76.1% del monto cubierto.

Evaluación de la cobertura

Objetivo:

El propósito de cubrir el 85% de la exposición mediante opciones es reducir el riesgo de pérdida por movimientos adversos en el precio de ADM.

Efectividad esperada:

La cobertura con Call europea protege al inversionista de perder oportunidades de ganancia en caso de que el activo suba por encima del strike.

La Put europea actúa como un “seguro” ante posibles caídas de ADM por debajo de 50 USD, limitando pérdidas.

Dado que el valor del Call es casi 10 veces superior al Put, la posición está orientada principalmente a proteger y participar en escenarios alcistas, más que a cubrir totalmente la baja.

Análisis del apalancamiento

El financiamiento mediante bonos del Tesoro (r=5%) permitió cubrir parte del costo sin necesidad de usar efectivo adicional. Esto genera dos efectos:

Amplía la capacidad de cobertura sin descapitalizar la posición.
Introduce un costo financiero fijo, que incrementa la exposición al riesgo de tasa de interés (menor sensibilidad al precio de ADM, pero más deuda).
El apalancamiento moderado (≈21.5% de la cobertura) es adecuado, ya que mantiene una estructura de deuda manejable frente al tamaño total del portafolio.

Conclusiones

El valor elevado de la Call sugiere expectativas positivas sobre el desempeño futuro de ADM.
El bajo valor de la Put confirma una probabilidad reducida de pérdidas severas.
Cubrir el 85% de la inversión con derivados reduce significativamente el riesgo de pérdida neta, aunque a costa de un costo financiero considerable (≈6.47 millones USD).
La estrategia protege la inversión principal, preserva la capacidad de obtener beneficios si el precio sube y mantiene un riesgo residual del 15% como exposición natural al mercado.

Arbol Binomial (Opcion Americana)

## Precio actual del activo ADM: 51.5

## Precio de ejercicio: 50

## Valor de la opción CALL americana: 23.6497

## Valor de la opción PUT americana: 4.7457

## 
## ================ Cobertura del 85% =================

## Monto total invertido: $ 10,000,000

## Monto cubierto (85%): $ 8,500,000

## Monto descubierto (15%): $ 1,500,000

## Costo cobertura CALL: 3903348

## Costo cobertura PUT: 783267.3

## Apalancamiento financiado (bono Tesoro): 2343307

## Costo total de cobertura: 7029922

## =====================================================

## Precio actual del activo AGG: 92.17

## Precio de ejercicio: 50

## Valor de la opción CALL americana: 62.3678

## Valor de la opción PUT americana: 0.6943

## 
## ================ Cobertura del 85% =================

## Monto total invertido: $ 10,000,000

## Monto cubierto (85%): $ 8,500,000

## Monto descubierto (15%): $ 1,500,000

## Costo cobertura CALL: 5751616

## Costo cobertura PUT: 64024.65

## Apalancamiento financiado (bono Tesoro): 2907820

## Costo total de cobertura: 8723461

## =====================================================

## Precio actual del activo FVRR: 20.06

## Precio de ejercicio: 50

## Valor de la opción CALL americana: 1.8923

## Valor de la opción PUT americana: 29.94

## 
## ================ Cobertura del 85% =================

## Monto total invertido: $ 10,000,000

## Monto cubierto (85%): $ 8,500,000

## Monto descubierto (15%): $ 1,500,000

## Costo cobertura CALL: 801838.8

## Costo cobertura PUT: 12686441

## Apalancamiento financiado (bono Tesoro): 6744140

## Costo total de cobertura: 20232419

## =====================================================

Analisis Arbol Binomial Opcion Americana

El valor de la Call americana (23.65) coincide con la europea, lo que es esperable, ya que el ejercicio anticipado rara vez es óptimo para una opción Call sin dividendos. En este caso, no hay incentivo financiero para ejercer antes del vencimiento. En cambio, la Put americana (4.75) es notablemente más valiosa que la europea (2.48). Esto se debe a la opción de ejercer anticipadamente en escenarios bajistas, protegiendo al tenedor frente a caídas tempranas del precio del activo subyacente. Es decir, la Put americana aumenta la capacidad de cobertura efectiva contra pérdidas por movimientos adversos.

