Laboratorio 2 - Derivados Financieros

Luz Elena Castrillón Castro
María Estefanía Osorno Loaiza
Jaime de Jesús Zapata Moreno

06/11/2025

1 Introducción

En este laboratorio se construye un portafolio de acciones y se simula su comportamiento bajo un Movimiento Browniano Geométrico (MGB) para un horizonte de inversión de largo plazo. A partir de tres activos accionarios (MSFT, NKE y NEE) se estima un portafolio de media-varianza, que servirá posteriormente como subyacente para la valuación de opciones europeas y americanas y el diseño de estrategias de cobertura.

La inversión total considerada es de 10 millones de dólares, y se utiliza información histórica de precios desde el 01/10/2023 en adelante. En la primera parte se construye el portafolio y se simulan las trayectorias de precios del portafolio bajo un modelo MGB. En la segunda parte se analiza el desempeño del portafolio mediante volatilidad, índice de Sharpe y medidas de riesgo como el VaR. Finalmente, en la tercera parte se valúan opciones europeas y americanas sobre cada activo y se diseña una estrategia de cobertura del 85 % de la inversión, apalancada a la tasa del bono del Tesoro a 10 años.

2 1. Construcción del portafolio y simulación MGB

2.1 1.1 Carga de librerías y datos

Tabla 1. Precios ajustados diarios iniciales de MSFT, NKE y NEE
Fecha MSFT NKE NEE
2023-10-02 317.022 91.105 49.075
2023-10-03 308.737 91.615 49.668
2023-10-04 314.225 92.386 47.635
2023-10-05 314.619 92.290 46.534
2023-10-06 322.401 93.562 47.278
2023-10-09 324.923 93.340 46.412

2.2 1.2 Cálculo de retornos y parámetros (μ, Σ)

2.2.1 Análisis de retornos y covarianzas

A partir de la serie de precios diarios desde el 01/10/2023 se calcularon retornos logarítmicos para las tres acciones MSFT, NKE y NEE. Los promedios de los retornos diarios (vector μ) permiten identificar cuáles activos han presentado, en el período de estudio, una mayor tendencia de crecimiento esperado.

La matriz de covarianza (Σ) muestra cómo se mueven conjuntamente los activos. Covarianzas positivas entre los pares de acciones indican que tienden a moverse en la misma dirección, mientras que covarianzas relativamente bajas sugieren que existe potencial de diversificación.

2.3 1.3 Portafolio media-varianza (Markowitz)

2.3.1 1.3.1 Pesos del portafolio óptimo

Tabla 2. Pesos óptimos del portafolio de mínima varianza
Ticker Acción Peso Porcentaje (%) Inversión (USD)
MSFT Microsoft (MSFT) 0.5602 56 5601885
NKE Nike (NKE) 0.1002 10 1001506
NEE NextEra Energy (NEE) 0.3397 34 3396609

2.3.2 1.3.2 Rendimiento y riesgo del portafolio óptimo

Tabla 3. Resumen del rendimiento y riesgo del portafolio óptimo
Rendimiento esperado diario Riesgo diario (desv. est.) Rendimiento esperado anual Riesgo anual (desv. est.)
0.07% 1.08% 18.8% 17.2%

2.3.3 Análisis del rendimiento y riesgo

El portafolio presenta un rendimiento esperado diario cercano al 0,08 %, equivalente aproximadamente a un 20 % anual, con una volatilidad diaria cercana al 1,1 % (alrededor de 17 % anual). Esto indica un portafolio de riesgo medio, con una rentabilidad atractiva frente a su nivel de variabilidad. Los resultados son coherentes con una estrategia de mínima varianza que busca un equilibrio entre riesgo y retorno.

2.3.4 Análisis del portafolio de mínima varianza

Con los parámetros μ y Σ se construyó un portafolio de varianza mínima global, sujeto a que la suma de los pesos sea igual a 1 y sin posiciones cortas. Los pesos óptimos reflejan qué proporción de la inversión total se asigna a cada acción para minimizar el riesgo total del portafolio.

2.4 1.4 Simulación MGB individual por activo y del portafolio

A continuación se simulan trayectorias de precios para cada acción del portafolio utilizando un Movimiento Browniano Geométrico (MGB), con base en los parámetros estimados de retorno medio y volatilidad. Luego, se combina el resultado ponderando según los pesos óptimos obtenidos en el modelo de media-varianza.

2.4.1 1.4.1 Valor del portafolio simulado

2.4.2 1.4.2 Resumen de precios esperados al final del horizonte

Tabla 4. Precio esperado a dos años de cada activo y del portafolio simulado
Elemento Precio esperado al final (2 años)
MSFT 497.69
NKE 60.94
NEE 83.97
Portafolio 313.43

Análisis de la simulación del portafolio.
La simulación del portafolio bajo un Movimiento Browniano Geométrico (MGB) a dos años muestra una trayectoria media creciente, mientras que la banda entre los percentiles 5 % y 95 % se ensancha a medida que transcurre el tiempo. Esto es consistente con la teoría: la incertidumbre sobre el valor futuro del portafolio crece con el horizonte de inversión, incluso si el rendimiento esperado se mantiene constante.
La Tabla 4 resume los precios esperados al final del horizonte para cada activo y para el portafolio, evidenciando que el valor simulado del portafolio corresponde a la combinación ponderada de las trayectorias individuales de MSFT, NKE y NEE.

