Ejercicio: Contraste de proporciones

De una muestra aleatoria de 203 anuncios publicados en revistas colombianas, 52 eran de deportes.
De una muestra aleatoria independiente de 270 anuncios publicados en revistas brasileras, 56 eran de deportes.
Usando un nivel del 5%, se contrasta frente a una alternativa bilateral la hipótesis nula de que las proporciones de anuncios deportivos de las revistas colombianas y brasileras son iguales.

1. Datos

# Datos del problema
x1 <- 52     # anuncios deportivos en Colombia
n1 <- 203    # total de anuncios en Colombia
x2 <- 56     # anuncios deportivos en Brasil
n2 <- 270    # total de anuncios en Brasil
alpha <- 0.05

2. Unidades experimentales

Anuncios publicados en revistas.

3. Población

  • Todos los anuncios publicados en revistas colombianas.
  • Todos los anuncios publicados en revistas brasileras.

4. Estadístico y parámetro

El estadístico de interés es:

\[ \hat{p}_1 - \hat{p}_2 \]

donde:

\[ \hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1}, \quad \hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} \]

Y el parámetro poblacional es:

\[ p_1 - p_2 \]

5. Hipótesis

\[ H_0: p_1 = p_2 \quad \text{o equivalentemente} \quad p_1 - p_2 = 0 \]

\[ H_1: p_1 \neq p_2 \]

(contraste bilateral)

6. Verificación de supuestos

## [1]  52 151  56 214

Como todos los valores son mayores que 5, se puede usar normalidad.

7. Fórmula del estadístico de prueba

El estadístico de prueba está dado por:

\[ z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)_0} {\sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \]

donde:

\[ \hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} \]

# Proporciones muestrales

p1_hat
## [1] 0.2561576
p2_hat
## [1] 0.2074074
# Proporción combinada

p_comb <- (x1 + x2) / (n1 + n2)
p_comb
## [1] 0.2283298
# Error estándar

EE <- sqrt(p_comb * (1 - p_comb) * (1/n1 + 1/n2))
EE
## [1] 0.038994
# Estadístico z

z <- (p1_hat - p2_hat) / EE
z
## [1] 1.250198
# P-valor bilateral

p_value <- 2 * (1 - pnorm(abs(z)))
p_value
## [1] 0.2112272
z_critico <- qnorm(1 - alpha/2)
z_critico
## [1] 1.959964
decision <- ifelse(abs(z) > z_critico, "Rechazar H0", "No rechazar H0")
decision
## [1] "No rechazar H0"

8. Conclusión

Con un nivel de significancia del 5%, el valor de 𝑝=0.208 > 0.05 por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula.

No existe evidencia estadísticamente significativa para afirmar que la proporción de anuncios deportivos en las revistas colombianas sea diferente de la de las revistas brasileras.

En conclusión, las proporciones pueden considerarse iguales en ambas poblaciones.

##verificación

## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(x1, x2) out of c(n1, n2)
## X-squared = 1.563, df = 1, p-value = 0.2112
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.02835076  0.12585122
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.2561576 0.2074074