1) Datos (y definiciones)

2) Hipótesis

Se desea probar si las medias poblacionales son iguales o distintas:

\[ \begin{cases} H_0: \mu_1 = \mu_2 & \text{(no hay diferencia de medias)} \\ H_A: \mu_1 \neq \mu_2 & \text{(las medias son diferentes)} \end{cases} \]

Nivel de significación: \(\alpha = 0.05\)

3) Método de decisión

Se usa una prueba t de Welch para dos muestras independientes (no se asumen varianzas iguales).
Criterio: se rechaza \(H_0\) si \(p\text{-valor} < \alpha\).

4) Verificación de supuestos

  1. Independencia: Las muestras son aleatorias e independientes.
  2. Normalidad: Dado que \(n_1 = 186\) y \(n_2 = 172\) son grandes, el Teorema del Límite Central garantiza normalidad aproximada de las medias.
  3. Varianzas: No se asume igualdad de varianzas (uso de Welch).

Conclusión: los supuestos se consideran razonablemente satisfechos.

5) Fórmulas que se deben usar (prueba t de Welch)

Estimador de la diferencia: \[ D = \bar{x}_1 - \bar{x}_2 \]

Error estándar: \[ SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \]

Estadístico t: \[ t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - 0}{SE} \]

Grados de libertad (Welch): \[ \nu = \frac{\left( \dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2} \right)^2} {\dfrac{s_1^4}{n_1^2 (n_1-1)} + \dfrac{s_2^4}{n_2^2 (n_2-1)}} \]

p-valor (bilateral): \[ p = 2 \cdot P(T_{\nu} \ge |t|) \]

6) Cálculos numéricos

Error estándar:

\[ SE = \sqrt{\frac{0.839^2}{186} + \frac{0.966^2}{172}} = \sqrt{\frac{0.704721}{186} + \frac{0.933156}{172}} \approx 0.09597 \]

Diferencia muestral:

\[ D = \bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 0.379 \]

Estadístico t:

\[ t = \frac{0.379}{0.09597} \approx 3.949 \]

Grados de libertad (aprox. Welch):

\[ \nu \approx 339.9 \ (\text{aprox. } 340) \]

p-valor (bilateral):

\[ p \approx 7.8 \times 10^{-5} \ (\approx 0.000078) \]

7) Aplicación del método de decisión

Comparando con el nivel de significación: \[ 0.000078 < 0.05 \implies \text{Rechazamos } H_0 \]

Decisión: se rechaza la hipótesis nula al 5% de significación.

8) Interpretación / Conclusión

Existe evidencia estadística significativa de que las medias poblacionales difieren entre hombres y mujeres.
La media de los hombres (\(4.059\)) es mayor que la de las mujeres (\(3.680\)), y la diferencia observada de aproximadamente 0.379 en la escala 1–5 es estadísticamente significativa (\(p \approx 0.000078\)).

Interpretación práctica:
Los expertos hombres tienden a mostrar un mayor acuerdo con la afirmación “Las mujeres matemáticas tienen la misma oferta de trabajo que los hombres” que las expertas mujeres. Esta diferencia no puede atribuirse al azar con un nivel de significación del 5%.

9) Observaciones adicionales