Problema 1: Las barras de metal

1.1. Problemática

Se nos pide simular la suma de dos barras que se van a soldar, \(x_1\) y \(x_2\). Tenemos que simular esto 500 veces.

Los datos que nos dan son:

  • Barra 1 (\(x_1\)): Se distribuye Normal.

    • Media = 30 cm
    • Varianza = 0.81

  • Barra 2 (\(x_2\)): Se distribuye Normal.

    • Media = 18 cm
    • Desviación típica (sd) = 0.3 cm

  • Longitud Total (\(L\)): \(L = x_1 + x_2\)

  • Límites (Especificaciones): \(50 \pm 5\) cm.

    • Límite Inferior (LSL) = 45 cm
    • Límite Superior (USL) = 55 cm

Nos piden:

  • Simular 500 barras.
  • Calcular la probabilidad de que una barra esté fuera de las especificaciones (o sea, \(< 45\) o \(> 55\)).
  • Calcular el \(C_p\) y \(C_{pk}\).
  • Decir si el proceso está bajo control.

1.2. Simulación de las 500 barras

Vamos a generar los 500 números aleatorios para \(x_1\) y \(x_2\) y luego los sumamos.

set.seed(133) # Semilla
n <- 500 # Número de barras a simular

# Parámetros del problema
media_x1 <- 30
sd_x1 <- sqrt(0.81) # ¡No olvidar la raíz cuadrada!
media_x2 <- 18
sd_x2 <- 0.3
LSL <- 45
USL <- 55

# 1. Simulación
x1 <- rnorm(n, mean = media_x1, sd = sd_x1)
x2 <- rnorm(n, mean = media_x2, sd = sd_x2)
L_total <- x1 + x2 # Sumamos las longitudes

# 2. Guardamos en una tabla (data.frame)
datos_barras <- data.frame(
  Barra_x1 = x1,
  Barra_x2 = x2,
  Largo_Total = L_total
)

# 3. Mostramos las primeras 6 para ver cómo quedaron
cat("Primeras 6 barras simuladas:\n")
## Primeras 6 barras simuladas:
kable(head(datos_barras), caption = "Resultados de las primeras 6 barras")
Resultados de las primeras 6 barras
Barra_x1 Barra_x2 Largo_Total
30.08135 17.97225 48.05360
30.31253 18.06857 48.38110
29.28529 17.45720 46.74249
30.26515 18.66839 48.93354
31.11406 17.65687 48.77093
29.95745 18.31950 48.27695

1.3. Cálculos (Probabilidad, Cp y Cpk)

Ahora usamos el vector L_total (que tiene los 500 resultados) para hacer los cálculos.

L <- L_total # Vector de resultados

# 1. Probabilidad de estar fuera (OOS - Out Of Specification)
barras_malas <- sum(L < LSL | L > USL)
prob_malas <- barras_malas / n

cat(paste("Barras simuladas:", n, "\n"))
## Barras simuladas: 500
cat(paste("Barras malas (fuera de 45-55 cm):", barras_malas, "\n"))
## Barras malas (fuera de 45-55 cm): 1
cat(paste("Estimador de la probabilidad de fallo:", round(prob_malas * 100, 2), "%\n\n"))
## Estimador de la probabilidad de fallo: 0.2 %
# 2. Índices de Capacidad (Cp y Cpk)
media_proceso <- mean(L)
sd_proceso <- sd(L)

# Fórmula del Cp (Capacidad potencial)
Cp <- (USL - LSL) / (6 * sd_proceso)

# Fórmulas del Cpk (Capacidad real)
Cpk_arriba <- (USL - media_proceso) / (3 * sd_proceso)
Cpk_abajo <- (media_proceso - LSL) / (3 * sd_proceso)
Cpk <- min(Cpk_arriba, Cpk_abajo) # El Cpk es el peor de los dos

# Imprimimos los resultados
cat(paste("Media del proceso (L_total):", round(media_proceso, 4), "\n"))
## Media del proceso (L_total): 47.9451
cat(paste("Desv. Estándar del proceso (L_total):", round(sd_proceso, 4), "\n\n"))
## Desv. Estándar del proceso (L_total): 0.9756
cat(paste("Índice Cp (Potencial):", round(Cp, 4), "\n"))
## Índice Cp (Potencial): 1.7084
cat(paste("Índice Cpk (Real):", round(Cpk, 4), "\n"))
## Índice Cpk (Real): 1.0063

