Universidad del Norte
Tiffany Mendoza Sampayo
Estadística matemática 2025-03 | Noviembre 9, 2025
Se compararon las varianzas de los vencimientos de dos tipos de bonos. Para una muestra aleatoria de 17 bonos del primer tipo, la varianza de los vencimientos (en años al cuadrado) fue de 123,35. Para una muestra aleatoria independiente de 11 bonos del segundo tipo, la varianza de los vencimientos fue de 8,02. Al nivel del 2%, determinar si las dos varianzas poblacionales son diferentes. Asuma que las dos poblaciones tienen distribución normal. Halle también el P-valor.
# Datos del problema
n1 <- 17 # Tamaño de muestra tipo 1
s2_1 <- 123.35 # Varianza muestral tipo 1
n2 <- 11 # Tamaño de muestra tipo 2
s2_2 <- 8.02 # Varianza muestral tipo 2
alpha <- 0.02 # Nivel de significancia
# Grados de libertad
gl1 <- n1 - 1
gl2 <- n2 - 1
cat("Datos del problema:\n")## Datos del problema:cat("Tipo 1: n1 =", n1, ", s²1 =", s2_1, "\n")## Tipo 1: n1 = 17 , s²1 = 123.35cat("Tipo 2: n2 =", n2, ", s²2 =", s2_2, "\n")## Tipo 2: n2 = 11 , s²2 = 8.02cat("Nivel de significancia: α =", alpha, "\n")## Nivel de significancia: α = 0.02cat("Grados de libertad: ν1 =", gl1, ", ν2 =", gl2, "\n")## Grados de libertad: ν1 = 16 , ν2 = 10Unidades experimentales: Bonos individuales
Población: Todos los bonos de cada tipo (tipo 1 y tipo 2)
Estadístico: \(F = \frac{s_1^2}{s_2^2}\)
Parámetro: \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\), siendo \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) las respectivas varianzas poblacionales.
Hipótesis: Queremos contrastar \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\) versus \(H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\)
Método de decisión: (a) Región crítica con \(\alpha = 0.02\); (b) P-valor.
La distribución muestral del estadístico \(F = \frac{s_1^2}{s_2^2}\) sigue una distribución F de Fisher con \(\nu_1 = n_1 - 1 = 16\) y \(\nu_2 = n_2 - 1 = 10\) grados de libertad, bajo el supuesto de que \(H_0\) es verdadera.
El estadístico de prueba es:
\[F = \frac{s_1^2}{s_2^2}\]
donde \(s_1^2\) y \(s_2^2\) son las varianzas muestrales.
# Cálculo del estadístico F
F_estadistico <- s2_1 / s2_2
cat("Estadístico de prueba:\n")## Estadístico de prueba:cat("F =", s2_1, "/", s2_2, "=", round(F_estadistico, 4), "\n")## F = 123.35 / 8.02 = 15.3803El valor del estadístico de prueba está dado por F = 15.38.
# Valores críticos para prueba de dos colas
F_critico_superior <- qf(1 - alpha/2, gl1, gl2)
F_critico_inferior <- qf(alpha/2, gl1, gl2)
cat("Región crítica (α =", alpha, "):\n")## Región crítica (α = 0.02 ):cat("F crítico superior: F_{α/2}(", gl1, ",", gl2, ") =",
round(F_critico_superior, 4), "\n")## F crítico superior: F_{α/2}( 16 , 10 ) = 4.5204cat("F crítico inferior: F_{1-α/2}(", gl1, ",", gl2, ") =",
round(F_critico_inferior, 4), "\n\n")## F crítico inferior: F_{1-α/2}( 16 , 10 ) = 0.2709# Decisión
if (F_estadistico > F_critico_superior || F_estadistico < F_critico_inferior) {
cat("Decisión: Como F =", round(F_estadistico, 4), ">",
round(F_critico_superior, 4), "\n")
cat("RECHAZAMOS H₀ al nivel del", alpha*100, "%\n")
} else {
cat("Decisión: No rechazamos H₀ al nivel del", alpha*100, "%\n")
}## Decisión: Como F = 15.3803 > 4.5204
## RECHAZAMOS H₀ al nivel del 2 %Para una prueba al nivel del 2%, tenemos que \(\alpha = 0.02\) y \(F_{\alpha/2}(16, 10) = F_{0.01}(16, 10) = 4.5204\) con \(\nu_1 = 16\) y \(\nu_2 = 10\) grados de libertad.
Como el valor observado F = 15.38 es mayor que el valor crítico, podemos rechazar la hipótesis nula al nivel del 2%.
# Cálculo del P-valor (prueba de dos colas)
p_valor <- 2 * min(pf(F_estadistico, gl1, gl2, lower.tail = FALSE),
pf(F_estadistico, gl1, gl2, lower.tail = TRUE))
cat("P-valor:\n")## P-valor:cat("P-valor = 2 × P(F ≥", round(F_estadistico, 2), ") =",
format(p_valor, scientific = TRUE), "\n")## P-valor = 2 × P(F ≥ 15.38 ) = 1.141725e-04cat("P-valor ≈", round(p_valor, 6), "\n\n")## P-valor ≈ 0.000114if (p_valor < alpha) {
cat("Como P-valor < α =", alpha, ", RECHAZAMOS H₀\n")
} else {
cat("Como P-valor ≥ α =", alpha, ", NO rechazamos H₀\n")
}## Como P-valor < α = 0.02 , RECHAZAMOS H₀Como la hipótesis alternativa es de dos colas, el P-valor es prácticamente cero (P-valor ≈ 1.141725e-04).
Por consiguiente, \(H_0\) se rechazará para cualquier nivel \(\alpha\), en particular, por ejemplo, para \(\alpha = 0.02\).
Por consiguiente, hay abrumadora evidencia de que las varianzas en los vencimientos son diferentes para estos dos tipos de bonos.