1 Introducción

En este laboratorio se construye un portafolio de acciones y se simula su comportamiento bajo un Movimiento Browniano Geométrico (MGB) para un horizonte de inversión de largo plazo. A partir de tres activos accionarios (MSFT, NKE y NEE) se estima un portafolio de media-varianza, que servirá posteriormente como subyacente para la valuación de opciones europeas y americanas y el diseño de estrategias de cobertura.

La inversión total considerada es de 10 millones de dólares, y se utiliza información histórica de precios desde el 01/10/2023 en adelante. En la primera parte se construye el portafolio y se simulan las trayectorias de precios del portafolio bajo un modelo MGB. En la segunda parte se analiza el desempeño del portafolio mediante volatilidad, índice de Sharpe y medidas de riesgo como el VaR. Finalmente, en la tercera parte se valúan opciones europeas y americanas sobre cada activo y se diseña una estrategia de cobertura del 85 % de la inversión, apalancada a la tasa del bono del Tesoro a 10 años.

2 1. Construcción del portafolio y simulación MGB

2.1 1.1 Carga de librerías y datos

Tabla 1. Precios ajustados diarios iniciales de MSFT, NKE y NEE
Fecha MSFT NKE NEE
2023-10-02 317.022 91.105 49.075
2023-10-03 308.737 91.615 49.668
2023-10-04 314.225 92.386 47.635
2023-10-05 314.619 92.290 46.534
2023-10-06 322.401 93.562 47.278
2023-10-09 324.923 93.340 46.412

2.2 1.2 Cálculo de retornos y parámetros (μ, Σ)

2.2.1 Análisis de retornos y covarianzas

A partir de la serie de precios diarios desde el 01/10/2023 se calcularon retornos logarítmicos para las tres acciones MSFT, NKE y NEE. Los promedios de los retornos diarios (vector μ) permiten identificar cuáles activos han presentado, en el período de estudio, una mayor tendencia de crecimiento esperado.

La matriz de covarianza (Σ) muestra cómo se mueven conjuntamente los activos. Covarianzas positivas entre los pares de acciones indican que tienden a moverse en la misma dirección, mientras que covarianzas relativamente bajas sugieren que existe potencial de diversificación.

2.3 1.3 Portafolio media-varianza (Markowitz)

2.3.1 1.3.1 Pesos del portafolio óptimo

En la Tabla 2 se presentan los pesos resultantes del portafolio de mínima varianza (modelo media–varianza de Markowitz).

Tabla 2. Pesos optimos del portafolio de minima varianza
Ticker Accion Peso Porcentaje (%) Inversion (USD)
MSFT Microsoft (MSFT) 0.5593 55.9 5593057
NKE Nike (NKE) 0.1009 10.1 1009487
NEE NextEra Energy (NEE) 0.3397 34.0 3397456

2.4 Portafolio de inversión y optimización media-varianza

El portafolio de mínima varianza se construyó bajo el criterio de optimización cuadrática de Markowitz, restringiendo los pesos a valores no negativos y a una suma total igual a uno. Este modelo permite obtener la combinación eficiente que minimiza la volatilidad del portafolio dado el conjunto de retornos esperados y la matriz de covarianza, garantizando una asignación diversificada y consistente con el principio de eficiencia media–varianza.

2.4.1 1.3.2 Rendimiento y riesgo del portafolio óptimo

Tabla 3. Resumen del rendimiento y riesgo del portafolio optimo
Rendimiento esperado diario Riesgo diario (desv. est.) Rendimiento esperado anual Riesgo anual (desv. est.)
0.08% 1.08% 19.4% 17.2%

2.4.2 Análisis del rendimiento y riesgo

En esta sección se resume el desempeño del portafolio a partir del rendimiento esperado y la volatilidad anual, así como del índice de Sharpe. Los resultados indican que el portafolio de mínima varianza logra un equilibrio razonable entre riesgo y retorno: no es el portafolio más rentable posible, pero sí reduce de manera importante la volatilidad frente a invertir en un solo activo, lo cual es coherente con el objetivo del modelo media–varianza.

2.4.3 Análisis del portafolio de mínima varianza

Con los parámetros μ y Σ se construyó un portafolio de varianza mínima global, sujeto a que la suma de los pesos sea igual a 1 y sin posiciones cortas. Los pesos óptimos reflejan qué proporción de la inversión total se asigna a cada acción para minimizar el riesgo total del portafolio.

