TALLER FINAL - TÉCNICAS DE VALIDACIÓN Y SIMULACIÓN

Preguntas

1. Una barra de longitud x1 será unida mediante soldadura a otra de longitud x2. Si x1 sigue una distribución normal con media de 30 cm y varianza de 0.81, y x2, una distribución normal con media de 18 cm y desviación típica de 0.3, simule la soldadura de 500 barras, tome en cuenta que las especificaciones de diseño son de 50 ± 5 cm . y determine el estimador de la probabilidad de que una barra esté fuera de especificaciones. También calcule los coeficientes de capacidad Cp y Cpk de este proceso. ¾Considera que está bajo control?

Enunciado: Una barra x1 se une a otra x2.

x1 ~ Normal(µ=30, σ^2 = 0.81) → σ = 0.9

x2 ~ Normal(µ=18, σ = 0.3)

Se simulan 500 barras.

Especificación: 50 ± 5 → LSL=45, USL=55

Se pide:

  • Probabilidad de estar fuera de especificación

  • Índices Cp y Cpk

  • Determinar si el proceso está bajo control

Fórmula

\[ \mu_T = 30 + 18 = 48 \]

\[ \sigma_T^2 = 0.9^2 + 0.3^2 = 0.9 \Rightarrow \sigma_T = \sqrt{0.9} = 0.949 \]

\[ Cp = \frac{USL - LSL}{6\sigma_T} \]

\[ Cpk = \min \left( \frac{USL - \mu_T}{3\sigma_T}, \frac{\mu_T - LSL}{3\sigma_T} \right) \]

set.seed(123)
n <- 500
x1 <- rnorm(n, 30, 0.9)
x2 <- rnorm(n, 18, 0.3)
T <- x1 + x2
LSL <- 45; USL <- 55
p_out <- mean(T < LSL | T > USL)
sigma_T <- sd(T)
Cp <- (USL - LSL) / (6 * sigma_T)
Cpk <- min((USL - mean(T)) / (3 * sigma_T),
(mean(T) - LSL) / (3 * sigma_T))
p_out; Cp; Cpk
## [1] 0
## [1] 1.828435
## [1] 1.108189
hist(T,
main="Histograma de Longitud Total de Barras",
xlab="Longitud (cm)", col="#5DADE2", border="white")

boxplot(T, horizontal = TRUE, col="#85C1E9",
main="Boxplot de Longitudes de Barras")

El proceso de soldadura cumple las especificaciones y presenta una variabilidad controlada, con índices Cp y Cpk satisfactorios, lo que indica que el proceso es capaz y está bajo control estadístico.

2. Cada 20 minutos llegan piezas a una estación de reproceso. El número de defectos que una pieza puede tener com o máximo es 3. Se sabe que estos defectos siguen una distribución Binomial con media 2.4. El tiempo para realizar las reparaciones correspondientes se distribuye exponencial con λ = 0,2 piezas por minuto por cada defecto que tenga la pieza. Determine, ¾cuánto tiempo tomará procesar 200 piezas? Use 10 réplicas.

Enunciado:

  • Hasta 3 defectos por pieza

  • D ~ Binomial(3, 0.8)

  • Tiempo por defecto: Exp(0,2)⇒ 5 min

  • 200 piezas, 10 réplicas

set.seed(123)
replicas <- 10
resultados <- numeric(replicas)
for (i in 1:replicas){
defects <- rbinom(200, 3, 0.8)
tiempos <- sapply(defects, function(d) sum(rexp(d, 0.2)))
resultados[i] <- sum(tiempos)
}
resultados
##  [1] 2427.112 2548.740 2350.137 2274.511 2578.053 2353.405 2506.708 2450.375
##  [9] 2410.956 2421.431

Intervalo de confianza 95%

media <- mean(resultados)
inf <- media - 1.96*sd(resultados)/sqrt(replicas)
sup <- media + 1.96*sd(resultados)/sqrt(replicas)
media; inf; sup
## [1] 2432.143
## [1] 2374.023
## [1] 2490.263

Gráfica de barras

bp <- barplot(resultados,
main="Tiempo total por réplica (min)",
xlab="Réplica",
ylab="Minutos",
col=rainbow(length(resultados)),
border=NA)

text(x = bp, y = resultados,
labels=round(resultados,0),
pos = 3, cex = 0.8)

El tiempo total de reparación estimado es cercano a 40 horas para 200 piezas, con baja variabilidad entre réplicas, lo que evidencia un proceso estable y consistente en tiempos de reproceso.

3. Un camión de reparto tarda 30 ± 10 minutos en ser cargado, 20 ± 5 minutos en ser descargado, y 40 minutos con distribución exponencial en trasladarse, ya sea de su base al lugar de entrega, o del lugar de entrega a su base.

a) Simule el sistema por 10 horas y realice 5 réplicas

b) Calcule un intervalo de confianza para el número de viajes que se pueden hacer en un día.

c) Sólo hay espacio para cargar un camión a la vez. Si la em presa necesita realizar al menos 10 entregas por día, ¾qué recom endaciones daría para lograrlo? Justifique su respuesta y establezca sus supuestos.

Objetivo

Simular operación de un camión durante 10 horas y estimar número de viajes.

set.seed(123)
sim <- function(t_total = 600){
t <- 0; v <- 0
tiempos <- c()

while(t < t_total){
ciclo <- runif(1,20,40) + rexp(1,1/40) + runif(1,15,25) + rexp(1,1/40)
if (t + ciclo > t_total) break
t <- t + ciclo; v <- v + 1
tiempos <- c(tiempos, ciclo)
}
return(list(viajes=v, tiempos=tiempos))
}
res <- replicate(5, sim(), simplify = FALSE)
viajes <- sapply(res, function(x) x$viajes)
viajes
## [1] 5 3 5 4 5

Intervalo de confianza

mediaV <- mean(viajes)
error <- 1.96*sd(viajes)/sqrt(length(viajes))
mediaV; mediaV-error; mediaV+error
## [1] 4.4
## [1] 3.616
## [1] 5.184

Histograma del tiempo por ciclo

set.seed(123)
todos_tiempos <- unlist(lapply(res, function(x) x$tiempos))

hist(todos_tiempos,
main="Histograma del Tiempo de Ciclo del Camión",
xlab="Tiempo por ciclo (min)",
col="#A569BD", border="white")

Conclusión General

El análisis mediante técnicas de simulación permitió evaluar el desempeño de procesos industriales y logísticos bajo condiciones reales de variabilidad. En el caso de la soldadura de barras, el proceso demostró ser altamente capaz y estadísticamente estable. Para el reproceso de piezas, los resultados confirmaron tiempos consistentes de reparación y un comportamiento predecible del sistema. Por último, en el sistema de transporte, la simulación evidenció la necesidad de ajustes operativos para alcanzar los niveles de productividad deseados.

En conjunto, los resultados destacan la importancia de la simulación como herramienta de apoyo en la toma de decisiones técnicas, permitiendo anticipar el desempeño de los procesos, identificar oportunidades de mejora y garantizar niveles adecuados de eficiencia y calidad.