Se compararon las varianzas de los vencimientos de dos tipos de bonos. Para una muestra aleatoria de 17 bonos del primer tipo, la varianza de los vencimientos (en días al cuadrado) fue de 123,35. Para una muestra aleatoria independiente de 11 bonos del segundo tipo, la varianza de los vencimientos fue de 8,02. Al nivel del 2%, determinar si las dos varianzas poblacionales son diferentes. Asuma que las dos poblaciones tienen distribución normal. Halle también el P-valor.
Unidades experimentales: bonos.
Población: vencimiento de los bonos.
Estadístico: razón de varianzas muestrales.
Parámetro: razón de varianzas poblacionales.
Tamaños: \(n_1\)=17, \(n_2\)=11, N desconocida.
Hipótesis: \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \quad \text{vs.} \quad H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\), o equivalentemente, \(H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} = 1 \quad \text{vs.} \quad H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \neq 1\).
Método de decisión: a) Región crítica con \(\alpha\)=0-02; b) P-valor.
Otros datos: \(s_1^2=123.35\) y \(s_2^2=8.02\).
n1 <- 17
n2 <- 11
s1<- 123.35
s2<- 8.02
alpha <- 0.02¿Ambas poblaciones son normales? Sí.
La distribución muestral de la razón de varianzas muestrales es F de Fisher con \(v_1\)=16 y \(v_2\)=10 grados de libertad.
\[F = \frac{s_1^2}{s_2^2}\]
valor_F <- s1/ s2
valor_F## [1] 15.3803v1<-16
v2<-10\[F = \frac{123.35}{8.02}=15.38\]
F_crit_inf <- qf(alpha/2, v1, v2)
F_crit_inf## [1] 0.2709343F_crit_sup <- qf(1 - alpha/2, v1, v2)
F_crit_sup## [1] 4.520448Por lo que \(F_{1-0.01}(16,10)=0.27\) y \(F_{0.01}(16,10)=4.52\). Dado que \(15.38>4.52\) al nivel del 5% se rechaza \(H_0\), es decir \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\).
p_valor <- 2 * (1 - pf(valor_F, v1, v2))
p_valor## [1] 0.0001141725Así, \(\text{P-valor} = 2P(F \geq 15-38) \approx 0 < 0.02\). Al nivel de significancia de 5% se rechaza \(H_0\), es decir \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\). Por tanto \(\sigma_1^2 < \sigma_2^2\) o \(\sigma_1^2 > \sigma_2^2\).
Luego, analicemos la siguiente prueba de hipótesis
\[ H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leq 1 \quad \text{vs.} \quad H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} > 1\]
F_crit_sup2 <- qf(1-alpha, v1, v2)
F_crit_sup2## [1] 3.729876Teniendo en cuenta que \(F_{0.02}(16,10) \approx 3.73 < 15.38\), se rechaza \(H_0\) al nivel del 5%.
p_valor2<-(1 - pf(valor_F, v1, v2))
p_valor2## [1] 5.708623e-05Por otro lado, como P-valor \(\approx\) 0 < 0.02, se rechaza \(H_0\) al nivel de significancia del 5%. Es decir, \(\sigma_1^2 > \sigma_2^2\)
Con una confianza del 95% podemos afirmar que existen diferencias estadísticamente significativas en las varianzas de los vencimientos entre ambos tipos de bonos, pues \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\), en particular \(\sigma_1^2 > \sigma_2^2\).