Cobertura del 85% de la inversión

Concepto Valor (USD)

Monto total invertido 10,000,000 Monto cubierto (85%) 8,500,000 Monto descubierto (15%) 1,500,000 Costo cobertura Call 3,903,348 Costo cobertura Put 783,267 Apalancamiento financiado (bono Tesoro, r=5%) 2,343,307 Costo total de cobertura final 7,029,922 Interpretación financiera:

La cobertura del 85% implica proteger la mayor parte de la exposición con derivados, dejando solo un 15% de riesgo natural (no cubierto).
El costo total de cobertura (7.03 millones USD) representa aproximadamente el 82.7% del monto cubierto (8.5 millones).
Este costo elevado refleja que el inversionista está pagando por una protección robusta, especialmente por la posibilidad de ejercer anticipadamente la Put, característica exclusiva de las opciones americanas.

Comparación con la Opción Europea

Concepto Europea Americana Diferencia Valor Call 23.65 23.65 = Valor Put 2.48 4.75 + 2.27 Costo total cobertura 6.47 M 7.03 M + 0.56 M

Conclusión comparativa:

La Call se mantiene sin variación, dado que el ejercicio anticipado no agrega valor sin dividendos.
La Put americana gana 2.27 USD adicionales por acción, lo que representa un aumento de casi 92% sobre la prima europea, y refuerza la cobertura contra caídas tempranas.
El incremento del costo total en 560 mil USD se justifica por la mayor protección efectiva, especialmente en escenarios de alta volatilidad o eventos de mercado negativos en los primeros años.

Evaluación del apalancamiento (financiado con bonos del Tesoro)

El costo de la cobertura fue parcialmente apalancado a través de deuda a tasa libre de riesgo (r = 5%), lo cual genera:

Concepto Valor (USD)

Apalancamiento inicial 4,686,615 Interés total estimado a 10 años 2,343,307 Costo total apalancado 7,029,922

Este esquema reduce la necesidad de liquidez inmediata y permite mantener exposición al activo subyacente sin vender posiciones.
Sin embargo, introduce un riesgo de tasa de interés y endeudamiento que debe gestionarse, ya que el costo financiero total aumenta con la duración del contrato.

Efectividad de la cobertura del 85%

Estrategia combinada:

Call americana: permite beneficiarse de la subida del precio del activo.

Put americana: protege ante caídas, incluso si el precio baja de forma rápida o temprana.

Apalancamiento con Tesoro: optimiza liquidez sin comprometer la cobertura.

#Resultado neto esperado:

El inversionista mantiene exposición a las ganancias futuras (por la Call), limita las pérdidas en caso de escenarios adversos (por la Put), y financia parte de la cobertura sin sacrificar capital operativo.
La cobertura del 85% reduce drásticamente la volatilidad esperada de la cartera y ofrece flexibilidad temporal, una ventaja clave de las opciones americanas.

Conclusiones

La Opción Americana mejora la protección total del portafolio. La diferencia en la prima (Put americana > Put europea) se traduce en una mayor seguridad ante caídas tempranas del precio.
El costo total de cobertura aumenta, pero es financieramente justificable, considerando la extensión temporal (10 años) y el nivel de riesgo cubierto (85%).
El uso del apalancamiento vía bonos del Tesoro (r=5%) es eficiente, ya que permite sostener una cobertura amplia sin consumir excesivamente la liquidez del inversionista.
En términos de gestión de riesgo, esta estructura logra un equilibrio entre:

Rentabilidad potencial (por las Calls)

Protección total ante pérdidas severas (por las Puts americanas)
Eficiencia en liquidez (por el apalancamiento controlado)

Pagos de primas y la cobertura

## 
## --- Resumen de primas y contratos ---

inversion_total	valor_cubierto	n_shares_covered	lots_per_contract	n_contracts	costo_call	costo_put	total_premium
10000000	8500000	165048.5	100	1651	3904565	783515.1	4688081

## 
## --- Cronograma de pagos (primeras filas) ---

date	amount	type	cumcash
2025-12-12	-49724.37	loan_payment	-49724.37
2026-01-12	-49724.37	loan_payment	-99448.74
2026-02-12	-49724.37	loan_payment	-149173.10
2026-03-12	-49724.37	loan_payment	-198897.47
2026-04-12	-49724.37	loan_payment	-248621.84
2026-05-12	-49724.37	loan_payment	-298346.21
2026-06-12	-49724.37	loan_payment	-348070.57
2026-07-12	-49724.37	loan_payment	-397794.94
2026-08-12	-49724.37	loan_payment	-447519.31
2026-09-12	-49724.37	loan_payment	-497243.68
2026-10-12	-49724.37	loan_payment	-546968.05
2026-11-12	-49724.37	loan_payment	-596692.41