2.5 1.5 Análisis financiero de la primera parte

El modelo de media–varianza de Markowitz permite encontrar la combinación de pesos que minimiza la volatilidad del portafolio, sujeto a que la inversión esté completamente distribuida entre los tres activos (MSFT, NKE y NEE) y no se tomen posiciones cortas.

En la Tabla 2 se observa la asignación óptima del portafolio. Uno de los activos recibe una proporción dominante de la inversión, lo que indica que, dado el comportamiento histórico de retornos y covarianzas, este activo presenta una mejor relación rendimiento–riesgo dentro del conjunto analizado. Los otros dos activos, aunque con pesos menores, contribuyen a la diversificación, reduciendo la varianza total del portafolio gracias a que sus movimientos no son perfectamente correlacionados.

La simulación del portafolio bajo un Movimiento Browniano Geométrico (MGB) a dos años, presentada en la Figura 1 y la Tabla 4, muestra una trayectoria media relativamente estable y un rango de valores plausibles para la inversión de 10 millones de dólares. Estos resultados justifican la necesidad de complementar el portafolio con una estrategia de cobertura con opciones, desarrollada en las siguientes secciones del laboratorio.

3 2. Análisis de riesgo y desempeño del portafolio

En esta sección se evalúa el comportamiento del portafolio construido mediante el modelo de media–varianza. A partir de los retornos históricos desde el 01/10/2023 se calculan:

Los resultados permiten cuantificar el desempeño ajustado por riesgo y sirven como base para diseñar la estrategia de cobertura de la tercera parte del laboratorio.

3.1 2.1 Tasa libre de riesgo (bono a 10 años)

Tabla 5. Tasa libre de riesgo utilizada en el análisis
Concepto Valor
Tasa libre de riesgo anual 4.00%
Tasa libre de riesgo diaria 0.02%

3.2 2.2 Retornos y volatilidad del portafolio

Tabla 6. Volatilidad diaria de los activos y del portafolio
Activo Volatilidad diaria (%)
MSFT 1.392
NKE 2.339
NEE 1.767
Portafolio 1.083

3.2.1 2.2.1 Análisis de la volatilidad del portafolio

Se observa que la volatilidad diaria más alta corresponde a NKE, lo que indica un comportamiento más inestable frente a los precios de MSFT y NEE. Sin embargo, el portafolio presenta una volatilidad agregada menor, lo que evidencia el efecto de diversificación, reduciendo el riesgo total sin sacrificar rendimiento esperado.

3.3 2.3 Índice de Sharpe anualizado

Tabla 7. Rendimiento, volatilidad e índice de Sharpe anualizado
Activo Retorno anual (%) Volatilidad anual (%) Índice de Sharpe
MSFT 23.90 22.09 0.901
NKE -17.37 37.13 -0.576
NEE 29.17 28.04 0.898
Portafolio 20.68 17.18 0.970

3.3.1 2.3.1 Análisis del índice de Sharpe

El portafolio presenta un índice de Sharpe superior al de los activos individuales, lo que implica que ofrece una relación retorno–riesgo más eficiente. Un Sharpe negativo o bajo en alguno de los activos justifica su menor peso en el portafolio optimizado.

3.4 2.4 VaR al 1 % y 5 % (histórico y simulado)

Tabla 8. Valor en Riesgo (VaR) histórico y simulado del portafolio
Metodo VaR (%)
Histórico diario (99 %) 3.143
Histórico diario (95 %) 1.754
Simulado trimestral (99 %) 2.032
Simulado trimestral (95 %) 1.379

3.4.1 2.4.1 Análisis del VaR histórico y simulado

El VaR histórico diario al 99 % indica que en el 1 % de los peores escenarios la pérdida diaria máxima esperada se ubica alrededor de los valores reportados en la Tabla 8. El VaR simulado trimestral muestra resultados coherentes con los históricos, lo que valida, en términos generales, el uso del modelo MGB para proyectar el comportamiento del portafolio. Ambos valores sugieren que el portafolio mantiene un nivel de riesgo acotado y consistente con una estrategia diversificada de renta variable.

3.5 2.5 Conclusión de la segunda parte

El análisis de los retornos, la volatilidad y el índice de Sharpe muestra que el portafolio optimizado ofrece una relación retorno–riesgo más eficiente que los activos individuales, confirmando el beneficio de la diversificación bajo el enfoque de media–varianza.

Las medidas de Valor en Riesgo (VaR), tanto histórico como simulado, indican que el portafolio enfrenta pérdidas potenciales acotadas para horizontes diarios y trimestrales, lo que evidencia un nivel de riesgo coherente con un portafolio diversificado de renta variable.

En conjunto, estos resultados proporcionan una base cuantitativa sólida para justificar la necesidad de instrumentar una estrategia de cobertura con opciones, que se desarrolla en la siguiente parte del laboratorio.