Problema: Simulación y análisis de capacidad de proceso

Se unen dos barras mediante soldadura:

\[ x_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1 = 30,\, \sigma_1^2 = 0.81) \Rightarrow \sigma_1 = 0.9 \] \[ x_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2 = 18,\, \sigma_2 = 0.3) \]

Longitud total:

\[ Y = x_1 + x_2 \]

Objetivos:

Simular 500 barras soldadas.
Estimar la probabilidad de que \(Y\) esté fuera de especificaciones.

Especificaciones de diseño:

\(50 \pm 5\, \text{cm} \Rightarrow \text{LSL} = 45\, \text{cm},\; \text{USL} = 55\, \text{cm}\).

Índices de capacidad del proceso:

\[ C_p = \dfrac{USL - LSL}{6\sigma_Y} \]

\[ C_{pk} = \min\!\left( \dfrac{USL - \mu_Y}{3\sigma_Y},\; \dfrac{\mu_Y - LSL}{3\sigma_Y} \right) \]

Criterio de control:
Si \(C_p \ge 1.33\) y \(C_{pk} \ge 1.33\) \(\Rightarrow\) Proceso capaz y bajo control.

Simulación de la longitud total de las barras

set.seed(123)  # Fijamos la semilla para reproducibilidad

# 1. Generamos las longitudes de las dos barras
x1 <- rnorm(500, mean = 30, sd = 0.9)   # barra 1
x2 <- rnorm(500, mean = 18, sd = 0.3)   # barra 2

# 2. Longitud total después de soldar
L <- x1 + x2

Cálculo de la probabilidad estimada de estar fuera de especificaciones

Límites de especificación

LSL <- 45  # límite inferior
USL <- 55  # límite superior

Contamos cuántas están fuera de los límites

fuera <- sum(L < LSL | L > USL)

Estimador de la probabilidad

p_fuera <- fuera / length(L)

Cálculo de Cp y Cpk

media_L <- mean(L)
sd_L    <- sd(L)

Cp  <- (USL - LSL) / (6 * sd_L)
Cpk <- min((USL - media_L) / (3 * sd_L),
           (media_L - LSL) / (3 * sd_L))

Resultados

Promedio de longitudes: 48.03 cm

Desviación estándar: 0.91 cm

Probabilidad estimada fuera de especificaciones: 0

Cp = 1.828

Cpk = 1.108

Gráfico opcional para visualizar

EXPLICACIÓN TEÓRICA: Índices Cp, Cpk y Control Estadístico

Resumen: Cp, Cpk y control estadístico

Objetivo: explicar de forma breve la capacidad del proceso y cómo verificar su estabilidad.

Cp — capacidad potencial
Compara el ancho de tolerancias con la variación del proceso.
Fórmula: \(C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma}\).
Regla práctica: \(C_p \ge 1.33\) suele indicar capacidad suficiente si el proceso está centrado.
Cpk — capacidad real (considera el centrado)
Evalúa simultáneamente variación y desplazamiento de la media.
Fórmula: \(C_{pk} = \min\big(\frac{USL - \mu}{3\sigma},\, \frac{\mu - LSL}{3\sigma}\big)\).
Interpretación:

Si \(C_{pk} = C_p\): el proceso está centrado.
Si \(C_{pk} < C_p\): hay descentrado respecto al objetivo.
Si \(C_{pk} < 1\): es probable que generemos piezas fuera de especificación.

Proceso bajo control estadístico
Solo hay causas comunes de variación (sin anomalías especiales). Señales típicas: Cp y Cpk alrededor de 1.33 o mayores, ausencia de outliers dentro de los límites de tolerancia, media cercana al nominal y variación estable en el tiempo.

Idea clave:
Cp habla del potencial (tolerancias vs. \(6\sigma\)), Cpk de lo real (incluye centrado). Para un proceso confiable: busca Cp ≈ Cpk y ambos suficientemente altos, con estabilidad temporal.

Capacidad del proceso: Cp/Cpk y control estadístico

juan montes

2025-11-07