Actividad 10 - Ejemplo 3.5.3

Ejemplo 3.5.3

Se llevó a cabo un estudio entre expertos matemáticos para conocer su opinión sobre las mujeres matemáticas.
Se les pidió que evaluaran, en una escala de 1 (totalmente en desacuerdo) a 5 (totalmente de acuerdo), la afirmación:

“Las mujeres matemáticas tienen la misma oferta de trabajo que los hombres.”

Para una muestra aleatoria de 186 hombres, la respuesta media fue de 4.059 con una desviación típica de 0.839.
Para una muestra aleatoria independiente de 172 mujeres matemáticas, la respuesta media fue de 3.680 con una desviación típica de 0.966.

Utilícese un nivel de significancia del 5% para contrastar la hipótesis nula de que las dos medias poblacionales son iguales frente a la alternativa de que ambas sean diferentes.
Halle también el P-valor.

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1. Datos

• \(n_1 = 186\), \(\bar{x}_1 = 4.059\), \(s_1 = 0.839\)
  
• \(n_2 = 172\), \(\bar{x}_2 = 3.680\), \(s_2 = 0.966\)
  
• Nivel de significancia: \(\alpha = 0.05\)

Hipótesis:

\[ \begin{cases} H_0: \mu_1 = \mu_2 \\ H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \end{cases} \]

Método: Prueba t para dos muestras independientes con varianzas desiguales (Welch).

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2. Verificación de supuestos

• Las muestras son independientes.
  
• Se asume normalidad aproximada debido al tamaño grande de ambas muestras (Teorema del Límite Central).

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3. Conclusión

→ Procede usar la prueba t de Welch.

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4. Fórmula

\[ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \]

Grados de libertad aproximados:

\[ \nu = \frac{ \left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2 }{ \frac{(\frac{s_1^2}{n_1})^2}{n_1 - 1} + \frac{(\frac{s_2^2}{n_2})^2}{n_2 - 1} } \]

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5. Cálculos

# Datos
x1 <- 4.059; s1 <- 0.839; n1 <- 186
x2 <- 3.680; s2 <- 0.966; n2 <- 172

# Estadístico t
t <- (x1 - x2) / sqrt((s1^2 / n1) + (s2^2 / n2))

# Grados de libertad (Welch)
num <- ((s1^2 / n1) + (s2^2 / n2))^2
den <- ((s1^2 / n1)^2 / (n1 - 1)) + ((s2^2 / n2)^2 / (n2 - 1))
gl <- num / den

# P-valor
p_valor <- 2 * (1 - pt(abs(t), df = gl))

t; gl; p_valor

## [1] 3.949235

## [1] 339.8982

## [1] 9.533658e-05

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6. Aplicación del método de decisión

• Región crítica: Rechazar \(H_0\) si \(|t| > t_{\alpha/2, \nu}\).
  
• P-valor: Comparar \(p\) con 0.05.

t_critico <- qt(1 - 0.05/2, df = gl)
t_critico

## [1] 1.966968

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7. Conclusión

Si \(p < 0.05\), se rechaza \(H_0\) → hay evidencia de diferencia significativa entre las medias.
De lo contrario, no se rechaza \(H_0\) → no hay evidencia estadística suficiente de diferencia.

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8. Interpretación

Con base en los resultados, se interpreta si la percepción promedio sobre la igualdad de oportunidades laborales difiere entre hombres y mujeres matemáticos.

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