2.5 1.4 Simulación MGB individual por activo y del portafolio

A continuación se simulan trayectorias de precios para cada acción del portafolio utilizando un Movimiento Browniano Geométrico (MGB), con base en los parámetros estimados de retorno medio y volatilidad. Luego, se combina el resultado ponderando según los pesos óptimos obtenidos en el modelo de media-varianza.

2.5.1 Resumen de precios esperados al final del horizonte

Tabla 4. Precio esperado a dos años de cada activo y del portafolio simulado
Elemento Precio esperado al final (2 años)
MSFT 506.68
NKE 60.61
NEE 84.96
Portafolio 318.37

2.6 Análisis de la simulación del portafolio

La simulación del portafolio bajo un Movimiento Browniano Geométrico (MGB) a dos años muestra una trayectoria media creciente, mientras que la banda entre los percentiles 5 % y 95 % se ensancha a medida que transcurre el tiempo. Esto es consistente con la teoría: la incertidumbre sobre el valor futuro del portafolio crece con el horizonte de inversión, incluso si el rendimiento esperado se mantiene constante.
La Tabla 4 resume los precios esperados al final del horizonte para cada activo y para el portafolio, evidenciando que el valor simulado del portafolio corresponde a la combinación ponderada de las trayectorias individuales de MSFT, NKE y NEE.

2.7 1.5 Análisis financiero de la primera parte

El modelo de media–varianza de Markowitz permite encontrar la combinación de pesos que minimiza la volatilidad del portafolio, sujeto a que la inversión esté completamente distribuida entre los tres activos (MSFT, NKE y NEE) y no se tomen posiciones cortas.

En la Tabla 2 se observa la asignación óptima del portafolio. Uno de los activos recibe una proporción dominante de la inversión, lo que indica que, dado el comportamiento histórico de retornos y covarianzas, este activo presenta una mejor relación rendimiento–riesgo dentro del conjunto analizado. Los otros dos activos, aunque con pesos menores, contribuyen a la diversificación, reduciendo la varianza total del portafolio gracias a que sus movimientos no son perfectamente correlacionados.

La simulación del portafolio bajo un Movimiento Browniano Geométrico (MGB) a dos años, presentada en la Figura 1 y la Tabla 4, muestra una trayectoria media relativamente estable y un rango de valores plausibles para la inversión de 10 millones de dólares. Estos resultados justifican la necesidad de complementar el portafolio con una estrategia de cobertura con opciones, desarrollada en las siguientes secciones del laboratorio.

3 2. Análisis de riesgo y desempeño del portafolio

En esta sección se evalúa el comportamiento del portafolio construido mediante el modelo de media–varianza. A partir de los retornos históricos desde el 01/10/2023 se calculan:

  • Volatilidad del portafolio y de cada activo.
  • Índice de Sharpe anualizado.
  • Medidas de riesgo mediante el VaR al 1 % y 5 %, tanto histórico como simulado.

Los resultados permiten cuantificar el desempeño ajustado por riesgo y sirven como base para diseñar la estrategia de cobertura de la tercera parte del laboratorio.

3.1 2. Análisis de riesgo y desempeño del portafolio

En esta sección se evalúa el comportamiento del portafolio construido mediante el modelo de media-varianza. A partir de los retornos históricos desde el 01/10/2023 se calculan:

  • Volatilidad del portafolio y de cada activo.
  • Índice de Sharpe anualizado.
  • Medidas de riesgo mediante el VaR al 1 % y 5 %, tanto histórico como simulado.

Los resultados permiten cuantificar el desempeño ajustado por riesgo y sirven como base para diseñar la estrategia de cobertura de la tercera parte del laboratorio.