1.4. Gráfica de resultados

Con un histograma podemos ver la “campana” de nuestros 500 resultados y compararla con los límites rojos (LSL y USL).

ggplot(data = datos_barras, aes(x = Largo_Total)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.2, fill = "skyblue", color = "black", alpha = 0.9) +
  # Límites de especificación (los rojos)
  geom_vline(xintercept = LSL, color = "red", linetype = "dashed", size = 1) +
  geom_vline(xintercept = USL, color = "red", linetype = "dashed", size = 1) +
  # Media de nuestro proceso (la azul)
  geom_vline(xintercept = media_proceso, color = "blue", linetype = "dotted", size = 1.2) +
  labs(title = "Distribución de Longitudes Totales vs Límites",
       x = "Longitud Total (cm)",
       y = "Frecuencia (de 500 barras)",
       caption = "Líneas rojas = Límites (45 y 55). Línea azul = Media del proceso.") +
  theme_light()

1.5. Conclusión (¿Está bajo control?)

El profe pregunta si el proceso está bajo control (o, mejor dicho, si es capaz).

  • Tasa de Fallos: En nuestras 500 simulaciones, 1 barras salieron malas (0.2%).
  • Capacidad Potencial (\(C_p\)): El \(C_p \approx 1.71\) es altísimo (mucho mayor que 1.33, que es el estándar). Esto significa que la variabilidad del proceso es muy baja. La “campana” es muy delgada, lo cual es bueno.
  • Capacidad Real (\(C_{pk}\)): El \(C_{pk} \approx 1.01\) es muy bajo (menor que 1.33). Esto es lo que importa.

Respuesta: El proceso NO es capaz.

¿Por qué? La gráfica lo muestra perfecto. La campana es delgada (Cp alto), pero está descentrada. La media esperada del proceso es \(30 + 18 = 48\) cm. El centro de las especificaciones es \(50\) cm. El proceso está diseñado para producir barras de 48 cm, pero se espera que midan 50 cm.

Diagnóstico: El proceso tiene un error de centrado (o bias). No es un problema de variabilidad (ruido), sino de diseño. La media está muy pegada al límite inferior (45).

Problema 2: La estación de reproceso

2.1. Entendimiento del problema

Aquí tenemos una cola. Llegan piezas a una estación de reparación.

  • Llegadas: 1 pieza cada 20 minutos (fijo, o sea, Determinístico).

  • Entidad (Pieza):

    • Tiene defectos. Máximo 3.
    • \(N_{defectos} \sim \text{Binomial}\) con media 2.4.
    • Si la media es 2.4 y \(n=3\) (máx), podemos hallar \(p\).
    • \(Media = n \times p \implies 2.4 = 3 \times p \implies p = 0.8\).
    • Entonces, \(N_{defectos} \sim \text{Binomial}(n=3, p=0.8)\).

  • Servicio (Reparación):

    • El tiempo depende de los defectos.
    • Se distribuye Exponencial con \(\lambda=0.2\) piezas/min por cada defecto.
    • Esto significa que la media de tiempo es \(\mu = 1/\lambda = 1/0.2 = 5\) minutos por defecto.
    • Si una pieza tiene 2 defectos, la media de reparación será \(2 \times 5 = 10\) minutos.
    • Si tiene \(k\) defectos, la media es \(k \times 5\). La tasa \(\lambda_{total}\) será \(1 / (k \times 5)\).
    • \(T_{servicio} \sim \text{Exponencial}(\text{rate} = 1 / (N_{defectos} \times 5))\).

  • Objetivo: ¿Cuánto tiempo (en minutos) se tarda en procesar 200 piezas?

  • Réplicas: 10.

2.2. Simulación (con 10 réplicas)

Necesitamos un bucle para las 10 réplicas. Dentro, un bucle para las 200 piezas.

Tenemos que llevar dos variables de tiempo (relojes):

  • tiempo_llegada_pieza: A qué hora llega la pieza j.
  • reloj_salida_taller: A qué hora se desocupa el taller (esta es la clave).

