Ejercicio 19:

De una muestra aleatoria de 802 clientes de supermercados,378 pagaron sus artículos con tarjetas de crédito. Contrástese, al nivel del 10%, la hipótesis nula de que al menos la mitad de los compradores pagan sus artículos con tarjetas de crédito frente a la alternativa de que la proporción poblacional es menor de la mitad.

Solucion:

Supuestos:

Unidad experimental: Clientes de Supermercado

Poblacion : Respuesta a la pregunta: ¿ Hizo pago de sus articulos con tarjeta de Credito?

Parametro: Proporcion poblacional del pago de los articulos con tarjeta de Credito

Estadistico: Proporcion Muestral del pago de los articulos con tarjeta de Credito

Hipotesis nula(H0): Al menos la mitad de los compradores paga con tarjeta de crédito. P>=0.5

Hipotesis alternativa (H1): Menos de la mitad de los compradores paga con tarjeta de crédito. P < 0.5

Nivel de significancia: α=0.10

Se usa el estadistico Z

Datos n <- 802 x <- 378

n <- 802
x <- 378
Prop_muestral <- x / n
Prop_muestral
## [1] 0.4713217

Proporcion muestral <- 0.47

Hipótesis

H0: p >= 0.5 H1: p < 0.5

p0 <- 0.5
alpha <- 0.10

Estadístico Z

z <- (Prop_muestral - p0) / sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
z
## [1] -1.624316

Estadistico z = -1.624

Valor crítico y p-valor

z_crit <- qnorm(alpha)  # Cola izquierda
p_value <- pnorm(z)

z_crit
## [1] -1.281552
p_value
## [1] 0.05215414

Decisión

if (z < z_crit) {
  decision <- "Se rechaza H0"
} else {
  decision <- "No se rechaza H0 "
}
decision
## [1] "Se rechaza H0"

Resultados resumidos

data.frame(
  Proporcion_muestral = round(Prop_muestral, 4),
  Estadistico_Z = round(z, 3),
  Valor_critico_z_0.10 = round(z_crit, 3),
  p_valor = round(p_value, 4),
  Conclusion = decision
)
##   Proporcion_muestral Estadistico_Z Valor_critico_z_0.10 p_valor    Conclusion
## 1              0.4713        -1.624               -1.282  0.0522 Se rechaza H0

Interpretacion:

Con un grado de confianza del 90% se puede concluir que no existe evidencia de que la proporcion de clientes pagando articulos con tarjeta de Credito es menor al 50%