3.1.1 2.X Precios esperados por trimestre

Tabla X. Precios esperados por trimestre para cada activo y el portafolio simulado
Trimestre MSFT NKE NEE Portafolio
T1 506.34 60.80 84.77 318.14
T2 506.33 60.78 84.80 318.14
T3 506.32 60.75 84.82 318.14
T4 506.43 60.73 84.89 318.22
T5 506.55 60.70 84.94 318.30
T6 506.72 60.69 84.92 318.39
T7 506.78 60.64 84.91 318.41
T8 506.68 60.61 84.96 318.37

3.2 La Tabla X muestra los precios esperados al cierre de cada trimestre para MSFT, NKE, NEE y para el portafolio. Se observa una trayectoria media creciente a lo largo de los ocho trimestres, coherente con el rendimiento esperado positivo del portafolio. Las diferencias entre activos reflejan sus niveles relativos de riesgo y retorno: MSFT concentra la mayor parte del crecimiento esperado, mientras que NKE y NEE aportan principalmente diversificación.

3.3 2.1 Tasa libre de riesgo (bono a 10 años)

Tabla 5. Tasa libre de riesgo utilizada en el análisis
Concepto Valor
Tasa libre de riesgo anual 4.00%
Tasa libre de riesgo diaria 0.02%

3.4 2.2 Retornos y volatilidad del portafolio

Tabla 6. Volatilidad diaria de los activos y del portafolio
Activo Volatilidad diaria (%)
MSFT 1.392
NKE 2.337
NEE 1.765
Portafolio 1.083

3.4.1 2.2.1 Análisis de la volatilidad del portafolio

Se observa que la volatilidad diaria más alta corresponde a NKE, lo que indica un comportamiento más inestable frente a los precios de MSFT y NEE. Sin embargo, el portafolio presenta una volatilidad agregada menor, lo que evidencia el efecto de diversificación, reduciendo el riesgo total sin sacrificar rendimiento esperado.

3.5 2.3 Índice de Sharpe anualizado

Tabla 7. Rendimiento, volatilidad e índice de Sharpe anualizado
Activo Retorno anual (%) Volatilidad anual (%) Índice de Sharpe
MSFT 24.94 22.10 0.947
NKE -17.53 37.10 -0.580
NEE 29.72 28.02 0.918
Portafolio 21.35 17.19 1.009

3.5.1 2.3.1 Análisis del índice de Sharpe

El portafolio presenta un índice de Sharpe superior al de los activos individuales, lo que evidencia una mejor relación entre retorno esperado y riesgo asumido. Esto significa que, por cada unidad de riesgo, el portafolio genera un mayor exceso de rentabilidad frente a la tasa libre de riesgo, reflejando un uso eficiente de la diversificación. En contraste, los activos con índices de Sharpe bajos o negativos aportan menor rentabilidad ajustada por riesgo, lo cual justifica su menor ponderación dentro del portafolio óptimo. En conjunto, estos resultados corroboran que la combinación de activos definida por el modelo de Markowitz logra maximizar el rendimiento ajustado al riesgo total, consolidando una estructura eficiente y coherente con el comportamiento del mercado.

3.6 2.4 VaR al 1 % y 5 % (histórico y simulado)

Tabla 8. Valor en Riesgo (VaR) histórico y simulado del portafolio
Metodo VaR (%)
Histórico diario (99 %) 3.137
Histórico diario (95 %) 1.755
Simulado trimestral (99 %) 2.136
Simulado trimestral (95 %) 1.395

3.6.1 2.4.1 Análisis del VaR histórico y simulado

El VaR histórico diario al 99 % indica que en el 1 % de los peores escenarios la pérdida diaria máxima esperada se ubica alrededor de los valores reportados en la Tabla 8. El VaR simulado trimestral muestra resultados coherentes con los históricos, lo que valida, en términos generales, el uso del modelo MGB para proyectar el comportamiento del portafolio. Ambos valores sugieren que el portafolio mantiene un nivel de riesgo acotado y consistente con una estrategia diversificada de renta variable.

3.7 2.5 Conclusión de la segunda parte

El análisis de los retornos, la volatilidad y el índice de Sharpe muestra que el portafolio optimizado ofrece una relación retorno–riesgo más eficiente que los activos individuales, confirmando el beneficio de la diversificación bajo el enfoque de media–varianza.

Las medidas de Valor en Riesgo (VaR), tanto histórico como simulado, indican que el portafolio enfrenta pérdidas potenciales acotadas para horizontes diarios y trimestrales, lo que evidencia un nivel de riesgo coherente con un portafolio diversificado de renta variable.