La pieza j no puede empezar a ser reparada hasta que HAYA LLEGADO y hasta que el TALLER ESTÉ LIBRE. Por eso usamos max(tiempo_llegada_pieza, reloj_salida_taller).

set.seed(456) # Semilla
n_replicas <- 10
n_piezas <- 200
llegada_cada <- 20 # min
lambda_defecto <- 0.2 
media_t_defecto <- 1 / lambda_defecto # 5 min por defecto
prob_defecto <- 0.8 # p = 2.4 / 3
n_max_defectos <- 3

# Vector para guardar el tiempo final (el "Makespan") de cada réplica
tiempos_finales <- numeric(n_replicas)

# Bucle de Réplicas (i)
for (i in 1:n_replicas) {
  
  # Inicializamos el reloj del taller en 0 para esta réplica
  reloj_salida_taller <- 0 
  
  # Bucle de Piezas (j)
  for (j in 1:n_piezas) {
    
    # 1. ¿A qué hora llega esta pieza? (Determinístico)
    tiempo_llegada_pieza <- j * llegada_cada
    
    # 2. ¿Cuántos defectos trae? (Binomial)
    n_defectos <- rbinom(1, size = n_max_defectos, prob = prob_defecto) 
    
    # 3. ¿Cuánto tiempo de servicio necesita? (Exponencial)
    t_reparacion <- 0 # Si tiene 0 defectos, tarda 0
    if (n_defectos > 0) {
      # La media total de reparación es N_defectos * 5 min
      media_total_reparacion <- n_defectos * media_t_defecto
      # La tasa (lambda) es 1 / media
      tasa_total_reparacion <- 1 / media_total_reparacion
      # Sacamos el tiempo de servicio de una exponencial con esa tasa
      t_reparacion <- rexp(1, rate = tasa_total_reparacion)
    }
    
    # 4. Lógica de cola: ¿Cuándo empieza la reparación?
    tiempo_inicio_reparacion <- max(tiempo_llegada_pieza, reloj_salida_taller)
    
    # 5. ¿A qué hora termina?
    tiempo_fin_reparacion <- tiempo_inicio_reparacion + t_reparacion
    
    # 6. Actualizamos el reloj del taller. Estará libre en este tiempo para la pieza (j+1)
    reloj_salida_taller <- tiempo_fin_reparacion
  }
  
  # Guardamos el tiempo final de la última pieza (la 200) de esta réplica
  tiempos_finales[i] <- reloj_salida_taller
}

2.3. Resultados de las réplicas

Ahora vemos los 10 resultados (el tiempo total de la pieza 200) y sacamos el promedio.

# Hacemos una tabla con los resultados
tabla_resultados_p2 <- data.frame(
  Replica = 1:n_replicas,
  Tiempo_Final_Minutos = tiempos_finales,
  Tiempo_Final_Horas = tiempos_finales / 60 # Para tener una idea
)

kable(tabla_resultados_p2, 
      caption = "Tiempo total (Makespan) para procesar 200 piezas",
      digits = 2)
Tiempo total (Makespan) para procesar 200 piezas
Replica Tiempo_Final_Minutos Tiempo_Final_Horas
1 4004.39 66.74
2 4010.40 66.84
3 4012.28 66.87
4 4045.99 67.43
5 4022.84 67.05
6 4039.27 67.32
7 4012.96 66.88
8 4010.39 66.84
9 4013.78 66.90
10 4033.18 67.22 
# Calculamos el promedio
tiempo_promedio_p2 <- mean(tiempos_finales)

cat(paste("\n\nRespuesta:",
          "El tiempo promedio (de 10 réplicas) para procesar las 200 piezas es de", 
          round(tiempo_promedio_p2, 2), "minutos."))
## 
## 
## Respuesta: El tiempo promedio (de 10 réplicas) para procesar las 200 piezas es de 4020.55 minutos.
graf_p2_puntos <- data.frame(
  Replica = 1:n_replicas,
  Tiempo_Final_Minutos = tiempos_finales,
  Tiempo_Final_Horas = tiempos_finales / 60
)

## Visualización
ggplot(graf_p2_puntos, aes(x = factor(Replica), y = Tiempo_Final_Minutos)) +
  geom_point(size = 3, color = "steelblue") +
  geom_line(aes(group = 1), color = "gray40", linewidth = 1) +
  labs(
    title = "Tiempo total de procesamiento por réplica",
    x = "Réplica",
    y = "Tiempo total (minutos)",
    caption = "Cada punto representa el tiempo total para procesar 200 piezas"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13)

