Enunciado: Se compararon las varianzas de los vencimientos de dos tipos de bonos. Para una muestra aleatoria de 17 bonos del primer tipo, la varianza de los vencimientos (en años al cuadrado) fue de 123,35. Para una muestra aleatoria independiente de 11 bonos del segundo tipo, la varianza de los vencimientos fue de 8,02. Al nivel del 2%, determinar si las dos varianzas poblacionales son diferentes. Asuma que las dos poblaciones tienen distribución normal. Halle también el \(P\)-valor.

1. Datos del problema

1) Unidades experimentales: bonos individuales.

2) Poblaciones: vencimientos (en años) de los bonos

3) Estadístico: Razón de varianzas muestrales \(\frac{S_1^2}{S_2^2}\)

4) Parámetro: Razón de varianzas poblacionales \(\theta = \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\)

donde \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) son las varianzas poblacionales de los vencimientos de los dos tipos de bonos.

5) Hipótesis: Queremos saber si las varianzas son diferentes, por tanto planteamos una prueba bilateral:

\[ H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \quad \Longleftrightarrow \quad \theta = \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} = 1 \]

\[ H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 \quad \Longleftrightarrow \quad \theta = \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \neq 1 \]

6) Método de decisión: a) Región crítica con \(\alpha = 0{,}02\) b) P-valor

7) Otros datos numéricos: \[ n_1 = 17, \qquad S_1^2 = 123{,}35\\ n_2 = 11, \qquad S_2^2 = 8{,}02 \]

2. Verificación de supuestos

3. Conclusión

Bajo estos supuestos, la distribución muestral del cociente de varianzas cumple con F de Fisher:

\[ F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(v_1, v_2) \]

donde los grados de libertad son:

\[ v_1 = n_1 - 1 = 17 - 1 = 16, \qquad v_2 = n_2 - 1 = 11 - 1 = 10. \]

4. Fórmula

El estadístico utilizado para comparar dos varianzas es la razón entre las varianzas muestrales, cuya distribución bajo \(H_0\) sigue una F de Fisher–Snedecor:

\[ F = \frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}. \]

Sin embargo, bajo la hipótesis nula \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\), ambas varianzas poblacionales son iguales.
Por lo tanto, el cociente \(\sigma_1^2 / \sigma_2^2 = 1\), y el estadístico se simplifica a:

\[ F_0 = \frac{S_1^2}{S_2^2}. \]

5. Desarrollo del contraste de hipótesis

5.1. Estadístico de prueba

\[ F_0 = \frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{123{,}35}{8{,}02}. \]

Cálculo numérico:

\[ F_0 \approx \frac{123{,}35}{8{,}02} \approx 15{,}38. \]

Por tanto, el estadístico de prueba observado es

\[ F_0 \approx 15{,}38, \]

con

\[ F_0 \sim F(16, 10) \quad \text{bajo } H_0. \]

5.2. Región crítica (método del valor crítico)

La prueba es bilateral, con \(\alpha = 0{,}02\).
Entonces:

\[ \frac{\alpha}{2} = 0{,}01 \quad \text{en cada cola}. \]

Los valores críticos (obtenidos de la tabla F) son:

  • Límite inferior:

\[ F_{\text{inf}} = F_{0{,}01;\,16,10} \approx 0{,}221 \]

  • Límite superior:

\[ F_{\text{sup}} = F_{0{,}99;\,16,10} \approx 4{,}52 \]

La región de rechazo para \(H_0\) es:

\[ \mathcal{R} = \left\{ F : F < F_{\text{inf}} \ \text{o} \ F > F_{\text{sup}} \right\} = \left\{ F : F < 0{,}221 \ \text{o} \ F > 4{,}52 \right\}. \]

Comparamos:

\[ F_0 \approx 15{,}38 > 4{,}52 = F_{\text{sup}}, \]

por tanto, \(F_0\) cae en la región de rechazo.

# CÁLCULOS EN R
n1 <- 17; s1_2 <- 123.35
n2 <- 11; s2_2 <- 8.02; alpha <- 0.02

F_calculado <- s1_2 / s2_2
gl1 <- n1 - 1; gl2 <- n2 - 1

F_inf <- qf(alpha/2, gl1, gl2)
F_sup <- qf(1 - alpha/2, gl1, gl2)

p_valor <- 2 * (1 - pf(F_calculado, gl1, gl2))
library(ggplot2)

# Parámetros
v1 <- 16
v2 <- 10
F0 <- 15.38
F_inf <- 0.271
F_sup <- 4.52

# Datos para la curva F
x <- seq(0, 20, length.out = 2000)
df_data <- data.frame(
  x = x,
  y = df(x, v1, v2)
)

# Gráfico
ggplot(df_data, aes(x, y)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +
  
  # Regiones críticas sombreadas
  geom_area(data = subset(df_data, x <= F_inf), aes(y = y),
            fill = "red", alpha = 0.3) +
  geom_area(data = subset(df_data, x >= F_sup), aes(y = y),
            fill = "red", alpha = 0.3) +
  
  # Líneas verticales de referencia
  geom_vline(xintercept = F_inf, color = "red", linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  geom_vline(xintercept = F_sup, color = "red", linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  geom_vline(xintercept = F0, color = "darkgreen", linetype = "longdash", linewidth = 1.2) +
  
  # Etiquetas
  annotate("text", x = F_inf, y = 0.35, label = "F_cri_inf = 0.27", color = "red", angle = 90, vjust = -0.5, size = 3.5) +
  annotate("text", x = F_sup, y = 0.35, label = "F_cri_sup = 4.52", color = "red", angle = 90, vjust = -0.5, size = 3.5) +
  annotate("text", x = F0, y = 0.25, label = "F₀ = 15.38", color = "darkgreen", angle = 90, vjust = -0.5, size = 3.5) +
  
  # Título y ejes
  labs(
    title = "Distribución F(16,10) — Prueba Bilateral",
    subtitle = "F calculado = 15.38, Región crítica: F < 0.27 o F > 4.52",
    x = "Valor F",
    y = "Densidad"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12) +
  theme(
    plot.title = element_text(face = "bold", color = "navy", size = 14),
    plot.subtitle = element_text(color = "gray20", size = 11),
    panel.grid.minor = element_blank(),
    panel.grid.major.y = element_line(linetype = "dotted", color = "gray80")
  )

5.3. Cálculo del P-valor

Para una prueba bilateral, el P-valor se define como:

\[ P\text{-valor} = 2 \cdot P\left(F \ge F_0\right) = 2 \cdot P\left(F(16,10) \ge 15{,}38\right). \]

Consultando tabla/software para \[F(16,10)\]:

\[ P\left(F(16,10) \ge 15{,}38\right) \approx 0{,}000057. \] Entonces el \[P\]-valor bilateral es:

\[ P\text{-valor} \approx 2 \cdot 0{,}000057 = 0{,}000114. \]

Esto es:

\[ P\text{-valor} \approx 1{,}1 \times 10^{-4} \ll \alpha = 0{,}02. \]

6. Decisión y conclusión

Regla de decisión con P-valor:

En este caso:

\[ P\text{-valor} \approx 0{,}000114 \le 0{,}02, \]

por lo tanto:

\[ \text{Rechazamos } H_0. \]

7. Conclusión en contexto:

Con un nivel de significancia del 2%, existe evidencia estadísticamente suficiente para afirmar que las varianzas poblacionales de los vencimientos de los dos tipos de bonos son diferentes.
En particular, la variabilidad de los vencimientos en el primer tipo de bono \(S_1^2 = 123{,}35\) es mucho mayor que en el segundo tipo \(S_2^2 = 8{,}02\).