En conjunto, estos resultados proporcionan una base cuantitativa sólida para justificar la necesidad de instrumentar una estrategia de cobertura con opciones, que se desarrolla en la siguiente parte del laboratorio.

4 Actualización de simulaciones

En esta sección se actualiza la construcción de las simulaciones y de los escenarios del portafolio, siguiendo la explicación de Mariano y procurando que la presentación cumpla con la rúbrica y el estilo APA (en particular, claridad en los títulos de tablas, orden lógico y descripción metodológica).

4.1 Simulación independiente de las acciones

Tabla A1. Parámetros de entrada usados en las simulaciones (valores base).
Accion Precio spot (S0) Volatilidad diaria (σd) Volatilidad anual (σa) Peso en portafolio
MSFT 496.82 0.0121 0.1921 0.56
NKE 61.09 0.0100 0.1587 0.10
NEE 83.93 0.0092 0.1460 0.34
Tabla A2. Simulaciones independientes de precios finales por acción (primeras 20 simulaciones).
Simulacion MSFT NKE NEE
1 445.4489 109.87844 74.88290
2 487.2640 62.15921 85.03788
3 792.1468 79.45974 57.63874
4 528.7341 56.80353 63.06625
5 537.2442 67.87588 70.94331
6 826.5167 83.20258 63.09473
7 587.8888 87.97613 88.09625
8 367.8539 61.24511 122.81897
9 430.4163 45.05143 81.86594
10 459.5606 60.35021 104.68955
11 723.3168 60.65916 103.68041
12 571.9627 64.09332 110.26175
13 578.3619 82.40992 70.42146
14 534.5358 51.49226 69.38771
15 446.0100 44.73001 125.62578
16 842.8064 76.76955 122.23325
17 593.8167 64.12379 87.23741
18 304.0257 69.90440 91.47602
19 627.5679 47.90591 79.83519
20 456.1863 55.09064 68.54776

4.2 Escenarios Alto, Intermedio (media) y Bajo por acción

Tabla A3. Escenarios Alto, Intermedio (media) y Bajo para cada acción.
Accion Escenario Precio_final
MSFT Alto 1475.21163
MSFT Intermedio 537.81262
MSFT Bajo 182.50418
NEE Alto 217.34498
NEE Intermedio 90.79035
NEE Bajo 42.78933
NKE Alto 150.05092
NKE Intermedio 66.05063
NKE Bajo 29.48641

4.3 Valor del portafolio y escenarios

Tabla A4. Simulaciones del valor del portafolio (primeras 20 simulaciones).
Simulacion MSFT NKE NEE Valor_portafolio
1 445.4489 109.87844 74.88290 285.8994
2 487.2640 62.15921 85.03788 307.9966
3 792.1468 79.45974 57.63874 471.1454
4 528.7341 56.80353 63.06625 323.2140
5 537.2442 67.87588 70.94331 331.7651
6 826.5167 83.20258 63.09473 492.6218
7 587.8888 87.97613 88.09625 367.9680
8 367.8539 61.24511 122.81897 253.8811
9 430.4163 45.05143 81.86594 273.3727
10 459.5606 60.35021 104.68955 298.9834
11 723.3168 60.65916 103.68041 446.3747
12 571.9627 64.09332 110.26175 364.1975
13 578.3619 82.40992 70.42146 356.0669
14 534.5358 51.49226 69.38771 328.0811
15 446.0100 44.73001 125.62578 296.9514
16 842.8064 76.76955 122.23325 521.2078
17 593.8167 64.12379 87.23741 368.6105
18 304.0257 69.90440 91.47602 208.3467
19 627.5679 47.90591 79.83519 383.3726
20 456.1863 55.09064 68.54776 284.2797
Tabla A5. Escenarios Alto, Intermedio (media) y Bajo del valor del portafolio.
Escenario Valor_portafolio
Alto 872.7639
Intermedio 338.6488
Bajo 135.0906

4.4 Escenarios del portafolio y tabla comparativa final

Tabla A5. Escenarios Alto, Intermedio (media) y Bajo del valor del portafolio.
Escenario Valor_portafolio
Alto 872.7639
Intermedio 338.6488
Bajo 135.0906

4.4.1 Escenarios del portafolio y tabla comparativa final

4.4.1.1 Nota metodológica

Las simulaciones se realizaron mediante un proceso de Movimiento Browniano Geométrico (MGB), empleando como parámetros el precio inicial de cada acción, su volatilidad anual y la tasa libre de riesgo. Con base en estos resultados se definieron tres escenarios: alto, intermedio y bajo para cada acción y posteriormente para el portafolio. Esta metodología permitió cuantificar los posibles rangos de comportamiento del portafolio y preparar la base numérica para el diseño de la cobertura con opciones.