Problema 3: El camión de reparto

3.1. Los datos del ciclo

Este es un proceso cíclico con un solo camión. El ciclo es:

  • Carga: Uniforme(\(30 \pm 10\)) \(\implies\) runif(1, 20, 40)
  • Viaje Ida: Exponencial(media=40) \(\implies\) rexp(1, 1/40)
  • Descarga: Uniforme(\(20 \pm 5\)) \(\implies\) runif(1, 15, 25)
  • Viaje Vuelta: Exponencial(media=40) \(\implies\) rexp(1, 1/40)

Nos piden:

    1. Simular por 10 horas (600 minutos) y hacer 5 réplicas.
    1. Calcular un IC del 95% para el número de viajes.
    1. Recomendaciones para lograr 10 entregas/día (sabiendo que solo hay 1 espacio de carga).

3.2. Simulación (5 réplicas de 10 horas)

Usamos un bucle for para las 5 réplicas. Dentro, usamos un bucle while (reloj < 600) para simular los ciclos. Un “viaje” se cuenta como completado después de la descarga.

Hay que tener cuidado con las condiciones de parada: * El camión debe poder terminar la descarga antes de los 600 min para que cuente como viaje. * El camión debe poder volver a la base antes de los 600 min para poder iniciar el siguiente ciclo.

set.seed(789)
n_replicas_p3 <- 5
t_simulacion <- 600 # 10 horas * 60 minutos

# Vector para guardar cuántos viajes hizo en cada réplica
viajes_por_replica <- numeric(n_replicas_p3)

# Data.frame para guardar el log de todos los viajes (trazabilidad)
log_todos_los_viajes <- data.frame()

# Bucle de las 5 réplicas
for (i in 1:n_replicas_p3) {
  
  reloj <- 0
  viajes_completos <- 0
  
  # Bucle del Ciclo (mientras haya tiempo en el día)
  while (TRUE) {
    
    # Simular tiempos del ciclo
    t_carga <- runif(1, min = 20, max = 40)
    t_ida <- rexp(1, rate = 1/40)
    t_descarga <- runif(1, min = 15, max = 25)
    
    # Tiempo que gasta hasta la entrega
    tiempo_hasta_entrega <- t_carga + t_ida + t_descarga
    
    # Condición de parada 1: ¿Alcanza a hacer la entrega?
    if (reloj + tiempo_hasta_entrega > t_simulacion) {
      break # No alcanza, se acaba el día.
    }
    
    # Si alcanzó, actualizamos el reloj y contamos el viaje
    reloj <- reloj + tiempo_hasta_entrega
    viajes_completos <- viajes_completos + 1
    
    # Ahora simulamos la vuelta
    t_vuelta <- rexp(1, rate = 1/40)
    
    # Guardamos el log de este viaje (antes de ver si puede volver)
    log_todos_los_viajes <- rbind(log_todos_los_viajes, data.frame(
      Replica = i,
      Viaje_N = viajes_completos,
      T_Carga = t_carga,
      T_Ida = t_ida,
      T_Descarga = t_descarga,
      T_Vuelta = t_vuelta,
      Tiempo_Acum_Fin_Ciclo = reloj + t_vuelta
    ))
    
    # Condición de parada 2: ¿Alcanza a volver a la base para (potencialmente) otro viaje?
    if (reloj + t_vuelta > t_simulacion) {
      break # Quedó en la calle, no puede empezar otro ciclo.
    }
    
    # Si alcanzó a volver, actualizamos el reloj y el bucle while empieza de nuevo
    reloj <- reloj + t_vuelta
  }
  
  
  
  # Guardamos el total de viajes de esta réplica
  viajes_por_replica[i] <- viajes_completos
}

3.3. Respuestas a las preguntas

a) Resultados de las 5 Réplicas

Estos son los viajes completados (descargas hechas) en las 10 horas de cada réplica.

tabla_resultados_p3 <- data.frame(
  Replica = 1:n_replicas_p3,
  Viajes_Completados = viajes_por_replica
)
kable(tabla_resultados_p3, caption = "Viajes Completados en 10 Horas")
Viajes Completados en 10 Horas
Replica Viajes_Completados
1 4
2 5
3 4
4 4
5 6

b) Intervalo de Confianza para el Número de Viajes

Usamos t.test() sobre los 5 resultados para estimar el rango de la media real de viajes.

ic_p3 <- t.test(viajes_por_replica, conf.level = 0.95)

cat(paste("Media de viajes (de 5 réplicas):", round(ic_p3$estimate, 2), "\n"))
## Media de viajes (de 5 réplicas): 4.6
cat(paste("Intervalo de Confianza 95% para los viajes:", 
          "[", round(ic_p3$conf.int[1], 4), 
          ",", 
          round(ic_p3$conf.int[2], 4), 
          "]\n"))
## Intervalo de Confianza 95% para los viajes: [ 3.4894 , 5.7106 ]

c) ¿Cómo lograr 10 entregas?

