Ejercicio 25. Prueba de hipótesis

1. Datos

• Unidad experimental: pieza individual de material laminado.
  
• Población:
  • Población 1: todas las piezas del material 1.
    
  • Población 2: todas las piezas del material 2.
    
• Estadístico: diferencia de medias muestrales
  \[ \bar X_1 - \bar X_2 \]
• Parámetro: diferencia de medias poblacionales
  \[ \mu_1 - \mu_2 \]
• Hipótesis (diferencia mayor que 2 unidades):
  \[ H_0:\ \mu_1 - \mu_2 \le 2 \] \[ H_1:\ \mu_1 - \mu_2 > 2 \]
• Método de decisión: prueba t para dos medias con varianzas poblacionales iguales (varianza combinada).

2. Supuestos

1. Cada muestra es aleatoria e independiente.
   
2. Las poblaciones de deterioro abrasivo de ambos materiales son aproximadamente normales.
   
3. Las varianzas poblacionales son iguales, es decir
   \[ \sigma_1^2 = \sigma_2^2. \]

Bajo estos supuestos, el estadístico de prueba se distribuye aproximadamente como una t de Student con
\(n_1 + n_2 - 2\) grados de libertad.

3. Conclusión (resumen adelantado)

Más adelante calcularemos el estadístico y el valor-p.
La regla será:

• Rechazar \(H_0\) si \(T_{\text{obs}} > t_{1-\alpha,\,\text{gl}}\).
  
• En caso contrario, no rechazar \(H_0\).

En la sección de Cálculos e interpretación se mostrará si hay evidencia suficiente para concluir que el deterioro del material 1 excede al del material 2 por más de 2 unidades.

4. Fórmula

Como las varianzas se consideran iguales, usamos la varianza combinada:

\[ S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}, \]

y la desviación estándar combinada

\[ S_p = \sqrt{S_p^2}. \]

El error estándar de la diferencia de medias es

\[ \text{EE} = S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}. \]

El estadístico de prueba es

\[ T = \frac{(\bar X_1 - \bar X_2) - \Delta_0} {S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t_{\,n_1 + n_2 - 2} \quad \text{bajo } H_0. \]

5. Cálculos e interpretación

5.1 Cálculo del estadístico de prueba

# Datos del problema
n1    <- 12       # tamaño de muestra material 1
n2    <- 10       # tamaño de muestra material 2
x1bar <- 85       # media muestral material 1
x2bar <- 81       # media muestral material 2
s1    <- 4        # desviación estándar muestral material 1
s2    <- 5        # desviación estándar muestral material 2

alpha  <- 0.05    # nivel de significancia
Delta0 <- 2       # diferencia bajo H0

n1; n2; x1bar; x2bar; s1; s2; alpha; Delta0

## [1] 12

## [1] 10

## [1] 85

## [1] 81

## [1] 4

## [1] 5

## [1] 0.05

## [1] 2

5.1 Cálculo del estadístico de prueba

Varianza combinada

Sp2 <- ((n1 - 1)*s1^2 + (n2 - 1)*s2^2) / (n1 + n2 - 2)
Sp  <- sqrt(Sp2)

Sp2

## [1] 20.05

Sp

## [1] 4.477723

Error estándar de la diferencia

EE <- Sp * sqrt(1/n1 + 1/n2)
EE

## [1] 1.917246

Estadístico t observado

t_obs <- ((x1bar - x2bar) - Delta0) / EE
t_obs

## [1] 1.043163

Grados de libertad

gl <- n1 + n2 - 2
gl

## [1] 20

5.2 Región crítica, valor crítico y valor-p

Valor crítico para prueba unilateral a la derecha

t_crit <- qt(1 - alpha, df = gl)
t_crit

## [1] 1.724718

Valor-p unilateral (cola superior)

p_val <- 1 - pt(t_obs, df = gl)
p_val

## [1] 0.1546594

5.3 Interpretación numérica

• Estadístico observado:
  \(T_{\text{obs}} = 1.043\).

• Valor crítico (prueba unilateral, \(\alpha = 0.05\), gl = 20):
  \(t_{1-\alpha, \text{gl}} = 1.725\).

• Valor-p (cola superior):
  \(\text{valor-p} = 0.155\).

Como

\(T_{\text{obs}} = 1.043 < t_{1-\alpha,\text{gl}} = 1.725\)

y además

\(\text{valor-p} = 0.155 > \alpha = 0.05\),

no rechazamos \(H_0\).

5.4 Conclusión en palabras

Al nivel de significancia \(\alpha = 0.05\), no hay evidencia estadística suficiente para afirmar que el deterioro abrasivo promedio del material 1 exceda al del material 2 por más de 2 unidades.

En otras palabras, con los datos disponibles, la diferencia observada entre las medias muestrales (4 unidades) no es lo suficientemente grande, en relación con la variabilidad muestral, como para concluir que
\(\mu_1 - \mu_2 > 2\).