4.4.1.2 Análisis de los escenarios simulados

Los resultados de las Tablas A1 a A6 muestran que las tres acciones del portafolio presentan precios finales simulados coherentes con sus parámetros de volatilidad. En particular, MSFT exhibe los rangos más amplios entre los escenarios alto y bajo, lo que refleja su mayor nivel de riesgo, mientras que NEE presenta un comportamiento relativamente más estable.

Al combinar las acciones según los pesos del portafolio de mínima varianza, el valor del portafolio también se sitúa en un rango acotado entre los escenarios Alto, Intermedio y Bajo. La diferencia entre estos escenarios está impulsada principalmente por la participación de MSFT, pero atenuada por la diversificación con NKE y NEE.

Este ejercicio de simulación permite identificar de forma cuantitativa los posibles resultados extremos del portafolio y ofrece una base numérica para la estrategia de cobertura con opciones. En la siguiente sección, estos escenarios serán utilizados como referencia para definir el nivel de protección deseado, el porcentaje de la inversión a cubrir y la forma de distribuir el capital apalancado entre las opciones sobre cada activo.

5 3. Valuación de opciones y estrategia de cobertura del portafolio

En esta sección se valúan opciones call y put europeas y americanas para cada una de las acciones del portafolio (MSFT, NKE y NEE) y se diseña una estrategia de cobertura del 85 % de la inversión, financiada con apalancamiento a la tasa libre de riesgo (bono del Tesoro a 10 años).

Tabla 10. Valuación de opciones europeas y americanas (call y put) para cada acción.
Ticker S0 K sigma Call_europea Put_europea Call_americana Put_americana
MSFT 496.82 496.82 0.1920815 72.92 34.72 72.65 38.96
NKE 61.09 61.09 0.1587451 7.93 3.23 7.90 3.75
NEE 83.93 83.93 0.1460455 10.35 3.90 10.32 4.61

5.1 3.1 Parámetros base para derivados

Tabla 9. Parámetros base para la valuación de opciones (por activo).
Ticker Precio spot (S0) Strike (K) Volatilidad anual
MSFT 506.00 506.00 19.2%
NKE 60.80 60.80 15.9%
NEE 84.77 84.77 14.6%

5.2 3.3 Valuación de opciones europeas (Black-Scholes)

Tabla 10. Valuación de opciones europeas call y put (Black–Scholes, T = 2 años).
Ticker S0 K sigma Call_europea Put_europea
MSFT 506.00 506.00 0.1920815 74.27 35.36
NKE 60.80 60.80 0.1587451 7.89 3.21
NEE 84.77 84.77 0.1460455 10.46 3.94

5.3 3.4 Valuación de opciones americanas (binomial)

Tabla 11. Valuación de opciones americanas call y put (binomial, T = 2 años, 8 pasos).
Ticker S0 K sigma Call_americana Put_americana
MSFT 506.00 506.00 0.1920815 72.59 38.99
NKE 60.80 60.80 0.1587451 7.72 3.67
NEE 84.77 84.77 0.1460455 10.24 4.59

5.4 3.5 Estrategia de cobertura del 85 %

Tabla 12. Cobertura del 85 % de la inversión mediante puts europeas.
Ticker Inversión (USD) Cobertura 85 % (USD) Strike (K) Precio put (USD) N° puts Costo total (USD)
MSFT 5600000 4760000 506.00 35.36 9407 332636
NKE 1000000 850000 60.80 3.21 13980 44877
NEE 3400000 2890000 84.77 3.94 34092 134323

5.5 3.6 Comentario final

El diseño de la cobertura se basa en una estrategia de protective put: mantener la posición larga en acciones y comprar opciones put at-the-money con vencimiento a dos años. El costo de la cobertura representa el “seguro” que protege el 85 % de la inversión ante caídas pronunciadas del mercado, manteniendo la exposición al rendimiento esperado.