El objetivo es 10 entregas/día.

Análisis del problema: La simulación y el IC del 95% (que va de 3.5 a 5.7 viajes) nos dicen que con el sistema actual es imposible llegar a 10. Estamos haciendo 4 o 5.

¿Por qué? Calculemos el tiempo promedio de un ciclo:

  • \(T_{carga}\) (promedio): \((20+40)/2 = 30\) min
  • \(T_{ida}\) (promedio): \(40\) min (media de la exponencial)
  • \(T_{descarga}\) (promedio): \((15+25)/2 = 20\) min
  • \(T_{vuelta}\) (promedio): \(40\) min (media de la exponencial)

Total Ciclo Esperado: \(30 + 40 + 20 + 40 = \mathbf{130 \text{ minutos}}\)

En un día de 10 horas (600 min), el número máximo teórico de viajes es: \(600 \text{ min} / 130 \text{ min/viaje} \approx 4.6\) viajes. La simulación confirma este cálculo teórico.

Recomendaciones:

  • Reducir Tiempos (Optimizar): El cuello de botella principal es el tiempo de viaje (80 min ida y vuelta, 61.5% del ciclo). Si se optimizan las rutas (bajar la media de 40 min), se ganan viajes. El segundo punto a optimizar sería la carga (30 min, 23% del ciclo).
  • Paralelizar (Añadir Camión): La solución obvia es poner un segundo camión. Si un camión hace 4-5 viajes, dos camiones harían 8-10.
  • Supuesto Crítico: El problema dice: “Sólo hay espacio para cargar un camión a la vez”.
  • Justificación: Si añadimos un segundo camión, ahora tendremos un nuevo problema: una cola en la bahía de carga. Mientras el Camión 1 está cargando (30 min prom.), el Camión 2 (que ya volvió) tendrá que esperar esos 30 min.

Recomendación Final: Se debe comprar un segundo camión, pero se advierte que esto creará una cola en la bahía de carga. Se necesitaría un nuevo modelo de simulación (de colas G/G/1) para validar si el tiempo de espera en la carga anula la ganancia de tener el segundo camión.

Trazabilidad de los datos del Problema 3

Esta tabla muestra todos los viajes simulados en las 5 réplicas (los tiempos están en minutos).

Detalles de Simulación (Problema 3)
Replica Viaje_N T_Carga T_Ida T_Descarga T_Vuelta Tiempo_Acum_Fin_Ciclo
1 1 34.00 103.02 15.12 7.33 159.46
1 2 29.84 150.25 20.73 68.50 428.78
1 3 27.18 43.13 18.14 0.60 517.82
1 4 25.05 28.24 16.56 11.62 599.29
2 1 26.06 36.40 19.96 25.86 108.29
2 2 30.06 63.15 19.90 31.24 252.63
2 3 28.73 6.63 17.83 62.14 367.96
2 4 35.75 20.23 24.98 78.02 526.94
2 5 23.29 11.48 24.21 92.08 678.00
3 1 34.91 36.40 15.36 50.82 137.49
3 2 38.57 55.09 24.20 24.33 279.68
3 3 30.99 35.90 22.04 56.47 425.09
3 4 33.35 18.31 22.50 17.14 516.39
4 1 21.88 73.21 19.19 51.55 165.83
4 2 25.48 0.48 22.46 12.05 226.29
4 3 39.22 24.85 24.47 40.31 355.14
4 4 35.78 26.39 23.97 94.65 535.93
5 1 25.22 18.74 20.67 26.94 91.57
5 2 25.42 29.51 23.90 22.93 193.34
5 3 23.27 34.38 19.81 18.34 289.14
5 4 32.55 6.61 16.16 10.47 354.93
5 5 32.93 47.49 24.88 21.45 481.69
5 6 34.20 49.62 23.34 4.57 593.42