Se tiene un proceso de fabricación de barras formado por dos piezas:
Se suelda una pieza de cada tipo para formar una barra con longitud total: \(L = X_1 + X_2\).
La especificación de longitud total es: \(50 \pm 5\) cm, es decir: \([LSL = 45, USL = 55]\).
Se solicita:
Como suma de normales independientes:
Índices de capacidad (usando la desviación estándar observada del proceso, \(\hat\sigma_L\)):
\[ C_p = \frac{USL - LSL}{6\hat\sigma_L} \]
\[ C_{pk} = \min\left( \frac{USL - \hat\mu_L}{3\hat\sigma_L}, \frac{\hat\mu_L - LSL}{3\hat\sigma_L} \right) \]
# Parámetros
n <- 500
mu1 <- 30
sd1 <- 0.9
mu2 <- 18
sd2 <- 0.3
LSL <- 45
USL <- 55
# Simulación de las longitudes
x1 <- rnorm(n, mean = mu1, sd = sd1)
x2 <- rnorm(n, mean = mu2, sd = sd2)
L <- x1 + x2
# Probabilidad estimada de estar fuera de especificaciones
fuera <- (L < LSL) | (L > USL)
p_fuera_hat <- mean(fuera)
# Estadísticos muestrales
media_L <- mean(L)
sd_L <- sd(L)
# Índices de capacidad
Cp <- (USL - LSL) / (6 * sd_L)
Cpk <- min(
(USL - media_L) / (3 * sd_L),
(media_L - LSL) / (3 * sd_L)
)
list(
n_barras = n,
media_longitud_cm = media_L,
sd_longitud_cm = sd_L,
prob_fuera_especifico = p_fuera_hat,
Cp = Cp,
Cpk = Cpk
)## $n_barras
## [1] 500
##
## $media_longitud_cm
## [1] 48.03043
##
## $sd_longitud_cm
## [1] 0.9115265
##
## $prob_fuera_especifico
## [1] 0
##
## $Cp
## [1] 1.828435
##
## $Cpk
## [1] 1.108189Para cada pieza \(i\):
El tiempo total es \(C_{200}\).
sim_200_piezas <- function() {
n <- 200
interarr <- 20 # minutos entre llegadas
lambda <- 0.2 # tasa exponencial (1/min)
n_max <- 3
p <- 0.8
tiempo_fin_prev <- 0
for (i in 1:n) {
# llegada de la pieza i
llegada_i <- (i - 1) * interarr
# número de defectos
D_i <- rbinom(1, size = n_max, prob = p)
# tiempo de servicio según número de defectos
if (D_i == 0) {
servicio_i <- 0
} else {
servicio_i <- sum(rexp(D_i, rate = lambda))
}
# inicio y fin del servicio
inicio_i <- max(llegada_i, tiempo_fin_prev)
tiempo_fin_i <- inicio_i + servicio_i
tiempo_fin_prev <- tiempo_fin_i
}
return(tiempo_fin_prev)
}R <- 10
tiempos_totales <- replicate(R, sim_200_piezas())
tiempos_totales## [1] 3990.463 3994.461 3985.553 3993.757 4010.642 4017.683 4002.193 4014.929
## [9] 4004.268 3990.538mean_tiempo <- mean(tiempos_totales)
sd_tiempo <- sd(tiempos_totales)
list(
tiempos_por_replicacion_min = tiempos_totales,
promedio_tiempo_min = mean_tiempo,
sd_tiempo_min = sd_tiempo
)## $tiempos_por_replicacion_min
## [1] 3990.463 3994.461 3985.553 3993.757 4010.642 4017.683 4002.193 4014.929
## [9] 4004.268 3990.538
##
## $promedio_tiempo_min
## [1] 4000.449
##
## $sd_tiempo_min
## [1] 11.19858Un camión realiza ciclos de entrega con:
Cada viaje completo incluye: 1. Carga en base. 2. Traslado a cliente. 3. Descarga. 4. Regreso a base.
Se requiere:
sim_viajes_10h <- function(horas = 10) {
T_total <- horas * 60 # minutos
t <- 0
viajes <- 0
while (TRUE) {
# tiempos de cada etapa
t_carga <- runif(1, min = 20, max = 40)
t_ida <- rexp(1, rate = 1/40)
t_descarga <- runif(1, min = 15, max = 25)
t_vuelta <- rexp(1, rate = 1/40)
ciclo <- t_carga + t_ida + t_descarga + t_vuelta
if (t + ciclo <= T_total) {
viajes <- viajes + 1
t <- t + ciclo
} else {
break
}
}
return(viajes)
}R <- 5
viajes <- replicate(R, sim_viajes_10h())
viajes## [1] 4 3 5 4 3media_viajes <- mean(viajes)
sd_viajes <- sd(viajes)
# IC 95% con t-Student (gl = 4)
n <- length(viajes)
t_crit <- qt(0.975, df = n - 1)
IC_inf <- media_viajes - t_crit * sd_viajes / sqrt(n)
IC_sup <- media_viajes + t_crit * sd_viajes / sqrt(n)
list(
viajes_por_replicacion = viajes,
promedio_viajes = media_viajes,
IC_95_inf = IC_inf,
IC_95_sup = IC_sup
)## $viajes_por_replicacion
## [1] 4 3 5 4 3
##
## $promedio_viajes
## [1] 3.8
##
## $IC_95_inf
## [1] 2.761149
##
## $IC_95_sup
## [1] 4.838851Tiempo esperado aproximado de un ciclo:
\[ E[\text{Ciclo}] \approx 130 \text{ minutos}. \]
En 10 horas (600 minutos):
\[ E[\text{Viajes}] \approx \frac{600}{130} \approx 4.6. \]
Esto es consistente con la simulación: el sistema con un solo camión genera alrededor de 4–5 viajes por día.
Para 10 entregas diarias:
Recomendaciones:
En conclusión, la simulación y el análisis analítico muestran que con un solo camión y los tiempos actuales no es posible lograr 10 entregas diarias; se requieren cambios en recursos o en el diseño del sistema.