Enunciado

Un ingeniero industrial desea evaluar la variabilidad en los tiempos de ensamblaje de dos líneas de producción distintas. Se tomó una muestra aleatoria de 17 ensamblajes de la línea A, obteniendo una varianza de 123.35 minutos². De manera independiente, se registraron 11 ensamblajes de la línea B, con una varianza de 8.02 minutos². Con un nivel de significancia del 2%, determine si existe evidencia suficiente para afirmar que las varianzas poblacionales difieren entre ambas líneas. Considere que los tiempos siguen una distribución normal. Calcule además el valor P asociado.

1) Datos

# Parámetros del problema
n1    <- 17
s1_2  <- 123.35
n2    <- 11
s2_2  <- 8.02
alpha <- 0.02

# Grados de libertad
v1 <- n1 - 1
v2 <- n2 - 1

list(
  n1 = n1, s1_2 = s1_2, v1 = v1,
  n2 = n2, s2_2 = s2_2, v2 = v2,
  alpha = alpha
)
## $n1
## [1] 17
## 
## $s1_2
## [1] 123.35
## 
## $v1
## [1] 16
## 
## $n2
## [1] 11
## 
## $s2_2
## [1] 8.02
## 
## $v2
## [1] 10
## 
## $alpha
## [1] 0.02

2) Verificación de supuestos

  • Las 2 poblaciones son normales
  • Las muestras son independientes

Con estas condiciones, el estadístico \(F = \frac{S_1^2}{S_2^2}\) sigue una distribución \(F(v_1, v_2)\) bajo \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\).

3) Conclusión sobre la distribución muestral

Bajo \(H_0\), el cociente de varianzas muestrales tiene distribución \(F\) con \(v_1 = n_1 - 1\) y \(v_2 = n_2 - 1\).
Usaremos una prueba bilateral al nivel \(\alpha = 0.02\).

4) Fórmula de la prueba

Hipótesis:

\(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\) vs \(H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\).

Estadístico de prueba:

\(F_{obs} = \frac{s_1^2}{s_2^2}, \quad F_{obs} \sim F(v_1, v_2)\) si \(H_0\) es cierta.

Formula

\(F\) con \(v_1 = n_1 - 1\) y \(v_2 = n_2 - 1\)

5) Cálculos

# Estadístico F observado
F_obs <- s1_2 / s2_2

# Puntos críticos para prueba bilateral
F_lo <- qf(alpha/2, df1 = v1, df2 = v2)       # cuantil inferior
F_hi <- qf(1 - alpha/2, df1 = v1, df2 = v2)   # cuantil superior

# p-valor bilateral
p_left  <- pf(F_obs, df1 = v1, df2 = v2, lower.tail = TRUE)
p_right <- pf(F_obs, df1 = v1, df2 = v2, lower.tail = FALSE)
p_val   <- 2 * min(p_left, p_right)

list(
  F_obs = F_obs,
  F_crit_low = F_lo,
  F_crit_high = F_hi,
  p_value = p_val
)
## $F_obs
## [1] 15.3803
## 
## $F_crit_low
## [1] 0.2709343
## 
## $F_crit_high
## [1] 4.520448
## 
## $p_value
## [1] 0.0001141725

como \(s_1^2 > s_2^2\), el estadístico cae en la cola derecha. Para prueba bilateral multiplicamos por 2 la cola más pequeña.

6) Interpretación

  • Decisión: Con un nivel de significancia \( = 0.02 \), se rechaza la hipótesis nula \( H_0 \) porque el valor observado \( F_{obs} \) cae fuera del intervalo crítico \([F_{/2}, F_{1-/2}]\). Además, dado que el p-valor es menor que \( \) (es decir, p-valor < 0.02), esto confirma el rechazo de \( H_0 \).

  • Conclusión: la evidencia sugiere que las varianzas poblacionales de los vencimientos para los dos tipos de bonos no son iguales.