Problema: Simulación y análisis de capacidad de proceso

Se unen dos barras mediante soldadura:

\[ x_1 \sim N(\mu_1 = 30,\; \sigma_1^2 = 0.81) \Rightarrow \sigma_1 = 0.9 \] \[ x_2 \sim N(\mu_2 = 18,\; \sigma_2 = 0.3) \]

Longitud total: \[ Y = x_1 + x_2 \]

Objetivos:

① Simular 500 barras soldadas.
② Estimar la probabilidad de que \(Y\) esté fuera de especificaciones.

Especificaciones de diseño:
\[ 50 \pm 5 \text{ cm} \Rightarrow LSL = 45 \text{ cm}, \; USL = 55 \text{ cm} \]

③ Calcular los índices de capacidad del proceso:

\[ C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma_Y} \] \[ C_{pk} = \min\left( \frac{USL - \mu_Y}{3\sigma_Y}, \frac{\mu_Y - LSL}{3\sigma_Y} \right) \]

④ Determinar si el proceso está bajo control:
\[ C_p \ge 1.33 \quad \text{y} \quad C_{pk} \ge 1.33 \Rightarrow \text{Proceso capaz y bajo control.} \]

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Simulación de la longitud total de las barras

set.seed(123)   # Fijamos la semilla para reproducibilidad

# 1. Generamos las longitudes de las dos barras
x1 <- rnorm(500, mean = 30, sd = 0.9)   # barra 1
x2 <- rnorm(500, mean = 18, sd = 0.3)   # barra 2

# 2. Longitud total después de soldar
L <- x1 + x2

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Cálculo de la probabilidad estimada de estar fuera de especificaciones

Límites de especificación

LSL <- 45  # Límite inferior
USL <- 55  # Límite superior

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Contamos cuántas están fuera de los límites

fuera <- sum(L < LSL | L > USL)

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Estimador de la probabilidad

p_fuera <- fuera / length(L)

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Cálculo de Cp y Cpk

media_L <- mean(L)
sd_L <- sd(L)

Cp <- (USL - LSL) / (6 * sd_L)
Cpk <- min((USL - media_L) / (3 * sd_L), (media_L - LSL) / (3 * sd_L))

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Resultados

cat("Promedio de longitudes:", round(media_L, 2), "cm\n")
## Promedio de longitudes: 48.03 cm
cat("Desviación estándar:", round(sd_L, 2), "cm\n")
## Desviación estándar: 0.91 cm
cat("Probabilidad estimada fuera de especificaciones:", round(p_fuera, 4), "\n")
## Probabilidad estimada fuera de especificaciones: 0
cat("Cp =", round(Cp, 3), "\n")
## Cp = 1.828
cat("Cpk =", round(Cpk, 3), "\n")
## Cpk = 1.108

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Gráfico opcional para visualizar

hist(L, breaks = 20, col = "lightblue", main = "Distribución de longitudes de las barras",
     xlab = "Longitud total (cm)")
abline(v = c(LSL, 50, USL), col = c("red", "#ff7f0e", "red"), lwd = 2, lty = c(2, 1, 2))

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EXPLICACIÓN TEÓRICA: Índices Cp, Cpk y Control Estadístico

Resumen: Cp, Cpk y control estadístico

Objetivo: explicar de forma breve la capacidad del proceso y cómo verificar su estabilidad.

1) Cp — capacidad potencial - Compara el ancho de tolerancias con la variación del proceso. - Fórmula: \(Cp=\frac{USL-LSL}{6\sigma}\). - Regla práctica: \(Cp>1.33\) suele indicar capacidad suficiente si el proceso está centrado.

2) Cpk — capacidad real (considera el centrado) - Evalúa simultáneamente variación y desplazamiento de la media. - Fórmula: \(Cpk=\min\left(\frac{USL-\mu}{3\sigma},\frac{\mu-LSL}{3\sigma}\right)\). - Interpretación: - Si \(Cpk=Cp\): el proceso está centrado. - Si \(Cpk<Cp\): hay descentrado respecto al objetivo. - Si \(Cpk<1\): es probable generar piezas fuera de especificación.

3) Proceso bajo control estadístico - Solo hay causas comunes de variación (sin anomalías especiales). - Señales típicas: \(Cp\) y \(Cpk\) alrededor de 1.33 o mayores, ausencia de unidades fuera de tolerancia, media cercana al nominal y variación estable en el tiempo.

Idea clave: Cp habla del potencial (tolerancias vs. \(6\sigma\)), Cpk de lo real (incluye centrado). Para un proceso confiable: busca \(Cp\approx Cpk\) y ambos suficientemente altos con estabilidad temporal. “)