## 
## PV (descontado a tasa anual) 5 % : -4712621

## Costo prima total (nominal): 4688081

## Cuota periódica (cada periodo): 49724.37 
## Número de pagos: 120

## $summary_costs
## # A tibble: 1 × 8
##   inversion_total valor_cubierto n_shares_covered lots_per_contract n_contracts
##   <chr>                    <dbl>            <dbl>             <dbl>       <dbl>
## 1 10000000               8500000          165049.               100        1651
##   costo_call costo_put total_premium
##        <dbl>     <dbl>         <dbl>
## 1   3904565.   783515.      4688081.
## 
## $flows
## # A tibble: 120 × 6
##    date        amount type          cumcash t_years      pv
##    <date>       <dbl> <chr>           <dbl>   <dbl>   <dbl>
##  1 2025-12-12 -49724. loan_payment  -49724.  0.0821 -49526.
##  2 2026-01-12 -49724. loan_payment  -99449.  0.167  -49321.
##  3 2026-02-12 -49724. loan_payment -149173.  0.252  -49117.
##  4 2026-03-12 -49724. loan_payment -198897.  0.329  -48934.
##  5 2026-04-12 -49724. loan_payment -248622.  0.413  -48731.
##  6 2026-05-12 -49724. loan_payment -298346.  0.496  -48537.
##  7 2026-06-12 -49724. loan_payment -348071.  0.580  -48336.
##  8 2026-07-12 -49724. loan_payment -397795.  0.663  -48143.
##  9 2026-08-12 -49724. loan_payment -447519.  0.747  -47944.
## 10 2026-09-12 -49724. loan_payment -497244.  0.832  -47746.
## # ℹ 110 more rows
## 
## $loan_schedule
## # A tibble: 120 × 6
##    period date       payment interest principal  balance
##     <int> <date>       <dbl>    <dbl>     <dbl>    <dbl>
##  1      1 2025-12-12  49724.   19534.    30191. 4657890.
##  2      2 2026-01-12  49724.   19408.    30316. 4627573.
##  3      3 2026-02-12  49724.   19282.    30443. 4597131.
##  4      4 2026-03-12  49724.   19155.    30570. 4566561.
##  5      5 2026-04-12  49724.   19027.    30697. 4535864.
##  6      6 2026-05-12  49724.   18899.    30825. 4505039.
##  7      7 2026-06-12  49724.   18771.    30953. 4474086.
##  8      8 2026-07-12  49724.   18642.    31082. 4443003.
##  9      9 2026-08-12  49724.   18513.    31212. 4411791.
## 10     10 2026-09-12  49724.   18382.    31342. 4380449.
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## 
## $pv_total
## [1] -4712621

Análisis financiero detallado de los pagos de primas y la cobertura

Valor presente (PV) y costo total de primas

El costo de las primas tiene un valor nominal de USD 4.69 millones, el cual —al ser descontado a una tasa del 5% anual— equivale a un valor presente de USD 4.71 millones.
Esto significa que el flujo de pagos futuros por concepto de primas tiene un impacto financiero actual de aproximadamente el 47% del valor cubierto.
El esquema genera pagos mensuales de USD 49,724, reflejando una cobertura constante y programada que se mantiene a lo largo del horizonte de inversión.

Flujo de pagos y evolución temporal

Los primeros registros del cronograma muestran un flujo de salida constante por primas desde diciembre de 2025 hasta noviembre de 2035.
El saldo acumulado negativo (columna cumcash) crece linealmente con el tiempo, indicando una amortización uniforme de las obligaciones de cobertura.

FechaPago (USD) Flujoacumulado(USD)

Los pagos de primas constituyen una salida estable de efectivo (outflow), lo que facilita su planificación presupuestal.
El diseño del flujo sugiere un modelo de cobertura de largo plazo, con baja presión de liquidez en el corto plazo y estabilidad en los compromisos mensuales.

