Ejercicio 20

El director de personal de una gran compañía de seguros está interesado en reducir la tasa de rotación del personal de apoyo en el procesamiento de datos durante el primer año de contratación.
Los registros históricos indican que 25% de todos los nuevos ingresos ya no están contratados al final del año.
Se implantaron nuevos programas de capacitación para una muestra de 150 nuevos ingresos y, después de un año, 29 de ellos ya no estaban en la compañía.
Para un nivel de significancia de 0,01, ¿existe evidencia de que la proporción de empleados de procesamiento de datos que tomaron la nueva capacitación y ya no están en la empresa sea menor que 0,25?

1. Unidad experimental y población

  • Unidad experimental: cada nuevo ingreso (empleado) del área de procesamiento de datos.
  • Población: todos los nuevos empleados del área de procesamiento de datos de la compañía durante su primer año de contratación.

2. Estadístico de interés

La proporción de nuevos ingresos que ya no están contratados después de un año.
\[ \hat p = \frac{x}{n} = \frac{29}{150} \approx 0.1933 \]

3. Hipótesis

\[ \begin{aligned} H_0 &: p = 0.25 \\ H_a &: p < 0.25 \end{aligned} \]

Esta es una prueba unilateral a la izquierda (se espera que la tasa sea menor que el 25 % histórico).

4. Supuestos para la aproximación normal

  1. La muestra es aleatoria e independiente.
  2. Observaciones independientes de un empleado a otro.
  3. La variable es binaria (abandona/no abandona).
  4. Bajo \(H_0\):
    \[ np_0 = 150 \times 0.25 = 37.5,\quad n(1-p_0) = 150 \times 0.75 = 112.5 \] Ambos valores son mayores que 5, por lo que la aproximación mediante la distribución normal es aceptable.

5. Cálculos en R

# Datos del enunciado
n     <- 150
x     <- 29
p0    <- 0.25
alpha <- 0.01

# Proporción muestral
phat <- x / n

# Verificación de supuestos
np0  <- n * p0
nq0  <- n * (1 - p0)

cat("Datos:\n",
    "n =", n, " x =", x, " phat =", round(phat, 6), "\n",
    "np0 =", np0, " n(1-p0) =", nq0, "\n\n")
## Datos:
##  n = 150  x = 29  phat = 0.193333 
##  np0 = 37.5  n(1-p0) = 112.5
# Estadístico z clásico
se0 <- sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
z   <- (phat - p0) / se0
pval_left <- pnorm(z)
crit_z    <- qnorm(alpha)

cat("Prueba z unilateral a la izquierda:\n",
    "se0 =", round(se0, 6), "\n",
    "z =", round(z, 6), "\n",
    "p-valor =", signif(pval_left, 6), "\n",
    "z crítico (alpha =", alpha, ") =", round(crit_z, 6), "\n",
    "¿Rechazar H0? ->", (pval_left < alpha), "\n\n")
## Prueba z unilateral a la izquierda:
##  se0 = 0.035355 
##  z = -1.602775 
##  p-valor = 0.0544921 
##  z crítico (alpha = 0.01 ) = -2.326348 
##  ¿Rechazar H0? -> FALSE
# Prueba aproximada prop.test sin corrección
aprox <- prop.test(x = x, n = n, p = p0, alternative = "less", correct = FALSE)
cat("prop.test (sin corrección):\n")
## prop.test (sin corrección):
print(aprox)
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x out of n, null probability p0
## X-squared = 2.5689, df = 1, p-value = 0.05449
## alternative hypothesis: true p is less than 0.25
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.2516122
## sample estimates:
##         p 
## 0.1933333
cat("\n")
# Prueba exacta binomial
exact <- binom.test(x = x, n = n, p = p0, alternative = "less")
cat("binom.test (exacta):\n")
## binom.test (exacta):
print(exact)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  x and n
## number of successes = 29, number of trials = 150, p-value = 0.0628
## alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.25
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.2541129
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.1933333
cat("\n")
# Intervalo exacto unilateral al 99% (Clopper–Pearson)
ci99 <- binom.test(x, n, conf.level = 0.99)$conf.int
names(ci99) <- c("LI_99%", "LS_99%")
cat("Intervalo exacto 99% (Clopper–Pearson):\n")
## Intervalo exacto 99% (Clopper–Pearson):
print(ci99)
##    LI_99%    LS_99% 
## 0.1178592 0.2889687 
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.99
cat("\n")
# Conclusión estilizada
if (pval_left < alpha) {
  cat("Conclusión: Hay evidencia al 1% de que p < 0.25.\n")
} else {
  cat("Conclusión: NO hay evidencia al 1% de que p < 0.25.\n")
}
## Conclusión: NO hay evidencia al 1% de que p < 0.25.