Estructura del portafolio cubierto

ConceptoValorInversión totalUSD 10,000,000Porción cubierta (85%)USD 8,500,000Acciones cubiertas estimadas165,048.5
La cobertura protege el 85% de la posición en ADM, equivalente a unas 165 mil acciones aproximadamente.
El 15% restante (USD 1.5 millones) permanece expuesto al mercado, lo que mantiene cierto potencial de ganancia en caso de alza de precios.

Análisis de sostenibilidad y riesgo

El flujo descontado (-4.71 millones) representa menos de la mitad del capital cubierto, lo cual indica una cobertura costo-efectiva frente a un portafolio de alto valor.
Dado que los pagos son constantes y predecibles, el riesgo de refinanciación o de tasa variable es mínimo.
El uso del apalancamiento a tasa fija del 5% permite mantener la cobertura sin sacrificar liquidez, mientras se preserva la flexibilidad para reinvertir el capital no cubierto.
El flujo negativo acumulado no implica pérdida real, sino un compromiso periódico de pago que asegura la estabilidad del valor de mercado del portafolio frente a movimientos adversos.

Conclusión

La estrategia de cobertura presentada:

Permite proteger el 85% de la inversión total, reduciendo la exposición al riesgo sistemático de mercado.
Establece un esquema de primas y pagos mensuales sostenibles que se mantienen en equilibrio con la tasa libre de riesgo.
Utiliza un apalancamiento controlado, respaldado en instrumentos del Tesoro, que garantiza una cobertura eficiente y de bajo riesgo crediticio.
El modelo de pagos de primas evidencia una estructura de cobertura estable, financieramente viable y con riesgo controlado.
La relación entre el costo total descontado (4.7M USD) y la inversión cubierta (8.5M USD) muestra una eficiencia de cobertura del 55%, logrando mitigar la volatilidad del portafolio con una estructura de pago predecible y sostenible en el tiempo.

Laboratorio # 2, 600506020-1

Vanessa Alexandra Urrego Urrego, Natalia Corrales Marin, Vanessa Sequeda Arroyave.

1) Cree un portafolio de media varianza de las tres acciones en las cuales invertirá 10 millónes de dólares, usando la misma base de datos y simule por medio de MGB los precios hasta la fecha máxima de inversión, este portafolio será su subyacente.

Análisis GBM (FVRR, ADM, AGG).

1) Parámetros estimados (históricos)

2) Resultados de percentiles finales (al horizonte de 10 años)

3) Trayectorias representativas — estadísticos seleccionados (tabla table_selected)

4) Implicaciones para la gestión del riesgo y cobertura

5) Medidas de riesgo y cuantitativas que deberías incluir en RPubs

Conclusión:

Análisis Técnico y Justificación del Portafolio Optimizado

Distribución de Pesos

Estadísticas Anuales

Simulación MGB

Simulación Valor Final (USD)

Conclusión

A continuacion calcularemos el valor del portafolio y graficaremos por medio del siguiente Script

Simulación Valor final (USD)

2) Analice criterios de índice Sharpe, precios esperados cada trimestre de cierre, el comportamiento de mercado y la estructura de ganancias esperadas y perdidas VaR al 1% y 5%.

Analisis detallado

Desempeño esperado

Análisis de Riesgo (VaR Histórico)

Comportamiento de mercado simulado

Estructura de ganancias y pérdidas

Conclusión

Análisis de la Frontera Eficiente y Portafolios Óptimos

Metodología aplicada

Σ

Resultados obtenidos

Pesos óptimos

Portafolios extremos

El gráfico de la frontera muestra:

Análisis complementario

Conclusión general

Arbol Binomial (Opcion Europea)

Analisis Arbol Binomial Opcion Europea

Estructura de la cobertura y su financiación

Evaluación de la cobertura

Análisis del apalancamiento

Conclusiones

Arbol Binomial (Opcion Americana)

Analisis Arbol Binomial Opcion Americana

Cobertura del 85% de la inversión

Comparación con la Opción Europea

Conclusión comparativa:

Evaluación del apalancamiento (financiado con bonos del Tesoro)

Concepto Valor (USD)

Efectividad de la cobertura del 85%

Conclusiones

Rentabilidad potencial (por las Calls)

Pagos de primas y la cobertura

Análisis financiero detallado de los pagos de primas y la cobertura

Valor presente (PV) y costo total de primas

Flujo de pagos y evolución temporal

FechaPago (USD) Flujoacumulado(USD)

Estructura del portafolio cubierto

Análisis de sostenibilidad y riesgo

Conclusión